MAS obteidas de ua població N, so por aturaleza propia impredecibles. No esperamos que dos muestras aleatorias de tamaño, tomadas de la misma població N, tega la misma media muestral o que sea completamete parecidas. Puede esperarse que cualquier estadístico, como la media muestral, calculado a partir de las medias e ua muestra aleatoria, cambie su valor de ua muestra a otra, por ello, se requiere estudiar la distribució de todos los valores posibles de u estadístico. Tales distribucioes será muy importates e el estudio de la estadística iferecial, porque las iferecias sobre las poblacioes se hará usado estadísticas muestrales. Co el aálisis de las distribucioes asociadas co los estadísticos muestrales, podremos juzgar la cofiabilidad de u estadístico muestral como u istrumeto para hacer iferecias sobre u parámetro poblacioal descoocido. Como los valores de u estadístico, tal como, varía de ua muestra aleatoria a otra, se le puede cosiderar como ua variable aleatoria co su correspodiete distribució de frecuecias.
Defiició La distribució de frecuecia de u estadístico muestral se deomia distribució muestral. E geeral, la distribució muestral de u estadístico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.
Defiició Supogamos que elegimos muestras aleatorias de tamaño, de ua població de tamaño N, calculamos la deviació estádar de cada muestra. La colecció de todas estas desviacioes estádar muestrales se llamará distribució muestral de la desviació estádar.
Ejemplo Solució µ la media poblacioal. σ, la desviació estádar poblacioal. Se elige muestras ordeadas de tamaño, co reemplazo, de la població de valores 0,, y 6. Ecotrar: µ, la media poblacioal. σ, la desviació estádar poblacioal. µ x, la media de la distribució muestral de medias. σ x, la desviació estádar de la distribució muestral de medias. Además, graficar las frecuecias para la població y para la distribució muestral de medias. i xi 0 6 3 i x i 0 3 3 3 6 3 5
0.8 0.6 0. 0. 0 3.5 3.5.5 0.5 0 DFMM 3 0 3 5 6 La media de la distribució muestral de la media se obtiee etoces de la siguiete forma: x x i i 0 3 3 3 5 3 5 6 6 0() () (3) 3() (3) 5() 6() 6 0( ) ( ) ( 3 ) 3( ) ( 3 ) 5( ) 6( ) 6 6 6 6 6 6 6 0P( 0) ( ) P( ) 6P( 6) i xip( xi ) 3.0 La media de la distribució muestral de la variaza se obtiee etoces de la siguiete forma: S x 0 3 3 ( 3) 6 3 6 0 3 3 () ( 3) (3) 6 3 6 3 0 3 6 3 ( 6) ( 3) ( 6) 6 3 6 0 3 P( 0) 3 P( ) ( 3) P( ) 6 3 x P( xi ). 5 i i i x x i x P( 6)
0. 0.35 0.3 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0 Deducció 3 S Para cualquier variable aleatoria, la distribució muestral de medias tiee ua media o valor esperado, ua variaza y ua desviació estádar, se ha mostrado para dos ejemplos distitos que la distribució muestral de medias tiee ua media igual a la media poblacioal. Podemos ver que ua distribució muestral se geera extrayedo todas las posibles muestras del mismo tamaño de la població y calculádoles a éstas su estadístico. Si la població de la que se extrae las muestras es ormal, la distribució muestral de medias será ormal si importar el tamaño de la muestra.
