45 Sbre el terema de Myhill-Nerde Pr E.García Camarer. Dad el autómata fiit, Q=(Q,E,5,q,F), cjut, de la frma siguiete: defiims el = {it=[qi, q±,... q ] 3 xg E tt= [ ó ( qq,x ),ó ( q x,x ),... ( q^x),]} 1 dde = card (Q). Es decir, ls elemets de ir, s vectres de estads accesibles de Q. 1. Defiims la fució \p <F : ÜxE* -* de la siguiete frma: 1) v e ip ( 7T,a ) = TT 2) ^(it, ) = [<S (q, ), 6 ( q Z1 3) Si ip ( T. 1, x ) = TTj, e t ces <P ( v,xa ) = ip ( TfTj >cr) 6(qj_ -1 a>] Pr defiició de II, teems que para td palabra z e E * tal que \p ( tt, z ) = ttí tt^ e II, existe ua pr tat, pdems siempre escribir ljj (ir,x)= Ip (, Z X ) 1 O 2. Apyáds e la fució \p, pdems defiir u prduct etre ls elemets de JT, de la maera siguiete:
46 T * Tj ( ttq,x ),y ) = ^(0 >xy) =7rk dde tt^ = ^(tt^ jx), tt^.= ^(ir^.y). Cm \p(tt >a )= 1t» teems que ttq es elemet eutr del prduct ates detiid, ya que V'tt^ e II, se tiee TT I T. = TT. * TT = lp ( TT,Ax) = ll> ( TT, X A ) = TT. O I 1 0 T r 1 dde xee* cumple que ^(ttq,x ) = tt^ El prduct es asciativ, ya que para td tt.,tt.,tt e I I, se 1 J k tiee: e efect < v y TT. ( TT. TT, ) i J k' y tambié TT.. TT. = 4 / ( tt» X y ) 1 J r O (TTi *Tlj)*TTk=,M 7r0 *(Xy)Z) O ) ltk=^(lt0»yz) TT. ( TT TT ) = ip ( tt,x (y z )) (2) i J k y cm la ccateació e * es asciativa se tiee que (1) y (2) cicide. Es fácil ver que si X = 0. 0..... X 1 X 2 x p y s i TT. = * (» a i ) p a r a j = 1, 2,... p. J j y tt = * ( *,x), e t c e s tt= tt. tt.. 1 1 1 O.. TT. 1 2 P
3. A partir de Q, pdems defiir u autmatá iducid pr la fució \p, que detarems Q/\p de la siguiete frma: Q/4>= dde F.= {T T.I tt.c Ia q. ef} ip Y i 1 i i Es clar que la cgruecia defiida etre palabras de E* c respect a Q, llamada de equi respuesta, es decir que relacia ds palabras y cuad para td estad de Q se trasita c x y c a l mism estad, se puede expresar e fució de la fució ^ de la siguiete frma: Xq y ip (r,x) = ip ( TrQ,y) Respect de se cstruye el siguiete autómata Q/ = (C,E, <5,C ( a),f ) dde C es el cjut cciete E*/> <5 se defie: P 6 (C (x),a) = C (xa) y el cjut de estads fiales es F = {C (x) <5 (q,x)ef} Se puede demstrar que L(Q) = L(Q/). 4. Teied e cueta estas csideracies, vams a prbar que existe u ismrfism etre Q/ y Q / \p. E efect, la fució X: c + def iida asi : X (C (x)) = ^ (tt,x)
48 es el ismrfism buscad; para ver est prbems: 1 ) X es biyectiva 2-) X es u hmmrfism etre Q/ y Q/ip. Para ver que es biyectiva, bastará c prbar que si ds calses de C ^ se pryecta e u mism el!, aquellas clases cicide, y e efect se tiee que si X (C (*)) * tt X (C (y)) = tt est quiere decir que 1 > ( TTq» X ) = ^ ( TT, y ) y pr tat x y > lueg C (x)- = C (y). Para ver que X es u hmmrfism e Q/r> y Q/q, tedrems que prbar que: a) X(C (a )) = tt b) x(6 (C (x),a)) = ^(X(C (x)),a) q q c) X(F ) cf. \p El put a^ es imediat, ya que pr defiició de X se tiee que : X(C (a )) = q (7T,A) l que s da evidetemete tt. El put J), se cumple ya que X (6 (C (x),)) =X (C (xa)) = \p (ir,xa) q q q \p (X (C (x)),) =[p(ip(,x),a) ^^(tt,xa) q El put c se satisface, ya que si C (x)ef, est sigifica que q lueg 6(q,X) ef X (C (x) = 4*(tt»x) = tt
49 : q. e F, lueg ttefij;. est queda prbad que X es u ismrfism etre Q/ y /^, pr tat L(Q/fJO = L(Q/) = L (Q). 5. Etre ls elemets de ir, pdems defiir ua relació de equivalecia R de la siguiete frma: IT. R ti. < = > q, = q i J 1 1 J J dde ir.= Iq i 1 «i q ' qi ^ í Vi q. q., q - i V i Si, pr tra parte, defiims ua relació etre las palabras de E *, asi: xriy <=>6(q,x) = 5(90»y) vems que tdas las palabras de la clase C (x), cduce a fi elemets. equivaletes c el tt.= ip(ir,x), ya que J l p(q,x ) = q., y si y x se tiee que 6 (q»y) = 6 ( q,x) O 1 lueg q = q. y pr tat tt.rtt.-. X J J 1 Es imediat ver que la uió de las clases de C cuyas imágees mediate A se pryecta e vectres de ua de las clases de R, s da ua de las clases de C, es decir, que C es u refiamiet de C. Tambié es clar que C es de idice U fiit. 0
50 6. Pdems defiir u autómata iducid a partir de Q mediate r 0, de la siguiete frma: Q/0= (c,s, V c (a), F ) 0 O 0 dde C es la partició de E* mediate la relació de equi-.. valecia q, es la fució de trasició defiida de la si- guíete frma: VafeE 6 (C (x),) = C (xa) 0 G 0 y el cjut de estads fiales es: F {C (x) 6(q,x) ef> 1 De frma aalga a cm hicims para ls autómatas Q/ y Q/r, se puede prbar que existe u ismrfirm etre Q y Q/ > Y Pr tat se cumple que L(Q) = L(Q/p ) 7. Se puede prbar que el leguaje reccid pr Q/q está frmad pr las palabras que perteece a la uió de ls estads de F, e efect x el (Q/)<*=^> 6 (C (A),x)eFq per segú la defiició de 6^, se tiee que x el(q/) < = > C (x) ef es decir si x perteece a ua de las el ases.f ial es de Q/f). De igual frma se puede prbar que el leguaje reccid pr Q/q» está frmad pr las palabras que perteece a la uió de F. Cm pr tra parte se tiee que L(Q) = L(Q/q) = L (Q/ q^) se btiee cm resultad el terema de Myhill-Nerde.