Chapter 1 Los Números Eteros 1.1 Itroducció E este capítulo os dedicaremos al estudio de los úmeros eteros los cuales so el puto de partida de toda la teoría de úmeros. Estudiaremos ua serie de propiedades básicas de este cojuto, que so fudametales para el posterior desarrollo de esta materia, como lo so el algoritmo de la divisió y el teorema de la factorizació úica. Advertimos al lector sobre la ecesidad de estudiar cuidadosamete el material expuesto e todas estas seccioes de este capítulo, ates de pasar a los siguietes. El efoque usado e estas otas cosiste e expoer iicialmete las propiedades básicas de los eteros, y a partir de éstas, ir deduciedo propiedades más avazadas, como proposicioes, teoremas,..etc. E igú mometo os plateamos dar u tratamieto formal y riguroso del tema de los úmeros eteros, cosa que esta fuera del alcace de este curso. Para u estudio completo acerca de la costrucció de los eteros a partir de los aturales, ver [?]. 1.2 Defiicioes Básicas Supodremos que el lector está familiarizado co la otació de cojuto y además maeja los coceptos de perteecia, iclusió, uió e itersecció. Defiició 1 Sea A y B dos cojutos, ua fució de A e B, es ua ley que asocia a cada elemeto a de A, u úico elemeto b de B. Usamos la letra f para idicar la fució, o bie el símbolo f : A B. El elemeto b se llama la image de a bajo la fució f, y será deotada por f(a). 1
2 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS Defiició 2 Sea f : A B ua fució y E u subcojuto de A, etoces la Image de E bajo f es el cojuto f(e) = {b B b = f(c), para algú c e E}. Es claro que f(e) es u subcojuto de B. Defiició 3 Sea f : A B ua fució y G es u subcojuto de B, la image iversa de G bajo f es el cojuto f 1 (G) = {d A f(d) G}. Defiició 4 Ua fució f : A B se dice Iyectiva si para todo b e B, f 1 ({b}) posee a lo sumo u elemeto. Observació: Otra forma de defiir la iyectividad de ua fució es la siguiete: Si cada vez que tegamos u par de elemetos a y b e A, etoces si estos elemetos so diferetes, sus imágees debe ser diferetes. Ejemplo 1 La fució F : N : N, dode N deota al cojuto de los úmeros aturales, dada por F () = 2, es iyectiva. Podría el lector dar ua demostració de este hecho? Defiició 5 Sea f : A B ua fució. Diremos que f es Sobreyectiva si f(a) = B. Observació: El cojuto image de A, se llama tambié el rago de la fució. Luego f es sobreyectiva si su rago es igual al cojuto de llegada. Ejemplo: La fució del ejemplo aterior o es sobreyectiva Porqué? Ejemplo 2 Sea g : N N dada por g() = + 1. Etoces esta fució tampoco es sobreyectiva. Si embargo si deotamos por Z al cojuto de los eteros y G : Z Z, mediate G(z) = z + 1, etoces G si es ua fució sobreyectiva. Defiició 6 Ua fució f : A B se dice biyectiva si f es iyectiva y sobreyectiva. Defiició 7 Sea A u cojuto cualquiera, ua relació e A, es u subcojuto R del producto cartesiao A A. Si el par (a, b) está e R, diremos que a está relacioado co b, y lo deotamos por a b, ó arb.
1.3. PROPIEDADES DE LOS ENTEROS 3 Defiició 8 Ua relació R sobre A, se dice que es de equivalecia, si satisface las tres codicioes 1. Reflexiva a a para todo a e A. 2. Simétrica a b implica b a, para todos a y b e A. 3. Trasitiva Si a b y b c, etoces a c, para todos a, b y c e A. Para cada a e A, el cojuto se llama la clase de equivalecia de a. [a] = {b A b a} Defiició 9 Ua operació biaria sobre u cojuto A, es ua fució g : A A A. La image del elemeto (a, b) bajo la fució g se deota por a b. Ejemplos de operacioes so la suma y producto de úmeros eteros. Tambié se puede defiir operacioes e forma arbitraria. Por ejemplo, si N es el cojuto de úmeros aturales, podemos costruir la operació : N N N (a, b) a b = ab + 1. 1.3 Propiedades de los Eteros Nosotros supodremos que el lector está familiarizado co el sistema de los úmeros eteros... 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., el cual deotaremos por Z, así como tambié, co las propiedades básicas de adició y multiplicació. Podemos dar alguas de estas propiedades como axiomas y deducir otras, a partir de las primeras, como teoremas. I) Axiomas de Suma Existe ua operació biaria e Z, llamada la suma de eteros, la cual será deotada por + y satisface : 1. Cerrada Para a y b úmeros eteros, a + b es u úmero etero
4 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS 2. Comutativa a + b = b + a, para todos a y b eteros. 3. Asociativa (a + b) + c = a + (b + c), para todos a, b y c eteros. 4. Elemeto eutro Existe u elemeto e Z llamado el cero, el cual se deota por 0, y satisface: para todo a etero. 0 + a = a + 0 = a 5. Elemeto opuesto Para todo a e Z existe u elemeto, llamado el opuesto de a, el cual deotamos por a, y que satisface: a + ( a) = a + a = 0 II) Axiomas de Multiplicació Existe ua operació biaria e Z, llamada producto de úmeros eteros, la cual se deota por, y satisface: 1. Cerrada Para a y b úmeros eteros, a b es u úmero etero 2. Asociativa Para a, b y c eteros 3. Comutativa Para a y b eteros a (b c) = (a b) c a b = b a 4. Elemeto eutro Existe u etero, llamado el uo y deotado por 1, tal que para todo etero a se tiee 1 a = a 1 = a III) Axioma de distributividad Para a, b y c eteros se cumple que (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c Ates de pasar a ver otros axiomas de los úmeros eteros, como so los axiomas de orde, ecesitamos la siguiete defiició.
