CAPÍTULO V CONDENSADORES Y DIELECRICOS

Transcripción

1 J.Pozo y R.M. horbjin. PÍTULO ONDNSDORS Y DILRIOS 5.. Definición e cpci o cpcitnci Si os conuctores islos se conectn un fem como se muestr en l Fig., se prouce un iferenci e potencil entre ellos; pr proucir est iferenci e potencil se reuiere llevr crg e un conuctor l otro y por consiguiente relizr un trbjo, el cul es hecho por l fem. Too el sistem tiene un crg net cero y ue los conuctores tienen igul crg pero signo contrrio. L crg ue tienen los conuctores epene e l fem ue los conect y e otros fctores tles como l istnci entre ellos, su tmño y su form geométric. s ecir, ue si toos estos fctores permnecen constntes excepto l fem, entonces l crg es irectmente proporcionl l iferenci e potencil prouci por l fem entre los conuctores, esto es: (5.) one es l mgnitu e l crg en c uno e los conuctores, es el potencil entre ellos y es l constnte e proporcionli ue se efine como l cpcitnci; este hecho lo poemos comprobr experimentlmente. l rreglo e los conuctores ue se muestr en l siguiente figur se conoce como conensor. L c. (5.) efine l cpci o cpcitnci e un conensor. Por otro lo, cuno se hbl e crg en un conensor, se hce referenci l crg en l plc positiv y no l crg net el conensor ue es cero. 9

2 J.Pozo y R.M. horbjin. Los conensores se representn esuemáticmente por el símbolo ; l uni e l cpcitnci es el fr en honor e Michel Fry; entonces, un conensor tiene un cpcitnci e [Fr] [F] cuno l crg es e [] y su iferenci e potencil es e [], e moo ue: [F] [/] ebio ue ls imensiones geométrics e un conensor pr ue su cpcitnci se e un fr, son emsio grnes, es conveniente usr submúltiplos el fr, tles como: 6 [microfr] [ μ F] [ F] [PicoFr] [ PF] [ μμ F] [ F] y ue l crg e un conensor o, está en función únicmente el voltje ue se le plic, tiene ue hber un límite máximo en el voltje, y ue e no ser sí, se generrí tnt crg en los conuctores ue se prouce un chispzo entre ellos, ue comúnmente se conoce por cortocircuito. Los conensores nos pueen generr cmpos eléctricos uniformes, ue se utilizn pr celerr o esvir prtículs crgs, tmbién o ue se pueen obtener cmpos eléctricos l crgr un conensor, entonces este último nos puee servir pr lmcenr energí eléctric. 5.. onensor e plcs prlels Uno e los conensores ue o lo simple e su geometrí, es muy fácil nlizr, es el conensor e plcs prlels ue se muestr en l Fig.. ste consiste en un pr e plcs prlels e áre y seprs un istnci ; pr esprecir ls eformciones e ls línes e cmpo eléctrico en los bores e ls plcs consiermos ue es muy peueñ compr con ls imensiones e, obtenieno un cmpo uniforme entre ls plcs. l plicr un iferenci e potencil ls plcs, precerá un crg + en un plc y un crg - en l otr. omo existe un trcción entre ls crgs, ésts precen en l cr interior e ls plcs obteniénose entonces, un cmpo uniforme entre ells. 9

3 J.Pozo y R.M. horbjin. Pr clculr l cpci el conensor e plcs prlels se plic l Ley e Guss, pr obtener el cmpo eléctrico entre ls plcs se utiliz un superficie gussin e form cilínric, un e ls tps el cilinro uerí entro e l plc y l otr entre ls plcs como se muestr en l figur nterior, one vemos ue el flujo eléctrico en l tp superior el cilinro como en su superficie lterl es cero, en l primer porue entro e l plc conuctor no existe cmpo y en l superficie lterl porue el s r hce un ángulo e 9 con el cmpo eléctrico entre ls plcs; en l tp inferior el cilinro ue está entre ls plcs el flujo no es cero, y ue el cmpo es prlelo l irección el vector áre, esto es: y: entonces: Φ r r s r r s / (5.) como l cpcitnci está efini en términos e crg y potencil, ebemos expresr el cmpo eléctrico en función el potencil. sto se puee hcer consierno ue el trbjo necesrio pr llevr un crg prueb e l plc negtiv l plc positiv es: W o prtir el proucto e l fuerz ue hy ue ejercer sobre l el crg prueb, por l istnci, es ecir: W ) ( 9

