EXAMEN EXTRAORDINARIO DE PROBABILIDADE Y ETADÍTICA I JULIO 014 Realizar las pregutas e hojas separadas, idicado explícitamete todas las fórmulas que se utilice. Tato el alumo que copie como el que se deje copiar o podrá examiarse hasta julio de 015. Duració de cada parte: 50 miutos. El test de la UD 1 se etrega aparte. Parte 1: UNIDADE DIDÁCTICA Y 3. Probabilidades co ucesos y Variables Aleatorias. 1. E el ivel 5 del juego de Drago City c se puede criar dos tipos de dragoes cada vez: de tierra y de agua. El 40 % de las veces está dispoible solamete el de tierra y el 60 % solamete el de agua. El tiempo que tarda e eclosioar u huevo de dragó de tierra sigue ua distribució expoecial de media 10 miutos. Para el de agua, este tiempo sigue ua distribució expoecial de media 1 miutos. a Calcula la probabilidad de que u huevo cualquiera tarde e eclosioar más de 8 miutos. b abiedo que el último huevo tardó e eclosioar más de 8 miutos, calcula la probabilidad de que fuera de agua.. De lues a vieres como e el comedor de la Escuela. El tiempo que tardo e comer se distribuye segú ua Normal de media 30 miutos y desviació típica 4.5. iempre que tardo más de 35 miutos e comer es porque he coicidido co Mateo. a Calcula la probabilidad de coicidir u día cualquiera co Mateo. b Calcula la probabilidad de que, de los 5 días semaales que como e la Escuela, e 3 de ellos coicida co Mateo. 1
Parte : UNIDADE DIDÁCTICA 4 Y 5. Iferecia Estadística. 3. El tiempo que tarda Batma e llegar desde la Batcueva al tejado de la comisaría de Gotham sigue ua distribució Normal. Batma sabe que el Comisario Gordo le espera 11 miutos justos e el tejado, co lo que ha medido el tiempo que ha tardado las últimas 8 veces e llegar al tejado y ha obteido los siguietes datos e miutos: 14 1 11 9 13 1 11 11 a Costruir u itervalo de cofiaza al 95 % para el tiempo medio e llegar al tejado. b A la vista de dicho itervalo, cuado llega Batma al tejado, suele ecotrar al comisario Gordo? 4. U fabricate de baterías para automóvil os asegura que la duració de éstas sigue ua distribució ormal de desviació típica 0.9 años. Ua muestra aleatoria de 10 baterías idica ua desviació típica de 1. años Debemos pesar que realmete la desviació típica de las baterías es superior a 0.9? Utilizad u ivel de sigificació de 0.05. Nota: Recordad que la relació etre la cuasivariaza muestral y la variaza muestral es 1 ˆσ 1 m
OLUCIONE AL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE PROBABILIDADE Y ETADÍTICA I JULIO 014 Parte 1: UNIDADE DIDÁCTICA Y 3. Probabilidades co ucesos y Variables Aleatorias. 1. e defie la variable aleatoria X tiempo que tarda e eclosioar u huevo. Nos dice que, segú el tipo de huevo, las distribucioes codicioadas so siedo T dragó de tierra y A dragó de Agua: X T Exp 1 10 1 X A Exp 1 Hay que recordar que e la distribució expoecial el parámetro λ es la iversa de la media, que es lo que os da. Además, os dice que P T 0.4 y P A 0.6. e pide: a P X > 8. Aquí hay que recordar cuál es la fució de distribució de la variable aleatoria expoecial: F x P X x 1 e λx Co lo que: P X > 8 T e 8 10 0.4493 P X > 8 A e 8 1 0.5134 Nos pide aplicar el Teorema de la probabilidad Total: P X > 8 P X > 8 T P T + P X > 8 AP A 0.4493 0.4 + 0.5134 0.6 0.1797 + 0.308 0.4877 b E este apartado se pide aplicar el Teorema de Bayes: P A X > 8 P [X > 8 A] P X > 8 P X > 8 AP A P X > 8 0.308 0.4877 0.63 1
. a La probabilidad de coicidir co Mateo es la probabilidad que que tarde e comer más de 35 miutos. ea: T tiempo que tardo e comer u día cualquiera N30, 4.5 Por tato, se tiee que calcular la P T > 35. T 30 P T > 35 P 4.5 > 35 30 4.5 P Z > 1.11 1 P Z < 1.11 1 0.8665 0.1335 Dode Z N0, 1 y hemos usado la Tabla de la Fució de distribució de Z. b e defie la variable aleatoria N Número de días, de 5, que coicido co Mateo. e tiee que su distribució es Biomial co probabilidad de éxito la probabilidad de coicidir co Mateo, que es p 0.1335. e pide: P N 3 N Bi5, 0.1335 5 0.1335 3 1 0.1335 5 3 100.1335 3 1 0.1335 0.017864 3
Parte : UNIDADE DIDÁCTICA 4 Y 5. Iferecia Estadística. 3. a Nos pide u itervalo de cofiaza al 95 % para la media µ de la distribució del tiempo que tarda Batma e llegar al tejado. Primero se hace alguos cálculos co los 8 datos: 8 x i 93, x i1 i1 x i 93 8 11.65 8 x x i 1097, s i x 1 i1 1097 8 11.65 7 Partimos de la variable pivote para la media co variaza descoocida: Pivotado, se pasa de: a: P P X µ / t 1 t 1, X µ / t 1, 1 X t 1, El itervalo de cofiaza es: X t 1, µ X + t 1,, X + t 1,.678, s 1.5059 1 dode 0.05, 0.05 y t 7,0.05.3646. ustituyedo, se obtiee el itervalo Co lo que: 11.65 ±.3646 1.5059 8 10.366, 1.884 µ 10.366, 1.884 co ua cofiaza del 95 % b Al 95 % de cofiaza sí se puede supoer que Batma se ecuetra al Comisario Gordo, ya que el valor 11 se ecuetra detro el itervalo calculado e el apartado aterior. 4. ea X duració de las baterías ua variable aleatoria co distribució Normal. Como la desviació típica es 0.9, la variaza σ 0.9 0.81, así debemos realizar el siguiete cotraste uilateral: H 0 : σ 0.81 H 1 : σ > 0.81 3 }
La medida de discrepacia para este cotraste es d 1s σ 0 χ 1 si H 0 es cierta Necesitamos calcular s, como os da la desviació típica muestral, se tiee que la variaza muestral es m 1. 1.44, y la cuasivariaza muestral es s 1 m 10 1.44 1.6 9 ustituyedo, obteemos ˆd 9 1.6 17.77 0.81 Como el cotraste es uilateral, ecesitamos el valor χ 9,0.05 para determiar la regió de rechazo. Buscado e la tabla correspodiete, χ 9,0.05 16.919 y la regió de rechazo es 16.919, +. Como ˆd 17.77 > 16.919, cae detro de la regió de rechazo y existe evidecia para rechazar H 0 co 0.05. Por tato, debemos pesar que la variaza es superior a 0.81, es decir, la desviació típica es superior a 0.9. 4