1.3. PROPIEDADES DE LOS ENTEROS 5 Defiició 10 Ua relació de orde e u cojuto A, es ua relació R sobre A, co las siguietes propiedades: 1. Propiedad simétrica Para todo a e A, se verifica ara. 2. Propiedad Trasitiva Para a, b y c e A se verifica: Si arb y brc, etoces arc 3. Propiedad atisimétrica Si arb y bra etoces a = b. Ejemplo 3 La relació Meor o igual que, e el cojuto de los eteros, es ciertamete, ua relació de orde. Esto puede ser verificado si igua dificultad por el lector. A cotiuació daremos ua forma, quizás u poco rigurosa, de itroducir esta relació, usado la suma de eteros y la existecia de u cojuto P. ( Cojuto de eteros positivos). IV) Axiomas de Orde Existe u cojuto de eteros, llamados eteros positivos, el cual deotaremos por P, y que satisface: 1. Para todos a y b e P, a + b y a.b está e P. 2. 1 está e P. 3. Ley de tricotomía Para todo etero a se tiee ua y sólo ua de las siguietes: i) a está e P, ii) a está e P, iii) a = 0. Usado los axiomas de orde, se defie la siguiete relació e el cojuto de los eteros: Defiició 11 Sea a y b dos eteros, diremos que a es meor o igual que b, y lo deotamos por a b, si y sólo si b a es positivo o cero. Defiició 12 Sea a y b dos eteros, diremos que a es meor que b, y lo deotamos por a < b si y sólo si a b y a b.
6 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS Tambié diremos que: a es mayor o igual a b, y lo deotamos por a b si b es meor o igual que a. Igualmete, diremos que a es mayor que b, y se deota por a > b, si b es meor que a. Observació: El cojuto P de eteros positivos es igual al cojuto de los úmeros aturales = {1, 2, 3,...}, como veremos a cotiuació: Notemos e primer lugar que 1 está e P (Axioma 2 de orde). Por la primera parte del axioma 1, se sigue que 2 = 1 + 1, tambié está e P. De igual maera 3 = 2 + 1, está e P,... y así sucesivamete. De esta forma se cocluye que el cojuto de los úmeros aturales está e P. Habrá otros elemetos e P además de estos? La respuesta a esta preguta, la podremos obteer como ua cosecuecia del teorema del míimo elemeto. 1.4 Axioma del Elemeto Míimo Los axiomas estudiados hasta ahora o so suficietes para caracterizar el cojuto de los úmeros eteros, e el setido de determiar, si igú tipo de duda, todas y cada ua de sus propiedades. A maera de ejemplo, la propiedad de ifiitud de los eteros, o se puede derivar de iguo de los axiomas o propiedades ates vistas. De aquí se cocluye que es ecesario icluir más axiomas, si se quiere teer u sistema completo, suficietemete bueo como para deducir, esta y otras propiedades que caracteriza a los eteros. Defiició 13 Sea A u cojuto o vacío de, etoces diremos que u etero a es ua cota superior para A, si se cumple: a, para todo e A. Defiició 14 Diremos que u cojuto A está acotado superiormete, si A posee ua cota superior. Defiició 15 Sea A u cojuto o vacío de Z. U elemeto a del cojuto A se dice elemeto maximal, si a para todo e A. Observació: La diferecia etre las defiicioes 13 y 15 radica e lo siguiete: U cojuto A de eteros puede teer ua cota superior a, pero, posiblemete a o es u elemeto del cojuto A, por tato a o es u elemeto maximal. Defiició 16 Sea A u cojuto o vacío de Z. U etero b se llama cota iferior para el cojuto A, si se cumple: b x, para todo x e A
