PLAN DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA

PLAN DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA 2

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RÉGIMEN DE CORRELATIVIDADES UNIDADES Pr cursr debe tener Pr creditr debe tener Año CURRICULARES Regulrizd Aprobd Regulrizd Aprobd P R I M E R O Pedgogí Alfbetizción Acdémic Didáctic Generl Algebr I Geometrí I Histori de l Mtemátic Sujeto de l Educción Secundri Práctic Docente I Álgebr II Álgebr I Algebr I Geometrí II Algebr I Geometrí I Algebr I Geometrí I S E G U N D O Análisis Mtemático Algebr I Algebr I Psicologí Educcionl Didáctic Generl Sujeto de l Educción Secundri Filosofí TIC en Educción Cultur y Lengu Originri 4

Práctic Docente I Algebr I Didáctic Generl Sujeto de l Educción Secundri Psicologí Educcionl Práctic Docente II Geometrí I Pedgogí Práctic Docente I Alfbetizción Acdémic UNIDADES Pr cursr debe tener Pr creditr debe tener Año CURRICULARES Regulrizd Aprobd Regulrizd Aprobd Didáctic Generl Didáctic Generl Didáctic de l Mtemátic I Algebr I Geometrí I Alfbetizción Acdémic Alfbetizción Acdémic Análisis Mtemático II Análisis Mtemático I Geometrí I Análisis Mtemático I Geometrí I Geometrí I T Probbilidd y Estdístics Algebr II Algebr I Algebr II E R C E R O Algebr y Geometrí III Didáctic de l Mtemátic II Algebr II Geometrí II Didáctic de l Mtemátic I Algebr II Geometrí II Algebr II Geometrí II Didáctic de l Mtemátic I Algebr II Geometrí II 5

Histori y Fundmento de l Mtemátic Histori y Fundmento de l Mtemátic Didáctic de l Mtemátic I Didáctic de l Mtemátic I L Enseñnz de l Mtemátic con TIC Algebr II Geometrí II Análisis Mtemático Algebr II Geometrí II Análisis Mtemático TIC en Educción TIC en Educción Histori y Polític de l Educción Ltinomericn Argentin y Chqueñ Pedgogí Pedgogí Sociologí Algebr II Práctic Docente I Práctic Docente I Geometrí II Práctic Docente III Análisis Mtemático Didáctic de l Mtemátic I TIC en Educción Didáctic de l Mtemátic I Didáctic de l Mtemátic I 6

UNIDADES Pr cursr debe tener Pr creditr debe tener Año CURRICULARES Regulrizd Aprobd Regulrizd Aprobd Modelizción Mtemátic Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 2º Año Didáctic de l Mtemátic II Probbilidd y Estdístics Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 1º Año Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 2º Año Algebr II Algebr I Algebr II C U A R T O Físic Generl Geometrí II Análisis Mtemático Didáctic de l Mtemátic II Geometrí I Análisis Mtemático I Algebr I Geometrí II Análisis Mtemático Análisis Mtemático Algebr II Didáctic de l Mtemátic II Metodologí de l Investigción Eductiv en Mtemátic Probbilidd y Estdístics Práctic Docente III Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 1º Año Probbilidd y Estdístics Práctic Docente III Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 2º Año Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 2º Año Formción en Derechos Filosofí Filosofí 7

Humnos, Étic y Ciuddní Residenci Pedgógic Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 3º Año Práctic Docente III Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 1º Año Uniddes Curriculres de Cmpo Disciplinr de 2º Año Práctic Docente III 8

Profesordo en Mtemátic 9

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Operciones con Números Reles- Propieddes Ls propieddes son: Asocitiv de l sum: Ejemplo: -7 + 200 + (4-100)+ 4,7 + ( -3 + 1,3) El mismo ejercicio, pero socido en form conveniente, result: (200 100) + (4,7 + 1,3) +4 + (-7-3 ) = 100 + 6 +4-10 Elemento neutro pr l sum: es el 0 Opuesto de un número: todo número rel tiene opuesto. Lo llmmos Ejemplos: ) -5 +5 =0 b) 345 (-345) 0 Conmuttiv: -6 + 5 = 5 + (-6) Asocitiv del producto: (-3).[(-5).(+7)] =[(-3).(-5)].7 Elemento neutro: es el 1 (es frecuente dr por obvio que 1.x = x) Inverso de un número: todo número rel (excepto el 0) tiene inverso multiplictivo. Lo llmmos y lo definimos como: -1=1/ -5. 5/1 =1 Distributiv del producto con respecto l sum de números reles: ) -5.(1-9 +3-0,5) = -5 +(-5).(-9) +(-5).3 +(-5).(-0,5) = -5+45-15 +2,5 b) (-6x +3).(5 9)= Conmuttiv: -6. 5 = 5.(-6) = 5(-6) Cudro resumen de ls propieddes de Números reles Complet el cudro colocndo l form simbólic correspondiente los xioms de cd operción definid, usndo, b, c y d como representción de números reles culesquier. Propieddes de l sum Form simbólic Asocitiv Número neutro Numero opuesto Conmuttiv 11

