FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se hn nlizndo nteriormente lguns funciones tles como ls polinómics (linel, cudrátic entre otrs), recíprocs etc. Ahor nlizremos l función eponencil y su invers: l función rítmic, ls cules son importntes por sus diverss plicciones, como l descripción de crecimientos demográfico, el interés compuesto que produce un cpitl en un cierto tiempo, l desintegrción rdictiv de un sustnci, etc. FUNCIÓN EXPONENCIAL Te proponemos el siguiente prolem: Bjo condiciones ideles, un cierto tipo de cteris tiene un ts de crecimiento reltivo del 0% por hor. Accidentlmente se introduce un determindo número de ests cteris en un producto limenticio. Dos hors después de l contminción, un conteo cteril muestr que eisten proimdmente 40000 cteris en el limento. ) Determin el número inicil de cteris introducids en el limento ) Estime el número de cteris en el limento hors después de l contminción. Mnos l Or!!!!!!!! L cntidd inicil de cteris l llmremos con M0 y como se reproducen el 0% después de un hor, l epresión lgeric que modeliz est situción es: M 0 00 M M, M 0 0 0 0 M... En el momento inicil... M t M 0, Trnscurrido un cierto tiempo t, result t ) Clcul l ms inicil, teniendo en cuent que después de dos hors hy 40000 cteris M, M... 0 P O L I T E C N I C O
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic c) Siendo que M0 865 podemos estimr que l cntidd de cteris después de tres hors es: M() = 865.(,) M() = A l función como l nlizd en el prolem, donde l vrile es el eponente de un potenci de un se determind se ls llm función eponencil Definimos l función eponencil como : f : R R / f(), 0 R Vmos oservr el comportmiento de est función pr determinr sus crcterístics según se el vlor de estlecido: I) Si por ejemplo f() Complet l tl: -,5 - - 0 f() Si considermos vlores rcionles pr l vrile, en l gráfic quedn huecos que se hn representdo con un líne de trzos. P O L I T E C N I C O
Si l vrile tom vlores irrcionles como ser ; ; etc. 4 Supongmos que se dese clculr no se puede relizr en términos de potencis y ríces de. Pero en lugr de ello se pueden empler proimciones,4,657768...,44,66474965...,44,665756... De est mner este proceso converge l número cercno. Result l gráfic de l función como se muestr l izquierd II) Si 0 por ejemplo f() = Y semos que los vlores que puede sumir es culquier rel. Complet l tl - - - 0,5 f() Efectú el gráfico correspondiente en el siguiente sistem de coordends: P O L I T E C N I C O
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic Según el comportmiento de f() complet el siguiente cudro: f() Es iyectiv? Es pr? Es impr? Crece o decrece? 0 Anliz l intersección con eje Anliz l intersección con eje y Si f()... f()... Si f()... f()... Oservción: Pr pensr: Si el vlor de sucede que f() es un función constnte. Si el vlor de es negtivo, qué sucede con l función? PRÁCTICA: ) Dd l función f() reliz ls siguientes ctividdes: ) Grfic l función plicndo trnsformciones. ) Indic el dominio y el conjunto imgen c) Grfic g() f(). Es g creciente? d) Anliz l intersección de l función con el eje y ) Grfic l función del prolem inicil de págin te puedes yudr con el softwre Geoger. 4 P O L I T E C N I C O
Alguns ses prticulres f() e Definición: Llmmos número neperino y lo notmos con l letr e l número que se proim l siguiente sum: e 0!!!! 4!... n! n N 0 El número e no es solución de ningun ecución polinómic con coeficientes enteros. Por est rzón se lo llm número trscendente. Siendo Euler el primer mtemático que utilizó est epresión f() 0 P O L I T E C N I C O 5
