Cálculo Multivariado
Contenido. Problemas.. Integrales dobles................................. Integrales en coordenadas porlares.................... 9.3. Aplicaciones de la integral..........................4. Integral Triples.................................5. Aplicaciones de la triple integral...................... 6.6. Coordenadas Cilindricas.......................... 6.7. Coordenadas sféricas........................... 7.8. Cambio de Variable............................. 8
Problemas.. Integrales dobles.. 3. 4. 5. 6. 4 4 3 5 y 3 e x ( x y + y ) x lny xy xy x +y xy da, = {(x,y) x, 3 y 3} x + x +xy da, = [,] [,] 7. ncontrar el área limitada por las siguientes funciones en el plano usando integral doble: 8. x = 4y,y x 4 = y = x,x = 4y y c) y = x,4y 3 = x d) x+y = 5,xy = 6 e) y = x 3/,y = x f ) x 3y =,x+y = 5,y = g) xy = 9,y = x,y =, x = 9 h) y = x,y = x,x = 4 y i) y = 4 x,y = x+ xy dxdy
.. INTGALS OBLS 3 9.... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.... 3. 4. 5. 6. 7. x x (+y) dydx s x y y ev cos(s 3 ) dtds (x y) dydx xy dxdy +ev dwdv (x+3y 3 ) da, : x +y xy da, : y y x y ye x da, : y x y (4 y ) da, es la región acotada por y = x yy = 8 x (x 4 +y ) da, es la región acotada por y = x 3 yy = x (3xy 3 y) da, es la región acotada por y = x yy = x,x [,] e y / da, es el triángulo acotado por eje y,y = x, y = e x da, es el triángulo acotado por eje x, y = x,x = y da, = {(x,y) y, y x y} y x 5 + da, = {(x,y) x, y x } x da, = {(x,y) x π, y sinx} x 3 da, = {(x,y) x e, y lnx} xcosy da, está acotada por y =,y = x,x = y da, está acotada por y = x, y = x, x =,x = x +y
.. INTGALS OBLS 4 8. 9. 3. 3. 3. 33. 34. 35. xe y da, está acotada por y = 4 x,y =,x = y da, está acotada por y = 4 x,y = 4 x y +x da, está acotada por y =,y = x,x = 4 (x +y ) da, está acotada por el semicírculo y = 4 x,y = (x +y) da, está acotada por x = y,y = x 3,x y da, es el triángulo formado por los vértices (,),(,),(4,) xy da, está acotada por x = y x = y (x y) da, está acotada por el círculo con centro en el origen y radio. 36. valuar la integral, cambiando el orden de integración: c) d) e) f ) g) h) i) 4 x y y y x x ex ln 3/ dx dy dx dy e x 9 4x 4 y y 6x ydx dy 3ydx dy y
.. INTGALS OBLS 5 j) 4 x 6x 4 x 37. valuar la integral, cambiando el orden de integración: c) d) e) f ) π π x x y 4 x ln3 3 siny y y sin(xy) x e xy dx dy xe y 4 y ln3 y/ e x dx dy e y 3 x/3 g) h) /6 8 π / cos(6πx 5 )dx dy y /4 3 x y 4 + 38. valuar la integral, cambiando el orden de integración: sin( y 3 + ) x c) d) e) f ) y+ y+ lny x 3 3y x x dx dy e x dx dy x 3 dx x4 +ydy e x dx dy x +y 3
.. INTGALS OBLS 6 g) h) i) j) k) l) x y 4 4e y sinx dx dy 3 +y3 x 4 y π π y 4 xsinxdx dy cos(x )dx dy y 3 + x m) n) ñ) x arcsin y 8 e x/y π/ 3 y e x cosx +cos xdx dy 4 dx dy 39. Bosquejear la región de integración y cambiar el orden de integración. c) d) e) f ) g) x x 4 f(x,y) y y y x / 4 x f(x,y)dx dy f(x,y)dx dy x 3 f(x,y) x 3 x x y f(x,y) f(x,y) f(x,y)dx dy
.. INTGALS OBLS 7 h) i) j) k) l) m) n) ñ) o) p) 4 y f(x,y)dx dy 4 x 4 x e x π/ π/ 4 π/ f(x,y)dx dy f(x,y)dx dy f(x,y)dx dy cosx f(x,y)dx dy x f(x,y) cosx 4 y lnx arctan x f(x,y) f(x,y)dx dy f(x,y) π/4 f(x,y) 4. Bosquejear el solido cuyo volumen esta dado por las siguientes integrales: (4 x y) dx dy ( x y ) 4. ncontrar el volumen del sólido que está bajo el plano 4x + 6y z + 5 =, y aariba del rectángulo = {(x,y) x, y }. 4. ncontrar el volumen del sólido que está bajo el paraboloide hiperbolicoz = 3y x + y arriba del rectángulo = [,] [,]. 43. ncontrar el volumen del sólido que está bajo el paraboloide elípticox /4+y /9+z = y arriba del rectángulo = [,] [,]. 44. ncontrar el volumen del sólido limitado por: z = xy, z =,y = x,x =, primer octante y =,z =,y = x,z = x,x =,x = 5 c) z =,z = x, x =,x =,y =,y = 4
