Observacions: Mai es pot saber el valor exacte d una variable aleatòria contínua.

Transcripción

1 ESTADÍSTICA 3. VARIABLES ALEATÒRIES CONTÍNUES O GENERALS 3. Itroducció a la Variable aleatòria cotíua. Ua variable aleatòria cotíua ( sobre u espai probabilitzat (Ω, (Ω, P amb Ω o umerable, és ua fució c : W fi tal que assiga a tot succés ω Ω u valor χ (ω, de maera que per tot ombre real x el succés { χ (ω x} Ω Observacios: ω. Mai es pot saber el valor exacte d ua variable aleatòria cotíua. Les variables aleatòries cotíues, com les VAD s, es caracteritze per la seva fució de distribució (F (x, però o tee ua fució de probabilitat p x ( x (ja que mai es pot saber el valor exacte. E comptes d aquesta teim ua fució de desitat de probabilitat f (x, que és la derivada de la fució de distribució. E v.a.d. teíem que la fució de distribució represetava la oció de probabilitat acumulada, e cotíua és el mateix cocepte i per defiició, ([ x] < < + F (x P x Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-

2 ESTADÍSTICA La fució desitat de probabilitat de (fdp és la derivada respecte la variable de la fució de distribució de probabilitat, és a dir, df f (x (x x R dx De maera que la fució de distribució avaluada al put real x pot determiar-se com la itegral defiida etre i x de la fució desitat de probabilitat (fdp: x F (x f (t dt x R - Per u put doat F (x és precisamet l àrea que taca f (x des de - fis a aquest put. Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-

3 ESTADÍSTICA Comparaça gràfica de les lleis discretes i cotíues Variable aleatòria discreta. Variable aleatòria cotíua. P f (x x 0 F (x F F (x 0 Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-3

4 ESTADÍSTICA Les fucios de probabilitat i de distribució de les compleixe les següets propietats: f (x 0 x R f (x pot ser > a VAD mai! 0 F (x x R x < x F (x F (x F es mootoa o decreixet lim x lim x F f (x (x 0 ; lim x + lim x + f F (x (x 0 P( [ k ] 0 k R, ja que P( [ k ] k k f (t dt 0 P(a < b P( b - P( a b - f (t dt - a - f (t dt b a f (t dt P(a < < b P(a < b P(a < b P(a b + f - (t dt Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-4

5 ESTADÍSTICA 3. Momets e V.A.C. Aàlogamet a variable aleatòria discreta, a cotíua també teim momets: esperaça, variaça, covariaça... + E[ ] t f ( t dt E[ g( ] g( t f ( t VAR COV + [ ] ( [ ] t E f ( t dt + (, Y E[ ( E[ ]( Y E[ Y] ] dt g : R R + + ( u E[ ] ( v E[ Y ] f ( u, v du dv Y Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-5

6 ESTADÍSTICA Propietats dels momets e VAD segueixe esset vàlides: [ ± Y ] E[ ] E[ Y ] E ± [ a b] ae[ ] b E ± VAR ± [ ] E[ ] E[ ] [ ± Y ] VAR[ ] + VAR[ Y ] ± COV ( Y VAR, VAR a COV [ b] a VAR[ ] ± (, Y E[ Y ] E[ ] E[ Y ] Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-6

7 ESTADÍSTICA Exemple: : Temps requerit per la complertació d u projecte de software (e ays kx f (x ( x 0 0 x altramet. Calcular k perquè f (x sigui ua fdp be defiida.. Determiar la probabilitat del succés A: U projecte es complerti e meys de 4 mesos. 3. Determiar la probabilitat del succés B: U projecte tigui ua durada etre 4 i 8 mesos. 4. Quia és l esperaça de la? 5. Quia és la variaça de la? 6. Com calcularíeu la mediaa de? Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-7

8 ESTADÍSTICA 3.3 Vectors aleatoris cotius: Distribució cojuta de dues variables cotíues Sigui i Y dues variables aleatòries cotíues. La fució de distribució de probabilitat cojuta F Y (x,y compleix que : P (a F Y b (b, a,b Y F Y b (b,a F Y (a,b + F Y (a,a La fució desitat cojuta de i Y, f Y (x, y F y x y f, satisfà: (x, Y Y (u,v du dv La fució de distribució de probabilitat margial de, F (x és: F (x lim F y Y (x, y x f Y (u, v du dv Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-8

9 ESTADÍSTICA La fució de desitat de probabilitat margial de és: f (x f Y (x, y dy Dues variables aleatòries cotíues só idepedets si i omés si F Y(x,y F (x F Y(y x,y Dues variables aleatòries absolutamet cotíues só idepedets si i omés si, f Y (x, y f (x f Y (y x, y Propietats de F Y (x, y :. F Y (x, y és o decreixet.. Està defiida F : R R, per tot parell de valors reals. Y 3. Els límits qua ambdues variables tedeixe a - és igual a 0 i qua tedeixe a + igual a : lim x FY ( x, y 0 lim F ( x, y x + y y + Y Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-9

10 ESTADÍSTICA 3.4 Algues variables aleatòries cotíues 3.4. Llei uiforme U[a,b]: Etre els diferets models (distribucios típiques de variables aleatòries cotíues hi ha u de molt sezill, l uiforme a l iterval tacat [ a, b] S expressa com U [ a, b] la fució de desitat de probabilitat és: f (x b a 0 si x [ a,b] altramet La fució de distribució és 0 fis a a, recta amb pedet Gràficamet, les dues fucios só: b a e l iterval [ a, b ] i a partir de b. f ( x F (x b a m b a a b a b Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-0