1.4. AXIOMA DEL ELEMENTO MÍNIMO 7 Defiició 17 Sea A u cojuto o vacío de Z. U elemeto a de A se llama elemeto miimal( o elemeto míimo ), si satisface: a x, para todo x e A. La misma observació que hicimos para el elemeto maximal, se aplica al elemeto miimal. Axioma del míimo elemeto Todo cojuto o vacío de úmeros eteros positivos, posee u elemeto miimal. El axioma del míimo elemeto, es equivalete a otro axioma, llamado Pricipio de Iducció, el cual damos a cotiuació: Pricipio de Iducció Sea P () ua proposició que depede de u etero positivo, y supogamos que: 1. P (1) es cierta. 2. Si P (k) es cierta, para u etero k, etoces P (k + 1) tambié es cierta. Luego P () es cierta para todo etero positivo. A partir del pricipio de iducció es posible probar ua gra catidad de fórmulas o idetidades, que ivolucra u úmero positivo. Ejemplo 4 Probar la fórmula: 1 + 2 + 3 +... + = ( + 1) 2 (1.1) Demostració A fi de utilizar el pricipio de iducció, haremos ua proposició que depede de, y la llamaremos P (). Luego probaremos que esta proposició satisface las codicioes 1) y 2) del pricipio, co lo cual se estará verificado para todo. Por lo tato hacemos: P() = la fórmula (1.1) vale para todo. Notemos e primer lugar, que P (1) se reduce a afirmar lo siguiete: 1 = 1(1 + 1) 2
8 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS lo cual es evidetemete cierto. Sea ahora, k u etero y supógase que P (k) es cierto, esto es: 1 + 2 + 3 +... + k = k(k + 1). 2 Partiedo de esta ecuació, y sumado k + 1 a ambos lados, se tiee 1 + 2 + 3 +... + k + (k + 1) = k(k + 1) 2 + (k + 1) Luego podemos sumar los dos térmios e el lado derecho de la ecuació para obteer: 1 + 2 + 3 +... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 Vemos etoces que esta última fórmula es igual a (1.1), co = k + 1. Por lo tato P (k + 1) es cierto, si se asume que P (k) es cierto. Esto, uido a la veracidad de P(1), os permite afirmar la validez de P () para todo. Ejemplo: Cosideremos el triágulo de Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1... dode todos los elemetos situados sobre los lados oblicuos so iguales a uo, y cada elemeto iterior es igual a la suma de los dos elemetos adyacetes sobre la fila aterior. Podemos deotar por C(, r) al elemeto del triágulo de Pascal situado e la fila y e la posició r (detro de esta fila). Luego se tedrá y así sucesivamete. E geeral se tiee la fórmula C(0, 0) = 1 C(1, 0) = 1, C(1, 1) = 1 C(2, 0) = 1, C(2, 1) = 2, C(2, 2) = 1...
1.4. AXIOMA DEL ELEMENTO MÍNIMO 9 C(, r) = C( 1, r 1) + C( 1, r) Este tipo de fórmula, e dode u elemeto se defie e fució de los ateriores se llama fórmula de recurrecia. La posibilidad de defiir elemetos eteros mediate esta técica de la recurrecia se debe al pricipio de iducció, ver [?]. Existe otra forma de expresar los coeficietes del triágulo de Pascal, explícitamete e fució de, la cual probaremos usado iducció. Más precisamete: Proposició 1 Si es u etero positivo, etoces se tiee C(, r) =! ( r)! r! 0 r. (1.2) Demostració Deotaremos por P () la proposició (1.2), y probaremos que P () es cierta para todo, usado el pricipio de iducció. El primer paso de la iducció correspode a = 0, lo cual os da: 1 = C(0, 0) = 0! (0 0)! 0! siedo esto cierto, se tiee que P (0) es cierto. Sea u etero positivo cualquiera, y supogamos que la relació (1.2) sea cierta. Luego debemos probar P ( + 1): C( + 1, r) = ( + 1)! ( + 1 r)! r! 0 r + 1 Sea r etero positivo, 0 < r < + 1. Luego usado la fórmula de recurrecia para C( + 1, r) se obtiee: C( + 1, r) = C(, r) + C(, r 1) =! ( r)!r! +! ( r + 1)! (r 1)! = (r + 1)! ( + 1 r)! r! Si r = 0, se tiee: Si r = + 1 se tiee: C( + 1, 0) = 1 = ( + 1)! ( + 1 0)! 0!