Propieddes del producto Form simbólic Asocitiv Numero neutro Numero inverso Conmuttiv Distributiv respecto l sum Actividd 1: Aplic l propiedd distributiv y resuelve en los csos que sen posibles: ) b) c) Actividd 2: Resuelve ls siguientes operciones combinds: ) b) = Potencición: L potencición es l operción que expres en form brevid un multiplicción en l cul los fctores se repiten......= Bse Exponente n veces 12

Regls de signo de l potencición: Si el exponente es pr, el resultdo de l potenci es. Ejemplo: Si el exponente es impr, el resultdo de l potenci es. Ejemplo: Propieddes de l potencición: Distributiv con respecto l producto = Distributiv con respecto l cociente = Producto de potencis de igul bse Cociente de potencis de igul bse Potenci de otr potenci Actividd 3: Aplic propieddes de l potencición y resuelve cundo se posible: ) b) = c) d). e) = f) = g) = Actividd 4: ) : = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = 13

Rdicción: Índice Ríz si se cumple que Signo RdiclRdicndo Propieddes de l Potencición: L rdicción es distributiv respecto de l multiplicción: L rdicción es distributiv respecto de l división: Reciproc de l distributiv: Ríz de otr ríz: Simplificción del índice de un ríz: b 0 Amplificción del índice de un ríz: c 0 Cncelción de los índices: Actividd 5: Aplic ls propieddes de l rdicción y resuelve cundo se posible. ) b) c) = d) = e) = f) = 14

g) = Actividd 6: Resolver los siguientes ejercicios combindos: ) b) -24 : c) -12 d) e) f) 2(-7-1) [(-12+3):9-5]= g) h) i) {-[-(-15-19)+(3-16)]+14-(-1)}= Rdicles Ls expresiones formds por el signo rdicl y un expresión numéric o literl debjo del mismo, se llm rdicl. Ejemplo: 1 2 5x 2 2 5x Es el rdicl. 1 2 Es el coeficiente del rdicl. Si el índice y el exponente de un rdicl de rdicndo positivo se multiplicn o dividen por un mismo número, el resultdo es el mismo. En símbolo: Extrcción de fctores del rdicl. s r s: n r: n s r s. n r. n Cundo el exponente es myor o igul que el índice se puede simplificr el rdicl extryendo fctores. Ejemplo 1: Se: 8 Podemos expresr 8 como un potenci: 8 3 2 No podemos simplificr dividiendo el índice y el exponente por un mismo número. En cmbio podemos descomponer el rdicndo en potencis de igul bse, de modo que el exponente de uno de ells se múltiplo del índice, y el otro exponente menor que el índice. 15

8 2 2.2 2 Distribuyendo: 8 2. 2 Simplificndo: 8 2 2 Hemos extrído el fctor 2 y el rdicl queddo simplificdo. Ejemplo 2: Se: 3 14 No es posible simplificr el índice 3 con el exponente 14, pero podemos descomponer el rdicndo en potencis de igul bse de modo que uno quede múltiplo de 3 y el otro menor que 3. 3 14 3 14 3 14 3 12 2 3 12... 4 3 2 3 2 Ejemplo 3: Se:. b. c 3 6 2 17 Si el rdicndo es un producto de vrios fctores se plic l regl cd uno de los fctores, plicndo l propiedd distributiv. 3 6 2 17 3 6 3 2 3 15 3 2. b. c. b. c. c Los exponentes 6 y 15 son múltiplos de 3. El exponente 2 es menor que 3. 3 6 2 17 2 3 2 5 3 2. b. c. b. c. c 3 6 2 17 2 5 3 2 2. b. c. c. b. c El rdicl h queddo simplificdo. Todos los exponente del rdicndo son menores que el índice. Ejemplo 4: Se: 3 324 Se descompone el rdicndo en fctores primos. 324 2 2. 3 4 324 2 162 2 81 3 27 3 9 3 3 3 1 16