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic PRÁCTICA ) Dds: f() h().e g(). t() 0 Reliz ls siguientes ctividdes: ) Grfic cd un de ells plicndo trnsformciones. ) Indic el dominio y el conjunto imgen de tods ells. c) Determin, si eisten, los puntos de intersección de f() con los ejes coordendos Anliz l iyectividd de g() y de h(). d) Grfic q() t( ) prtir de t() 4) Un polción que eperiment crecimiento eponencil crece según el modelo 0 rt n(t) n. e siendo n0 tmño inicil de l polción, r l ts reltiv de crecimiento y t el tiempo. Si l cuent inicil de cultivo de cteris es 500 y l ts reltiv de crecimiento es de 40% por hor ) Cuál es l función que model el número de cteris después de t hors? ) Estim l cntidd de cteris después de 0 hs. c) Gráfic l función n(t) (puedes yudrte con el Geoger) 5) El costo de un vehículo todo terreno es de $600. Si se despreci un ts de 5% por ño, su vlor dentro de t ños puede clculrse medinte l fórmul t A 600. (0,85). Determin el vlor que tendrá el vehiculo dentro de 0 ños. 6 P O L I T E C N I C O
6) Un person inici sus horros con $ y cs dí duplic l cntidd del dí nterior, durnte 0 dís. Determin: ) l fórmul de l función que vincul l cntidd de dinero horrdo en un tiempo t (en dís) ) l cntidd de dinero que tendrá el dí. c) l cntidd de dís que psron pr que el dinero horrdo se de $8. 7) Resuelve ls siguientes ecuciones ).4 d) 8 8 ) 8 4 e) 0 c) 4 6 f) 6 P O L I T E C N I C O 7
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic FUNCIÓN LOGARÍTMICA Hemos nlizdo l función eponencil y semos que sus condiciones son l se positiv y distint de y sus imágenes están en el intervlo 0;.Est función es iyectiv y por lo tnto dmite un función invers que llmremos función ritmo de se. Consideremos l función eponencil f() Cuál es l epresión simólic se f ()?.Oserv el digrm sgitrio y luego complet : R f () f() 4 8 R f( ) f ( )... f() f ()... f()... f (8)... f(0) f ()... f( )... f ( )... f()... f (4)... Definimos l función ritmo de se, 0 f : R R / f() y Siendo pr otener y l o g el eponente l cul dee elevrse l se En el ejemplo result : f () = 8 P O L I T E C N I C O
Ejemplos: 4 ) 8 4 8 ) 5 5 0 c) 0 4 4 PRÁCTICA 8) Determin el vlor de l incógnit en cd cso ) 7 f) 7 ) g) 4 c) h) y d) 0, 000 0 i) e) 4 j) 6 0 L gráfic de un función invers se otiene reflejndo l de l función originl respecto l rect y. Siendo l función ritmo l invers de l función eponencil, su gráfic result: Si P O L I T E C N I C O 9
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic Si 0 Crcterístic de l función ritmo f().complet : Biyección 0 Pridd Crecimiento Anliz l Intersección con eje Anliz l Intersección con eje y Si 0 f()... f()... Si f()... f()... 0 P O L I T E C N I C O
Función ritmo nturl o neperino L función ritmo nturl o neperino es l función invers de l función eponencil f() e y su notción es g() ln, que se refiere l e Actividd: Grfic l función g() ln prtir de l gráfic de f() e Función ritmo deciml L función ritmo deciml es l función invers de l función eponencil f() 0 y su notción es g(), que se refiere l 0 Actividd: Grfic l función g() prtir de l gráfic de f() 0 P O L I T E C N I C O
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic PRÁCTICA 9) Dds: f() ( ) g() ( ) k() h() ( ) t() ln( ) r() I) Pr cd un de ells determin: ) Su gráfic plicndo trnsformciones ) El dominio y el conjunto imgen c) Los puntos de intersección con los ejes coordendos, si es posile d) Anlíticmente l ley de función invers II) Determin los elementos de los siguientes conjuntos: A B / f() 0 C / k() 0 / g() 0 0) L edd de un ojeto ntiguo se puede determinr por l cntidd de crono 4 rdictivo que permnece en él. Si D0 es cntidd originl de crono 4 y D es l cntidd restnte, entonces l edd A del ojeto (en ños) se determin por D A 867ln.Clcul l edd de un ojeto si l D 0 P O L I T E C N I C O
