Matemáticas II. 2º Bachillerato. Capítulo 7: Límites y continuidad LibrosMareaVerde.tk

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1 Mtemátics II. º Bchillerto. Cpítulo 7: Límites y continuidd Autor: Letici González Pscul Menéndez

2 9 Índice. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE. DEFINICIÓN DE LÍMITE.. DEFINICIÓN MATEMÁTICA.. LÍMITES LATERALES. OPERACIONES CON LÍMITES. LÍMITES INFINITOS.. LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO FINITO.. LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO.. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO. CÁLCULO DE LÍMITES.. LÍMITES SENCILLOS.. LÍMITES EN LOS QUE SE ANULA EL DENOMINADOR.. LÍMITES EN EL INFINITO 6. INDETERMINACIONES 6.. INDETERMINACIONES DEL TIPO 6.. INDETERMINACIONES DEL TIPO 6.. INDETERMINACIONES DEL TIPO 6.. INDETERMINACIONES DEL TIPO 6.. INDETERMINACIONES DEL TIPO 7. CONTINUIDAD 7.. OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS 7.. CONTINUIDAD LATERAL 7.. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 7.. TIPOS DE DISCONTINUIDAD 7.. TEOREMAS DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Resumen Y conoces del curso psdo el ite de suceones y el ite de unciones, y luns de sus muchs plicciones, en el estudio de l continuidd de un unción, de ls síntots en ls ráics de unciones, en el concepto de derivd Podrímos decir que el Anális Mtemático se bs en este concepto de ite. Este curso lo volveremos revisr umentndo el rior de ls deiniciones y el nivel de los problems. Dentro de este estudio nos ijremos en el niicdo de tiende ininito. Qué es ininito? Si releions, te drás cuent que el ininito mtemático es bstnte distinto de lo que ocurre en l relidd cotidin. L ide de ininito empre h plntedo muchs incónits y h costdo mucho esuerzo comprenderlo. Pr nosotros, hor es ácil. Añdimos l rect rel dos nuevos entes, el y el +, de orm que se pued irmr que todo número rel, está entre < < +. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

3 . IDEA INTUITIVA DE LÍMITE Actividdes de introducción Vmos estudir el comportmiento de l unción pr vlores próimos. En l tbl uiente observmos que, cundo dmos vlores próimos pero ineriores que, l unción se proim o tiende 8: Decimos que cundo tiende por l izquierd, tiende 8, y escribimos: Si 8 En l tbl que iur continución observmos que, cundo dmos vlores próimos y superiores, l unción se proim o tiende 8: Decimos que cundo tiende por l derech, tiende 8, y escribimos: Si 8 En este ejemplo los dos vlores que obtenemos l cercrnos = por l derech y por l izquierd coinciden, y podemos decir que, cundo tiende, tiende 8 y podemos escribir: Si 8 Estudiemos hor el comportmiento de l unción E en =, donde E es l unción prte enter de que devuelve el myor entero menor o iul que. L tbl uiente nos muestr l tendenci por l izquierd: Decimos que cundo tiende por l izquierd, tiende y escribimos: L tbl uiente nos muestr l tendenci por l derech: 9 9 Decimos que cundo tiende por l derech, tiende y escribimos:,, Los vlores no coinciden, y podemos decir que cundo tiende, no tiende ninún vlor. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

4 . DEFINICIÓN DE LÍMITE En el prtdo nterior hn precido plbrs o epreones tles como tiende o se proim. Vmos ormlizr mtemáticmente el niicdo de ests epreones... Deinición mtemátic de ite Se deine entorno de centro y rdio, y se represent por E,, l intervlo bierto E, R ;, : Se deine entorno reducido de centro y rdio, y se represent por E *,, l entorno E, ecepto el propio punto :, ; * R E Hemos visto que l unción tiende 8 o tiene por ite 8, cundo tiende. L ide de tendenci o proimción se trduce medinte los entornos como: Pr culquier E 8,, podemos encontrr un entorno E,, de modo que pr culquier del * entorno reducido E,, se cumple que su imen está en el entorno E 8,. Sin embro, E no tiene ite en = porque no es poble deinir un entorno único en * el que culquier del entorno reducido E,, su imen esté en un entorno ijo, y que podrímos deinir E, o E, izquierd y derech, respectivmente. Podemos deinir el ite de un unción en un punto de l uiente orm: Un unción represent como tiene por ite L cundo tiende, y se L pr todo entorno E L, eiste un entorno E,, de modo que pr todo perteneciente l entorno reducido E *, se cumple que pertenece l entorno E L, : L EL,, E, ; E, EL, o tmbién: L, ; Un unción L que cumple est deinición decimos que es converente en. Observmos que pr que un unción ten ite en o se converente, no es necesrio que l unción esté deinid en, pues en l deinición se hbl de un entorno reducido de. Ejemplo Hll el ite en el orien de l unción Observmos que l unción no eiste en el orien, pero sí podemos hllr: º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

