E1: Dos superficies esférics conuctors concéntrics e rios R 1 y R (R 1 < R ). El conuctor 1 está crgo con 1 mientrs que el está crgo con. Se pie clculr: ) El potencil e c uno e los conuctores. b) El trbjo que se h efectuo l crgr el conuctor 1 con 1 y el conuctor con k k 1 W 1 k 1 1 1 1 = ( + ) = ( 1+ ) = + + R1 R R R1 R R E: En el plno XY, se tiene un isco e rio R crgo con ensi superficil e crg uniforme centro en el origen. ) Clculr el potencil el isco en un punto genérico el eje Z, prtir el potencil que cre un nillo e crg q nillo e rio r en un punto el eje Z. b) Clculr el cmpo el isco en un punto genérico el eje Z euciénolo prtir el potencil hllo en el prto nterior. 1/ z = ( R z ) z E 1 k 1/ ε = ε ( R + z ) E3: Si el cmpo eléctrico es E = 6x i (el cmpo en /m y l posición en m), clculr l iferenci e potencil = 1 entre los puntos r1 = 1i y r = 3i + 4 j (coorens en m) 1 = 5 E4: Se tiene un istribución e crg con simetrí esféric, centr en el origen e coorens. Se sbe que el potencil epene e l istnci l origen según l expresión () r = r + 4 (el potencil en y l istnci en m). Se pie clculr: ) el cmpo eléctrico en toos los puntos el espcio, inicno si es sliente o entrnte. b) l crg encerr por un superficie esféric e rio r = 5m, inicno si es positiv o negtiv. E = r (entrnte) q = 7nC r E5: Dos superficies esférics concéntrics e rios 3m y 5m están crgs con crgs y 3, respectivmente. Se pie clculr: ) iferenci e potencil entre ls superficies, inicno cuál está un potencil myor. b) energí electrostátic el conjunto. c) crg que ebe tener un tercer superficie e rio r = 4mpr que l iferenci e potencil entre ls os superficies originles se cero. 7 8 15 15 3 3 5 = k U = k q =
E6: L figur muestr un cble no conuctor cerro crgo con ensi linel e crg uniforme λ. El cble está formo por un semicírculo e rio R y meio curo e lo R. Clculr el trbjo que cuest trer un crg ese el infinito hst el centro el cble cerro O. Dtos: ε, λ, R, o W ( ) λ π = + ln 1+ 4ε 4 E7: L figur muestr os plcs plns conuctors e grosor esprecible y áre S, seprs un istnci 5, crgs inicilmente, c un e ells, con un crg. Entre ls misms se h situo un lámin no conuctor crg con un crg -. L bterí que se muestr se encuentr inicilmente esconect, con el interruptor bierto. Ls imensiones e ls plcs y e l lámin son muy grnes comprs con l istnci, e tl form que pueen consierrse como superficies plns infinits. Se pie clculr el cmpo eléctrico en ls regiones I y II en ls siguientes coniciones: ) Con el interruptor bierto. b) Con el interruptor cerro. Not: Expresr ls os respuests en función e los siguientes tos I 4 II Dtos:, = / S,, ε E = i ε ) b) I E II = i ε E I 1 4 = + i 5 ε E II 1 = i 5 ε
E8: Un esfer mciz conuctor e rio R 1, se roe e un superficie esféric no conuctor concéntric e rio R S y crg con un crg S. Ambs están su vez R y roes e un cortez esféric conuctor con espesor no esprecible, e rio interno externo R 3. R < R < R < R 1 S 3 ) Se crg l esfer conuctor con un crg y l cortez conuctor con. Clculr el cmpo eléctrico en toos los puntos el espcio. b) Prtieno e l istribución inic en el prto nterior, se conectn eléctricmente l esfer y l cortez (se conectn mbos conuctores meinte un cble que ps por un pequeño orificio prctico en l superficie no conuctor y que no