Tem Espcio Afín Tridimensionl 0.- Introducción..- Sistem de Referenci..- Ecuciones del Plno...- Ec. Vectoril..- Ec s. Prmétrics..- Ec. Generl o Implícit..4.- Ec. Segmentri..5.- Ec. Norml..- Ecuciones de un Rect..- Ec.Vectoril...- Ec s. Prmétrics..- Ec. Continu.4.- Ec s Explícits. 4.- Incidencis punto-plno y punto-rect. 5.- Posiciones Reltis de dos rects. 6.- Posición relti rect-plno. 7.- Posición relti de dos plnos. 8.- Posición relti de plnos. 9.- Hces de Plnos. 0.- Ejercicios Resueltos. Rúl González Medin I.E. Jun Rmón Jiménez Tem
Mtemátics º Bchillerto CCNN.0.- Introducción El bloque que comenzmos con el tem de ectores es el bloque correspondiente Geometrí unque en relidd corresponde un pequeñísim prte de l geometrí: l Geometrí nlític del espcio tridimensionl. L Geometrí constituye sin dud un de ls rms más importntes de ls Mtemátics y hn estdo presentes de un form u otr desde l existenci del ser humno. Uno de los principles credores de lo que hoy conocemos como Geometrí y quizás el más importnte de l histori fue Euclides de Alejndrí (0 75.C. que estudió Mtemátics Músic Óptic unque su obr más importnte l formn pequeños libros con un totl de 465 proposiciones llmdos Los Elementos de Euclides y que hn sido los pilres básicos de l Geometrí durnte siglos. Posteriormente con el pso de los siglos l Geometrí se h ido desrrollndo estudiándose desde ls Geometrís no euclídes hst l modern Geometrí frctl psndo entre otrs por l Geometrí esféric. Centrándonos en l Geometrí Anlític que nos ocup fueron los mtemáticos frnceses Pierre de Fermt (60-665 y sobre todo René Descrtes (596-650 los que creron est nue disciplin mtemátic tmbién denomind geometrí con coordends cuy ide centrl fue socir ecuciones lgebrics ls curs y superficies. De est mner consiguieron unir los elementos geométricos con los números trés de los sistems de referenci. Est creción surgió dentro de l búsqued de métodos generles pr el estudio de curs junto con ls nues portciones del Álgebr. Lo que hremos es identificr los conceptos geométricos (puntos rects plnos etc con números o ecuciones de modo que por ejemplo estudir dónde se cortn dos rects se conierte en estudir un sistem de ecuciones. Abordremos en l unidd problems del espcio reltios incidenci intersección y prlelismo de figurs rects o plnos...- Sistem de Referenci u u u Se llm sistem de referenci del espcio fín E l conjunto (O u u u. Siendo O un punto de E y tres ectores libres que formn un bse de V. Si l bse es ortogonl el sistem se llm sistem de referenci ortogonl y si es ortonorml se llm sistem de referenci ortonorml. Ls rects OX OY OZ que psn por O y son prlels respectimente los ectores u u u se llmn ejes de coordends del sistem de referenci (O u u u y el punto O se corresponde con el origen de coordends. En delnte utilizremos como sistem de referenci el sistem formdo por el origen de coordends O(000 y l bse cnónic B ˆ i ˆ j k ˆ Todo punto P(xyz del espcio determin el ector OP en l figur llmdo ector de posición de P tl que OP x u y u z u. A prtir de ls definiciones nteriores es inmedito comprobr que: Ddos dos puntos A( y B(b b b ls coordends del ector AB respecto de l bse u u } son AB b b b. ( { u b b b Ls coordends del punto medio del segmento AB ienen dds por: M AB Ls coordends del bricentro (punto de intersección de ls medins de un triángulo de Vértices A( B(b b b y C(c c c son: B ABC b c b c b c Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-
Mtemátics º Bchillerto CCNN Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI- Pr determinr un plno en el espcio necesitmos conocer: Un punto A y dos ectores directores (prlelos l plno u y w. (determinción linel del plno Tres puntos A B C no linedos Un punto A y un ector norml (perpendiculr l plno. Se un plno π definido por ( ( ( u u w u A Si cogemos un punto X del plno el ector AX es linelmente dependiente de los ectores u y w es decir podemos escribir el ector AX en función de los ectores u y w : w s t AX donde t y s son números reles. Por tnto Rng( AX u w = Si y x son los ectores de posición de los A y X respectimente: Escribiendo ls componentes de cd ector l ecución ectoril qued de l form: ( ( ( ( w w w s t z y x Si seprmos l ecución ectoril en cd un de sus componentes obtenemos ls ecuciones prmétrics: sw t z sw t y sw t x Como hemos isto los ectores AX u y w son linelmente dependientes por tnto su determinnte es nulo: 0 u u u z y x..- Ecuciones del Plno en el espcio...- Ecución Vectoril. y como Podemos escribir: que se corresponde con l ecución ectoril de un plno...- Ecuciones prmétrics....- Ecución Generl o Implícit.