5 .. Límites lterles Ejemplos En el primer prtdo hemos visto que l unción tiende 8 cundo tiende por l izquierd. Podemos escribir: 8 b Amismo, l unción E tiende cundo tiende por l izquierd. Podemos escribir: E L ide de tendenci por l izquierd qued recoid medinte los entornos lterles l izquierd de : E,, Un unción tiene por ite L cundo tiende por l izquierd, y se represent como L pr todo entorno E L, eiste un entorno lterl l izquierd de, E,,, de modo que pr todo perteneciente este entorno lterl, se veriic que pertenece l entorno E L, : L EL,, E, ; E, EL, o tmbién L, ; L Ejemplos En el mismo epíre hemos visto que l unción tiende 8 cundo tiende por l derech. Podemos escribir: 8 b Amismo, l unción E tiende cundo tiende uno por l derech. Podemos escribir: E L ide de tendenci por l derech qued recoid medinte los entornos lterles l derech de : E,, Un unción tiene por ite L cundo tiende por l derech, y se represent como L pr todo entorno E L, eiste un entorno lterl l derech de, E,,, de modo que pr todo perteneciente este entorno lterl, se veriic que pertenece l entorno E L, : L EL,, E, ; E, EL, o tmbién L, ; L Es interesnte notr que pr que un unción ten ites lterles en no es necesrio que l unción esté deinid en ese punto. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

6 L condición necesri y suiciente pr que un unción ten ite en un punto es que ten ite lterl por l izquierd y ite lterl por l derech, endo mbos coincidentes. L L Ejemplos Observmos que l unción tiene ite lterl por l izquierd y ite lterl por l derech cundo tiende, endo mbos iules 8, por lo que el ite de l unción, cundo tiende, eiste y vle 8: 8 Sin embro, l unción E no tiene ite cundo tiende, puesto que unque eisten los ites lterles cundo tiende, no son coincidentes. Ejemplo Dd l unción E E E Si un unción tiene ite en un punto, éste es único. Hll los ites lterles en =, en = y en =. Anlizmos el punto = : Los vlores en torno = no presentn problem luno, se evlún con el primer trozo de l unción, y es seuro que: Por tnto, eiste el ite en = : Anlizmos el orien utilizndo en cd cso el trozo de unción decudo: y Por tnto, eiste el ite en el orien: unque l unción no eiste en el orien. Anlizmos el punto = : Por tnto, no eiste el ite en = : y unque l unción sí eiste en el punto =. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

7 . OPERACIONES CON LÍMITES Si y Se tiene: son dos unciones converentes en el punto, cuyos ites son: L y M L M k k k L k R L M n n L L M L M y Ests epreones son válids tmbién en el cso de ites en el ininito, por tnto: k k k R n n y En el cálculo de ites, es necesrio operr con epreones donde prece ininito. Ests son luns epreones cuyos resultdos son conocidos: SUMA Y RESTA PRODUCTO COCIENTE POTENCIA k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Es importnte entender que el álebr del ininito es dierente l de los números reles y mientrs trbjmos con ininitos ls coss no suelen ser cómo precen. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

8 . LÍMITES INFINITOS.. Límites ininitos en un punto inito Observmos en l iur djunt que, medid que nos proimmos por l izquierd, los vlores correspondientes que tom l unción son cd vez myores. Airmmos que cundo tiende por l izquierd, o tiende +: tiene por ite + cundo tiende por l izquierd pr todo número rel K Un unción eiste un entorno lterl l izquierd de, E,,, de modo que, pr todo que pertenece este entorno, se veriic que es myor que K. K R, ; E K, o En est iur observmos que, medid que nos proimmos por l derech, los vlores correspondientes que tom l unción son cd vez myores. Airmmos que cundo tiende por l derech, o tiende +: Un unción tiene por ite + cundo tiende por l derech pr todo número rel K eiste un entorno lterl l derech de, E,,, de modo que, pr todo que pertenece este entorno, se veriic que es myor que K. K R, ; E K, o En l iur de l derech vemos que medid que nos proimmos los vlores correspondientes que tom l unción son cd vez myores. Airmmos que cundo tiende, tiende +: Un unción tiene por ite + cundo tiende pr todo número rel K eiste un * entorno reducido de, E,, de modo que, pr todo que pertenece este entorno, se veriic que es myor que K. * K R, ; E, K En el cso de que l proimrnos l unción tome vlores cd vez menores, tnto nos proimmos por l izquierd, por l derech o por los dos ldos l vez, decimos que l unción tiende. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

9 6 En este cso, ls iurs y deiniciones correspondientes estos tres csos son: M R, ; E M, M ; E, R, M M ; E R, *, M Cundo eiste luno de los seis ites que iurn en este prtdo, decimos que l unción tiene un síntot verticl de ecución. Aluns unciones que enern síntots verticles son:. El cociente de unciones: en ls que se incluyen ls trionométrics como t, sec, cosec, y cot, y que son cocientes por deinición.. L unción lorítmic: ln OJO: No eisten l divión entre cero ni el loritmo de cero. Hblmos de que el ite cundo el denomindor o el rumento tienden cero es ininito. Ejemplo Hll ls síntots verticles de l unción ln Como se eplicó, l unción lorítmic tiene un síntot verticl cundo su rumento es nulo, por tnto: ln es un síntot verticl º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