Entonces: 3 3 2 3 4 324 2. Ahor se procede como el cso nterior. 3 3 2 3 4 3 2 3 324 2. 3 2.3. 3 3 3 2 3 324 3. 2. 3 3 3 324 3. 12 Operciones con rdicles Se considern solo los rdicles de rdicndo positivos. Rdicles semejntes: Dos rdicles son semejntes cundo tienen igul índice y el mismo rdicndo. 3 2 y 5 2 ; 3 y -5 son los coeficientes. Los rdicles semejntes solo difieren en sus coeficientes. 1.1.1 ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES Ejemplo 1: 5 Pr sumr 3 2 2 se extre fctor común 2 4 5 5 3 2 2 3 2 4 4 17 4 2 Ejemplo 2: 1 2 1 4 3 2 3 2 3 2 3 2 b b b 1 2 1 4 1 4 REGLA: L sum o diferenci de dos rdicles semejntes es otro rdicl semejnte los ddos, cuyo coeficiente es l sum o diferenci de los coeficientes ddos. b Ejemplo 3: 2 3 81 4 3 24 Pr sber si dos rdicles son semejntes se pueden trnsformr en rdicles semejntes equivlentes los ddos, se extren los fctores positivos de cd rdicl. 17

3 3 4 3 3 2 3 81 4 24 2 3 2. 3 2.3. 2 3 3 (6 8). 3 3 4.2. 3 3 3 3 Ejemplo 4: 2 4 2 36 8 54 Lo mismo que en el ejemplo nterior, extremos todos los fctores posibles pr determinr si los rdicles son semejntes. 2 2 6 4 2 2 3 3 3.2 2 2 6 2 2 3 2 2 2 2 6 3 6 2 5 6 6 No se puede seguir operndo y que los rdicles obtenidos no se pueden reducir rdicles semejntes. MULTIPLICACION DE RADICALES Considerndo dos csos: Multiplicción de rdicles de igul índice Pr multiplicr rdicles de igul índice se plic l propiedd distributiv de l rdicción con respecto l multiplicción Ejemplo: 4 2 4 3 4 2 3. b. b EN SIMBOLO: n r n s n r. b. b s REGLA: El producto de dos rdicles de igul índice es otro rdicl: Cuyo índice es el mismo. Cuyo rdicndo es el producto de los rdicndos. Multiplicción de rdicles de distinto índice Se: 4 3 6 5. Pr poder operr tenemos que encontrr dos rdicles de igul índice, equivlentes los ddos. Clculmos el m.c.m. de los índices. 18

m.c.m. (4,6) = 12 12 es el índice común menor Buscmos dos rdicles equivlentes los ddos con índice 12. 4.3 3. 3 12 9 6.2 5. 2 12 10 Se multiplic índice y exponente por un mismo número. Entonces: 4 3 6 5 12 9 12 10 12 19.. 12 7 REGLA: El producto de dos rdicles de distintos índice es igul otro l producto de otros tntos rdicles del mismo índice, equivlentes los ddos, tl que: ) Múltiplo común menor de los índices de los rdicles ddos. b) Los exponentes de los rdicndo se obtiene de multiplicr cd uno de ellos por el mismo número por el cul se multiplic el índice de dicho rdicl. DIVISION DE RADICALES L regl pr dividir rdicles son semejntes l multiplicción. División de rdicles del mismo índice: Ejemplo: 3 3 3 : 4 32: 4 32 3 8 2 División de rdicles de distinto índice: Pr dividir rdicles de distinto índice se procede en form nálog l multiplicción. Se clcul el índice común menor y se hlln dos rdicles equivlentes los ddos con el índice común. Ejemplo: 4 7 6 5.3 6.2 2 12 21 12 10 21 : 4 7. 3 : 5. : : 12 10 12 11 1) Extrign los fctores del rdicl. 2) Sumen y resten los términos con rdicles semejntes. 19

3) Resuelvn plicndo l propiedd distributiv 4) Reduzcn un índice común y resuelvn ls siguientes multiplicciones y divisiones. 5) Resuelvn ls siguientes operciones combinds. 6) Rcionlicen ls siguientes expresiones. 7) Resuelvn los siguientes cálculos hst encontrr su mínim expresión. Polinomios Denominmos polinomio en un indetermind x (puede ser otr letr), tod expresión lgebric enter con términos que tienen lo sumo un letr. Ejemplos: A (x) = 2 x 4 5 + 7 x 6 + 3 x 2 + 0 x 16 +4x 3 20

