MTEMÁTICS CCSS II TEM: DETERMINNTES DETERMINNTES Dtrmt suo or S om trmt l mtr ur or os t l º rl rsultt t Ejmplos: ) ) ) s rprst Dtrmt trr or S om trmt l mtr ur or l º rl rsultt : t Est prsó s oo omo rl Srrus Ejros: º) Clul l vlor los trmts: Qué olusó ots sor l vlor l trmt u mtr trulr? [-] º) Dtrm l vlor los trmts ls mtrs trr or s omo su: j )máj) [] C j )-j [] j )míj) [] D j ) -j [] º) Rsulv ls uos: ) [ -] ) [-] ) [ -] Props los trmts Ls suts props so pr trmts ulqur or Pr los órs os trs pu sr mostrs srrollo os trmts / IR IES L NÍ
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES / IR IES L NÍ U trmt o vrí s s m sus ls por sus olums s r l trmt u mtr ur o o l su trspust: t L prop tror prmt justr qu tos ls props qu s váls pr ls lo srá tmé pr olums rípromt S u trmt s m tr sí os lís prlls l trmt m so pro osrv l vlor soluto S toos los lmtos u lí s multpl por u msmo º l trmt qu multplo por o º Est prop prmt "sr tor omú" los lmtos u lí Nóts l r o ls mtrs o pr multplr por u º s prso multplr pot él toos sus lmtos) S puo lulr S toos los lmtos u lí so ro l trmt vl ro S os lís prlls so uls l trmt vl ro S os lís prlls so proporols l trmt vl ro ) S u lí s omó otrs prlls l trmt vl ro porqu l prmr l s ul l su más l ol l trr S toos los lmtos u lí s sompo sum os térmos l trmt pu sompors tmé omo sum os trmts l sut orm:
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES / IR IES L NÍ S u lí s l sum u múltplo ulqur otr prll l trmt o vrí P P ) ) ; El trmt l prouto os mtrs urs o o l prouto sus trmts : Ejros: º) I ls props los trmts qu prmt srr ls suts uls: º) Just s srrollrlos qu los suts trmts vl : ) ) ) ) ) ) ) ) ) º) Oté smplo l vlor l trmt: [ ] º) Just plo ls props los trmts qu: º) So qu oté s srrollr l vlor los suts trmts:
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES / IR IES L NÍ ) ) ) ) º) S lul romt l vlor los suts trmts: [-] [] [] [-] º) Rsulv ls uos: [ ] [-/] [- -] [ -] U v otos sos vlors l l trmt l prop qu prmtrí justr qu l trmt s s srrollrlo [ ] ± [-/] [/] [/] DETERMINNTES DE ORDEN SUPERIOR m qu umt l or u trmt su álulo s ompl Vmos r u trmt or prtr otro or Pr llo stmos oor los optos mor omplmtro juto u lmto D u mtr ur s llm mor omplmtro l lmto j l trmt or l sumtr qu rsult l lmr l l l olum j
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES / IR IES L NÍ Lo rprstrmos omo M j H ttos mors omplmtros omo lmtos t l mtr Ejmplo: M S llm juto l lmto j l vlor l prsó: j j j M ) s l mor omplmtro pro por u so o por u so ) Ejmplo: Rtomo l jmplo tror ) ) ) ) ) M Co l trmoloí qu mos trour pomos srrollr u trmt or por los lmto u lí: El trmt u mtr ur or s ul l sum los proutos los lmtos u lí ulqur por sus rsptvos jutos D st moo u trmt or s prtr trmts or Ejmplo: Vmos srrollr l trmt prtr los lmtos l prmr l ) ) Ejros: º) Clul l vlor los trmts: [-] [-] [-] [-]
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES / IR IES L NÍ º) Clul l trmt plo ls props uso ros) [] MTRIZ INVERS Hmos rsulto l tm tror u sr jros o uos sstms los qu ls óts so mtrs L orm pror s mu smlr los rts métoos utlos l rsoluó uos umérs smpr qu l mtr ót o sté multpl por otr mtr Por jmplo: C C Pr por spjr s tpo uos os srá mu útl sr lulr l mtr vrs l stur l multpló os mtrs mos vsto qu s os lmtmos osrr ls mtrs urs or st u lmto utro qu smolmos por I Nos pltmos or s u mtr ur st otr mtr l qu rprstrmos por - llmrmos mtr vrs ) qu umpl: - I - I Sólo t sto pltrs l st mtr vrs l so mtrs urs o tos l t qulls mtrs urs qu t mtr vrs s llm rulrs vrsls o vrtls E so otrro s llm mtrs sulrs Pr lulr l vrs u mtr prormos l sut moo: Clulmos L oó sr sut pr qu st - s qu Clulmos l mtr jutos j : l mtr qu s ot s s susttu lmto j por su juto j Trspomos l mtr tror: j ) t Dvmos toos los lmtos l mtr tror por : ) t j NOT: El rsulto s l msmo s s m posó los psos Ejros: º) Clul l mtr vrs u ls suts mtrs: C D C D