10 7.. Límites initos en el ininito Observmos en l iur de l derech que, pr vlores potivos muy rndes de, los correspondientes vlores que tom l unción se proimn cd vez más hci un vlor L. Airmmos que, cundo tiende +, Un unción tiende L. tiene por ite un número rel L, cundo tiende +, y se escribe L, pr todo ε potivo, eiste un número rel K, de modo que, pr culquier vlor de myor que K, se veriic que E L,. está en el entorno L, K R ; K En l iur de l derech observmos que, pr vlores netivos muy rndes en vlor bsoluto de, los correspondientes vlores que tom l unción se proimn cd vez más hci un vlor L. Airmmos que, cundo tiende, Un unción tiende L. EL, tiene por ite un número rel L, cundo tiende, y se escribe L, pr todo ε potivo, eiste un número rel M, de modo que, pr culquier vlor de menor que M, se veriic que E L,. está en el entorno L, M R; M EL, Cundo eiste luno de los ites nteriores decimos que l unción horizontl de ecución y L. Ejemplo ln Hll ls síntots horizontles, eisten, de l unción tiene un síntot Sbemos que el dominio de l unción lorítmic son únicmente los reles potivos, sí que l unción sólo puede tener síntot horizontl en +. Además, en l ráic djunt: vemos que l unción polinómic del denomindor crece mucho más rápidmente que l lorítmic, de modo que cundo tiende ininito, el cociente tiende cero: ln Asíntot horizontl y En el prtdo uiente veremos cómo hllr ites como el nterior de orm más mple. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

11 8.. Límites ininitos en el ininito Cundo hblmos de ites ininitos en el ininito nos encontrmos con cutro pobiliddes:, l unción tiende más ininito cundo tiende más ininito. Un unción tiende + cundo tiende + pr todo número rel K, eiste un número rel M, tl que, pr culquier myor que M, se veriic que es myor que K. K R, M R; M K, l unción tiende menos ininito cundo tiende más ininito. Un unción tiende cundo tiende + pr todo número rel K, eiste un número rel M, tl que, pr culquier myor que M, se veriic que es menor que K. K R, M R; M K, l unción tiende más ininito cundo tiende menos ininito. Un unción tiende + cundo tiende pr todo número rel K, eiste un número rel M, tl que, pr culquier menor que M, se veriic que es myor que K. K R. M R; M K, l unción tiende menos ininito cundo tiende menos ininito. Un unción tiende cundo tiende pr todo número rel K, eiste un número rel M, tl que, pr culquier menor que M, se veriic que es menor que K. K R, M R; M K º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

12 9. CÁLCULO DE LÍMITES.. Límites sencillos El proceso de cálculo de un ite prtir de l deinición es muy complejo, sí que en l práctic bstrá con sustituir l vrible por el vlor l que tiende y operr, obteniendo un resultdo que podrá ser un vlor inito, ininito o indetermindo. Ejemplos Clcul los uientes ites: ln ln ln cos cos e e e e Sin embro, eisten csos en los que debemos tener cuiddo... Límites en los que se nul el denomindor Y vimos nteriormente que este tipo de ite ener un ininito, pero no sbemos será potivo o netivo. Debemos, por tnto, estudir los ites lterles ijándonos sobre todo en los nos. Si los ites lterles son distintos, diremos que no eiste el ite pedido. Ejemplos Clcul los uientes ites: Debemos hllr los ites lterles pr ver eiste el ite de l unción en ese punto. Límite por l derech: Tommos vlores próimos, pero myores que. donde por + representmos un número potivo muy cercno cero +. Límite por l izquierd: Tommos vlores próimos, pero menores que. donde por representmos un número netivo muy cercno cero. Como los ites lterles no coinciden, diremos que no eiste. Este cso es dierente l nterior, sbemos que es un unción empre potiv, sí que: º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

13 .. Límites en el ininito Pr resolver ites en el ininito es necesrio conocer cómo se comportn ls unciones más comunes pr vlores muy rndes de l vrible. Muchs de ells y se eplicron en cursos nteriores l estudir el comportmiento de ests unciones. Funciones potenciles: Llmmos unciones potenciles quells de l orm n y n pr n n n y n impr n n n n n Ejemplos porque n = > b porque n = > y pr n, endo n un número rel. Pr ells: º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul c porque n = > d porque n = > e impr e porque n = < porque n = < porque n = < h Funciones eponenciles: Llmmos unciones potenciles quells de l orm no eiste no eiste Ejemplos porque = > b porque = > c e Función lorítmic: porque =, d no eiste no eiste, endo un número rel. Pr ells: porque =, De l unción lorítmic es imprescindible conocer los uientes ites: lo lo Funciones trionométrics: Ninun de ls unciones trionométrics tiene ite deinido en el ininito por su crácter oscilnte.