lter l simetrí el problem). Cuál es l nuev istribución e crgs? Justific tu respuest. k R 1 1 r R ' en R < < S r ' S en R k ( + S ) E = R < r < R3 crg S en R3 r ( R R ) R = r k S 1 S R ' 3 < r con S ( R R1) RS E9: Se tiene un esfer conuctor e rio R crg con un crg. Clculr: ) El potencil e l esfer tomno como referenci el infinito. b) El trbjo gsto en crgr l esfer. c) El trbjo icionl necesrio pr uplicr l crg icionl 3 = W = W = 4πε R 8πε R 8πε R ' ' ' E1: En l figur se muestr un prtícul e ms m y crg q, que se encuentr sobre el eje y, un istnci 1 el origen e coorens. Sobre el eje x y ispuestos e form simétric con sus extremos un istnci 9, hy os hilos e longitu 7, crgos uniformemente con un ensi e crg λ (el mismo signo que l e l crg). Con qué veloci mínim hy que lnzr l prtícul hci el origen pr que llegue lcnzrlo? (Consierr que no hy grve) λ 7 9 m q 1 y v 9 λ 7 x Dtos:, m, q, λ, k (constnte electrostátic). q vmin = = kλ,34 m
+ E11: Se ispone e un conensor e plcs plns e áre S y seprción, que está crgo con crgs + y. Ls imensiones trnsversles son mucho myores /3 que l seprción, puiénose el conensor consierr como infinito. Se introuce entro el conensor un conuctor /3 escrgo e nchur /3, tl y como se inic en l figur. - Se pie: ) Inicr l crg que se cumul en c un e ls seis superficies, b, c,, e y f e l figur. b) Clculr l iferenci e potencil entre el conuctor superior y el inferior b c e f Dtos:, S, ε, ) = f = b = = b c = e = ) = 3 e E1: L figur muestr un prtícul crg con crg q positiv, oblig moverse sobre el eje x que coincie con el eje e os nillos elgos. Los nillos están crgos uniformemente con crgs y -, como se muestr. Los nillos tienen un rio e vlor L y sus centros, que equiistn el origen, están sepros un istnci L. + ) L prtícul se bnon en reposo ese el centro el nillo crgo positivmente. Clculr su energí cinétic cuno ps por un punto genérico x>. b) Clculr el cmpo eléctrico e los nillos en un punto genérico el eje x>. Dtos: qlxk,,,, 1 1 1 1 EC = kq L 5L ( L+ x) + L ( L x) + L x + L x L Ex = = 3/ 3/ x x + Lx + L x Lx + L ( ) ( )
E13: L figur, que no respet escl, es un esquem e un ispositivo formo por os conuctores (esfer e rio R 1 y cortez esféric e rios R 3 y R 4 ), y un superficie esféric no conuctor e rio R. Los tres elementos están centros en el punto O. R R 3 R 4 L cp no conuctor está crg uniformemente con un crg. R 1 I II Los os conuctores, que inicilmente estbn escrgos, se hn conecto un bterí que mntienen entre ellos un iferenci e potencil. O Se pie clculr: ) Potencil en el punto O (referenci nul en infinito). b) Crg net en c uno e los os conuctores. Dtos: R =, m ; R =, 5 m ; R =,5 m ; R = 1m 1 3 4 = 3 1 C ; = 7 ; k = 9 1 Nm / C 9 9 ) = 54 b) q = 1 1 C q = q 9 O esfer cortez esfer E14: Se tiene un esfer no conuctor e rio R crg uniformemente con ensi volumétric e crg ρ. En ich esfer se h prctico un tlro muy fino coinciente con uno e sus rios e tl mner que se puee consierr que no istorsion el cmpo e l esfer. Un crg positiv e ms m se encuentr en el interior el tlro. R ρ r Inicilmente l crg está situ en el centro e l esfer. Desprecir el peso e l crg. Se pie: ) Clculr l fuerz que sufre l crg en el interior el tlro en función e l istnci l centro r. b) Clculr l veloci con que l crg slrí e l esfer (r=r) si se l seprse ligermente e su posición inicil. Dtos: ε, R, ρ, m, ρ ρr ) f() r = r b) v = = 3ε 6 min m ε