.. INTGALS OBLS 8 d) x +y +z = r e) x +x =,y +z =, primer octante f ) y = 4 x,z = 4 x, primer octante g) z =,x =,x =,y +y 45. ncontrar el volumen acotado por arribaz = x+y, y abajo por la regíon triángular con vértices(,),(,),(,) 46. ncontrar el volumen del sólido acotado por /x+/3y +/4z = y los planos coordenados. 47. ncontrar el volumen del sólido acotado por el plano z = x + 3y, y abajo por el cuadro unidad x, y 48. ncontrar el volumen acotado por arribaz = x 3 y, y abajo por la regíon triángular con vértices(,),(,),(,) 49. ncontrar el volumen acotado abajo por el paraboloide z = x +y, dentro del cilindro x +y,z 5. ncontrar el volumen del sólido acotado arriba por el plano z = x+yabajo por el disco(x ) +y 5. ncontrar el volumen del sólido acotado por z = 4 y /4x y abajo del disco(y ) +x 5. ncontrar el volumen del sólido en el primer octante (x, y, z ) acotado por z = x +y y el plano x+y = y los planos coordenados. 53. ncnotrar el volumen del sólido acotado por el cilindro circularx +y = y el planoz = y el planox+y = 54. ncontrar el volumen del sólido en el primer octante acotado arriba porz = x +3y, abajo por el planox y y al lado del cilindro y = x y el planoy = x 55. ncontrar el volumen del solido acotado por la superficie z = +e x siny y los planos x = ±,y =,y = π y z =. 56. ncontrar el volumen del solido acotado por la superficiez = xsec y y los planosz =,x =,x =,y = y y = π/4. 57. ncontrar el volumen del solido en el primer octante acotado por el cilindro z = 6 x y el plano y = 5. 58. ncontrar le volumen del solido acotado por el paraboloidez = +x +(y ) y los planosz =,x =,x =,y = yy = 4. 59. ncontrar el volumen del sólido descrito por: Bajo el plano x y +z = y arriba de la región acotada por x+y = y x +y = Bajo la superficiez = +x y y arriba de la región acotada por x = y yx = 4 c) Bajo la superficiez = xy y arriba del triángulo con vérticies (,),(4,),(,) d) ncerrado por el paraboloide z = x +3y y los planos x =,y =,y = x yz =. e) Acotado por los planos coordenados y el plano 3x+y +z = 6. f ) Acotado por los planos z = x,y = x, x+y = yz =. g) encerrado por los cilindros z = x,y = x, y los planos z =,y = 4. h) Acotado por el cilindro y +z = 4 y los planos x = y,x =,z =. i) Acotado por el cilindro x +y = y los planos y = z,x =,z = y el primer octante. j) Acotado por los cilindros x +y = r yy +z = r. 6. Bosquejear el sólido cuyo volumen esta dado por la integral: x x ( x y) ( x)
.. INTGALS N COONAAS POLAS 9.. Integrales en coordenadas porlares 6. valuar las siguientes integrales y dibujar la región c) d) e) f ) g) h) π cosθ π 6 π sinθ π/4 4 π/ 3 π/ r dr dθ 3r sinθ dr dθ r dr dθ r sinθcosθ dr dθ 9 r r dr dθ +sin θ π/ 3 π cos θ θr dr dθ re r dr dθ (sinθ)r dr dθ 6. Calcular las siguientes integrales usando coordenadas polares. c) d) e) f ) a a y a a y x x / / x x y y dx dy x xy xy x +y x +y dx dy
.. INTGALS N COONAAS POLAS g) h) i) j) k) 4 x x y y x +y cos(x +y ) ( ) sin x +y y e x x x +y dx dy (x +y ) x x 63. Sea la región anular comprendida entre los dos círculos x + y =,x + y = 5, evaluar la integral (x +y) da 64. valuar la integral haciendo el cambio a coordenadas polares. x yda donde es la mitad superior del disco con centro en el origen y radio 5. x yda donde es la región en el primer cuadrante encerrado por los círculos x +y = 4, y la línea x =, y y = x. c) sin(x +y )da donde es la región en el primer cuadrante entre los círculos con centro en el origen y radios y 3. y d) x +y da donde es la región que está entre los círculos x + y = a y x + y = b con < a < b e) e x y da donde es la región acotada por el semicírculo x = 4 y y el ejey. 65. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por la gráfica der = 3cos3θ 3 66. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por la gráfica der = 3sin3θ