14 No podemos cometer el error de pensr que todos los ininitos que nos precen l clculr un ite son iules. Si un unción viene epresd medinte operciones elementles de unciones de dierentes tipos, debemos sber cuál es el término dominnte del ite plntedo, es decir, qué término crece más rápidmente que los demás y determin el vlor del ite: Eponencil > Polinómic > Lorítmic > Constntes Est relción se preci en l ráic uiente: en l que vemos cómo pr vlores rndes de l eponencil domin rente l potencil en este cso,. Ejemplos porque el término dominnte en un polinomio es el de myor rdo: es decir, los términos de menor rdo son desprecibles y, por tnto: b porque unque el y, se veriic que: y el término potencil es desprecible rente l eponencil. Entonces: c porque los términos dominntes del numerdor y denomindor son y, respectivmente, y los demás son desprecibles rente ellos. Entonces: º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

15 d sen e porque unque no eiste el ite de l unción seno, sbemos que es un número comprendido entre cero y uno y el término del denomindor tiende ininito: sen número cotdo En l ráic se preci lo que hemos demostrdo lebricmente. En l primer ráic l escl es l mism, y en l seund, l escl del eje de ordends es el intervlo,, y cundo > el vlor de los máimos de l unción es muy próimo cero, por ejemplo: sen,,,7, e porque reescribiendo el ite como: d e e el término eponencil crece mucho más rápidmente que el potencil. Entonces: débil e e uerte A l invers, tendremos que: e uerte débil En otros csos, los resultdos que obtenemos no nos permiten determinr un ite eiste y cuál es su resultdo, o no eiste. Estos csos se denominn indeterminciones. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

16 6. INDETERMINACIONES Eisten ete indeterminciones bács:,,,,, y En est sección veremos luns técnics de resolución, pero eisten csos pr los que necetremos herrmients que estudiremos en el cpítulo uiente. 6.. Indeterminciones del tipo Resolveremos ests indeterminciones nlizndo los términos dominntes tnto del numerdor como del denomindor. Ejemplos El numerdor tiene rdo, y el denomindor tiene rdo ½, por tnto: b Como ntes: 6.. Indeterminciones del tipo Aprecen l clculr ites de unciones con dierenci de cociente de polinomios o dierenci de rdicles, y pueden resolverse desrrollndo l rest convenientemente o multiplicndo numerdor y denomindor por l epreón conjud, respectivmente. Ejemplos Observmos qué tipo de indeterminción prece: Desrrollmos l rest: º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

17 º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul b Observmos qué tipo de indeterminción prece: Multiplicmos y dividimos por el conjudo: 6.. Indeterminciones del tipo En ese tem sólo resolveremos quells que precen l clculr ites con unciones polinómics o unciones irrcionles. En mbos csos se intentrá mpliicr l rcción, normlmente ctorizndo el numerdor y el denomindor medinte l Rel de Ruini o usndo iulddes notbles. Ejemplos En primer lur, vemos eiste lun indeterminción. Fctorizmos los polinomios del numerdor y el denomindor y mpliicmos: Clculmos el ite de l epreón resultnte: b 9 En primer lur, vemos eiste lun indeterminción. 9 9 Relizmos ls uientes trnsormciones: 9 Clculmos el ite de l epreón resultnte: 6

18 º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul 6.. Indeterminciones del tipo Se resuelven trnsormándols en ls del tipo o en ls del tipo. Ejemplo e Reescribiendo el ite como: e e y vimos que el término eponencil es dominnte rente l potencil. Entonces: e e 6.. Indeterminciones del tipo Aprecen l unción es de l orm: y tles que y. En este cso, se veriic que: e Demostrción En eecto, sbemos que el número e se deine como: n n n e Se trt de reproducir l orm del ite e con nuestro ite oriinl, sí que opermos ñdiendo los términos necesrios: Y sólo nos qued reestructurr el eponente: El ite entre préntes es el número e, por tnto: e A l hor de resolver l indeterminción podemos reproducir estos psos o utilizr directmente l órmul.

19 º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul 6 Ejemplos Observmos qué tipo de indeterminción prece: Aplicndo l órmul: e Clculmos : Clculmos : 7 6 De quí: 7 e e e b Observmos qué tipo de indeterminción prece: Aplicndo l órmul de nuevo: e Clculmos : Clculmos : De quí: e e e e Sin embro: c 7, no es un indeterminción. d, no es un indeterminción.