E15: Dos plcs conuctors prlels curs e lo L, están seprs un istnci, (<<L). L plc e l izquier es fij, y l e l erech móvil. Estno ls plcs escrgs, se ls conect un bterí, tl y como muestr l figur 1. A continución, se bre el interruptor, tl y como muestr l figur. ) Clculr, en l posición 1, l fuerz electrostátic que l plc e l izquier ejerce sobre l e l erech, inicno su sentio. b) Clculr el trbjo que ebe relizrse pr esplzr l plc móvil ese l posición hst l posición 3, mntenieno bierto el interruptor. Ahor se cierr el interruptor (figur 4). 4 1 3 5 c) Clculr el trbjo que ebe relizrse pr esplzr l plc móvil ese l posición 4 hst l posición 5, mntenieno cerro el interruptor. Dtos: Lε,,, ε L ε L ε L ) f = b) W = c) W = 8 8 4 E16: L figur muestr un vist e perfil e un sistem formo os plcs conuctors curs e áre S y grosor e, seprs un istnci. Ls imensiones verificn ls relciones e < << S. L plc e l izquier tiene un crg totl y l e l erech. Clculr: Dtos: ) ector cmpo eléctrico l izquier e l cr 1 y l erech e l cr 4. b) L ensi e crgs superficiles en ls cutro superficies el sistem. c) L iferenci e potencil entre ls plcs. ) L fuerz ejerci por l plc izquier sobre l erech, inicno el sentio e l mism. S,,,e, ε. Expresr los resultos meinte l cnti =. S 1 3 4 3 3 ) b) 1 = 4 = = 3 = c) 3 = ) f = i ε ε ε
E17: Se ese iseñr un conensor formo por os cps esférics elgs conuctors concéntrics. L iferenci e potencil entre ls plcs el conensor es, y se mntiene constnte meinte un bterí conect e form permnente entre mbos conuctores. L cp intern está myor potencil que l extern. El rio e l cp exterior es conocio y fijo y vle R, mientrs que el rio e l cp interior R 1 es l vrible que se ese optimizr. ) Escribir l expresión (sin sustituir vlores numéricos) el cmpo eléctrico en el espcio comprenio entre ls cps, en función e ls siguientes vribles: r (istnci l centro e ls cps), R 1, R y. b) Determinr el vlor (numérico) e R 1 que se lo más pequeño posible, pero sin que en ningún punto el espcio se prouzc l ruptur ieléctric el ire, cuy rigiez ieléctric es E mx Dtos: R = 5 cm, E mx = 3 k/cm, = 1 k, k = 8.99x1 9 m/f E = R 1R (R R 1 ).r R 1 =3.96 cm E18: Se tiene un cortez esféric no conuctor e rios R 1 y R, crg uniformemente con ensi volumétric e crg ρ, según muestr l figur. En ich cortez se h prctico un tlro muy fino e tl mner que se puee consierr que no istorsion el cmpo e l cortez originl. ρ v q Dese un punto muy lejno, se lnz un crg q e ms m con veloci inicil v en un irección line con el eje el tlro. Cuál es l veloci mínim v con l que ebe lnzrse pr que l crg q trviese el tlro y llegue l hueco esférico? Dtos: ε, R, R 1, ρ, m, q q ρ v = = ( R R ) min 1 m ε
E19: Se tiene un superficie cilínric e rio R y ltur h, crg con > uniforme. ) Clculr el potencil que cre l superficie en el punto meio el eje (punto A). Dese el punto B se suelt un crg puntul q< con veloci nul. b) Desprecino l cción e l grve, clculr su energí cinétic cuno ps por el punto A. Dtos: k = 1 4πε, q, R, h, R h/ + h /4+ R R h+ h + R qb B R ε R m A = ln = ln v = ε ( ) A E: Se tienen os plcs plns conuctors conects un bterí que mntiene un iferenci e potencil, como se muestr. Antes e ser conect l bterí, ls plcs estbn escrgs. Ls plcs son curs y están seprs por un istnci que es mucho menor que l longitu e sus los. Junto ls plcs se h ispuesto un superficie cur no conuctor crg con ensi e crg superficil. Clculr ls ensies superficiles e crg e ls cutro crs e ls plcs. Dtos:,, ε, / 1 3 4 ε 1 = 4 = = 3 =