Mtemátics º Bchillerto CCNN Si desrrollmos este determinnte y simplificmos nos quedrá un ecución linel de l form: x by cz d Donde el ector n ( b c es el ector norml (perpendiculr l plno. Cutro o ms puntos del espcio son coplnrios cundo pertenecen l mismo plno. Sen A A A A n n puntos no linedos l condición necesri y suficiente pr que sen coplnrios es que entre los ectores A 4 A A A A A... A A solo hy linelmente independientes es decir: n 0 A AA An son coplnrios Rng A A A A A A... A A = ( 4 n En l siguiente tbl se recogen ls distints ecuciones de los plnos crtesinos:..4.- Ecución Segmentri. Se l ecución generl de un plno x by cz d 0 que no ps por el origen de coordends (es decir d 0 Si psmos l término de l derech el coeficiente independiente tenemos: x by cz d Si diidimos mbs prtes de l iguldd por (-d tenemos: x d by d cz d Y si hcemos los siguientes cmbios de rible: l ecución qued: b c d m d n d t x y z m n t Donde los puntos A(m00 B(0n0 y C(00t son los puntos de corte del plno con los ejes de coordends. Que recibe el nombre de ecución segmentri. Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-
Mtemátics º Bchillerto CCNN..5.- Ecución Norml. AX. Se A( x y z un punto del plno π culquier otro punto X(xyz del plno determin con A un ector Como los ectores AX y el ector norml l plno n ( b c perpendiculres su producto esclr es nulo: son AX n 0 ( x b( y c( z 0 x y z De donde si simplificmos: x by cz d 0..- Ecuciones de un rect en el espcio Un rect qued determind por: Dos de sus puntos. Dos plnos no prlelos que se cortn dndo lugr un rect. Por un punto por el que ps y un ector director (prlelo l rect Se r un rect definid por:...- Ecución Vectoril. A( r : u ( u u u x t u Que podemos escribir: ( x y z ( t( u u u...- Ecuciones prmétrics. Si escribimos cd un de ls componentes de l ecución ectoril por seprdo llegmos : x tu y tu z tu En l que pr cd lor de t obtenemos un punto de l rect....- Ecución Continu. Si en cd un de ls ecuciones prmétrics despejmos t obtenemos: Por tnto: t x u y u z u Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-4
Mtemátics º Bchillerto CCNN x y z u u u es l ecución de un rect en form continu...4.- Ecuciones explícits. Cundo tenemos plnos estos se pueden cortr en un rect. Por tnto podemos determinr l ecución de un rect medinte l intersección de dos plnos secntes (que se cortn. Esto es lo que se llmn ecuciones explícits son ls dos ecuciones de los plnos que se cortn: x by cz d 0 ' x b' y c ' z d ' 0 Pr determinr el ector director de l rect r prtir de ls ecuciones explícits bst clculr el producto ectoril de los ectores normles mbos plnos: dr n ( b c n ( ' b' c ' Y pr obtener un punto de ell clculmos un de ls infinits soluciones del sistem (S.C.I. formdo por ls ecuciones de los dos plnos. Dos o más puntos del espcio se dicen que están linedos o son colineles cundo pertenecen l mism rect. Sen A A A A n n puntos l condición necesri y suficiente pr que estén linedos es que los ectores A A A A A A4... A A n sen proporcionles es decir: ' A AA An están linedos Rng A A A A A A... A A = ( 4 n.4.- Incidenci entre punto y rect y entre punto y plno Se dice que un punto A es incidente con un rect r cundo el punto pertenece l rect r. Pr comprobr si un punto es incidente con un rect bst con sustituir ls coordends del punto en ls ecuciones de l rect pr er que se erificn. Se dice que un punto A es incidente con un plno π cundo el punto pertenece l plno. Pr comprobr si un punto es incidente con un plno bst con sustituir ls coordends del punto en l ecución generl del plno pr er si l erific..5.- Posiciones reltis de dos rects Dos rects pueden ser: Prlels (No tienen ningun punto en común Prlels Coincidentes (Todos los puntos son comunes Secntes (Tienen un punto en común No Prlels Cruzds (Ningun punto en común y estn en distintos plnos Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-5