10 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS C( + 1, + 1) = 1 = ( + 1)! (( + 1) ( + 1))! ( + 1)! Por lo tato, hemos demostrado la veracidad de P ( + 1), a partir de la veracidad de P (). Luego la fórmula (1.2) es cierta para todo. Observació: Los úmeros C(, r) so los coeficietes de la expasió del biomio (x + y) y por ello se les llama coeficietes biomiales Ejercicios 1. (Biomio de Newto) Sea x e y úmeros reales cualesquiera y sea u etero positivo. Probar ( ) (x + y) = x r y r r r=1 2. La sucesió de Fiboacci. La sucesió a defiida por recurrecia a 0 = 0, a 1 = 1..., a +1 = a + a 1, se deomia sucesió de Fiboacci. Demostrar, usado iducció sobre, que el térmio geeral de esta sucesió viee dado por: 3. Usado el pricipio de iducció, probar a = 1 ( ) 1 + 5 1 ( ) 1 5 5 2 5 2 1 + 2 2 + 3 2 +... + 2 = ( + 1)(2 + 1) 6 4. Usado el pricipio de iducció, probar 1 + 3 + 5 + 7 +... + 2 1 = 2 5. Usado el pricipio de iducció, probar: 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +... + 2 1 = 2 1 6. Usado el pricipio de iducció, probar la desigualdad 2 <! para todo 4.
1.4. AXIOMA DEL ELEMENTO MÍNIMO 11 7. Probar ( 0 ) + ( 1 ) + + ( ) = 2 8. Probar ( 0 ) 2 + ( 1 ) 2 + + ( ) 2 = ( 2 ) 9. Probar que o existe u úmero etero x co la propiedad: 0 < x < 1. Ayuda: Supoiedo que tal x exista, cosideremos el cojuto de eteros positivos {x, x 2,...}, el cual es distito del vacío y o tiee elemeto miimal. Esto cotradice el axioma del míimo elemeto. 10. Usado el ejercicio aterior, probar que si es u úmero etero cualquiera, etoces o existe etero x co la propiedad: < x < + 1 11. Demuestre que si a es u etero positivo y b es u etero egativo, etoces ab es egativo. 12. Probar el pricipio de iducció a partir del pricipio del míimo elemeto. 13. Probar que el cojuto de los úmeros eteros o está acotado superiormete. 14. Probar que si a y b so dos eteros, etoces ab = 0 a = 0 ó b = 0. 15. Probar que e vale las dos leyes de cacelació, es decir, para todo a, b y c e, co a 0, se tiee ab = ac b = c. ba = ca b = c. 16. Demuestre que o existe u etero a 0, co la propiedad. para todo x etero. a + x = x,
12 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS 17. Probar que toda fució iyectiva f : A A, dode A es cojuto fiito, es sobre. 18. Las potecias de u elemeto a Z se defie recursivamete a 0 = 1, a 1 = a,..., a +1 = a.a. Demuestre que para cualquier etero a Z se satisface las siguietes reglas para las potecias: i) a m.a = a m+ ii) (a ) m = a m, para todos m y eteros. 19. Ua partició e u cojuto A, es ua familia de subcojutos {A i } de A, tales que. i) A i A j =, para i j. ii) i 1 A i = A. Probar que toda relació de equivalecia e A determia ua partició 20. Demuestre que cualquier cojuto de úmeros eteros acotado superiormete posee u máximo. 21. Demuestre que si a y b so impares, etoces su producto es u úmero impar. 1.5 Máximo Comú Divisor E esta secció estudiaremos el famoso teorema de la divisió de los úmeros eteros, y alguos resultados importates que se deriva del mismo. Teorema 1 Algoritmo de la divisió para los úmeros eteros Sea a u etero positivo, y b u etero arbitrario. Etoces existe eteros q y r, úicos, tales que b = qa + r, 0 r < a. El etero q se llama el cociete y r se llama el resto Demostració Primero, probaremos que q y r existe, y posteriormete, probaremos que ellos so úicos. E primer lugar, si b = 0, tomamos q = r = 0. Sea b distito de cero y cosideremos el cojuto D = {b ua u es u etero} Este cojuto cotiee eteros positivos, pues si b > 0, basta tomar u = 0.
1.5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 13 Si por el cotrario b < 0, hacer u = b, co lo cual b ba > 0, y b ba D. Por lo tato el cojuto D +, de elemetos o egativos de D es diferete del vacío. Por el axioma del míimo elemeto, este cojuto posee u elemeto miimal r el cual perteece a D +. Así pues, existe u etero q, tal que o bie y r = b qa, b = qa + r, 0 r. Si supoemos r a, se tiee r a 0 y por lo tato Esto es, b qa a = b (q + 1)a 0. b (q + 1)a D + b (q + 1)a < r, lo cual cotradice la miimalidad del elemeto r. Luego se debe teer r < a. Uicidad: Supogamos que existe otro par de eteros q y r los cuales satisface b = q a + r, 0 r < a. Probaremos que q = q, para lo cual supodremos que q > q. Luego se tiee de dode se obtiee 0 = b b = (q a + r ) (qa + r) = (q q)a (r r ), (q q)a = r r a. lo cual es ua cotradicció, pues r r < a. Similarmete si supoemos q > q llegamos a la misma cotradicció. Por lo tato, se debe teer q = q, y de esto se sigue r = r. Defiició 18 Sea a u etero positivo, y b u etero cualquiera. Diremos que a divide a b, y lo deotamos por a b, si existe otro etero c tal que b = ac. Tambié se dice que b es divisible por a, o bie a es u divisor de b. El cocepto de divisibilidad es uo de los más importates e toda la teoría de úmeros. Uo de los problemas aú o resueltos, cosiste e hallar todos los divisores de u úmero cualquiera dado. Alguas de las propiedades básicas de la divisibilidad, se expoe e la siguiete proposició.