4 J.Pozo y R.M. horbjin. igulno mbs expresiones y espejno se tiene: (5.) Sustituyeno ls ecuciones (5.) y (5.) en l c. (5.) se obtiene ue: (5.4) one es l cpci el conensor e plcs prlels; y se puee observr ue l cpci epene únicmente e l geometrí el conensor, esto es, si se mntiene constnte el potencil entre ls plcs y se ument el áre, se increment l crg y por consiguiente l cpci. Si mntenemos constnte l crg y se increment l istnci entre ls plcs, l iferenci e potencil ument y por consiguiente isminuye l cpci. 5.. Dieléctricos en conensores n l práctic l myorí e los conensores tienen mteril ieléctrico con el fin e ue su cpci e lmcenmiento e crg umente y por consiguiente l cpcitnci el conensor. Uno e los experimentos relizos por Fry con conensores consiste este plic l mism iferenci e potencil os conensores e plcs prlels e igules imensiones, geométricos uno l vcío y otro con un ieléctrico (plástico, porceln, ppel, etc.) ue llene completmente l región entre ls plcs, y encontró ue el conensor con ieléctrico lmcen más crg ue el conensor l vcío; si se reliz un experimento similr, pero en vez e plicr el mismo potencil, proporcionno crgs igules c conensor por sepro y se les conect voltímetros e lt precisión tl como como se muestr en l Fig., se puee ver ue el voltímetro conecto l conenso l vcío mrc un voltje myor 9

5 J.Pozo y R.M. horbjin. ue el voltje el conensor con ieléctrico. prtir e l ecución (5.) si se consier ue ls crgs son igules, se tiene l siguiente relción: st relción se efine como l constnte ieléctric k, entonces: k (5.5) sto permite concluir ue l cpci e un conensor e plcs prlels con un ieléctrico ue lo llene completmente es: k k (5.6) l constnte ieléctric en el vcío es igul l uni onexión e conensor en serie y en prlelo n el cpítulo nterior se consieró cómo simplificr rreglos e resistencis meinte combinciones euivlentes en serie y en prlelo. n est sección se estuirá cómo simplificr rreglos e conensores meinte combinciones en serie y prlelo pr obtener cpcies euivlentes. 94

6 J.Pozo y R.M. horbjin. n l siguiente Fig. se tienen tres conensores con cpcitncis y, en prlelo, conectos un fuente fem con voltje., n l figur nterior, se observ ue l iferenci e potencil es l mism pr c uno e los conensores y utilizno l ecución (5.) se tiene ue l crg en c uno e los conensores es: Un conensor euivlente e es uel ue l mismo voltje lmcen igul cnti e crg ue l el rreglo l cul sustituye; l crg totl o euivlente pr un combinción e conensores en prlelo es l sum e l crg e c uno, esto es: e + + Según l c. (5.): e e Sustituyeno el vlor e l crg euivlente se tiene: + + e e l c. (5.) vemos ue: + + e Pr un rreglo e N conensores en prlelo siguieno el mismo proceimiento se obtiene: n e i i (5.7) 95

7 J.Pozo y R.M. horbjin. Pr un rreglo e conensores en serie conects un fuente fem con voltje, como se muestr en l Fig. poemos clculr l cpcitnci euivlente utilizno l segun Ley e Kirchhoff (teorem e l tryectori) l sum e l cí e voltje en c uno e los conensores es igul l voltje e l fem, esto es: + (5.8) + De l c. (5.) se tiene ue: recurrieno l principio e l conservción e l crg se observ ue en el circuito e l Fig. l crg e l plc negtiv e, es e l mism mgnitu ue l crg e l plc positiv e, y por inucción eléctric se concluye ue l crg en c conensor es l mism; sí como l crg el conensor euivlente, esto es: onensores en serie. y combinno ls cs. (5.) y (5.8) se tiene ue: e + + e y como tos ls crgs son igules, entonces: + + e 96