.. INTGALS N COONAAS POLAS 3 67. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por la gráfica der = ( cosθ) 4 3 68. Uitlizar una integral doble para encontrar el área dentro del círculo r = 4cosθ, pero fuera del círculo r = 3 4 69. Uitlizar una integral doble para encontrar el área dentro de la región grande, pero fuera de la región pequeña cerrada de r = +cosθ.5..5.5..5..5 3..5..5 7. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por la lemiscata r = 4cosθ.6.4...4.6 7. Uitlizar una integral doble para encontrar el área dentro del círculo r = 3cosθ pero fuera del cardiode r = +cosθ.5..5.5..5..5 3..5..5
.3. APLICACIONS LA INTGAL 7. Usando coordenadas polares para encontrar el volumen limitado por: z = xy,x +y = y el primer octante. z = x +y +3,z =,x +y = c) z = ln(x +y ) z =,x +y,x +y 4. d) l interior del hemisferio z = 6 x y y el interior al cilindro x +y 4x =. e) l interior del hemisferio z = 6 x y y el exterior al cilindro x +y =. 73. Hallaratal que el volumen en el interior del hemisferioz = 6 x y y el exterior del cilindrox +y = a sea la mitad del volumen del hemisferio. 74. Utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen de una esfera de radioa..3. Aplicaciones de la integral 75. Centro de masa: Una lámina esta determinada por los semicírculos y = x y y = 4 x junto con la porción del ejexpara unirlos. ncontrar el centro de masa de la lámina si la densidad de cualquier punto es proporcional a la distancia del punto al origen. ncontrar la densidad de la lámina del ejercicio anterior si la densidad de cualquier punto es inversamente proporcional a de un punto al origen. c) Una lámina ocupa la región dentro del círculox +y = y pero fuera del círculox +y =. ncontrar el centro de masa si la densidad de cualquier punto es inversamente proporcioanl a su distancia al origen. 76. ncontrar el área de superficie: La parte del plano x+5y +z =, acotada por el cilindro x +y = 9 La parte del plano 3x+y +z = 6, dentro del primer octante. c) La parte de la superficie z = +3x+y dentro del triángulo con vértices (,),(,),(,) d) La parte del cilindroy +z = 9 dentro del rectángulo con vértices (,),(4,),(,),(4,) e) La parte del paraboloide z = 4 x y que esta arriba del plano x y f ) La parte del paraboloide hiperbólico z = y x delimitada por los cilindros x +y = yx +y = 4 g) La parte de la superficie z = xy delimitada por el cilindro x +y = h) La parte de la esferax +y +z = 4 arriba del planoz = i) La parte de la esferax +y +z = a delimitada por el cilindro x +y = ax y arriba del plano xy j) La parte de la esferax +y +z = 4z delimitada por el paraboloide z = x +y k) l valor de la integrali = e x / dx se requiere en el derarrollo de la función de densidad de probabilidad normal. Utilizar coordenadas polares para calculari, observe que :I = e (x +y )/ da.4. Integral Triples e x / dx e y / dy = 77. z y z (x y)dxdydz