P (y) = 4y 5 2y 3 + y 1 Cd uno de los monomios que componen el polinomio se llm término. Si un polinomio tiene 2, 3, 4. términos se llm binomio, trinomio, cutrinomio, etc. El grdo de un polinomio es el myor de los grdos de los términos que los formn. Ejemplo: -32 y + 5x - x + 1 es un polinomio de grdo 4 Un polinomio const de: Grdo P (y) = 4y 5 2y 3 + y 1 Termino I. Coeficiente P. Vrible. Grdo: exponente b. Vrible: letr (y) c. Coeficiente principl: es el coeficiente del myor grdo del polinomio. d. Termino independiente: es el número rel que no tiene vrible. Polinomios completos y ordendos: Identificdo el grdo de un polinomio, si en los otros términos están presentes todos Los de grdo nteriores él, se dice que el polinomio est completo. Porejemplo: Q(x)= 6 + x 3 + 3x x 2 Está completo A(x) = 2 x 4 5 + 7 x 6 + 3 x 2 3 Está Incompleto +4x Un polinomio está ordendo si sus términos están ordendos de cuerdo sus grdos. Esto es, en form creciente, de menor myor grdo o decreciente de myor menor. Por Ej.: Q (x)= 6 + x 3 + 3x x 2 est desordendo y completo Q(x) = x 3 x 2 + 3x+6 está ordendo en form decreciente y completo Pr completr, se gregn con sums (o rests) los términos que fltn con coeficientes 0. Por ejemplo: A(x) = 2 x 4 + 5 + 7 x 6 + 3 x 2 + 0 x 16 + 4x 3 (ntes) A(x) = 7x 6 + 0x 5 + 2 x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 0x + 5 (completo y ordendo en formdecreciente) 21

Not: El 0 es unque no lo prezc un polinomio. Se llm polinomio nulo. TÉRMINO SEMEJANTES: Dos o más términos son semejntes cundo tiene l mism prte literl y el mismo grdo. Porejemplo:3x 4, ½ x 4,-x 4, 0,45x 4 sonsemejntes En cmbio: x 2, 2x, -x 4 no son semejntes Ejercicio: Propone pr cd cso un expresión que cumpl con ls siguientes condiciones: ) Binomio degrdo3.. b) Trinomio degrdo2 c) Monomio degrdo5. d) Cutrinomio degrdo6... e) Polinomio completo degrdo5 Ejercicio. Ddos los siguientes polinomios: A(x) = 5 -x 3 + 3x 2 ½x B(x) = 3x 4-2x 2 3/2 + x P(x) = 2x 2 + 4x 3 0,25 ) Cuáles son sus coeficientes principles y su términosindependientes? b) Completr los polinomios que consideresincompletos. c) Ordenr los polinomios que no lo estén en form decreciente. Sum (rest): OPERACIONES CON POLINOMIOS L sum (rest) de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio que se cuyos términos se Obtienen sumndo (restndo) sus términos semejntes. Por ejemplo: Sen los polinomios: A(x) = 7 x 6 + 0 x 5 + 2 x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 0 x+5 Q(x) = 6 x 5 + 3 x 4 + 8x 3 9x 2 + 0 x -2 Y se dese sumr: A(x)+ Q(x). 22

Un form es colocr uno debjo del otro hciendo que coincidn los términos semejntes, de l siguiente A(x)= 7 x 6 + 0 x 5 + 2 x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 0 x +5 + Q(x)= 6 x 5 + 3 x 4 + 8x 3 9x 2 + 0 x -2 A(x)+Q(x)= 7x 6 6 x 5 + 5 x 4 + 12x 3-6x 2 + 0 x +3 En el cso de relizr l rest: A(x) Q(x), se cmbi de signo el sustrendo: A(x)=7 x 6 + 0 x 5 + 2 x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 0 x +5 -Q(x)= 6 x 5-3 x 4-8x 3 + 9x 2-0 x +2 A(x)+Q(x) = 7x 6 + 6 x 5 x 4 4x 3 + 12 x 2 + 0 x +7 Observciones: Dos polinomios son igules si los coeficientes de los términos semejntes son igules. L dición de polinomios cumple ls propieddes socitiv y conmuttiv. El polinomio neutro es el polinomio nulo (todos sus coeficientes vlen 0), pues l sumrlo culquier polinomio, no lo cmbi este. Ejercicio: Ddos los siguientes polinomios: R(x) = 4x 3 2x+3 S(x) = -3x+ 6x 2 1 T(x) = 2x 2 5x 3 3 Clculen: ) R(x) + S(x) + T(x) = b) R(x) + S(x) T(x) = c) S(x) {R(x) + T(x)} = 23

