1. Sstemas Físcos 1. Sstemas Físcos 1 1.1. Introduccón 1.. Sstemas Mecáncos 3 1.3. Sstemas Eléctrcos 5 1.4. Sstemas Hdráulcos 7 1.5. Sstemas Múltples 11 1
1.1. Introduccón Sstemas lneales y no lneales. No exsten sstemas lneales Pero,... en este curso smplfcaremos todos los sstemas a sstemas lneales.
1.. Sstemas Mecáncos Ejemplo 1. Traslacón Mecánca ma Ley de Newton = F [1.1] ma() t = bv( t) kx( t) + p( t) [1.] d x t () dx() t () () m = b kx t + p t [1.3] dt dt d x() t dx() t m + f + kx () t = p() t [1.4] dt dt Nseg seg m seg m [ g] m + m + N [ m] = [ N] [1.5] 3
Ejemplo. Rotacón Mecánca Ley de Newton Jα = P [1.6] Ahora quero ver cómo varía la velocdad () = ω () + () & [1.7] Jω t b t P t rad = + seg seg [ ] rad [ ] Nmseg Nmseg Nm [1.8] 4
1.3. Sstemas Eléctrcos Ejemplo 3. Crcuto Eléctrco Ley de Krchhoff d 1 L + R+ dt = e dt C ec [1.9] tensón en el condensador 1 = dt [1.1] C seg F [ H] A +Ω [ ][ A] + 1 [ Aseg] = [ V] En térmnos de carga eléctrca, [1.11] dq d d dq d q dq L + R+ dt = L + R + q= L + R + q dt C dt dt C dt dt C dq 1 dt 1 1 [1.1] dq 1 + + = [1.13] L R q e dt dt C 5
comparar esta ecuacón con la de traslacón mecánca. Ejemplo 4. Ssmógrafo ( ) ( ) mx && b x& x& k x x + + = ( ) y = x x my && + by& + ky = 6
1.4. Sstemas Hdráulcos Ejemplo 5. Nvel de Líqudos Qo = K H lnealzando qo = R h la constante dv q qo dt = dh A q R h dt = o 7
Ejemplo 6. Sstema de Dos Tanques q 1 = h h R 1 1 dh A = q q dt h 1 1 1 R = q dh A = q q dt 1 8
Ejemplo 7. Sstema Neumátco Se defne Kg d P m varacòn de dferenca de presón de gas R = = = dq Kg varacòn de caudal seg Kg 3 dm dρ 3 m varacòn de la masa de gas acumulado C = = V = m dp dp = Kg varacòn de presón de gas m 9
en una aproxmacón, se puede consderar dρ 1 = dp nr T gas para una msma temperatura, esta varacón es constante En la fgura, se ntenta controlar la presón nteror, varando la presón de entrada d P R = dq p p q dm qdt d ρ C = = = V dp dp dp Cdpo = o o o qdt dpo p po C = dt R dpo RC + po = p dt o 1
1.5. Sstemas Múltples Ejemplo 8. Sstemas múltples ( ) ( ) mx && + b x& x& + kx = u 1 1 1 1 1 1 1 mx && + b x& x& + kx = u 1 1 11
Ejemplo 9. Acelerómetro la caja está unda a la estructura del avón ( ) ( ) ( ) mx && + b x& x& + k x x mgsen θ = y = x x my && + by& + ky = mx && + mg sen( θ ) nuevas varables mg z = y+ sen( θ ) k w= && x mz && + bz& + kz = mw b k && z+ z& + z = w m m 1
Ejemplo 1. Tren de Engranajes J && θ + f & θ + T = T 1 1 1 1 1 m J && θ + f & θ + T = T 3 gualdad de trabajos Tθ = Tθ T 1 1 N = T N 1 1 J && θ + f & θ + T = T T 3 3 3 3 l 4 N = T N 4 3 N N θ = θ = θ 4 3 N 3 1 3 3 1 N4 N N4 13
N N N J && θ + f & θ + J && θ + f & θ + J && θ + f & θ + T = T 3 ( ) ( l) 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 N N N4 N1 N1 N 3 N1 N1 N 3 N1 N3 J1+ J + J 3 1 f1 f f 3 1 T l T N N N && θ + + + θ 4 N N N & + = 4 N N4 J && θ + f & θ + T = T 1eq 1 1eq 1 1eql m m m 14
Ejemplo 11. Tanque Agtado FT, h F st T Q FT, ρv Masa total de líqudo en el tanque = ρ Ah donde, ρ : densdad del líqudo (se supone ndependente de la temperatura) V : volumen del líqudo A, h: área del recpente y altura del líqudo 15