parámetros poblacioales Estadisticos muestrales fx P() μ (xi-μ) σ DSTP NP x,x x +x / m P(, ) m fx m (x i -μ) s i fs P(S i ) (x i -μ) P(s i ) fx m /M P(x m ) x i P(x i ) μ S i 0 0.5 3 9 5. 0,0 0 0 0.065 0 9 0 0.5 0 0.065 0.065 0.000 3.50 0.5 6 0, 0.065 6 0.375 0.375 0.50 0.50 0.5 0.5 0, 0.065 3 0.5 0.875 0.875 0.375 6 0.5 9 0,6 3 3 0.065 3 0 9 0.5.5 0.500 0.500 0.750.00,0 0.065 3 6.5 0.875 0.875 0.750, 5 0.065 5 0.50 0.50 0.65, 3 6 0.065 6 0 0.065 0.065 0.375,6 0.065.0000.000,0 0.065, 3 0.065 0, 0.065,6 5 0.065 6,0 3 0.065 0 6, 0.065 6, 5 0.065 6,6 6 0.065 9
Si la població de dode se extrae las muestras o es ormal, etoces el tamaño de la muestra debe ser mayor o igual a 30, para que la distribució muestral tega ua forma acampaada. Mietras mayor sea el tamaño de la muestra, más cerca estará la distribució muestral de ser ormal. Para muchos propósitos, la aproximació ormal se cosidera buea si se cumple =30. La forma de la distribució muestral de medias sea aproximadamete ormal, aú e casos dode la població origial es bimodal, es realmete otable. Error Muestral e = -μ Cualquier tipo de medida implica algú error e si misma. Si utilizamos la media para medir, y/o estimar, la media poblacioal μ, etoces la media muestral, como medida, preseta algú error. Se deomia el error muestral si la media muestral puede expresarse como la suma de dos catidades, la media poblacioal μ y el error muestral, deotado por e.
Error Muestral 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0-3 - - 0 3 x,x x+x/ e= -μ μ e e-μ e σ e dste P(, ) e fe P(e) P(e) (e-μ e ) (e-μ e ) P(e) σ e σ 0,0 0-3.000 0.000 9.000.50.58 0.065-3 0.065 0.065 9 0.565.5.58 0, -.000.000 0.065-0.5 0.5 0.5 0, -.000.000 0.065-3 0.875 0.875 0.875 0,6 3 0.000 0.000 0.063 0 0.5 0.50 0 0,0 -.000.000 0.065 3 0.875 0.875 0.875, -.000.000 0.065 0.5 0.5 0.5, 3 0.000 0.000 0.065 3 0.065 0.065 9 0.565,6.000.000 0.065,0 -.000.000 0.065, 3 0.000 0.000 0.065,.000.000 0.065,6 5.000.000 0.065 6,0 3 0.000 0.000 0.065 6,.000.000 0.065 6, 5.000.000 0.065 6,6 6 3.000 9.000 0.065
Coclusió e N N La desviació estádar de la distribució muestral de u estadístico se cooce como error estádar del estadístico. Para el ejercicio aterior el error estádar de la media deotado por σ e, es.58. Co esto se puede muestra que si para ua població se elige muestras de tamaño co reemplazo, etoces el error estádar de la media es igual a la desviació estádar de la distribució de los errores muestrales. Cuado las muestras se toma de ua població pequeña y si reemplazo, se puede usar la formula siguiete para ecotrar σ x dode σ es la desviació estádar de la població de dode se toma las muestras, es el tamaño de la muestra y N el tamaño de la població. Como regla de cálculo, si el muestreo se hace si reemplazo y el tamaño de la població es al meos 0 veces el tamaño de la muestra (N 0), etoces se puede usar la fórmula. N N Al factor se le deomia factor de correcció para ua població fiita.
Ejemplo Supoga que la tabla siguiete muestra la atigüedad e años e el trabajo de tres maestros uiversitarios de matemáticas: Maestro Atigüedad A 6 B C Supoga además que se seleccioa muestras aleatorias de tamaño si reemplazo. Calcule la atigüedad media para cada muestra, la media de la distribució muestral y el error estádar, o la desviació estádar de la distribució muestral. Solució Se puede teer 3 C = 3 muestras posibles de tamaño, calcularemos sus respectivas medias muestrales.
població muestra maestro atigüedad μ σ i σ σ muestra i μ x σ i σ x σ x A 6.66667.63 A,B 5 0.667 0.86 B 0 A,C 0 C B,C 3 teorema LC.55 N N Correcció LC 0.86
iicio Població fiita Muestra co reemplazo N 0 N N