Posble solucó del exame de Ivestgacó Oeratva de Sstemas de setembre de 2 Problema : ( utos Dos bolas blacas está colocadas e ua mesa al lado de ua bolsa que cotee ua bola blaca y dos egras. Reteradamete se extrae ua bola de la bolsa que se coloca a derecha de las dos aterores y desués se devuelve a la bolsa la bola de la zquerda. Determar: a El dagrama de trascó de estados y la matrz de trascó de ua cadea de Markov que modele esta stuacó. b El úmero medo de bolas blacas que hay a la larga fuera de la bolsa. Solucó: Aartado a: Sabedo de qué color so las bolas que está fuera de la bolsa, odemos deducr las que hay detro. Por lo tato, los estados será de la forma ID, dode I es el color de la bola que está fuera y a la zquerda, y D es el color de la bola que está fuera y a la derecha. El couto de estados será: S{BB, BN, NB, NN}. a matrz de trascó corresodete es: / Q 2/ 2/ / 2/ / El dagrama de trascó de estados (DTE corresodete es el que sgue: / BB 2/ 2/ / BN 2/ / NN NB Aartado b: Como esta cadea de Markov es fta y ergódca, odemos afrmar que exste la dstrbucó estacoara. Debemos hallar dcha dstrbucó estacoara, ya que os drá qué robabldad hay de ecotrarse e cada estado (a la larga, y estas robabldades será
ecesaras ara hallar el úmero medo de bolas blacas fuera de la bolsa. Para calcular la dstrbucó estacoara, lateamos el sguete sstema de ecuacoes: BB BB BN T BN Q NB NB NN NN + + BB + BN NB NN El sstema uede resolverse, or eemlo, fado BB y ormalzado luego. a solucó fal del sstema es: BB ; ; ; BN NB NN o que os de es la eseraza de la varable aleatora cuyo valor es el úmero de bolas blacas fuera de la bolsa. Dcha eseraza será: Problema 2: ( utos [ Número de bolas blacas] 2 + + + E BB BN NB NN 2 6 2 + + + bolas 5 Ua emresa automovlístca debe establecer ua cadea de motae. a dsoscó de las máquas es como muestra la sguete fgura:,5,2 4 6, 2,8 5 El fabrcate os roorcoa el temo de esera (e mutos de cada sstema que forma la : W,5454 W 2 W 2,8574 W 4,255754 W 5,78788 W 6,8882
a S cada muto que se esera e la (W le cuesta a la emresa euros, Cuál es la érdda total or cada vehículo que se mota e la exuesta? b S comramos ua máqua que susttuye la máqua que os cuesta 25 euros co 2. Obtedremos u mayor beefco e la emresa? Solucó: Aartado a: Segú el dagrama tedremos las sguetes etradas a la : γ,5 cletes/m, γ 2, cletes/m, {, 4, 5, 6}, γ Para hallar W ecestamos coocer, y a su vez ara ello ecestamos calcular los úmeros medos de trabaos ara cada odo. E rmer lugar hallaremos las tasas de llegadas a cada odo medate las ecuacoes de equlbro: γ,5 cletes/m 2 γ 2, cletes/m + 2,45 cletes/m 4,2,9 cletes/m 5,8,6 cletes/m 6 4 + 5,45 cletes/m Alcamos el teorema de ttle a cada odo, W,88 cletes 2 2 W 2, cletes W,28574 cletes 4 4 W 4,28 cletes 5 5 W 5,664 cletes 6 6 W 6,8882 cletes W : Alcamos la ecuacó ara y osterormete la de W, e este últmo caso sabedo que γ + γ 2,45 cletes/m: Aartado b: 6 2,64459 cletes ; W 5,8765 m. a érdda or cada vehículo será de ( W 5876,5 Debemos recalcular W, teedo e cueta que el odo ha cambado su servdor. Utlzado las ecuacoes que aarece al fal del eucado obteemos el uevo valor del úmero medo de trabaos e el odo :
W q +,225 2 ( W q + +,292 trabaos Como hcmos e el aartado a, alcamos la ecuacó ara y osterormete la de W : 6,648967 cletes; W,6647m. Nótese que los fluos etre odos o varía (las ecuacoes de equlbro o ha cambado. El coste total ahora será 25 + ( W 664,7. Así ues, la alteratva orgal (la del aartado a es la más beefcosa. Problema : (4 utos E u almacé de frutas hay 8 klogramos de araas, 8 klogramos de mazaas y 5 klogramos de uvas. Estas frutas se coverte e zumo de dos tos (A y B. Cada ltro de zumo to A se fabrca a artr de klogramo de araas, 2 klogramos de mazaas y klogramo de uvas y cada ltro de zumo to B se fabrca a artr de 2 klogramos de araas, klogramo de mazaas y klogramo de uvas. El beefco que se obtee co cada ltro de zumo to A es de,2 y co cada ltro de zumo to B de,4. Determar medate el método gráfco : a a catdad (e ltros de cada to de zumo que se debe fabrcar ara cosegur uos beefcos máxmos. b El valor de dchos beefcos máxmos. Solucó: Varables de decsó: x ltros de zumo to A que se fabrcará x 2 ltros de zumo to B que se fabrcará Restrccoes: x + 2 x 2 8 2 x + x 2 8 x + x 2 5 x, x 2 Fucó obetvo que maxmzar: f(x, x 2,2 x +,4 x 2 El gráfco corresodete será:
Aartado a: os utos extremos más teresates so A(4,, B(,2 y C(2,. Se latea la duda de s será B la solucó ótma o be lo será C. Para saberlo hallamos los valores de la fucó obetvo e ambos utos: f(b,2 +,4 2 64 euros f(c,2 2 +,4 66 euros Se observa que el uto C es la solucó ótma úca de este roblema (x 2, x 2. Aartado b: El valor ótmo ya se calculó e el aartado ateror y es de 66 euros. FÓRMUAS DE TEORÍA DE COAS M/M/ ; ( ; q 2 e t / W t / W ; W ( t e q ( W t M/M/c ; c c c c +!( c c ( c! c c c! ( c!, s,,..., c ;, e otro caso q c c+ c c! ( 2
M/M/ y M/M/c W W q + ; q Wq ; W M/M//k ( ( k k +, s k + k + ;, s k k +, s 2 W W q + ; q efwq ; efw ; ef ( k Redes de Jackso abertas K K γ ; ; W ; V Redes de Jackso cerradas + ( m W( m ; c ( m m W ( m ; W( m * K * +, s ( m ( m ; ( W ( m