14 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS Proposició 2 Sea a, b y c eteros distitos de cero. Etoces 1. 1 a 2. a 0 3. a a 4. Si a b y b c, etoces a c. 5. Si a b y a c, etoces a bx + cy, para todo par de eteros x e y. Ejercicio. Defiició 19 Sea a y b dos eteros positivos. U etero positivo d, se dice Máximo Comú Divisor etre a y b, si y sólo si satisface 1. d a y d b 2. Si c es otro etero positivo co la codició : c a y c b, etoces c d. El etero positivo d, se deota por d = (a, b). De acuerdo a la defiició, se tiee que el Máximo Comú Divisor d, es el mayor de los divisores comues de a y b. Ejemplo 5 Hallar el Máximo Comú Divisor etre 12 y 18. E primer lugar, buscamos por tateo, todos los divisores comues de ambos úmeros Divisores de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Divisores de 18 : 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Es evidete que el mayor divisor comú es 6, y por lo tato cocluimos (12, 18) = 6. Existe u método práctico para calcular el Máximo Comú Divisor etre dos úmeros, el cual está basado e el algoritmo de divisió. Este método, llamado Método de Euclides para el M.C.D. cosiste e ua serie de divisioes sucesivas y, el Máximo Comú Divisor se obtiee como uo de los restos e el proceso de divisió. Además de dar ua forma costructiva de calcular el M.C.D., permite al mismo tiempo dar ua demostració de la existecia de éste.
1.5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 15 Teorema 2 Método de Euclides Dados dos eteros positivos a y b, el Máximo Comú Divisor etre ellos, d = (a, b), siempre existe. Demostració Podemos supoer, si pérdida de geeralidad que b > a > 0. Luego por el teorema de divisió, existe eteros q 1 y r 1 tales que b = q 1 a + r 1, 0 r 1 < a. Si r 1 = 0, etoces b = q 1 a y por lo tato (b, a) = a, co lo cual queda demostrado el teorema. Si r 0, podemos aplicar de uevo el teorema de la divisió, para obteer u par de eteros q 2, r 2 tales que a = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 Cotiuado de esta maera, se obtiee ua sucesió de eteros positivos decrecietes: r 1 > r 2 >... > 0. Es evidete que esta sucesió es fiita y por lo tato existe, tal que r 0 y r +1 = 0. Luego existe eteros q 1, q 2,... q +1, r 1, r 2,..., r que cumple las relacioes: b = aq 1 + r 1, 0 < r 1 < b a = r 1 q 2 + r 2, 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 < r 3 < r 2. r 2 = r 1 q + r, 0 < r < r 1 r 1 = r q +1 Afirmamos que (a, b) = r. E primer lugar, otemos que de la última ecuació se tiee que r divide a r 1. Por lo tato, r (r 1 q + r ), es decir r divide a r 2. Cotiuado de esta maera, llegamos fialmete, a que r divide a todos los demás r i. E particular r r 1 y r r 2, implica que r r 1 q 2 + r 2 luego r a. Igualmete, usado r a y r r 1 se deduce r b. Fialmete, si c es u etero positivo que divide a a y a b, se tiee c b aq 1,
16 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS o sea, c r 1. Cotiuado de esta maera, se tiee que c r i para todo i y por tato c r. Co esto hemos demostrado las dos codicioes de la defiició de Máximo Comú Divisor para r y por lo tato (a, b) = r. Ejemplo 6 Podemos calcular el Máximo Comú Divisor etre 672 y 38, usado el método aterior, para lo cual haremos las divisioes correspodietes. Luego 672 = 17 38 + 26 38 = 1 26 + 12 26 = 2 12 + 2 12 = 6 2 El último resto diferete de cero es 2, luego (672, 38) = 2. E la demostració del teorema aterior, obtuvimos las ecuacioes r 1 = b aq 1 r 2 = a r 1 q 2. r 1 = r 3 r 2 q 1 r = r 2 r 1 q Observamos que el Máximo Comú Divisor etre a y b, dado por r viee expresado e fució de r 2 y r 1. Ahora bie, e la peúltima ecuació se puede reemplazar r 1 e fució de r 2 y r 3. Cotiuado de esta forma, podemos ir sustituyedo los valores de r i e fució de los ateriores, hasta que tegamos r e fució de a y b. Así pues hemos demostrado el siguiete resultado: Teorema 3 El Máximo Comú Divisor etre dos eteros a y b, se expresa como combiació lieal de a y b. Es decir, existe eteros x e y tales que (a, b) = ax + by Ejemplo 7 Podemos expresar el Máximo Comú Divisor etre 672 y 38 como combiació lieal de ambos, para lo cual usamos las cuatro ecuacioes del ejemplo aterior.