.4. INTGAL TIPLS 3 78. 79. 8. 8. 8. 83. z lnx π/ y x π x xz xe y dydxdz cos(x+y +z)dzdxdy x sinydydzdx ydv, donde = {(x,y,z) x 3, y x,x y z x+y} e z/y dv, donde = {(x,y,z) y,y x, z xy} sinydv, donde es la región acotada por abajo por el plano z = x, y arriba por la región triángular con vértices (,,),(π,,),(,π,) 84. 6xydv, donde está acotada abajo por el plano z = + x + y, y arriba por la región en el plano x y acotada por las curvas y = x,y =, yx = 85. xydv, donde está acotado por los cilíndros parabólicos y = x,x = y, y los planos z =,z = x+y 86. 87. 88. 89. T T octante x dv, donde T es el tetaedro sólido con vértices (,,),(,,),(,,),(,,) xyzdv, donde T es el tetaedro sólido con vértices (,, ),(,, ),(,, ),(,, ) xdv donde está acotado por el paraboloide x = 4y +4z y el planox = 4 zdv donde está acotado por el cilindro y + z = 9 y los planos x =, y = 3x, z = en el primer 9. Usar una triple integral para encontrar el volumen de los siguientes sólidos: el tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano x+y +z = 4 l sólid encerrado por los paraboloides y = x +z yy = 8 x y c) l sólido encerrado por el cilindro y = x y los planos z = y +z = d) l sólido encerrado por el cilindro x +z = 4 y los planos y =,y+z = 4 9. Bosquejear el sólido cuyo volumen esta dado por la siguiente integral: x y z 4 y dydzdx dxdzdy 9. xpresar de 6 maneras diferentes la integral f(x,y,z)dv donde es el sólido acotado por las superficies dadas. y = 4 x 4z y =
.4. INTGAL TIPLS 4 y +z = 9 x = x = c) y = x,z =,y+z = 4 d) x =,y =,z =,x+y z = 93. Calcular el volumen de diferentes maneras que muestran las siguientes figuras: c) d) e) f)
.4. INTGAL TIPLS 5 g) h) i) j) k) l)
.5. APLICACIONS LA TIPL INTGAL 6 m).5. Aplicaciones de la triple integral 94. etermine el centro de masa del sólido acotado por las gráficas de x +z = 4,y =,y = 3 si la densidad ρ en un puntop es directamente proporcional a la distancia desde el plano xy. 95. ncuentre el centro de masa del sólido acotado por las gráficas dey = x,y = x,z = y+,z =, si la densidad ρ en el puntop es directamente proporcional a la distancia desde el plano xy. 96. Calcule el momento de inercia alrededor del eje z del sólido en el primer octante que está acotado por los planos de coordenadas y la gráfica x+y +z = si la densidad ρ es constante. 97. etermine el momento de inercia alrededor del eje y del sólido acotado por las gráficas z = y, z = 4 y, z = z =, x = y x = si la densidad ρ en un punto P es directamente proporcional a la distancia desde el plano yz. 98. Si un sólido tiene densidad constante k, encontrar: l momento de inercia para un cubo con longitud de sus ladoslsi un vértice están en el origen y tres de sus aristas en los ejes coordenados. l momento de inercia para un ladrillo de forma un rectángulo de ladosa,b,c y masam si centro del ladrillo está situado en el origen y sus orillas paralelos a los ejes coordenados. c) l momento de inercia sobre el eje z de un sólido cilíndrico x +y a, z h. 99. l valor promedio de una funciónf(x,y,z) sobre un sólido esta definido porf promedio = V() f(x,y,z)dv dondev() es el volumen de, por ejemplo, siρes una función de densidad, entonces ρ promedio se llama densidad promedio de. ncontrar el volumen promedio de la función f(x,y,z) = xyz sobre el cubo de lados con longitud L que descanza en el primer octante con uno de sus vértices en el origen y sus aristas paralelas a los ejes coordenados.. ncontrar el valor promedio de la función f(x,y,z) = x z + y z sobre la región encerrada por el paraboloide z = x y y el plano z =..6. Coordenadas Cilindricas. escribir las superficies cuyas ecuaciones están dadas por: θ = π/4 r = 5. escribir los sólidos cuyas ecuaciones están dadas por: r, π/ θ π/, z θ π/,r z
