INSTITUTO FRANCISCO POSSENTI A.C. Per crucem ad lucem PREPARATORIA (1085) GUÍA DE MATEMÁTICAS V (1500) UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES. Considera las siguientes funciones y gráficas para determinar en cada una lo que se solicita: 1. Determina si es función o relación.. Dominio y rango. 3. Determina las propiedades que tiene: a) Algebraica o trascendente; b) Inyectiva, suprayectiva, biyectiva; c) Continua o discontinua; d) Los intervalos donde crece o decrece e) Implícita o explícita 4. Determina la función inversa de la función dada. y = 3x 1 y = x + 4x + 1 y = 0.8 x f(x) = x x y + x 5 = 0 f(x) = x 4 GUIA DE MATEMATICAS V (1500) Página 1 de 7
UNIDAD II: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. 5. Realiza las siguientes conversiones según sea el caso. 5º a radianes 1.5 radianes a grados. 3 a grados 4 5 a grados 6. Determina el signo de cada una de las seis funciones trigonométricas de los siguientes ángulos: 800º 1310º 7. Demuestra las siguientes identidades. cosθ tan θ = sen θ sec β tan β csc β = sen β cosθ 1 cos θ = cotθcscθ 8. Resuelve los siguientes problemas (triángulos rectángulos): Dos socorristas se encuentran separados por 580m. ambos se dirigen a su base. Si el socorrista A esta en línea recta a la base y el socorrista B mide en ángulo de 53º a la base, a qué distancia están ambos socorristas de la base? Un árbol proyecta una sombra de 7m de largo cuando el ángulo de inclinación es de 40º. Cuál es la altura del árbol? 9. Resuelve los siguientes problemas utilizando leyes de senos y cosenos (triángulos oblicuángulos): Un terreno triangular mide de cada lado 345m, 97m y 543m. Cuánto miden sus ángulos internos? Dos guardabosques detectan fuego. El ángulo de la primera estación al fuego es de 9º y de la segunda es de 35º. Si los guardabosques están separados 3900m de distancia en línea recta. Quién está más cerca del fuego? GUIA DE MATEMATICAS V (1500) Página de 7
UNIDAD III: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA. 10. Relaciona cada función con su grafica correspondiente y escríbela en la línea. y = 3 x y = (0.4) x y = log3 x y = log0.5 x Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales utilizando el método indicado. 11. Por igualación de las bases. 16 3 5 8 x 6 1 8 x 4 x 6 x6 9 x 4 15 4 3 x 1 4 x x1 1. Utilizando logaritmos: x x 5 6 3 7 x 3x 9 5 x1 4x x4 3x 6 5 Resuelve las siguientes ecuaciones logaritmicas utilizando el método indicado. 13. Aplicando la definición de logaritmo. log 6 (3x 4) log 5 ( 4x 1) 1 log (3x 4) 4 log 5 (x 1) 0. 14. Aplicando las propiedades de los logaritmos. log 6(5x 8) log 6(3x 6) log 6(x 7) log 6(8x 5) log 6( x 8x) log 6(16 8x) GUIA DE MATEMATICAS V (1500) Página 3 de 7
UNIDAD IV: SISTEMAS DE COORDENADAS Y ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS. Resuelve los siguientes problemas y grafícalos. 15. Demuestra que los puntos ( 1, ) ; ( 4, 6 ) ; ( 8, 3 ) y ( 5, -1 ), representan un cuadrado. 16. comprueba que los puntos A( 1, - ) ; B(, 1 ) y C( -1, -8 ) son colineales. 17. Comprueba que los puntos A(, 0 ) ; B( 6, 0 ) y C( 4, 1 ), son los vértices de un triángulo equilátero. 18. Comprueba que los puntos A(, 1 ) ; B( 3, 4 ) ; C( 9, 4 ) y D( 8, 1 ), son los vértices de un paralelogramo. 19. Demuestra que los puntos ( 3, -1 ) ; ( -7, 5 ) y ( 6, 4 ) forman un triángulo rectángulo. Calcula su área. 0. Calcula el área del circulo limitado por la circunferencia que tiene su centro en el punto C( 5, 1 ) y que pasa por el punto P( 1, 4 ) 1. Encuentra las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento L( -, 4 ), K( 4, 7 ) y comprueba los resultados calculando distancias.. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son: A ( 1, 1 ) B( 6, -4 ) C( 5, 3 ). UNIDAD V: DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS. 3. Discute o analiza las siguientes ecuaciones, encontrando en cada caso la simetría, las intersecciones con los ejes, la extensión, las asíntotas y trazando su gráfica. x + 3y 6 = 0 y 1x = 0 3x 5y 5 = 0 xy 3x + 1 = 0 UNIDAD VI: ECUACION DE PRIMER GRADO. 