20 7 7. CONTINUIDAD Y preció vris veces lo lro de l ESO l ide intuitiv de continuidd: L unción se puede dibujr, en el entorno de, n levntr el lápiz del ppel. De mner más orml, observmos que l unción eiste en el punto, tiene ite cundo tiende, y que el vlor de este ite coincide con el vlor de l unción en. Si se cumplen ests tres condiciones, irmmos que est unción es continu en. Anlicemos hor lunos contrejemplos: L unción h no es continu en, pues no eiste el ite cundo tiende, unque sí está deinid en. L unción no se puede dibujr en un entorno de n levntr el lápiz del ppel. Est unción no tiene ite inito en y tmpoco está deinid en ese punto. Airmmos que no es continu en. L unción t no es continu en, pues, unque eisten el ite y el vlor de l unción, mbos no coinciden. L ide de poder dibujr l ráic de un unción en un entorno de un punto n levntr el lápiz del ppel, o l de un unción continu en ese punto se mtemtiz trvés del concepto de ite. Un unción. Eiste y es continu en un punto se cumplen ls tres condiciones uientes:, es decir, Dom. Eiste, es decir,. Los dos vlores nteriores coinciden. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

21 8 7.. Operciones con unciones continus Si y son dos unciones continus en, se veriic: es continu en es continu en k es continu en, k R es continu en es continu en, empre que 7.. Continuidd lterl L unción y no es continu en, n embro, tiene ite inito cundo tiende por l izquierd y coincide con el vlor que tom l unción en. Por est rzón, irmmos que est unción es continu por l izquierd en. Un unción es continu por l izquierd en un punto de bscis eiste ite por l izquierd en ese punto y coincide con el vlor de l unción en : De l mism mner, se dice que un unción es continu por l derech en un punto de bscis eiste ite por l derech en ese punto y coincide con el vlor de l unción en : 7.. Continuidd en un intervlo Un unción puntos de dicho intervlo Un unción condiciones: y es continu en un intervlo bierto b y es continu en un intervlo cerrdo b es continu en el intervlo bierto, b es continu por l derech en es continu por l izquierd en b, y sólo es continu en todos los, y sólo se cumplen ls uientes Ejemplo L unción l derech es continu en el intervlo, trmo de color zul. Vemos que es discontinu en, que continú cundo líne ner y que no eiste en R. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

22 9 Ls unciones elementles son continus en sus respectivos dominios de deinición: - Ls unciones polinómics son continus en todo R. - Ls unciones rcionles no son continus en los puntos que nuln el denomindor. - Ls unciones con rdicles con índice pr no eisten en los vlores que hcen el rdicndo netivo. Si el índice es impr, son continus en todo R. - Ls unciones eponenciles son continus en todo R. - Ls unciones lorítmics no son continus en los puntos en los que l epreón de l que queremos hllr el loritmo se convierte en cero o en un número netivo. - De ls unciones trionométrics no son continus quells que implicn un cociente, es decir: L tnente y secnte, que no son continus en los puntos en los que se nul el coseno k, con k Z, L cosecnte y cotnente, que no son continus en los puntos en los que se nul el seno k, con k Z. 7.. Tipos de discontinuidd Un unción que no es continu en un punto de bscis, decimos que es discontinu en ese punto. Dependiendo de l condición o condiciones de continuidd que llen, podemos clicr ls discontinuiddes en:. Discontinuidd evitble Un unción present un discontinuidd evitble en un punto de bscis cundo se produce un de ests tuciones: - El ite de l unción en eiste y es inito pero no coincide con el vlor de l unción en. - L unción no está deinid en. Est discontinuidd se evit redeiniendo l unción en, hciendo que en este punto tome el vlor del ite. Ejemplo Y vimos cómo se comport l unción en el punto. sen en el ininito. Anlicemos hor qué ocurre Vemos en l ráic, o bien dndo vlores cercnos, que l unción tiende cundo tiende. sen Por tnto, eiste el ite: y podemos redeinir sen l unción como: pr convertirl en continu. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

23 . Discontinuidd no evitble Un unción present un discontinuidd no evitble en un punto cundo no eiste el ite en ese punto. Podemos distinuir dos csos: - Discontinuidd de primer especie: cundo eisten los ites lterles pero son distintos, por lo que no eiste el ite de l unción. Los ites lterles pueden ser mbos initos y se trtrá de un discontinuidd de primer especie de slto inito, o puede ser que uno o los dos ites lterles sen ininitos, trtándose de un discontinuidd de primer especie de slto ininito. - Discontinuidd de seund especie: se d cundo uno o los dos ites lterles no eisten. Podemos resumir los tipos de discontinuidd con l uiente tbl: DISCONTINUIDAD NO EVITABLE DISCONTINUIDAD EVITABLE Slto inito ª ESPECIE Slto ininito ª ESPECIE 7.. Teorems de ls unciones continus De orm intuitiv es ácil comprobr que se veriicn los uientes teorems, pero su demostrción puede ser muy complicd: Teorem de l conservción del no Si un unción y es continu en y cul l unción tiene el mismo no que. Teorem de l cotción Si un unción, entonces eiste un entorno de, en el y es continu en, entonces eiste un entorno de, en el cul l unción está cotd. Teorem de Bolzno Si un unción es continu en un intervlo cerrdo, b y en los etremos del mismo tom vlores de no contrrio, entonces eiste un punto en el interior de dicho intervlo en el cul l unción se nul. Teorem de Drbou Si un unción y es continu en un intervlo, b b, entonces eiste un punto c del interior del intervlo en el que c n. Teorem de Weierstrss Si un unción y es continu en un intervlo b dicho intervlo. y n es un vlor comprendido entre y, entonces lcnz un máimo y un mínimo en º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