.7. COONAAS SFÉICAS 7 3. escribir el sólido cuyo volumen esta dado por la integral dada y evaluarla: π/ π/ r π r rdzdrdθ rdzdθdr 4. valuar zdv, donde esta acotado por el paraboloide z = x +y y el plano z = 4. 5. valuar (x+y+z)dv, donde es el sólido en el primer octante que está bajo el paraboloidez = 4 x y. 6. valuar (x)dv, donde está acotado por los planosz =, yz = x+y+5 y por el cilindrox +y = 4 y x +y = 9. 7. valuar x dv, donde está acotado por x +y =, yz = y abajo del conoz = 4x +4y. 8. ncontrar el volumen del sólido que esta acotado por el cilindro x +y = y la esferax +y +z = 4. 9. ncontrar el volumen del sólido que esta encerrado por el cono z = x +y y la esferax +y +z =.. ncontrar el volumen del sólido que esta encerrado por el paraboloidez = x +y y la esferax +y +z =.. ncontrar la masa y el centro de masa del sólido S acotado por el paraboloide z = 4x + 4y y el plano z = a a sis tiene densidad constante K.. ncontrar la masa de la bola B dada por x +y +z a si la densidad de cualquier punto es porporcional a su distancia del eje z. 3. ncontrar el volumen del sólido encerrado por los cilindrosx +y =,x +z = yy +z =..7. Coordenadas sféricas 4. escribir las la superficie cuya ecuación esta dada por: φ = π/3 ρ = 3 5. escribir los sólidos cuya ecuación esta dada por: ρ 4, φ π/4, θ π ρ, φ π/,π/ θ 3π/ c) ρ,3π/4 φ π 6. Bosquejear el sólido cuyo volumen está dado por la integral dada y calcularla. π/6 π π/ π π/ ρ sinφdρdθdφ ρ sinφdρdφdθ 7. valuar (x +y +z ) dv donde B es la bola de centro en el origen y radio 4 B
.8. CAMBIO VAIABL 8 8. valuar B (9 x y )dv donde B es el sólido dado por x +y +z 9 yz 9. valuar (x +y )dv donde B esta entre las esferas de radio 3 y radio B. valuar (y )dv donde B es el hemisferio sólidox +y +z 9 yy B. valuar xe x +y +z dv donde B es la porción del balón unidad x + y + z que está en el primer B octante. valuar xyzdv donde esta dentro de las esferas ρ = y ρ = 4 y arriba del cono φ = π/3 B 3. ncontrar el volumen de la parte del balón ρ a y que está entre los conos φ = π/6 yφ = π/3 4. ncotrar el volumen del sólido que está dentro la esfera x +y +z = 4, arriba del plano xy y abajo del cono z = x +y 5. emostrar que 6. Mostrar que la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas se convierte a y en coordenadas cilíndricas es.8. Cambio de Variable x +y +z e (x +y +z ) dxdydz = π u x + u y + u z = u r + u r r + u r θ + u z = u ρ + u ρ ρ + cotφ u ρ φ + u ρ φ + 7. Calcular el Jacobiano de las siguientes transformaciones ρ sin φ u θ = x = uv, y = u v x = v +w,y = w +u,z = u+v 8. Verificar el jacobiano en el caso del cambio a coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. 9. ncontrar la imagen del conjunto S bajo la transformación dada: S = {(u,v) u 3, v },x = u+3v,y = u v S es el cuadrado acotado por las líneas u =,u =,v =,v =,x = v,y = u(+v ) c) S es el triángulo dado por los vértices (,),(,),(,) x = u y = v d) S es el disco dado por u +v x = au y = bv 3. Use la transformación dada para evaluar la integral. (x 3y)dA donde es el triángulo con vértices (,),(,),(,);x = u+v,y = u+v (4x+8y)dA dondees el paralelogramo con vértices(,3),(, 3),(3, ),(,5);x = 4 (u+v), y = (v 3u) 4
.8. CAMBIO VAIABL 9 c) d) e) (x )da donde es es la región acotada por la elípse9x +4y = 36;x = u,y = 3v (x xy+y )da dondees es la región acotada por la elípsex xy+y = ;x = u /3v, y = u+ /3v xyda donde es es la región del primer cuadrante acotada por las líneas y = x y y = 3x y las hiperbolas xy =,xy = 3;x = u v,y = v 3. Considere la región del plano acotada por la elípse x a + y =, y las transformacionesx = au,y = bv, dibujar b la regíon imagen y usar este hecho para calcular el área de la elípse. 3. mplear las sustitucionesu = x a,v = y b,w = z c, para mostrar que el volumen del elipsoide x a + y b + z c =, es V = 4 3 πabc