1.5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 17 2 = 26 2 12 2 = 26 2 (38 26) 2 = 3 26 2 38 2 = 3 (672 17 38) 2 38 2 = 3 672 53 38 Ua de las aplicacioes de mayor utilidad que ofrece el teorema de la divisió, es la represetacio de cualquier úmero mediate combiació lieal de potecias de 10. Teorema 4 Si b es u etero positivo, etoces existe eteros úicos r 0, r 1,..., r tales que b = r 10 + r 1 10 1 +... + r 1 10 + r 0 co 0 r i < 10 para todo i. Demostració Usaremos iducció sobre b. Si b = 1 es cierto. Supogamos el resultado cierto para todo etero meor que b, y probaremos la afirmació para b. Podemos dividir b etre 10 para obteer eteros úicos q y r 0 tales que b = q 10 + r 0, 0 r 0 < 10 Como q es meor que b, aplicamos la hipótesis de iducció a q. Luego existe eteros úicos r 1, r 2,..., r, co 0 r i < 10, tales que q = r 10 1 +... + r 2 10 + r 1 Por lo tato b = (r 1 + r 2 10 +... + r 10 1 )10 + r 0 = r 10 +... + r 1 10 + r 0 Es claro que todos los r i so úicos. Co esto termia la demostració. Defiició 20 Dos eteros positivos a y b, se dice primos relativos si el Máximo Comú Divisor etre ellos es uo. Ejemplo 8 Los eteros 20 y 9 so primos relativos, pues (20, 9) = 1. Nótese que 20 y 9 o so úmeros primos.
18 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS El siguiete resultado, que caracteriza las parejas de eteros primos relativos, será de mucha utilidad e el futuro: Teorema 5 Dos eteros positivos a y b so primos relativos, si y sólo si existe eteros x e y tales que ax + by = 1 Demostració Es claro que existe eteros x e y, tal que ax + by = 1 pues 1 es el Máximo Comú Divisor etre a y b. Por otro lado, si supoemos ax + by = 1, para alguos eteros x e y, podemos probar (a, b) = 1. E efecto, si c es u divisor de a y b, se tedrá que c divide a ax + by, o sea c divide a 1. Luego c = 1, y por lo tato el Máximo Comú Divisor etre a y b es 1. Defiició 21 Sea a y b dos eteros positivos, el míimo comú múltiplo etre a y b, es otro etero positivo c, el cual satisface: 1. a c y b c 2. Si e es otro etero, tal que a e y b e, se tiee c e. De la defiició aterior se sigue que c es el meor múltiplo comú etre a y b. Usaremos la otació : [a, b] = míimo comú múltiplo etre a y b. Proposició 3 Sea a, b, y c tres eteros positivos, tales que (a, b) = 1 y a bc. Luego a c. Por el teorema aterior, existe eteros x e y tales que Multiplicado por c teemos ax + by = 1 cax + cby = c Por hipótesis, sabemos que a bc, luego a cby. Tambié se tiee a cax, y por lo tato cocluimos a cax + cby lo cual implica que a c. Para fializar esta secció, daremos ua serie de propiedades fudametales del Máximo Comú Divisor:
1.5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 19 Proposició 4 Sea a, b y c eteros positivos. Etoces 1. Si m es otro etero tal que m a y m b se tiee ( a m, b ) = m (a, b) m 2. Si es cualquier etero (a, b) = (a, b) 3. Si (a, b) = d, etoces ( a d, b ) = 1 d 4. Si x es cualquier etero, etoces (b, a + bx) = (a, b) Demostració 1) Sea d = (a, b), y probaremos ( a m, b ) = d m m Notemos e primer lugar que d/m es u etero. E efecto se tiee ax + by = d, y por lo tato a m x + b m y = d m e el lado izquierdo de la ecuació teemos u etero, luego d/m es etero. Por otra parte, como d divide a a, se tiee que d/m divide a a/m. Igualmete se tedrá que d/m divide a b/m. Fialmete, si c es otro etero que divide a a/m y b/m, se tedrá a m = cj y b m = ck para alguos eteros j y k. Multiplicado ambas ecuacioes por m os da de dode obteemos a = mcj y b = mck mc a y mc b Usado la defiició de Máximo Comú Divisor para d, se tiee que d divide a mc, y por lo tato d/m divide a c.