E1: L figur muestr un coron circulr e rios, b (<b). Está crg con un ensi superficil e crg uniforme >. Se pie: z P ) Potencil eléctrico P (z) en el punto P, un ltur z sobre el origen e coorens b) Con qué veloci h e lnzrse ese P un prtícul con crg q > y ms m pr que llegue O con veloci nul? Desprecir el peso e l prtícul. x O y Dtos: bz,,,, qm,, ε q ( z) = b + z + z v= = ε m ε b b + z + + z ( ) ( ) E: Se tienen os plcs plns conuctors seprs por un mteril islnte crgo uniformemente con ensi volumétric ρ. Ls plcs son curs y están seprs por un istnci que es mucho menor que l longitu e sus los. Inicilmente, ls plcs están escrgs. ) Clculr ls ensies e crg e ls cutro crs e ls plcs. ρ 1 3 4 ρ 1 3 4 Ahor se conect un bterí que mntiene un iferenci e potencil, como se muestr en l figur. b) Clculr ls ensies e crg e ls cutro crs e ls plcs. Dtos: ρ,,, ε ρ ρ ρ ε ρ ε ) 1 = = 3 = 4 = b) 1 = 4 = = + 3 =
E3: Cutro crgs iéntics e vlor q están situs en los vértices e un curo e lo. En el centro el mismo hy un crg e vlor q. ) Clculr el trbjo que hy que relizr pr mover l crg centrl un istnci lo lrgo e l perpeniculr l curo. b) Prtieno e l configurción originl, clculr el trbjo que hy que relizr contr ls fuerzs electrostátics pr comprimir el curo reucieno sus los su tercer prte, mntenieno l crg negtiv en su centro. kq kq ) W =, 4 b) W =, 48 E4: Dos hilos rectos muy lrgos están ispuestos prlelmente y sepros por un istnci. Los hilos están crgos uniformemente con ensi linel e crg λ. Un crg puntul q se liber ese el reposo en l posición que se inic en l figur, un istnci x el origen e coorens (punto meio entre los hilos). Clculr l energí cinétic e ich crg cuno ps por el origen O. Dtos: λ, qx,,, ε λ j x q i λ qλ x K = ln(1 ) πε E5: Un cilinro conuctor e rio R está roeo coxilmente por os cortezs conuctors elgs, e rios R y 3R. El cilinro está crgo con crg net, mientrs que ls cortezs poseen un crg net y 3, respectivmente. L longitu L e los tres conuctores es mucho myor que sus rios y puee consierrse que el problem posee simetrí cilínric. Clculr l iferenci e potencil entre el cilinro y l cortez exterior. Dtos: RLε,,, cilinro λ cortez = + πε L ( ln() 3ln(1,5) ) E6: Tres crgs están ispuests sobre los vértices e un curo, como se muestr. Clculr el trbjo que hy que relizr pr intercmbir un e ls crgs q y l crg q. q q kq 1 W = ( 1) L L q
E7: Se tiene un esfer conuctor e rio R 1 roe por un cortez esféric conuctor elg e rio R. Ls tres superficies e los conuctores están en contcto con el ire. Clculr l máxim iferenci e potencil que se puee plicr los conuctores sin que se prouzc l ruptur ieléctric el ire. Dtos: E, ruptur R, 1 R R 1 mx = ErupturR1 1 R E8: Se tiene un hilo recto e longitu crgo uniformemente con ensi linel e crg λ. Se pie: ) Clculr el potencil eléctrico en un punto genérico e su meitriz. b) Utilizno el resulto nterior, clculr el cmpo eléctrico. + + ( y) = kλln ; E( y) = k y y ( + y) 1/ ( y ) λ 1/ y O x