Mtemátics º Bchillerto CCNN Posiciones reltis de dos rects Se l rect r definid por: A( y l rect s por: dr ( r r r B( b b b ds ( s s s El ector AB ( b b b Prlels Coincidentes tiene su origen sobre l rect r y su extremo sobre l rect s. Prlels Cso 4: Rng( dr ds Prlels Coincidentes y Rng( dr ds AB Cso : Rng( dr ds Prlels y Rng( dr ds AB Cso : Rng( dr ds y Rng( dr ds AB Cso : Rng( dr ds y Rng( dr ds AB Tmbién lo podemos estudir de otr form: (unque como eremos es l mism r r r Cso : y s s s b b b Ls rects son Coincidentes r r r r r r b b b b Cso : y ó Ls rects son Prlels y distints s s s r r r r r r r r r r r Cso : ó y s s s s s s s b b b 0 Ls rects se cortn r r r r r r r Cso 4: ó y s s s s s s s b b b 0 Ls rects se cruzn Si nos dn ls dos rects en form explícit: x by cz d 0 r : ' x b' y c ' z d ' 0 y " x b" y c " z d " 0 s : '" x b'" y c "' d '" 0 b c ' b' c ' Escribimos ls mtrices M y " b" c " '" b'" c '" b c d ' b' c ' d ' M* y estudimos sus rngos: " b" c " d " '" b'" c '" d '" Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-6
Mtemátics º Bchillerto CCNN Si Rng(M= y Rng(M*=4 Ls rects r y s se cruzn Si Rng(M= y Rng(M*= Ls rects r y s se cortn Si Rng(M= y Rng(M*= Ls rects r y son prlels Si Rng(M= y Rng(M*= Ls rects r y s son coincidentes..6.- Posición relti de rect y plno Un rect y un plno pueden ser: Prlelos (No tienen ningun punto en común Prlelos Rect contenid en plno (Todos los puntos son comunes No Prlelos Secntes (Tienen un punto en común Se l rect r definid por: A( y el plno por : x by cz d 0 dr ( r r r Hciendo el producto esclr del ector norml l plno n ( b c y el ector director de l rect dr ( r r r Si n dr 0 Si n dr 0 r br cr 0 L rect y el plno son prlelos. r br cr 0 L rect cort l plno. Pr distinguir si l rect es prlel l plno o está contenid en él comprobmos si el punto A pertenece l plno. Si pertenece l rect está contenid en el plno y si no pertenece l rect y el plno son prlelos. Ax By Cz D 0 r : Si nos dn l rect en form explícit; tenemos: A' x B' y C' z D' 0 : A" x B" y C" z D" 0 A B C A B C D Si escribimos l mtriz de coeficientes M A' B' C' y l mtriz mplid M* A' B' C' D'. A" B" C" A" B" C" D" Según los rngos de ls mtrices se tienen los siguientes csos: Cso : Si Rng(M= y Rng(M*= Rect y plno son Secntes Cso : Si Rng(M= y Rng(M*= Rect y plno prlelos Cso : SI Rng(M= y Rng(M*= Rect y plno coincidentes Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-7
Mtemátics º Bchillerto CCNN.7.- Posición relti de dos plnos Sen los plnos x by cz d 0 y ' x b' y c ' z d ' 0. Ls posiciones reltis de dos plnos en el espcio son: b c Si escribimos l mtriz de coeficientes M b c d y l mtriz mplid M* y ' b ' c ' ' b' c ' d ' estudimos sus rngos se presentn los siguientes csos: Cso : Si Rng(M= y Rng(M*= Los plnos se cortn en un Rect Cso : Si Rng(M= y Rng(M*= Prlelos Cso : SI Rng(M= y Rng(M*= Plnos coincidentes.8.- Posición relti de tres plnos Sen los plnos x by cz d 0 ' x b' y c ' z d ' 0 y " x b" y c " z d " 0 A B C A B C D L mtriz de coeficientes: M A' B' C' y l mtriz mplid M* A' B' C' D'. A" B" C" A" B" C" D" Según los distintos rngos de ls mtrices M y M * se presentn los siguientes csos: Cso : Si Rng(M= y Rng(M*= Los plnos se cort en un punto (SCD Cso : Si Rng(M= y Rng(M*= Dos plnos prlelos y otro secnte mbos o los plnos se cortn dos dos. Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-8