( nt) ( ) ( ) E = U + K cn + P pot dk dt como el tanque no se mueve dp de du = =, = = dt dt dt para líqudos du dh dt dt sendo H la entalpía total del líqudo en el tanque y es, ( ) ρ ( ) H = ρvc T T = Ahc T T p ref p ref donde c p : capacdad calórca del líqudo en el tanque T ref : la temperatura a la cual la entalpía específca es cero. 16
T Se defnen las sguentes varables de estado: x = [ h T] parámetros constantes: ρ, A, c, T p ref Balance de masa: ( ρ Ah) d = ρf ρf F, F : caudales de entrada y salda dt Ah& = F F Balance de energía: Acum. de energía energía de entrada energía de salda energía del vapor = + tempo tempo tempo tempo dh dt ( ref ) d ρ Ahcp T T = = ρfc p( T Tref ) ρfc p( T Tref ) + Q dt sendo Q la energía calórca por undad de tempo del vapor 17
suponendo T ref = dht Q A = FT FT + dt ρc p dht dt dh dt Q A = Ah + AT = Ah + T( F F) = FT FT + dt dt dt dt ρc dt Q Ah = F( T T ) + dt ρc Las ecuacones de estado son: Ah& = F F AhT& = F( T T ) + Q ρc p p T varables de estado: x = [ h T] T varables de salda (meddas): y = [ h T] T varables de entrada (manpuladas): u = [ Q F] p 18
T perturbacones (no controladas): d = [ T F] parámetros constantes: ρ, A, c, T p ref Analzar: - equlbro - una reduccón de T - una reduccón de F Lnealzacón en un punto de trabajo. Equlbro Ah& = F F = AhT F T T Q ρc & = ( ) + = F( T T) p F = F = F Q = ρc p 19
desarrollo en sere entorno al punto de equlbro F F dh& dh& 1 1 1 h& = + F F + F F = F F F F = F F A A df df A A A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F Q F Q & = ( ) + = ( ) + + Ah c Ah Ah ρcpah T T T T T ρ p T T F F + + + ( F F ) ( T T ) ( T T ) Ah Ah Ah 1 F Q 1 + + ρcah A ca h p ( ) ( Q Q ) ( T T) ( h h ) ρ p T T F F 1 F Q 1 T& = F + T T + Q ( T T) + h Ah Ah Ah ρcpah A ρcpa h
h& h b1 Q bd1 T = T a1 a T + b1 F + bd1 b d F & h 1 h = T 1 T 1
Ejerccos
3
Ejemplo 1. Servomotores Dos tensones desfadas 9 grados. Fase fja: 6, 4, 1 Hz. El sgno de Ec da el sentdo de gro y el par generado es proporconal a la ampltud de Ec. Relacón torque-velocdad. Para certo entorno se puede consderar lneal. J = J + n J m c b= bm + n bc T = K & θ + K E = J&& θ + b& θ n c c ( ) J && θ + b K & θ = K E n c c 4
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Ejemplo 13. Motor Controlado Por Armadura ψ = K f f T = K f fk a = Ka efcem = eb = K & bθ L& + R + e = e a a a a b a J && θ + b & θ = T = K a 6
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Ejemplo 14. Motor de CC controlado por Campo ψ = K f f T = K K = K f f a f L& + R = e f f f f f J && θ + b& θ = T = K f 8
Ejemplo 15. Sstema Hdráulco Relacón no lneal (, ) Q= f X P [1.14] 9
Lnealzacón sobre un punto de operacón Q Q Q f ( X, P) = Q Q = ( X X) + ( P P) + X P Se podrían tomar ncrementos Q Q = q X X = x P P = p X= X X= X P= P P= P [1.16] q= k1x k p [1.17] Volúmenes Aρ dy = q dt [1.18] dy dt velocdad de salda q Aρ = [1.19] dy Aρ = kx 1 k p [1.] dt L [1.15] 3
La fuerza desarrollada por el pstón es A dy F = A p= k1x Aρ k dt La ecuacón de la carga [1.1] A my && + by& = F = ( k1x Aρ y& ) [1.] k A Ak && & [1.3] k k 1 my + b + ρ y = x 31
Cuádruple Tanque 3,7( 1 γ ) ( )( ) 3,7γ 1 y1 6s+ 1 3s+ 1 6s+ 1 u1 y = 4,7( 1 γ1) 4,7γ u ( 3s+ 1)( 9s+ 1) 9s+ 1 3