Producto de Polinomios: Pr multiplicr dos polinomios se multiplic término término plicndo l propiedd distributiv, de mner que se multiplicn los coeficientes y ls indeterminds entre sí, plicndo l regl de los signos en los números y l propiedd de l potencición en ls Letrs: producto de potenci de igul bse. Por ejemplo: 3x.( 4x 2 ) = 12x 3-1/2 x 3.(-6x 4 ) = 3x 7 Posteriormente, se sumn los monomios semejntes. A continución, un ejemplo, de cómo se procede pr efectur el producto entre: P(x). Q(x) = (5x - 11) (x 2 + 2x + 4) = P(x) = 5x 11 y Q (x) = x 2 + 2x +4 P(x).Q(x) = 5x 3 + 10x 2 + 20x 11x 2 22x 44.Q(x) = 5x 3 + (10-11) x 2 + (20 22) x 44.Q(x) = 5x 3 x 2 2x 44 (plicmos lpropiedddistributiv) P(x) (grupmos lostérminossemejntes) P(x) FormPráctic: 5x 11 * x 2 + 2x+4 20x 44 10x 2-22x 5x 3 11x 2 5x 3 1x 2-2x 44 Ejercicio 10. Ddos los siguientes polinomios: P(x) = 2x - 5x 2 +4 Q(x) = 3x x 2 S(x) = 3x 2-5 -2x Obtener:)P(x).Q(x) b)q(x).s(x) c) S(x).P(x)+Q(x) Ejercicio - Efectur los siguientes productos: 24

) (6x2+ 5x 4).(-2x) = b) x 3 2x 2 + x 1).( x +2) = c) (5x+1). (-5x 1) = d) (x 2 + 0,5x 1). ( x 2 0,5x )= e) (-x 3 +3x 1). (x 2 x ) = f) (5x 2 x 3 + 4x).(-3x + 3 x 3 ) División depolinomios: Ddos dos polinomios P(x) (llmdo dividendo) y Q(x) (llmdo divisor) de modo que el grdo de P(x) se myor que el grdo de Q(x) 0 siempre hllremos dos polinomios C(x) (llmdo cociente) y R(x) (llmdo resto) tl que se verific. P(x)= Q(x).C(x) + R(x) Importnte: Antes de efectur l división hy que ordenr y completr los polinomios. Ejemplo: 5 x 4 + 2 x 3-6x 2-2 x+6 x 2 + 0x+2-5 + 0-10 5 +2x-16 2 x 3-16 x 2-2 x +6-2 x 3 +0x 2-4 x 16x 2-10 +6-16x 2-6 x + 6-6 x +38 Ejercicio: Ddos: P(x)=2 x 3-4x 2 +x-2 Q(x) =-3 x 3 +4 x 2 -x-2 R(x) = - x 2 +2 S(x) = x 2-3 x-10 Clcule: ) P: R b) Q:S c) (P + Q):R d) (P - Q).S Regl de Ruffini En los csos prticulres de división donde el divisor es de lform x - sepuede 25

obtener el cociente y el resto, medinte un método sintético siguiendoel lgoritmo que continución se detll con unejemplo. Ejemplo: Q(x) = x + 3 P(x):Q(x) con P(x) = 2x 4-4x 3 + 3x 2-5x+6 Observmos que el divisor tiene l form x - con = -3, disponemos y opermos con los coeficientes de l siguiente mner: 2-4 3-5 6-3 -6 30 99 3122 2-10 33 104 22 318 Resto C(x) = 2x 3-10x 2 + 33 x 104 El cociente C(x) es un polinomio con coeficientes los cutro primeros números y con indetermind x, de grdo 3 (uno menos que P). En generl el polinomio cociente es otro polinomio de l mism indetermind con el grdo n-1 del dividendo y los coeficientes son los números que se obtienen en el último renglón menos el último número, que es el Resto. Psos: 1) Se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordendo 2) A l izquierd se escribe ( es -3) 3) El primer coeficiente qued igul (2) 4) El segundo coeficiente se obtiene efectundo 2.(-3) y sumndo este resultdo -4 (es - 10) 5) El tercer coeficiente se obtiene efectundo (-10). (-3) y sumndo este resultdo 3 ( es 33) 6) El curto coeficiente se obtiene efectundo (33). (-3) y sumndo -5 se obtiene -104 7) Por último, lo multiplicmos (-104). (-3) y le summos 6 y si obtenemos el resto (318). Actividd: Efectur los siguientes ejercicios: ) b) c) d) 26

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