Mtemátics º Bchillerto CCNN Cso : Si Rng(M= y Rng(M*= Los plnos se cortn en un rect. Cso 4: Si Rng(M= y Rng(M*= Prlelos Cso 5: Si Rng(M= y Rng(M*= Los plnos son coincidentes..9.- Hces de Plnos.9..- Hz de plnos prlelos Se llm hz de plnos prlelos l conjunto de plnos prlelos uno ddo. El hz de plnos prlelos iene determindo por un plno culquier del mismo. Su ecución es: Ax By Cz K 0 K Puesto que todos los plnos son prlelos todos tienen el mismo ector norml n ( A B C..9..- Hz de plnos secntes Se llm hz de plnos secntes l conjunto de plnos que psn por un rect que se llm rist del hz. (r en el dibujo. El hz de plnos qued determindo por dos plnos distintos de mismo su ecución es: con t s t( Ax By Cz D s( A' x B' y C' z D' 0 Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-9
Mtemátics º Bchillerto CCNN.0.- Ejercicios Resueltos.- Hll l ecución del plno que ps por el origen de coordends y es prlelo ls rects: r: x y 7 z 8 y s: x y z 4 Pr determinr l ecución de un plno necesitmos punto y ectores directores pues bien en este ejercicio como el plno ps por el origen de coordends (000 este ser el punto del plno y hor necesitmos ectores directores como el plno es prlelo ls rects r y s pues los ectores directores de r y de s n ser lo ectores directores del plno. Por tnto dr=(4 y ds=(. x 0 Así que y 0. Como no me piden l ecución de ningun form en concreto escribimos l más z 0 4 fácil y en este cso es l Ecución Prmétric. x y z 5.- Determin el plno que contiene l rect r: x y z x y z 0. 4 y es prlelo l rect s: Al igul que en el ejercicio nterior pr determinr un plno necesito un punto y dos ectores. Como l rect r está contenid en el plno de quí obtenemos un punto y un ector y como l rect s es prlel l plno de quí obtenemos el otro ector. Y de est mner y podemos escribir l ecución del plno. Pr clculr el ector de l rect r que me l dn como intersección de dos plnos tenemos que hcer el producto ectoril de los ectores normles de cd plno: i j k dr i( j( k( 4 ( 4 hor pr clculr un punto de l rect lo que hcemos es x y z 5 x y 5 resoler el sistem hciendo z=0 de quí obtenemos: y por Guss 4y=-8 y= - x y z x y y x=-. Por tnto el punto de l rect que tmbién es del plno es P=(--0. Ahor de l rect s tenemos su ector director ds=(4 Y entonces l ecución del plno pedid es: x y z 0 4 4.- Hllr l ecución implícit del plno π que ps por el punto P( y es prlelo π = x y z Tenemos que el punto P es ( y los ectores directores son los mismos que los del otro plno puesto que mbos son prlelos. Por tnto V(00 y u(--. Así que l ecución del plno pedid es: x y z y z 0 0 ( y z ( y z y 4z 6 Y simplificndo nos qued: y z 0 Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-0