24 Actividdes resuelts. Determin, en ls uientes unciones, los dtos pedidos: 6 Respuests:, 6,. Utiliz l deinición de ite pr demostrr: b c Respuests: L deinición de ite es: L / L sí que se trt de trbjr con deulddes intentndo cotr L prtir de. 6 L por tnto, hciendo se veriic l deinición. b 6 8 L Es ácil ver que el trinomio es un cudrdo perecto, por tnto: L por tnto, hciendo se veriic l deinición. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

25 7 7 7 c L Como se trt de cercrse lo más poble, debe ser un vlor pequeño. Por mplicidd hmos que. Se veriic que 6 8. De este modo: 8 6 Buscmos un ite superior pr L, por tnto eleimos l seund deuldd: L 6 por tnto, hciendo se veriic l deinición. Clcul ls síntots de l unción: Respuest: Es un unción rcionl. Los vlores que nuln el denomindor son: = y =, por tnto tiene dos síntots verticles que son ls rects verticles: = y = Pr determinr el comportmiento en el ininito se clcul el ite cundo tiende. Tnto tiende como tiende + el ite es : Por tnto tiene un síntot horizontl que es l rect y =.. Estudi l continuidd y discontinuidd de: Respuest: sen L unción seno es un unción continu en tod l rect rel, y no está deinido en, lueo hy un único punto de discontinuidd en =. Pr nlizr el tipo de discontinuidd podrímos mplir l escl pr vlores próimos, y verímos que, por ls luctuciones del seno, no eiste el ite. Es un discontinuidd de seund especie. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

26 CURIOSIDADES. REVISTA L cicloide, l Helen de ls curvs L cicloide es poblemente l primer curv verddermente modern, en el sentido de que no iur en ls obrs de Geometrí de l ntiu Greci. Glileo ue uno de los primeros en estudirl, le dio este nombre en 99 y se interesó por el cálculo de su áre, pesndo trozos de metl con orm de cicloide. Un punto P de un circunerenci, que se desplz horizontlmente n deslizrse, describe un cicloide. Es, por tnto, l curv que describe un punto de l rued de un coche o de un biciclet. Al modiicr el punto, está dentro del círculo, o está uer, se modiic l cicloide psndo ser un cicloide lrd o un cicloide cortd. Propieddes de l cicloide El interés de l cicloide está centrdo en que es brquistócron, es decir, l curv de descenso más rápido desde un punto A un punto B, n estr en verticl y bjo el eecto de l rvedd y tutócron lo que niic que un bol que dejemos cer lle l punto más bjo, M, en un intervlo de tiempo que no depende del punto de prtid. A M B L cicloide es brquistócron Pr psr del punto A l punto B el tryecto más rápido es seuir un rco de cicloide L cicloide es tutócron Ls dos bols llen l vez l punto M. Por l bellez de sus propieddes, o por ls muchs disputs que trjo cono se l conoce como l Helen de ls curvs. Otrs propieddes curioss sobre est curv es que l lonitud de un rco de cicloide es 8 veces l lonitud del rdio de l circunerenci que l ener, que el áre brrid por un rco de cicloide es veces l del círculo enerdor y que es isócron, es decir, el periodo de un péndulo que describe un cicloide es empre el mismo, no depende de l mplitud de l oscilción. º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

