Matemáticas : - 5 Problema.Sobre una determinada montaña, la elevación z arriba de un unto (x; ) en el lano XOY a nivel del mar es de z :x :4, donde x, z están en metros. El eje x ositivo señala hacia el este, el eje ositivo hacia el norte una alinista se encuentra en el unto ( ; ). a) Si la alinista utiliza una lectura de brújula ara caminar hacia el oeste, comenzará a ascender o a descender? b) Si la alinista utiliza una lectura de brújula ara caminar hacia el noreste, ascenderá o descenderá? A ué razón? c) En ué dirección de la brújula debe comenzar a caminar la alinista ara recorrer una traectoria horizontal? d) En ué dirección de deberá comenzar a caminar si retende tomar la ruta más ráida hacia la cima de la montaña? a) escender. b) La dirección Noreste viene dada or el vector v ne (; ) ue unitario sería El Gradiente de la función es En el unto ( ; ) vale v neu ; ;!! rz (x; ) ( :4x; :8)! rz ( ; ) ( :4 ( ) ; :8 ) (8; 6) La derivada direccional uedará ; z ( ; ) (8; 6) ;! 4 Por lo tanto desciende a una razón de 4. c) Queremos una dirección en la cual la derivada direccional sea nula. Es decir, buscamos un vector (v ; v ) de forma ue su roducto con el gradiente sea cero: o lo ue es lo mismo Es decir, cualuier vector de la forma nos roorciona un ascenso nulo. (8; 6) (v ; v ) 8v 6v v 6 8 v v (; ) v d) La dirección de ascenso más ráido viene dada or el gradiente en el unto! rz ( ; ) (8; 6) Problema. Encuentra los untos de la esfera x + + z 45 ue estén más cerca más lejos del unto (; ; ).
L (x; ; z) (x ) + ( ) + (z ) + x + + z 45 x + x + 4 z + z x + + z 45 Resolviendo el sistema tenemos los untos! ; ; ;! ; Sustituimos en la función distancia d (x ) + ( ) + (z )! v u d ; ; t! + +! 9: 57 7 d ;! v u ; t! + +! 4: 58 7 Por lo tanto la distancia mínima se alcanza en el unto ;. ; Problema. ; ; la distáncia máxima en el unto. a) Halla la derivada de segundo orden de la función (x) de nida imlícitamente or x + d dx F x F d dx b) Transforma la ecuación diferencial x x x x x x x + x x x ln (x) mediante el cambio x e t.
d dt dt dx d e t dt d e t e t dt + d e t dt e t ( et t t) + e ( et t t + t) t t + t + (t t) t e t t t 4t te t ( et t t) ( t t t ) Problema 4. ado el camo vectorial dado or! F (x; ; z) z cos + ze xz + z! i + xz sin + xze xz + xz! j + (xz + x cos + xe xz )! k. Se ide a) Probar ue el camo! F es conservativo. b) La función otencial de! F sabiendo ue en el unto (; ; ) vale. c) El trabajo realizada al deslazar el unto de alicación de! F a lo largo de la curva x (t) 8 cos (t) (t) 4 sin (t) z (t) t ara t [; ], de dos formas diferentes. a) Para robar ue es conservativo calculamos el rot debe dar cero. En efecto, rot xz x sin + xe xz + x ze xz xz x sin + xe xz + x ze xz! i! j z + cos + e xz + x ze xz z + cos + e xz + x ze xz +! +! k ze xz z sin + z + xz e xz ze xz z sin + z + xz e xz b) ntegrando obtenemos la siguiente función otencial omo en el unto (; ; ) vale, tenemos ue U (x; ; z) xz cos + e xz + xz + U (; ; ) + + + Por lo tanto la función otencial buscada es U (x; ; z) xz cos + e xz + xz +
c) Por una arte tenemos ue!! F dr U (8; ; ) U (8; ; ) 6 + 6 or otra arte, emleando el camino x (t) 8 (t) z (t) t t en lugar del roorcionado en el enunciado, llegamos a la misma solución.!! F dr z cos + ze xz + z dx + xz sin + xze xz + xz d + (xz + x cos + xe xz ) dz Z 8dt 6 Problema 5. Un sólido no homogéneo es tal ue coincidiendo con la región del esacio limitado sueriormente or el hierboloide x a + b + z ara z, e inferiormente or el cono x a + b z ara z, la densidad en cada unto de es directamente roorcional a su altura. alcula la masa M del sólido. En rimer lugar, resolviendo el sistema formado or las dos ecuaciones, llegamos a ue Sustituendo en la segunda ecuación z r z Si realizamos el cambio x a + b x a cos () b sin () J a b llegamos a la integral Z M zdxddz V Z! zdz dxd ab Z d 6 ab 4
Problema 6. ado el camo vectorial! V (x 5)~i+(x z)~j +xz ~ k, calcula el ujo de rot! V a través de la orción de suer cie S del araboloide de ecuación z 8 x ue se encuentra or encima del lano z. Emleando Stokes, es su ciente con resolver la integral curvilínea a lo largo del camino x 6 cos () 6 sin () z obteniendo S!V Z ( 6 cos () 5 6 sin ()) sin () + (6 cos () 6 sin ()) 6 cos () + 6 cos () d 5 6 Problema 7. onsidera el camo vectorial de nido or! F (x + )~i + (xe z )~j + z ~ k, a) Utiliza el teorema de Ostrogradski ara calcular el ujo del camo vectorial! F a través de la suer cie cilíndrica cerrada delimitada or x + 9, z z 4. b) alcula las integrales de ujo del camo vectorial! F a través de las taas inferior S, suerior S del cilindro. c) Utilizando los resultados de los aartados anteriores, halla el ujo del camo vectorial! F a través de la suer cie lateral del cilindro. a) Por una arte div + z + z Por lo tanto, or Ostrogradski, tenemos Z S S div Z Z Z 4 ( + z) dz d d 8 b) Tomamos la suer cie z, entonces la integral de ujo, tomando! n como vector normal, es S! n + zx + zdxd z dxd dxd Tomamos ahora la suer cie z 4, entonces la integral de ujo, tomando! n como vector normal, es Z Z S! n + zx + zdxd z dxd 4 dxd d 6d 44 c) Por último tenemos ue el ujo a través del cilindro será S S S 8 44 6 5