Mtemátics º Bchillerto CCNN 4 4.- Hll l ecución del plno π que contiene l rect r: x y z y es prlelo l rect x t s: y t z t Este ejercicio es igul que los nteriores como l rect r está en el plno de ell scmos un punto y un ector. P(4 y dr(- y de l rect s que es prlel l plno scmos un ector ds(. x L ecución del plno pedid es: y z 4 5.- Estudi si los puntos A(B(4C(-50- están linedos. En cso firmtio hll ls ecuciones prmétrics de l rect que definen y en cso negtio l ecución del plno correspondiente. Pr que un conjunto de puntos estén linedos tiene que ocurrir que el rngo de los ectores que los unen se o lo que es lo mismo si todos los puntos están en l mism rect entonces todos los ectores serán prlelos. Y sbemos que los ectores prlelos son proporcionles y los ectores proporcionles son dependientes y los ectores dependientes tienen rngo. Por tnto clculmos los ectores que n de A B y de A C y emos como son. Vemos si son proporcionles. AB ( y AC ( 6 Como no son ni proporcionles ni prlelos por tnto no están linedos porque el 6 rng( AB AC sí que con ellos podemos definir un plno. Tenemos ectores y un punto pues l ecución del plno es: x 6 : y z x y 8 z 6.- Considermos l rect r el plno π y el punto P siendo: r : ; π: x-y+z=0; 5 P(04. Obtén un rect s prlel r que pse por P. Clcul el punto de intersección de r y π. Pr obtener un rect prlel r y que pse por p lo único que tenemos que hcer es sustituir el punto de l rect r por el nueo punto. x y z 4 s : 5 x y 8 z Ahor pr clculr el punto de intersección entre r : y π: x-y+z= escribo l ecución 5 x t de l rect en form prmétric. r : y 8 t y l sustituyo en el plno π: z 5t ( t ( 8 t ( 5 t 0 4t 8 t 6 5t 0 6t+6=0 t Por tnto el punto de intersección entre l rect y el plno P es: ( Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-
Mtemátics º Bchillerto CCNN 7.- Dd l fmili de plnos: mx ( m y ( m z m 0 Clculr l ecución del plno de es fmili que ps por el punto (- x z 0 b Clculr l ecución del plno de est fmili perpendiculr l rect r: y 5z 0 Tenemos un hz de plnos secntes pues bien pr clculr l ecución del plno que ps por el punto (- tenemos que sustituir el punto en l ecución del hz. Por tnto m ( m ( m ( m 4 0 m m 6m 6 m 4 0 m 0 m De mner que l ecución del plno pedid es: 0 46 x y z 0 de donde simplificndo tenemos: x 6y 5z 0 b Si el plno es perpendiculr l rect quiere decir que el ector director de l rect y el ector norml del plno son prlelos. Vmos clculr primero el ector director de l rect pr ello hcemos el producto ectoril de los dos ectores normles los plnos: ˆi ˆj kˆ dr n n' 0 ˆi ( ˆj ( 5 kˆ ( ( 5 0 5 El ector director del hz de plnos es (mm+-m+ por tnto mbos ectores tienen que ser proporcionles. ( 5 k( m m m k m 5 De quí: k Tenemos un sistem que si resolemos tenemos : m k m 5 Utilizndo l ª y l ª m 0m m m m 9 Y si utilizmos l ª y l ª 9 9m m m m m 7 Por tnto tenemos un sistem incomptible. Así que en este hz de plnos no existe ningún plno perpendiculr l rect dd. x t x 8.- Estudir l posición relti de ls rects r y s de ecuciones: r y 0 s z y z t Tenemos l rect r en ecuciones prmétrics su ector de posición es dr(0 y l rect s está en ecuciones explícits mos clculr su ector director ds: i j k ds n n' 0 0 (( j k (0 0 Vemos que los ectores dr y ds no son proporcionles dr kds (0 k(0 Por tnto ls rects no son prlels. Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-
Mtemátics º Bchillerto CCNN O son Secntes o se cruzn. Vmos coger un punto de cd un de ells y mos crer el ector que ls une. Un punto de r es =(0 y un punto de s será (resoliendo el sistem b= (0. En este cso emos que el punto (0 pertenece mbs rects por tnto son secntes. Si l clculr otro punto de s no nos sle el mismo entonces tenemos que clculr el ector b y después er el rngo de dr ds b. Si el rngo es entonces mbs están en el mismo plno y se cortn y si el rngo es no están en el mismo plno y se cruzn. x y z 9.