8 J.Pozo y R.M. horbjin. Pr un rreglo e N conensores en serie siguieno el mismo métoo se obtiene: n e i i (5.9) L cpcitnci euivlente e un rreglo en serie será menor ue culuier e ls cpcitncis ue formn el rreglo, sí como en un rreglo e cpcitncis en prlelo l cpcitnci euivlente, siempre será myor ue culuier e ls cpcitncis el rreglo nergí lmcen por un conensor n l sección 5. l conectr los conuctores l fuente fem, ést reliz un trbjo l llevr crg e un conuctor otro; sí se ese llevr un iferencil e crg e un conuctor otro, entonces l fuente tiene ue relizr un iferencil e trbjo W W, es ecir: e l c. (5.) se tiene: W l cnti e trbjo ue tiene ue relizr l fuente pr llevr un crg totl y l crg inicil e los conuctores es cero, entonces: W W (5.) est ecución tmbién se puee escribir en función e l iferenci e potencil entre los conuctores prtir e l c. 5., esto es: W (5.) 97

9 J.Pozo y R.M. horbjin. l relizr l fuente el trbjo e llevr crg e un conuctor otro se estblece un cmpo eléctrico entre éstos y por consiguiente se lmcen energí potencil eléctric ue es euivlente l trbjo relizo por l fuente. W (5.) U Lo más rzonble es ue est energí esté lmcen en el cmpo eléctrico y por consiguiente es necesrio introucir el concepto e ensi e energí el cmpo eléctrico y pr obtenerl en form sencill se consier un conensor e plcs prlels esprecino ls istorsiones el cmpo-en los bores e ls plcs, es ecir, ue el cmpo eléctrico es uniforme y constnte entre ls plcs. L ensi e energí se efine como l energí potencil eléctric entre el volumen, esto es: u W one ( ) es el volumen entre ls plcs el conensor y sustituyeno l cpcitnci el conensor e plcs prlels: en l expresión nterior se tiene: u one / es l intensi el cmpo eléctrico e l c. (.), e tl form ue l ensi e energí eléctric u se expres como: u (5.) unue est expresión se erivó pr un conensor e plcs prlels, es un ecución generl ue se plic en culuier cso; es ecir ue en culuier región el espcio en el 98

10 J.Pozo y R.M. horbjin. vcío, hy un cnti e energí lmcen por uni e volumen cuno existe un cmpo eléctrico en es región. Pr regiones con ieléctricos l ensi e energí eléctric se expres por: prtir e l c. (5.6). u (5.4) K omentrio: n generl l ensi e energí eléctric se efine como u W υ De one se esprene ue l energí eléctric u (energí eléctric W por uni e volumen υ ) ue etermin trvés e l siguiente ecución W u υ Si ocurre ue u es constnte, entonces se obtiene W u υ 5.6. ircuitos R Hst hor hemos estuio circuitos con corrientes estbles, es ecir, corrientes ue no cmbin con el tiempo, en est sección vmos estuir circuitos simples ue tengn resistencis y conensores pr obtener corrientes vribles en el tiempo. n l Fig. un conensor y un resistenci están conectos en serie un fuente fem. Si inicilmente el interruptor está bierto l crg en el conensor es cero, es ecir, ue no existe ningún voltje en el conensor. 99

11 J.Pozo y R.M. horbjin. l psr el interruptor l punto, fluye un crg en el sentio e ls mnecills el reloj, e tl form ue el conensor se empiez crgr prouciénose un iferenci e potencil en el conensor ue tiene ser e igul mgnitu l e l fuente mei ue el tiempo trnscurre y el flujo e crg tiene cero. Usno el teorem e l tryectori poemos obtener un expresión e cómo vrí l iferenci e potencil el conensor en función el tiempo, siguieno un tryectori en l irección e ls mnecills el reloj tenemos ue: IR (5.5 ) c one el voltje lo poemos expresr en función e l crg y l corriente e cuero ls ecuciones (4.) y (5.) entonces, l c. (5.5 ), l poemos expresr como: R + (5.5 b) t c ue es un ecución iferencil e primer oren, l cul poemos resolver tomno como coniciones el circuito R ue pr t, y pr un tiempo t en el ue el interruptor está en l posición "", el conensor uiere un crg. Resolvieno l c. (5.5) b: e one: t R t R integrno:

12 J.Pozo y R.M. horbjin. R t se obtiene ue: Ln ( ) ] t R evluno y espejno se obtiene l expresión ue nos l crg lmcen en el conensor en un tiempo t, esto es: t R c ( e ) (5.6) t l nlizr l ecución (5.6) se ve ue pr un tiempo t, o se ntes e conectr el interruptor en el punto e l figur nterior, l crg en el conensor es cero, si el interruptor permnece inefinimente conecto, entonces t y l crg lmcen tiene ; en l Fig. siguiente (), se puee ver l vrición e l crg con respecto l tiempo ue es l representción gráfic e l c. nterior. Si esemos obtener l rzón e flujo e crg por uni e tiempo o corriente ue circul en el circuito, si se eriv (5.6) con respecto l tiempo se obtiene: I t e R t R (5.7)

13 J.Pozo y R.M. horbjin. Se observ en c. (5.7) ue l máxim corriente se obtiene en el preciso momento en el cul el circuito R se conect l fuente fem o se pr t, I / R. Si el interruptor permnece por un lrgo tiempo en es posición, es ecir, ue I ue lo poemos ver l grficr l ecución (5.7), Fig. b. t entonces, l proucto R ue se encuentr en el exponente e ls ecuciones (5.6) y (5.7) tiene unies e tiempo y ue el exponente no ebe tener unies, este proucto R se conoce como constnte e tiempo cpcitiv (comúnmente se represent por τ c ), y nos etermin l rzón con l cul el conensor se crg. Si el interruptor h permnecio por un lrgo perioo e tiempo ( t >> τ ) conecto en el c punto y se cmbi l punto b. entonces, tenrímos ue en el circuito R el conensor ctú como fuente corriente circul en l irección opuest ls mnecills e] reloj; cno el teorem e l tryectori, tenemos ue: + IR con l c. 4. tenemos: t R Integrno l c. 5.8 b y consierno ue pr t el conensor lmcen un crg y pr un tiempo t l crg es obtenemos ue: e t R one poemos ver ue si el interruptor permnece inefinimente conecto l crg en el conensor tiene cero, sí como tmbién se comprueb ue pr un tiempo cero l crg

14 J.Pozo y R.M. horbjin. inicil en el conensor es (Fig. ). Si se ese sber el voltje e l fuente se ivie l crg entre l cpcitnci. L corriente en el circuito se puee obtener l erivr l c. 5.9 con respecto l tiempo esto es: I t e R t R e est ecución observmos ue l máxim corriente l tenemos pr t y es >> R l corriente tiene cero como lo poemos precir en l gráfic e l Fig. b. / R ; pr t Problems resueltos Problem 5. lcule el rio e un cscrón esférico pr ue teng l cpci e Fr. Solución: e l ecución (5.) se tiene:

15 J.Pozo y R.M. horbjin. o ue / r r r r como el cmpo es, sustituyeno e integrno, se encuentr 4π r : 4π r Luego: 4π r [F] y espejno: 4π 9 r 9 [m]. l resulto nterior muestr ue el fr es un uni extremmente grne y por consiguiente en l práctic es necesrio usr submúltiplos. Problem 5. Determine l cpci e un conensor e crs o plcs prlels. Solución: Según l efinición e cpci n est cso y σ, entonces 4

16 J.Pozo y R.M. horbjin. Reemplzno el vlor el potencil en l ecución e l cpci, se encuentr Luego Problem 5. Determine l cpci e un conensor esférico. Solución: Un conensor esférico está formo por os cscrones esféricos metálicos concéntricos e rios: el interior y crgo con Utilizno l expresión +, y rio b el exterior crgo con. l iferenci e potencil entre los cscrones prtir e b b r Do ue es cmpo entre los cscrones esféricos es, se tiene 4π r 5

17 J.Pozo y R.M. horbjin. r b 4π r b Integrno, se encuentr: b π b 4 Sustituyeno en l ecución pr l cpci, se obtiene luego π b b 4 b 4π b Problem 5.4 Un conensor cilínrico consiste en os cscrones cilínricos coxiles e rios y b respectivmente y longitu l (Fig.), clculr su cpcitnci esprecino ls irregulries en los extremos. 6