cntidd D de crono 4 que permnece en el ojeto es 7% de l cntidd originl D0.. PROPIEDADES ARITMÉTICAS DE LOS LOGARITMOS Ls propieddes ritmétics que continución se desrrolln son válids tmién en ls funciones rítmics. 0, R ; yr r R P) El ritmo en culquier se de es cero En símolos: 0 0 Demostrción : 0 por () () Definición de ritmo P) El ritmo en culquier se de l se es uno En símolos: Demostrción : por () P) El ritmo en culquier se de l multiplicción de dos números es igul l sum de los ritmos de los fctores, en dich se. En símolos: (.y) y Demostrción: Llmmos: p y q p q y Por() Por () Multiplicndo miemro miemro, tenemos p. q.y Aplicndo l propiedd de producto de potencis de igul se result: pq.y () (.y) p q Sustituyendo p y q result: P O L I T E C N I C O
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic (.y) y P4) El ritmo en culquier se de un cociente de dos números es igul l rest de los ritmos de los números, en dich se. En símolos y y P5) El ritmo de un potenci de un número es igul l eponente multiplicdo por el ritmo del número, en dich se. r r. Dejmos como prolem l demostrción de l P4) y P5) P6) Cmio de se 0 Demostrción: t t Aplicndo ritmo en se, mos miemros, otenemos: t Por propiedd (5) t. t PRÁCTICA: ) Si el N y N 5 Cuánto vle? ) Demuestr 4 ) ( ) n ) n P O L I T E C N I C O
n c) ( ) n ) Epres como sum lgeric o ritmo de un únic epresión según correspond: ) ( ) d ) ( c ) c) ln d) c e) c f) ln( ) ln( ) ln g) Siendo que el c clcul en función de c: 6 4 6 5 5 4) Resuelve ls siguientes ecuciones: ) y ) 0 i) 4( +)= ( 9) j) 5 c) 5 d) k) y y y l) h h 8 e) m) 5 n) e.e 0sugerenci e f) y 5 y 4 y y 5 y o) e 4.e 0 g) 4 6 h) 4 p) e e 0 P O L I T E C N I C O 5
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic BIBLIOGRAFIA: Mtemátic /Polimodl Funciones Altmn-Comprtone- Kurzrok. Editoril Longseller. Año 00- Bs As Argentin Mtemátic /Polimodl Funciones Altmn-Comprtone- Kurzrok. Editoril Longseller. Año 00- Bs As Argentin Mtemátic Zpico- Micelli-Tjeyn-Ver Ocmpo. Editoril Sntilln.Serie Perspectiv- Año 008-Bs As-Argentin Mtemátics.Bchillerto Guzmán-Coler-Slvdor.Editoril Amy-Año 987-Mdrid-Espñ Precálculo.Stewrt-Redlin-Wlson Tercer edición-editoril Thomson Lerning- Año 00 Méico DF Méico Precálculo J.Dougls Fires- Jmes DeFrnz. Editoril Interncionl Thomson.Editores º edición. Año 00- Méico DF-Méico Apunte de Función cudrátic, Función eponencil y su invers-ecuciones. Editdo en el Instituto Politécnico Superior. ºño.Año 0 - Cod 0 6 P O L I T E C N I C O
Respuests los ejercicios propuestos ) ) A crgo del lumno. Dom( f ) Im( f ) ; ) c) g( ) es creciente d) f ( ) eje y 0; ) A crgo del lumno. ) ) A crgo del lumno. Dom( f ) Im( f ) ; ) Dom( g) Im( g) ;0 Dom( h) Im( h) 0; Dom( t) Im( t) ; f ( ) eje ;0 8 f ( ) eje y 0; g( ) eje ;0 g( ) eje y 0; c) No eiste l int er sec ción de h( ) con el eje h( ) eje y 0; e t( ) eje 0,8;0 t( ) eje y 0; d) g( ) es iyectiv h( ) es iyectiv e) A crgo del lumno 4) 0,4t ) n( t) 500. e ) 700 cteris c) A crgo del lumno 5) El vlor del vehículo dentro de 0 ños será proimdmente $0 6) ) f( t ) t ) El dí tendrá $89 c) Psron 6 dís P O L I T E C N I CO 7
Función Cudrátic -Función Eponencil y Logritmo Mtemátic 7) ) ) c) d) 7 6 e) 7 7 f) 8) ) ) c) d) e) f) 4 y 5 4 64 7 g) h) i) j) 9) I) ) A crgo del lumno Dom( f ) ; Im( f ) ) Dom( h) ;0 Im( h) Dom( g) ; Im( g) Dom( t) ; Im( t) Dom( k) Im( k ) ; Dom( r) Im( r ) ; c) f ( ) eje 4;0 No tiene int er sec ción con el eje y 8 g( ) eje ;0 g( ) eje y 0; 9 h( ) eje ;0 No tiene int er sec ción con el eje y t ( ) eje e ;0 No tiene int er sec ción con el eje y k( ) eje ;0 k( ) eje y 0; r( ) eje 0;0 d) f ( ) g ( ) h (0 ) y t ( ) e k r ( ) ( ) ( ) 8 P O L I T E C N I C O
II) A 4; 8 B ; 9 C ; 0) 60 ños ) 4 ) A crgo del lumno ) ) ) ( c ) ln ln 4 d) c c) d e) c f) g) ln 6 c 4) ) 9 ) y 0 c) 5 d) e) f) y g) y 6 h) i) 6 j) 0 k) y l) h 4 m) =ln 6/ln 0.75 o) ln p) ln 4 P O L I T E C N I CO 9
Función Eponencil y Función Logrítmic Mtemátic 0 P O L I T E C N I C O