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págin 16 EXPONENTES L ide de los exponentes nce con l necesidd de revir cierts multiplicciones. Como es sido, cundo se multiplic un cntidd n por sí mism k veces, o se n nn... n k veces se revi n k, es decir que n nn... n n k veces k Por ejemplo, pr no escriir, se revi 6, que visto l invers signific. Con est noción de que l potencición es un multiplicción revid, es fácil entender por qué, por ejemplo, = + = 9, es decir que l multiplicr dos cntiddes con l mism se, l regl es que se sumn los exponentes, y que 9 Entonces puede firmrse que: Cundo se multiplicn dos cntiddes con l mism se, el producto tiene l mism se con exponente igul l sum de los dos exponentes originles. m n m n Ejemplo 1: 12 12 = + 12 = 17
págin 17 DIVISIÓN Es fácil entender tmién por qué, l invers, l dividir 7 = 7 - = 2, es decir que l dividir dos cntiddes con l mism se, l regl es que se restn los exponentes conservndo l mism se, y que 7 O ien, si se quiere dividir, por ejemplo, 2, y que 2 Lo nterior puede sintetizr en l siguiente regl: Cundo se dividen dos cntiddes con l mism se, el cociente tiene l mism se con exponente igul l rest de los dos exponentes originles conservndo l mism se. m n m n Ejemplo 2: d 7 d d 7 d = d 7-1 = d 6 Ejemplo : 6 6 x 2 x 2 6 6 x 2 x 2 = 6-1 6 - x 2-2 =
págin 18 POTENCIAS DE POTENCIAS Finlmente es fácil tmién entender, prtir del significdo de un exponente, por qué, por ejemplo, 2 2 8 exponentes, y que, es decir que l elevr un potenci otr potenci, l regl es que se multiplicn los 2 8 De l mism form, si hor se quiere elevr 2 st recurrir de nuevo l definición de poten- ci pr deducir l mner en que dee efecturse, en este cso elevr l cuo es l revitur de her multiplicdo tres veces por sí mismo. Efectivmente, 2 2 2 2 = 9 6 Se ve que l mism regl recientemente descrit, que se sumn los exponentes, sigue plicándose, solmente que en form distriutiv sore cd literl. Es decir que: Cundo un cntidd m se elev l potenci n, se multiplicn los exponentes mientrs l se vuelve ser l mism. m n m n
págin 19 Ejemplo : 7 7 7 28 9 Ejemplo : cx 2 2 cx c x cx 9 2 1 2 9 2 6 2 18 7 Ejemplo 6: 2 x y Recordr que un inomio l cudrdo es igul l cudrdo del primer término más el dole producto del primero por el segundo más el cudrdo del segundo término. Entonces 7 7 7 x y x 2 x y y 2 2 2 x 2xy y 2 7 7 2 x 2xy y 6 7 1 POTENCIAS DE FRACCIONES Recurriendo nuevmente l significdo de exponente, result sencillo deducir el resultdo de elevr un frcción un cierto exponente, pr lo cul únicmente se requiere recordr que dos frcciones se multiplicn numerdor por numerdor y denomindor por denomindor. Así, si se quiere efectur, por ejemplo, 2, se tiene que 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 6 que no es otr cos que el resultdo de elevr el numerdor l cuo y el denomindor l cuo. Es decir que
págin 10 Pr elevr un frcción l potenci k, se elevn seprdmente tnto el numerdor como el denomindor dich potenci k. k k k Ejemplo 7: 6 x y 6 x y x 6 y x y 6 1 x 20 y 2
págin 11 EJERCICIO 11.1 Efectur ls siguientes operciones con exponentes: 1) 6 2 2) t 9 t ) q 11 q 10 ) x 1 x ) y 19 y 11 6) c 1 c 12 7) 17 8) 16 16 9) x 20 x 20 2 x y 10) 11) 12) 7 c 8 7 11 t 1) 1) 1) 2 2 n m 2 16) h w 11 17) k j 7 18) 2 2 19) 20) r 11 q 8 21) 2 6 9 2 2d ef 7 6 10 2 x y 22) 2) 2) 2 9 f h 8 k 2 2 c x 2) 26) 27) 2 6 x 28) 29) 0) 2 8 e y 11 7 cd xy 9 deh 1 1) 2) ) 2 xy x y 1 2m q 9 8
págin 12 EXPONENTES NEGATIVOS Tods ls regls de los exponentes están sds en su propi definición de ser un multiplicción revid. Un cso interesnte es cundo se tiene un cntidd entre sí mism, por ejemplo, 12 12, que plicándole l regl respectiv de restr los exponentes se lleg que 12 12 = 12-12 = 0 y como se se que culquier cntidd dividid entre sí mism d 1, eso signific que 0 = 1. Se puede generlizr fácilmente imginndo que culquier número elevdo l potenci cero es igul 1, y que viene de dividir un cntidd entre sí mism, lo que originó un rest de exponentes igules. Culquier cntidd con exponente 0 es igul 1, y que se trt de un división de un cntidd entre sí mism. Aún más, si se tiene hor, por ejemplo, 2, plicndo l regl respectiv de restr exponentes se lleg que que es lo mismo que 2 = 2 - = - (A) 1 2 (B) Por lo tnto ls expresiones (A) y (B) deen de ser igules, esto es que 1 De quí se desprende l siguiente regl Si un cntidd escrit en el numerdor se trsld l denomindor, su exponente cmi de signo. Y l invers, si un cntidd escrit en el denomindor se trsld l numerdor, su exponente cmi de signo.