20 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS Así pues, hemos probado 1). 2) Usado 1) se tiee luego 3) Usar 1) co m = (a, b). (a, b) = ( a, b ) = (a, b) = (a, b) (a, b) 4) Observar que (a, b) a y (a, b) b. Luego (a, b) ax + b. Si c es u etero que divide tato a b como a a + bx, se tedrá c ((a + bx) bx) y e cosecuecia c a. Luego c divide al máximo comú divisor etre a y b, el cual es d. Así pues, hemos probado (b, a + bx) = (a, b) = d. Ejemplo 9 (200, 300) = (2, 3)100 = 100. Ejercicios 1. Sea u etero positivo. Probar que 3 + 2 es divisible etre 3. 2. Probar que el producto de tres eteros cosecutivos es divisible etre 6. 3. Usado el algoritmo de Euclides, hallar (a) (122,648) (b) (715,680) (c) (1581,206) (d) (3742, 843) (e) (120, 560) (f) (458, 1290).
1.5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 21 4. Demuestre que si (a, b) = 1, etoces: (a b, a + b) = 1 ó 2. 5. Demuestre que si ax + by = m, etoces (a, b) m. 6. Demuestre que si (a, b) = 1, y b a y c a, etoces bc a. 7. Demuestre que si (b, c) = 1, etoces para todo etero positivo a, se tiee (a, bc) = (a, b)(a, c). 8. Usado lo aterior hallar (40, 600). 9. El Máximo Comú Divisor para tres úmeros eteros positivos a, b y c, deotado por (a, b, c) se defie como el etero positivo d que satisface: (a) d a, d b, y d c (b) Si f es otro etero tal que f a, f b y f c etoces f d. 10. Probar que (a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c)). 11. Hallar el Máximo Comú Divisor de (a) ( 23,12,18) (b) (90, 80, 56) (c) (65, 20, 190). 12. Hallar ua solució e úmeros eteros de la ecuació 21x + 25y = 1 13. Probar que el míimo comú múltiplo etre dos eteros a y b siempre existe. 14. Si c a y c b, etoces [a/c, b/c] = [a,b] c. 15. Demostrar la fórmula 16. Usado la fórmula aterior, calcular (a) [12, 28] (b) [120, 50] (c) [34, 62] (d) [88, 340. [a, b] = ab (a, b)
22 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS 1.6 Teorema de Factorizació Uica Defiició 22 U etero positivo p, distito de 1, se dice que es primo si los úicos divisores de p so 1 y p. Ejemplo 10 Los úmeros 2, 3, 19 so primos. Los úmeros eteros positivos que o so primos, se les llama compuestos, como por ejemplo 6. Es decir, todo úmero compuesto es de la forma dode 1 < m 1 < m y 1 < m 2 < m. m = m 1 m 2, Los úmeros primos y su distribució detro de los úmeros eteros, ha sido estudiados desde la atigüedad. Ellos ha ejercido ua atracció fasciate sobre los matemáticos, debido a la forma ta irregular como aparece e la sucesió de los eteros. Muchos matemáticos ha tratado e vao de hallar ua fórmula que geere exclusivamete úmeros primos. Así por ejemplo, Pierre Fermat cojeturó que todo úmero de la forma s() = 2 2 + 1 era primo. Esto lo comprobó para = 1,2,3 y 4. Si embargo e 1732 Leohard Euler demostró que s(5) o era primo. Existe ua gra catidad de problemas, aú o resueltos, sobre los úmeros primos. Alguos de ellos será tratados e las próximas seccioes. El método más elemetal para hallar la sucesió de los primos, es el llamado Criba de Eratóstees. Este cosiste e colocar los úmeros eteros positivos e orde creciete, formado diez columas de la siguiete forma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30... Etoces comezamos por elimiar de la lista todos los úmeros pares, luego los múltiplos de tres, luego los de cico,... y así sucesivamete, hasta agotar todos los úmeros compuestos. Es evidete que los restates úmeros e la lista será todos los úmeros primos. Teorema 6 Todo úmero etero positivo, mayor que uo, puede ser factorizado como u producto de úmeros primos.