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES / IR IES L NÍ º) Clul l vrs ls mtrs suts uo s posl so o srlo l ró: C º) Ds ls mtrs ompru s s umpl o o qu: ) ) º) Rsulv ls uos mtrls: o [I ] CD so D - - C - t I s IO so º) Dspj l mtr ls uos: D C ; F E º) D l mtr m m ll los vlors m pr los uls l mtr o t vrs [ ] º) S l mtr ll pr qu st - [ ] PLICCIONES DE LOS DETERMINNTES PR L RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES LINELES MÉTODO L MTRIZ INVERS Cosrmos u sstm "" uos o "" óts:
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES / IR IES L NÍ L mtr ots l sstm srá: S llmmos: l sstm s pu prsr l orm: llm prsó mtrl l sstm rvmt srí: S - umpl - I D st moo pomos spjr : multplo mos mmros por - por l qur: - - I - - Ejmplo: - - - - ) t Ejros: º) Rsulv por l métoo l mtr vrs ) [ ]
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES / IR IES L NÍ º) Rsulv l uó ) [ ] º) Oté l vrs l mtr los ots ls óts l sstm: utl st mtr pr rsolvr l sstm [//] º) Ds ls mtrs sr ls trs uos l sstm rsuélvlo otro tos ls soluos Sp-) [t) o mtr vrs SCI-)] REGL DE CRMER L rl Crmr srv pr rsolvr sstms "" uos o "" óts los qu l mtr ots s vrsl t) ) Nos rtmt l vlor ót o l sut prsó: S Ejros: º) Compru s los suts sstms so Crmr rsuélvlos utlo rl s s posl: -/) -) -/ -)/ ) --) -) --) s l mtr qu s ot mo los ots por los térmos pts l vlor ót s ot rtmt omo l ot los trmts:
MTEMÁTICS CCSS II DETERMINNTES º) Hllr u º rs so qu sum qu s l º o s rst l qu rsult vrtr l or sus rs l r s ; qu más l r ls s s m rtmét ls otrs os [] º) L sum ls trs rs u º s s s trm l ªts) l ª l º umt us Flmt s s trm l ª l ª l º umt us Clul l º [] º) Eotrr u º trs rs qu vr: l sum sus rs s ; l r ls rs ls ts ls s s uo; s s trm ls rs ls us ls ts l º smu [] º) U ostrutor vrto uros l ompr trs prls L prmr l ompro uros l mtro uro l su uros/m l trr uros/mso qu l supr totl ls trs prls s m qu por l trr pó ls o otvs prts lo qu pó por ls otrs os juts lul l supr prl[ ] º) U omrt vo ptlos por los qu oto mo L vt s rlo l sut orm: l prpo vó los ptlos l u E ls rjs vó luos llos o u % suto El rsto lo vó l lquó o u suto l % sor l pro l ) So qu l tmpor rjs vó l mt ptlos qu los otros os príoos jutos lul uátos ptlos vó urt l lquó [] ) S l lquó por ptló vo uáto ro o tr toos los príoos? º) U spulor qur ojtos rt por u pro totl Véolos spr otr us s l % l % l % rsptvmt o lo qu su o totl srí Pro osu más pus o l vt ot s l % l % l % rsptvmt lo qu l u o totl Cuáto l ostó ojto?[ ] º) U joro t trs lss mos: C Ls mos l tpo t rmos oro rmos plt rmos or; ls l tpo t rmos oro rmos plt rmos or ls l tpo C t rmos oro rmos plt or Fuo l t u tpo mos prt otr rmos oro rmos plt rmos or Epl romt s pu osur o o su ojtvo º) Dos rmos vrtr uo sttos proutos ros El mor vrtó u t u prouto qu proporoo u o l % u t otro qu o u rtl l % l rsto u plo jo l % trés El rmo mor vrtó ss msms ts otros proutos qu l proporoo rsptvmt uos os l % Dtrmr ls ts C vrts s ls s l rmo mor so ls l pquño [] º) Trs ostrutors vrt l ompr trros l sut orm: l prmr vrtó mo mlló uros trro uro uros trro ustrl uros trro rústo L su vrtó trro uro ustrl rústo rsptvmt l trr stos msmos trros rsptvmt Trsurro u ño v toos los trros L rtl qu ot l prmr ostrutor s l % l l su l % lmt l l trr s l % Dtrm l rtl uo los trros por spro [% % %] º) U molr vo u totl pls rj trs uros rts Ls s ots por l vt u pl rj l uró so por u l uró por u l uró C S s qu s vo u % más pls l uró qu l uró C Clul l úmro pls rj vs uró so qu l o oto por ls vs l uró C s ul l sum los os otos por ls vs ls uros [] / IR IES L NÍ