págin 1 Ejemplo 8: Escriir l siguiente expresión de mner que no prezc con exponentes negtivos. c x 2 8 L literl y tiene exponente positivo, por lo tnto no dee hcérsele nd, si está en el numerdor dee quedr llí. Lo mismo puede decirse de l literl x. En cmio, como l c tiene exponente negtivo dee trsldrse l denomindor pr que l cmir su signo prezc con su exponente positivo; y como l tmién tiene exponente negtivo dee trsldrse l numerdor pr que su exponente cmie positivo (ver figur 11.1), de mner que se otiene figur 11.1 Ejemplo 9: c x c x 2 2 8 8 Escriir l siguiente expresión con tods ls cntiddes en el numerdor. d y cx 8 9 1 Tods ls cntiddes del denomindor, tomds un por un (,, c, x - 1 ), deen cmir de signo en su exponente l trsldrse l numerdor, en tnto que tods ls numerdor deen quedr igules, y que no se trsldn. Verlo en l figur 11.2. Nótese en el cso del coeficiente, lo mismo que l literl c, que unque inicilmente no tienen exponente escrito, en relidd lo tienen como +1, por eso l trsldrse hci rri precen con exponente menos uno. Entonces figur 11.2 d y cx 8 9 1 1 8 9 c d xy 1 NOTA: Un error muy frecuente que comete el lumno en csos como el del ejemplo nterior es que l trsldr el del denomindor l numerdor, en vez de cmir el signo de su exponente el signo de l cntidd mism. 1, cmi
págin 1 EJERCICIO 11.2 Escriir ls siguientes cntiddes ) sin exponentes negtivos; ) sin denomindores (todo en el numerdor): 2 1 d f g 1) 2) ) 1 6 x c 2 1 c x 1 d y ) ) 6) 1 7 2 2 x x c g 1 2 1 2 7) 8) 9) 1 2 c c 2 2 2 x 2 c cd 10) 11) 12) 1 d c 1 2 1 2 1 6 d g xy 1) 1) 1) 1 1 2 d 2 h 2 2 2 2 2 2 2 16) 17) 18) 2 2 c x xy d x
págin 1 EXPONENTES FRACCIONARIOS En mtemátics frecuentemente se d el hecho llmdo resr su definición, que consiste en que dd l definición de lgun operción, ést lleg psr más llá en virtud de que opercionlmente se otienen tmién resultdos congruentes. Por ejemplo, l multiplicción nce de l necesidd de revir cierts sums. Efectivmente, se se que pr no escriir, por ejemplo, + + + + +, se revi como 6. En otrs plrs, cundo se tiene, se se de inmedito que en relidd se pretende sumr. Se puede definir entonces l multiplicción como un sum revid. Cundo se tiene 2.01 l definición de multiplicción continú vigente, pues signific simplemente que se quiere hcer l sum 2.01 + 2.01 + 2.01; sin emrgo, qué signific l multiplicción.17 1.96? Se puede.17 sumr uno punto novent y seis veces?. Desde el punto de vist de l definición de multiplicción crece de sentido, pero opercionlmente es congruente con ls multiplicciones que se pegn l propi definición. Así, pues, l multiplicción entre cntiddes ms no enters es un cso de un operción que res su definición. Otro cso es el de ls funciones trigonométrics, ls que ncen prtir de triángulos rectángulos. Por ejemplo, se descurió que l tener un triángulo rectángulo con un ángulo de 2 0, l dividir el ldo ye entre el ldo x (verlo en l figur 11.) siempre d el mismo vlor 0.660768 sin importr si el triángulo fuese grnde, medino o chico. Ese vlor es el que corresponde tn 2. Los vlores de ls funciones seno, coseno y tngente que vienen ddos en tls (hor en l clculdor) ncieron de triángulos rectángulos, es