1.6. TEOREMA DE FACTORIZACIÓN UNICA 23 Demostració Sea m el úmero e cuestió. Usaremos iducció sobre m, para probar la proposició m puede ser factorizado como u producto de primos. E primer lugar, la proposició es cierta para m = 2, pues 2 mismo es u úmero primo. Supógase la veracidad de la proposició, para todo úmero meor que u cierto k, es decir, todo úmero meor que k y mayor o igual a dos, puede ser factorizado como producto de primos. Cosideremos ahora k. Si k es primo, etoces o hay ada que probar y el resultado será cierto para k. Si por el cotrario, k resulta ser compuesto, etoces teemos k = m 1 m 2 dode 2 m 1 < k y 2 m 2 < k. Podemos etoces aplicar la hipótesis de iducció, tato a m 1 como a m 2, es decir cada uo de ellos se factoriza como u producto de primos. Luego m 1 = p 1 p 2... p s dode los p i, q j so úmeros primos. Por lo tato teemos esto es, u producto de primos. m 2 = q 1 q 2... q t k = m 1 m 2 = p 1 p 2... p s q 1 q 2... q t Observació: Es posible teer alguos primos repetidos e la factorizació de u úmero compuesto. Por ejemplo 24 = 2.2.2.3. E todo caso, podemos agrupar aquellos primos iguales usado poteciació. Esto es todo etero positivo puede ser escrito de la forma = p α 1 1 p α 2 2... p αs s (1.3) dode los p i so todos primos diferetes y los α i so mayores o iguales a uo. La siguiete proposició es fudametal para la demostració del teorema de factorizació úica. Proposició 5 Sea p, p 1, p 2,,... p úmeros primos, tales que p p 1.p 2... p. Etoces p = p i para algú i. Demostració Usaremos iducció sobre.
24 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS Para = 1, el resultado es cierto. Supogamos que p es distito de p 1, etoces teemos (p, p 1 ) = 1 y p p 1 (p 2 p 3... p ) Luego por la proposició 2 se obtiee p p 2.p 3... p Usado la hipótesis de iducció, se cocluye que p = p i para algú i. Teorema 7 Todo úmero etero positivo, tiee ua factorizació úica de la forma = p α 1 1 p α 2 2... p αs s Demostració Supogamos que tiee dos factorizacioes distitas = p α 1 1... p αs s = q β 1 1... q βt t (1.4) Probaremos e primer lugar que s = t y posteriormete probaremos que para todo i, co 1 i s, se tiee p i = q j, para algú j y α i = β j. Usaremos iducció sobre. Si = 1, etoces la tesis del teorema se cumple. Supogamos que el teorema es cierto para todo etero positivo k, co k < y probemos el resultado para. Sea etoces como e (1.4). Notemos que p 1 divide al producto de primos q β 1 1... q βt t, luego por el lema aterior p 1 debe ser igual a alguo de ellos, digamos q i. Podemos etoces cacelar p 1 e ambos lados de (1.4), co lo cual tedremos que /p 1 posee dos factorizacioes. Si se aplica etoces la hipótesis de iducció se obtiee el resultado. Uo de los primeros resultados acerca de los úmeros primos, y que aparece demostrado e Los Elemetos de Euclides, es el siguiete. Teorema 8 Existe ifiitos úmeros primos. DEmostració Supógase que hay solamete u úmero fiito de primos, digamos p 1, p 2,..., p. Etoces el úmero x = p 1 p 2... p + 1
1.6. TEOREMA DE FACTORIZACIÓN UNICA 25 puede ser factorizado como producto de primos. Si embargo, igú primo p i, de los ates mecioados, puede estar etre los factores de x, pues p i o divide a x; Por qué? Ejercicios 1. Hallar la descomposició e factores primos de: (a) 165 (b) 670 (c) 124 (d) 1567 (e) 444. 2. Por medio de la Criba de Eratóstees, hallar todos los primos meores que 200. 3. Probar que si 1 o es primo, etoces tiee u divisor primo, el cual es meor o igual a. 4. Usado el resultado aterior, implemete u algoritmo de computació para determiar cuádo u úmero es primo. 5. Determie cuáles de los siguietes úmeros so primos: (a) 941 (b) 1009 (c) 1123 (d) 1111 (e) 671 (f) 821. 6. Alguos primos so de la forma 4k + 3, como por ejemplo: 7, 11, 23,... etc. Probar que hay ifiitud de ellos. Ayuda: Usar u argumeto similar al empleado por Euclides co el úmero x = 4.p 1 p 2... p + 3. 7. Probar que hay ifiitos primos de la forma p = 4k + 1. 8. Demostrar que 2 524 1 o es primo.
26 CHAPTER 1. LOS NÚMEROS ENTEROS 9. Sea y etoces probar dode δ i = mi{α i, β i }. dode γ i = max{α i, β i } a = p α 1 1... p α b = p β 1 1... p β, (a, b) = p δ 1 1... p δ [a, b] = p γ i 1... p γ 10. Use el ejercicio aterior para hallar (a) (240, 45) (b) [240, 45]. (c) [1650, 7800] (d) [235, 7655] 11. Probar que 5 es u úmero irracioal.