4. Encuentra la ecuación de la recta en su forma general, simplificad y simétrica, que pasa por los puntos ( -1, ) y ( 3, 4 ) 5. Encuentra la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es 5x y 10 = 0 6. Dado el triángulo cuyos vértices son los puntos A( -1, 3 ) B( 3, 5 ) y ( 5, -7 ); determinar: a) Las ecuaciones de las mediatrices y su punto de intersección. b) Las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. c) Las ecuaciones de las medianas y su punto de intersección. d) Obtén la ecuación de la recta de Euler (recta que pasa por el circuncentro, baricentro y ortocentro). 7. Dadas las siguientes ecuaciones, demuestra que son rectas paralelas y determina la distancia entre ellas. x - y + 5 = 0 ; 3x - 6y + 4 = 0 GUIA DE MATEMATICAS V (1500) Página 4 de 7
UNIDAD VII: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO. 8. Completa la tabla con las características de las cónicas cuyas ecuaciones se dan a continuación. Ecuación Tipo de cónica e x + 6y - 5y 3 = 0 x + 4xy + 4y - 9 = 0 5x + 5y - 3y + 10y 31 = 0 x + xy + 9y + 6x 13 = 0 x + 6y x + 7y + 11 = 0 x - 6y + 4x + 3y = 0 x + 8xy + y +9x 1 = 0 UNIDAD VIII: CIRCUNFERENCIA. 9. Determina el centro y el radio de las circunferencias con ecuaciones: x + y = 64 (x 4) + y = 5 x + (y + 6) = 1 (x + 3) + (y - 10) = 1 x + y - 1x + 16y + 84 = 0 x + y - 8x + 1 = 0 30. Obtener la ecuación ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia con elementos: Centro C(- 3, 7) y radio 4. Centro C(6, ) y pasa por el punto A(-, ). Extremos del diámetro A(- 5, 1) y B(4, - 6). 31. Encuentra la ecuación en la forma ordinaria y general de la circunferencia que pasa por los tres puntos: (, 1 ), ( 6, 3 ) y ( 4, 9 ) UNIDAD IX: PARÁBOLA. 3. Determina los elementos y traza la gráfica de la parábola cuya ecuación es: x = 8y (x + 5) = - 4y (y + ) = - 1(x 6) (y - 1) = 6(x 3) y 4x + 10y + 1 = 0 x + 4x + 10y + 34 = 0 4x + 48y + 1x = 159 GUIA DE MATEMATICAS V (1500) Página 5 de 7
33. Obtener la ecuación ordinaria y general de la parábola, además los elementos que hagan falta: V(1, 4) y la directriz es y = 6 F(1, - 4) y la directriz es x = - 1 34. Halla la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el centro de la circunferencia x + y + 4x 6y 3 = 0 ; y su foco en el punto F( 0, 3 ) 35. Determina la ecuación de la parábola que pasa por los puntos ( 1, 0 ), ( 5, 8 ) y ( - 1, 15 ), cuyo eje es paralelo al eje y. UNIDAD X: ELIPSE. 36.. Determina los elementos y traza la gráfica de la elipse con ecuación: x y 1 9 4 (x - 5) y 1 16 9 x (y -1) 1 6 4 (x 4) (y -1) 1 16 5 3x + y - 30x + 1y + 81 = 0 9x + 5y + 18x + 100y - 791 = 0 37. Obtener la ecuación ordinaria y general de la elipse, grafica y los elementos que faltan, si: V 1(1, 5), V (9, 5) y e = 0.5 V 1(-, 8), V (-, 0) y F 1(-, 6) 38. Encuentra la ecuación de la elipse que pasa por los puntos ( 4, 4 ), ( 5, ), (4, 0 ) y ( 3, ). UNIDAD XI: HIPÉRBOLA. 39. Determina los elementos y traza la gráfica de la hipérbola con ecuación: x y 1 9 16 (y - 5) x 1 4 9 x (y -1) 1 16 4 (y 4) (x -1) - 1 9 5 x - 5y + 16x 10y - 9 = 0 49y 4x - 48x + 98y - 91 = 0 GUIA DE MATEMATICAS V (1500) Página 6 de 7
40. Obtener la ecuación ordinaria y general de la hipérbola, grafica y los elementos que faltan, si: F 1(1, 6), F (1, 0) y e = 1.5 V 1(3, 4), V (5, 4) y F 1(, 4) Nota: es indispensable haber resuelto en su totalidad los ejercicios que están al final de cada unidad del libro de texto utilizado durante el curso. CAPÍTULO NOMBRE DEL CAPÍTULO PÁGINAS 1 Sistemas de coordenadas 7, 8 Relaciones y funciones 6-30 3 Operaciones con funciones y función inversa 41, 4 4 Funciones trigonométricas 76, 77 5 Funciones logarítmicas y exponenciales 89, 90 6 Distancia entre dos puntos 10, 103 7 Coordenadas de un punto que divide a un segmento recto de acuerdo con una razón dada 117, 118 8 Discusión o análisis de ecuaciones 146 9 Ecuaciones de lugares geométricos 151 10 Pendiente de una recta 164, 165 11 Recta 185, 186 1 Circunferencia 06, 07 14 Parábola 39, 40 15 Elipse 6, 63 16 Hipérbola 85 17 Ecuación general de segundo grado 90 TITULO DEL LIBRO: Geometría Analítica (edición revisada) AUTOR: Guerra - Figueroa EDITORIAL: Mc Graw Hill GUIA DE MATEMATICAS V (1500) Página 7 de 7