decir, su definición inicil fue dd pr ángulos gudos o lo más el recto. El seno se define como el cteto opuesto entre l hipotenus y eso solmente tiene sentido en un triángulo rectángulo. Sin emrgo, con el tiempo se resó está definición oteniendo vlores pr ls funciones seno, coseno, tngente, etc. pr todos los ángulos myores de 90 grdos. Un estudio más fondo se hrá en el segundo semestre. figur 11. Entendid l ide de resr su propi definición, el cso que nos ocup es el de l potencición. Tmién con el tiempo fue resd. Se recordó l inicio de este tem que l ide de los exponentes nce con l necesidd de revir cierts multiplicciones. Cundo se multiplic un cntidd n por sí mism k veces, se revi n k. Anlizdo desde l propi definición, tiene sentido hlr de como l revición de, o ien de 1. 2 como l revición de 1. 1., pero qué signific 1.2? Desde l propi definición, crece de sentido, pero l resr dich definición, dquiere un sentido y un significdo congruente opercionlmente con ls potencis que se pegn l definición. Como y se dijo, l elevr un potenci otr potenci l regl es que se multiplicn los exponentes. De mner que si
págin 16 2 2 6 l plicrle l operción invers ríz cudrd tmién deerá plicrse l operción invers l exponente, es decir, dividirlo entre dos, esto es que, 6 6 2 Por lo tnto, en congruenci con este procedimiento, 2 /2 o ien 7 7 7/ De donde se deduce l siguiente regl pr exponentes frccionrios: En un exponente frccionrio, el numerdor represent l potenci l que está elevd l se y el denomindor el índice del rdicl que lo fect. nm / m n 1/ Ejemplo 10: Escriir con rdicl l expresión x. Como el denomindor es el índice del rdicl, signific que dee escriirse dentro de un ríz curt, mientrs que el numerdor es l potenci de x ; de mner que 1/ 1 x x x /8 Ejemplo 11: Escriir con rdicl l expresión x. Como el denomindor es el índice del rdicl, signific que dee escriirse dentro de un ríz octv, mientrs que el numerdor es l potenci de x ; de mner que
págin 17 x /8 8 x Ejemplo 12: Escriir con rdicl l expresión x y /10 El denomindor 10 indic que todo dee ir dentro de un ríz décim y el numerdor que dee estr elevdo l cuo, de mner que 10 x y x y /10 Ejemplo 1: Escriir con exponente frccionrio l expresión 7 El exponente 7 es el numerdor y el índice del rdicl es el denomindor, de mner que 7 7/ 7x y 6 2 8 Ejemplo 1: Escriir con exponente frccionrio l expresión El exponente frccionrio dee tener denomindor 6 (que es el índice del rdicl) y numerdor (que es el exponente l que está elevdo todo el préntesis), de mner que 7x y 7x y 6 2 8 2 8 8 /6
págin 18 EJERCICIO 11. Escriir con rdicl ls expresiones que estén con exponente frccionrio; o con exponente frccionrio ls que estén en rdicl 1) x 2/ 2) y / ) 1/6 ) /2 ) c 7/ 6) (x 2 y) 1/ 7) (6 7 c ) 2/ 8) (d 6 x 2 ) / 9) (c 2 xy ) 7/ 10) 7(c 2 ) /8 11) (2 + 2x ) 1/ 12) (x 2 - y ) 8/7 1) x 2 (x 2 - xy) 2/ 1) ( + 2xy 7 ) 6/7 1) ( + )( - ) 2/9 16) x 1/2 + y 1/2 17) 1/ - 2/ 18) 1/2 + 2 1/ 19) x 2/ - y /2 20) 1/2 - xy 2/ 7 21) x 22) 7 2) 2) 2 2) x y 26) y 2 8 2 7 y 2 2 x 2 2 27) 28) 6 29) x 0) 6 x y 7 2 8 2 9 1) x y 2) 2x x y ) 6 xy ) 2 x x 11 ) xy 6) 2 6 7) 2 x y 8) 2 2 7 6 7 2 2 x x 9) 0) 7 y y 6 2 2 8 8