18 J.Pozo y R.M. horbjin. Solución: De (5.): / e (.) pr el potencil tenemos ue: b r r l one entre los cscrones se puee obtener meinte l Ley e Guss; esto es: r r s entonces: ( π r l) / y π r l Sustituyeno en l c. (.) pr obtener el potencil: b r r b r r l + r b π r r l integrno y evluno: b Ln r] π l π l b Ln Sustituyeno en l c. (5.) pr obtener l cpcitnci: π l Ln b 7

19 J.Pozo y R.M. horbjin. Problem 5.5 lculr l cpcitnci euivlente el rreglo e conensores e l Fig., one y μ F, 4 μ F, μ F, 4 μ F, μ F 5 y 6 / μ F. Solución: De l prte ) e l figur vemos ue los conensores encerros en el lzo están en prlelo, entonces e l c. (5.7), l cpcitnci euivlente e estos es: e μ F + μ F 4 μ F su vez ést está en serie con l cpcitnci e 4 μ F como se muestr en l prte b); entonces plicmos l c. (5.9) y obtenemos ue: 8

20 J.Pozo y R.M. horbjin F F F F F e e e μ μ μ μ μ + + n l prte c) vemos ue e, está en prlelo con, encerrmos mbos en el lzo, entonces: F e e μ + Por último, en l prte ) vemos ue los tres conensores están en serie, entonces: F F e e μ μ e óne: ]. [ F e μ Problem 5.6 n un conensor e plcs prlels se colocn mteriles ieléctricos istintos como se muestr en l Fig.. lcule l cpcitnci e este conensor. Solución: Un rreglo lógico euivlente e este conensor es el mostro en l prte b e l figur; e l c. (5.6) tenemos ue k k k k ) / ( como y están en prlelo l combinción e éstos es su sum; entonces: ( ),) ( k k e + + 9

21 J.Pozo y R.M. horbjin. y éste su vez está en serie con, entonces e, l cpcitnci euivlente, está por: + + (,) ( k + k ) k e e e one result: e k ( k k + k + k ) + k Problem 5.7 Un conensor e crs prlels tiene un seprción y un sección e áre. Un trozo metálico escrgo e espesor cpci el sistem se introuce en l prte mei entre ls plcs. Determine l Trozo metálico ( ) / ( ) /

22 J.Pozo y R.M. horbjin. Solución: l sistem e l figur nterior es euivlente os conensores conectos en serie, c uno con seprción e (. ) / ( ) / ( ) / Do ue los conensores están en serie, se tiene ue l cpci euivlente es: + Utilizno el resulto el problem 5.. se tiene: ( ) / y ( ) / ntonces + / ( )

23 J.Pozo y R.M. horbjin. Problem 5.8 onsiere un conensor e plcs prlels con un seprción, ue tiene un cpci / cuno se encuentr sin ieléctrico. Determine l cpci cuno se introuce un mteril ieléctrico e constnte ieléctric K y espesor / entre ls plcs K / / Solución: l sistem e l figur nterior es euivlente os conensores conectos en serie, uno l vció, con un seprción e /, y el otro (el inferior) con ieléctrico, y con un seprción e / Do ue los conensores están en serie, se tiene ue l cpci euivlente es: + Utilizno el resulto el problem 5.. se tiene: y / K / ntonces

24 J.Pozo y R.M. horbjin. K K / / K K Luego K K K K + + Problem 5.9 L iferenci e potencil entre os cscrones esféricos metálicos concéntricos e rios [m] y b [m] es e 9 []. lcule l energí electrostátic lmcen en el espcio ue existe entre los cscrones. Solución: Sbieno ue l iferenci e potencil entre ls esfers (ver problem 5.) es: b 4 π espejno : b b ) ( ) 4 ( π sustituyeno vlores se tiene: 6 [] e l Ley e Guss:

25 J.Pozo y R.M. horbjin. se obtiene ue el cmpo entre ls os esfers: e l c. (5.), l ensi e energí es: r r s 4π r u 4 π r L energí totl W se obtiene integrno el proucto e l ensi e energí por el iferencil e volumen esférico entre ls esfers, esto es: W u υ one υ r r senθ θ φ n este cso, o ue u sólo epene e r, se tiene ue: υ 4π r r luego W u υ b π r 4 4π r r integrno y evluno W 8π r b r sustituyeno vlores: W 9 [J]. 4