27 Ls rrs del león En 696, Johnn Bernoulli plnteó nte los mtemáticos de l Royl Society dos problems mtemáticos y oreció como premio, quien uese cpz de dr ls soluciones de mbos, un libro cientíico de su bibliotec personl. El primer problem pedí encontrr l tryectori más rápid pr desplzrse de un punto A uno B. Es l brquistócron. En el seundo se pedí encontrr un curv que l trzr un rect desde O y que corte l curv en P y Q, se mnten l sum constnte. Ahor sbemos que l solución de mbos problems es l cicloide, l Helen de ls curvs. Estbleció un plzo máimo de seis meses pr presentr ls soluciones, y se puso esperr. Esperó y esperó. Esperó. Los seis meses trnscurrieron, y sólo Leibniz hbí encontrdo l solución Johnn Bernoulli uno de los dos problems. Como ls bses decín que el ndor debí resolver mbos, Bernoulli etendió el plzo por seis meses más, en l espernz de que luien conuier l solución l seundo. El ño trnscurrió, y ndie pudo mejorr l solución de Leibniz l primer problem y mucho menos resolver el seundo. Newton no hbí do inormdo. El 9 de enero de 697 Hlley vitó Newton. Recuerd con sombro l entrevist con Newton, su distrcción etrem y su lt de concentrción en estos términos: "Lleué su cs ls dos de l trde. Él estb encerrdo en su estudio, y l servidumbre tení estricts órdenes de no molestrlo ni brir l puert por ninún motivo. Por lo tnto, me senté uer esperr que slier. Rto después, el m de llves trjo el lmuerzo de Newton en un bndej, y lo dejó en el piso, rente l puert. Ls hors psron. A ls seis de l trde, yo sentí un hmbre troz, y me treví devorr el pollo de l bndej. Cundo Newton por in brió l puert, miró los huesos del pollo en l bndej, me miró mí y eclmó: Qué distrído soy! Pensé que no hbí comido!". Hlley eplicó Newton l tución y le entreó l crt con los dos problems. Newton dejó l crt sobre un escritorio y despidió rápidmente Hlley, eplicndo que "lueo echrí un ojed los problems". Isc Newton A ls cutro de l mñn del dí uiente los tení listos, y ls ocho envió sus soluciones en un crt n irm l predente de l Royl Society. Sus desrrollos ern tn perectos y elentes, que ls soluciones de Newton ueron publicds tmbién en orm nónim en el número de ebrero de 697 de Philosophicl Trnsctions. Newton hbí resuelto en un noche dos problems que culquier otro mtemático le hubiesen llevdo l vid enter. Bernoulli, impreondo por l elenci de ls soluciones de Newton, no tuvo diicultd en identiicr l utor: "Es Newton", irmó. " Cómo lo sbe?", le preuntron. "Porque reconozco ls rrs del león E unue leonis". º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

28 RESUMEN Entorno de un punto Límite de un unción en un punto Límite lterl de un unción en un punto Operciones con ites Indeterminciones Continuidd Ejemplos Entorno de centro y rdio, E,, es el intervlo bierto E, R;, : L,, E, ; E, EL, L E o tmbién: L, ; Límite por l izquierd: L, ; Límite por l derech: L, ; L M L M n L n Un ite indetermindo es quél que implic operciones cuyo resultdo no se puede precisr. Un unción L L L k k k L k R L M y es continu en un punto :, es decir, Dom. Eiste. Eiste, es decir,. Los dos vlores nteriores coinciden. Tipos de discontinuidd L y M,,,,, y DISCONTINUIDAD NO EVITABLE DISCONTINUIDAD EVITABLE Slto inito ª ESPECIE Slto ininito ª ESPECIE º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

29 6. Clcul los uientes ites: b h. Hll los uientes ites: m r 7 7 b h n s 7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS c i 7 c 7 i 7 ñ t d j 6 7 d j o u 7 e 7 k v e 7 k 7 p l 6 7 l 7 q w. Hll los uientes ites: b 6 6 e i j c k d 6 h 6 l. Determin el ite de ests unciones: b e i j 6 m n 7 c 6 k 8 6 ñ d h l 8 8 o. Determin los ites de ests unciones: e b 7 c 6 d h 9 6 º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

30 7 6. Clcul los uientes ites: b c d e h i j k l 7. Resuelve los uientes ites: 6 b : c 6 8. Hll los uientes ites de unciones: b e c d h 9. Clcul los uientes ites: 7 d 7 j 7 b e h k c 7 7 i l. Clcul los uientes ites: d 9 b e c. Clcul los uientes ites: e b 6 6 c d h. Clcul los uientes ites: 7 b 9 c d º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

31 8. Clcul los uientes ites: e b c d. Clcul los uientes ites: d b 9 e 6 c. Resuelve los uientes ites: b c d Clcul los uientes ites: b c 6 8 d Clcul estos ites: e b c 6 8 d h Clcul los uientes ites: b c sen d sen 9. Clcul los uientes ites: 9 b c 6 e i 9 9 m 6 j 8 n 6 d h k l o 7 º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

32 9. Clcul los uientes ites: 7 b 9 c d lim. Clcul los uientes ites: b e i j c k d h. Clcul los uientes ites: b ln ln. Clcul los ites lterles y el ite, cundo eist, de ls uientes unciones en los puntos que se indicn: en b en. Hll el vlor de los uientes ites: b c d. Clcul el vlor de los uientes ites: 7 b clcul: b c Tiene lun discontinuidd? 6. Dd l unción d 7. Estudi l continuidd de ls uientes unciones: b º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

33 º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul 8. Clic ls discontinuiddes que present l uiente unción: 9. Estudi l continuidd de ls uientes unciones: b. Estudi l continuidd de ls unciones: b Z Z c d * R e. Estudi l continuidd de l unción en el intervlo,.. Estudi l continuidd de ls unciones: b c d e h ln e