- Dd l rect r : y el plno : x my z 0 hllr rzondmente: El lor de m pr que r y π sen prlelos. b Los lores de m pr que r y π sen perpendiculres. c Existe lgún lor de m pr el que l rect esté contenid en el plno?. dr n 0 Pr que r y π sen prlelos h de ocurrir que el ector norml del plno y el ector director de l rect sen perpendiculres. ( ( m 0 -m+=0 4=m m= b Pr que r y π sen perpendiculres los ectores norml l plno y director de l rect hn de ser prlelos. Por tnto: n kdr (-=k(m k= m= -4 c Pr que l rect esté contenid en el plno tiene que ocurrir que m= y que un punto de l rect pertenezc l plno. Por ejemplo el punto (-0. Vemos si pertenece sustituyendo en π. x y z 0 (-+(0+(-=0 -=0 No existe ningún m. : mx y z 0.- Estudir l posición relti de los plnos : x y mz : x y ( m z m según m. Escribimos l mtriz m M m m y l mtriz m M* m m m y estudimos sus rngos. m m 0 m m m m m m M m m ( m ( m m m m 0 m Si m Rng(M==Rng(M* Los plnos se cortn en un punto. Si m= Rng(M= y M* ( 6 ( 6 0 8 Rng(M*= Los plnos son secntes dos dos (porque ninguno es prlelo. Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-
Mtemátics º Bchillerto CCNN : x y z.- Hllr el lor de k pr que los plnos : x y z : kx 0y 4z tengn un rect común. Pr que plnos tengn un rect común tiene que ocurrir que el Rng(M=Rng(M*=. Pr que esto ocurr un ecución tiene que ser combinción linel de ls otrs dos. Por tnto simple ist emos que si K=7 l ª ecución es igul ª más l ª..- Hlr l ecución de un rect que ps por el punto A( y cort perpendiculrmente l x y z rect s : x z L rect s está determind por dos plnos. Vmos clculr su ector director i j k ds i j k ( 0 Un punto de ell es por ejemplo: Si z=0 Q (0. x t Si escribimos l rect s en form prmétric tenemos: s : y t ; un punto genérico de ell serí el punto z t B(-t-tt por tnto el ector BA ( t t t. Y como mbs rects hn de ser perpendiculres entonces el producto esclr ds BA 0 tiene que ser nulo. Así que: ds BA ( ( t t t t 4t t 6t 0 t 0 Por tnto el ector director de l rect r es (-. Y podemos escribir ls ecuciones prmétrics de l rect x r: y z x y z x y p z.- Hllr el lor de p pr que ls rects r : y s : 4 p perpendiculres el punto de intersección y l ecución del plno que determinn. sen Pr que sen perpendiculres el producto de sus ectores directores h de ser nulo por tnto: Pr que sen perpendiculres p=6. dr ds (4 ( p 4 p 6 p 0 p=6 Pr clculr el punto de intersección escribimos mbs ecuciones en form prmétric: Y hor igulmos mbs: x 4t r : y t z t y x s : y 6 5 z Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-4
Mtemátics º Bchillerto CCNN 4t t 6 5 t y resolemos este pequeño sistem: y t=0 Pr clculr el punto de intersección sustituyo en culquier de ls ecuciones prmétrics obsérese que si sustituimos t en l ecución de r y en l ecución de s obtenemos el mismo punto. El punto de intersección de ls rects r y s es: (00 Pr clculr l ecución del plno que determinn necesitmos un punto y dos ectores por tnto: x 0 4t : y t 5 z 0 t 4.- Deducir un ecución pr el plno π que es perpendiculr : x 6y z 0 y que contiene x l rect intersección de : 4x y z y : y z Si el plno contiene l rect intersección de los plnos π y π mos clculrl porque de ell mos obtener un punto y un ector. Sustituimos l ecución del plno π en el plno π : 4( ( ( Por tnto l ecución de l rect contenid en el plno es: (0 y el ector director es (0. x r : y Así que un punto de l rect es el punto z Como tenemos que clculr l ecución de un plno perpendiculr otro tenemos que el ector norml del plno : x 6y z 0 es n(-6 es prlelo l otro. Por tnto y tenemos punto y ectores; por lo que podemos escribir ls ecuciones prmétrics del plno que nos piden: x : y 6 z 5.