34 . Determin el vlor de pr que est unción se continu en todo R:. Determin el vlor del prámetro b pr que l unción b se continu en todo su dominio.. Hll el vlor de k pr que l unción se continu en. k 6. Clcul m, n, p pr que l uiente unción se continu en todo R: m n p Clcul k, en cd cso, de modo que ls uientes unciones sen continus en todo R. k b k 8. El espcio recorrido por un móvil en unción del tiempo viene ddo por l uiente unción: t t e t t t t t b t Determin los vlores de y b, pr que l unción se continu en t y t. 9. Un comercinte quiere vender un determindo producto, y pr ello cobr 6 por cd unidd. No obstnte, se le encrn más de uniddes, disminuye el precio por unidd, y por cd uniddes cobr: 6 C 6 Hll el vlor de de orm que el precio vríe de orm continu l vrir el número de uniddes que se comprn. b A cuánto tiende el precio de un unidd cundo se comprn muchíms uniddes? º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

35 . Dd l unción: b Hll y b pr que l unción se continu. b Clcul:, y c Si y b 8. L unción,, estudi ls discontinuiddes. tom vlores de no contrrio en los etremos del intervlo, y, n embro, no tiene ninun ríz en dicho intervlo. Contrdice esto el teorem de Bolzno?. Comprueb que l unción tiene l menos un ríz en el intervlo,. Demuestr que l unción 8 podrí decir lo mismo de l unción?. cort l eje de bsciss en el intervlo,. Si es continu en el intervlo,, donde y unción tiene l menos un cero en el intervlo,?. Dibuj l ráic de un unción que se juste ls uientes condiciones: Continu en R,,, 7,, Discontinuidd de slto inito en y de slto ininito en 7. Se. Se puede seurr que l 6. Dibuj l ráic de un unción tl que: Dom R /,,, 7 7 º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

36 AUTOEVALUACIÓN. Los ites de l unción l izquierd de y l derech de 7 vlen:, b, 7 c, d No eisten pues no está deinid en. El ite vle: b c + d. El ite vle: b c d /. El ite vle: b c d 7. El ite vle: b c d / 6. Pr que l unción se continu debe vler: b c 7 d / 7. Indic cuál de ls uientes unciones tiene un síntot verticl en =. lo b c d sencos 8. Indic cuál de ls uientes unciones tiene un síntot horizontl y =. lo b c d tcos 9. Indic cuál de los uientes ites NO vle. 7 e b c d e e. Los puntos de discontinuidd de l unción 9 son: y b y c Ninuno d, y 9 º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

37 . Clcul: n 8 n n Apéndice: Problems de ites en ls P.A.A.U.. Ddo R, se conder l unción 6 Determin los vlores de pr los que l unción es continu.. Dd l unción F 9 9 9, responde rzondmente ls uientes cuestiones. Pr qué vlores de l unción F es continu en =? b Si F es continu cundo entonces no eiste F, es cierto?. Se h investido el tiempo T, en minutos que se trd en relizr ciert prueb de tletismo en unción del tiempo de entrenmiento de los deportists, en dís, obteniéndose que: T Justiic que l unción T es continu en todo su dominio. b Por mucho que se entrene un deportist, será cpz de hcer l prueb en menos de minuto? y en menos de?. El rendimiento de un estudinte en un emen de un hor de durción viene ddo por l uiente epreón represent el rendimiento, en tnto por ciento, en el instnte, medido en hors:,6 8,6 Es el rendimiento un unción continu del tiempo? b En qué momentos ument y en qué momentos disminuye el rendimiento? Cuándo obtiene el myor rendimiento y cuál es ese rendimiento? 6. L enerí que produce un plc solr viene descrit por l uiente curv en unción del tiempo trnscurrido desde que mnece es l enerí producid ls hors de hber mnecido: 8 8 Estudi l continuidd de l unción en su dominio. b En qué momento del dí l plc produce más enerí? Cuánto produce en ese momento? º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul

38 7. El tiempo que un empledo trd en relizr un tre vrí durnte los cutro primeros meses de contrto seún su eperienci. Así, l unción que relcion el tiempo empledo en relizr l tre con l eperienci del operrio es represent el tiempo, en hors, que trd en relizr l tre un empledo que llev contrtdo un tiempo, medido en meses: Represent ráicmente l unción. Es el tiempo necesrio pr relizr l tre un unción continu del tiempo de eperienci? b En qué momento el tiempo necesrio pr relizr l tre es mínimo? Cuánto tiempo le llev inlizr l tre en ese instnte? Conue el empledo inlizr l tre en menos de hors en lún momento durnte los primeros cutro meses de contrto? 8. Un proveedor cobr el ceite seún el volumen del pedido. Así, l unción que relcion el importe del pedido con el volumen del mismo es en euros, de un pedido de litros de ceite: Es el importe un unción continu del volumen del pedido? b Estudi los intervlos de crecimiento y decrecimiento de l unción y represéntl ráicmente. 9. L velocidd de un coche de crrers viene dd por l uiente epreón: 6 donde represent el tiempo, en seundos, y represent l velocidd del coche, en km/h. Es l velocidd un unción continu del tiempo? b Disminuye l velocidd del coche en lún instnte?, se podrín lcnzr los km/h de velocidd con este coche? º de Bchillerto de Ciencis. Mtemátics II. Cpítulo 7: Autor: Letici González Pscul