- Los puntos A(5 y B( son értices consecutios de un rectángulo ABCD. El értice C y 6 z consecutio de B está en l rect de ecuciones r : x. Determinr los értices C y D. Si el értice C está en l rect tiene por coordends genérics ( t6 t t y como l figur es un rectángulo entonces los ectores AB y BC son perpendiculres sí que si producto esclr será nulo. AB (00 ( t6 t t 6t 0 t Por tnto el punto C es. Se el punto D(xyz el ector DA es ( x y5 z y este ector tmbién es perpendiculr l ector AB AB DA x y5 z 00 5 z 0 z 5 entonces Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-5
Mtemátics º Bchillerto CCNN Como l figur es un rectángulo ls componentes x e y del punto D tienen que ser igules que ls del punto C sí que el punto D es 5 x y z 6.- Ddos el plno : x y z y l rect r : se pide: 6 Hllr l ecución generl del plno π que contiene r y es perpendiculr π. b Escribir ls ecuciones prmétrics de l rect intersección de los plnos π y π. Como el plno π contiene l rect de ell scmos un punto y un ector y como demás este plno es perpendiculr π el ector norml de π es prlelo l plno π sí que y tenemos punto y dos ectores por lo que podemos escribir l ecución del plno π. x y z A( 0; u(6; n ( del plno es ' : 5x 7y 6z 7 0 6 0 x y z Ls ecuciones explícits de l rect intersección son: r : 5x 7y 6z 7 0 5( x 7( y 6z 0 Por tnto l ecución i j k Lo primero es clculr el ector director de l rect: dr n ˆ ˆ ˆ n 55i j k 5 7 6 dr (5 y hor necesitmos un punto. Si hcemos z=0 nos qued x y 5x 7y 7 Si multiplico l primer por 5 y summos mbs ecuciones: y= y= x= - P(-0 Por tnto l rect intersección de los plnos π y π es: x 5 r : y z 7.- Obtén el lor de pr el cul ls rects r : x y z y hllr el punto de corte. x y z s : 0 se corten y Pr que dos rects se corten sus ectores directores no pueden ser proporcionles dr( y ds (/-0. Mucho cuiddo con l ecución en form continu como hemos isto en clse l form continu es x y quí prece x x por tnto hemos de escribirl bien:. Ests rects no son prlels pueden ser secntes o que se crucen. Pr que sen secntes: 7 7 0 0 9 7 Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-6
Mtemátics º Bchillerto CCNN x x t Pr hllr el punto de corte escribimos mbs rects en form prmétric: s : y y r : y t z z t t igulndo t t Por tnto el punto de intersección es: t x 8.- Se puede construir un triángulo que teng dos de sus ldos sobre ls rects r : y z x t y s : y t z t Pr poder construir un triángulo sobre ests dos rects mbs hn de ser secntes. Si emos el ector director de r ( y el ector director de s ( emos que mbos son proporcionles (el mismo por tnto ls rects son prlels. No podemos construir un triángulo con dos de sus ldos sobre ls rects r y s. 9.- Se sbe que los puntos A(m0 B(0 C( y D(7 están en un mismo plno. Hllr m y clculr l ecución de dicho plno. Si todos los puntos están en un mismo plno el rngo de los ectores que formmos desde un punto los otros ser dos. BA ( m BC ( Vmos clculr BD (7 m Rng y pr ello clculmos el determinnte: 7 m m 0 0 F F m ( m 7 7 Este determinnte tiene que ser nulo porque los ectores son coplnrios. ( m 0 m=- Si m=- y sustituyendo obtenemos : BA ( BC ( BD (7 Pr escribir l ecución del plno podemos utilizr el punto (0 y los ectores: x Por tnto: : y z BC ( BD (7 b Están los puntos B C y D linedos? Pr que los puntos BC y D estén linedos el Rngo de los ectores que unen mbos puntos tiene que ler. BC ( BD (7 Rng Por tnto no están linedos. 7 Rúl González Medin 06 Espcio Afín D XI-7