11 ESTADÍSTICA La fució de distribució i els momets bàsics só: F (x x - f (tdt x a dt b a [ t ] b a x a x a b a a x b [ ] [ ] t dt t t f (tdt E b a b-a (b a b a b (b a a (b a (b+ a(b a (b a b+ a [ ] E 3 3 b a 3(b a VAR( [ ] [ ] (b E E a Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-

12 ESTADÍSTICA 3.4. Llei expoecial de paràmetre λ : Exp( λ La distribució expoecial de paràmetre λ és ua fució defiida pels reals positius. S expressa com Exp( λ i gràficamet es represeta: f ( x λ e 0 λ x x 0 altramet e λ x λ e λx fució de distribució fució de desitat de probabilitat Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-

13 ESTADÍSTICA La fució de distribució de probabilitat de la variable, F, és: F ( x P( [ x] f ( t P x λ x ({ x } e > 0. dt e 0 λx x 0 altramet L esperaça matemàtica de la variable aleatòria és, La variaça de la variable aleatòria és, E + + λ t [ ] t f ( t dt t ( λ e 0 dt L λ Var Var + [ ] ( t E[ ] f ( t + λt [ ] E[ ] E[ ] t ( λ e dt dt λ L λ 0 ó Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-3

14 ESTADÍSTICA Propietat : La fució desitat de probabilitat d ua variable aleatòria, expoecial de paràmetre λ, ( x fució estrictamet decreixet e x. f és ua λ e λ x Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-4

15 ESTADÍSTICA Propietat : La distribució de probabilitat expoecial gaudeix de la propietat d absècia de memòria que pot formular-se e termes matemàtics com, P [ x + x] [ ] P( [ x] x per x, x 0, I és fàcil de verificar, P [ x + x] P( [ x + x] [ x] [ x ] P( [ x] P ([ x + x] P( [ x] e λ e ( x+ x λx e λ x P ([ x] La propietat d'absècia de memòria és ua característica exclusiva de la distribució expoecial: cap altre distribució de probabilitats per ua variable aleatòria cotíua gaudeix d'aquesta característica. Precisamet per la seva sigularitat, e itetar iterpretar-la a la realitat s'arriba a coclusios que, pel setit comú de les persoes, semble paradoxes. Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-5

16 ESTADÍSTICA Propietat 3: Si la fució desitat de probabilitat de la variable aleatòria T, temps etre icidets (arribades o sortides d u sistema és expoecial de paràmetre α, aleshores la variable aleatòria defiida com el ombre d icidets e u iterval fix [ 0,t] segueix ua distribució de Poisso de paràmetre λ α t. És a dir, ( α t λ o f ( λ! e λ ( α t α t! e i E[ ] Var[ ] α t λ. La iterpretació del paràmetre α és la taxa mitjaa d icidets per uitat de temps. Sigui el succés A defiit com que o arribi cap icidet e el iterval [,t] probabilitat a partir de la defiició de la variable, P ( A P( { 0} f ( 0 0, calculem la seva 0 ( α t α t α t α t 0! e e α t Ara bé e termes de la variable T, P( A P( { T > t} P( { T t} e Òbviamet, el càlcul de probabilitat del succés A pre el mateix valor.. e Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-6

17 ESTADÍSTICA Propietat 4: La variable aleatòria U defiida com el míim d u cojut de variables aleatòries idepedets i expoecials T, L,T, de paràmetres respectius α, L,α, segueix ua llei expoecial de paràmetre α α i. i És a dir, U Mi{ T,, } i per tat la fució de distribució de U pot expressar-se com, K T F U ( t P( { U t} P( { U > t} P( { T > t, K, T > t} P( { T > t} LP( { T > t} e α t Le α t e t α i i e α t Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-7

18 ESTADÍSTICA La distribució k-erlag Exemple: Ua estació de servei té u úic servidor o ua operació de servei cosistet e ua sèrie de k etapes cosecutives i fis que o ha fialitzat amb la última etapa de les k etapes pel cliet amb el que està ocupat o passa a ocupar-se del següet cliet de la cua. A més a més que el temps T i de cada etapa de servei i és ua variable aleatòria que és idepedet dels altres temps de servei de la resta d'etapes i es distribueix expoecialmet amb paràmetre o taxa de servei µ. k comú per totes les etapes de servei. El temps total de servei T serà docs ua variable aleatòria i pot expressar-se com la suma dels temps de servei de les k etapes: T k T i i E aquestes codicios la variable aleatòria T es distribueix segos la llei de probabilitats k-erlag (o Erlag de paràmetres k, µ que preseta la següet fució de distribució: ( t P( { T t} k ( kµ t k µ t FT e per t 0 µ, k > 0 i 0 i! i Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-8

19 ESTADÍSTICA i la fució desitat de probabilitat: f T d dt ( t ( F ( t T e k µ t k ( kµ ( k t! k per t 0. L esperaça matemàtica i la variaça de la variable aleatòria T d Erlag de paràmetres µ i k só: E[ T ] E[ T ] + L + E[ T k] + L + k µ k µ µ ; Var[ T] Var[ T ] + L + Var[ T k] + L+ k µ k. µ k µ Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-9

20 ESTADÍSTICA Així docs la relació etre la desviació tipus i l'esperaça matemàtica θ és sempre iferior a la uitat per k > : θ ( Var[ T ] E[ T ] / < si k / k Ua represetació gràfica de la fució de desitat de probabilitat per la distribució k-erlag per diferets valors dels paràmetres k, µ però mateit-se µ, ve doada e la següet figura: > k k0 k0 k t Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-0

21 ESTADÍSTICA Exemple: Relació Poisso-Expoecial La taxa mitjaa de comades d impressió eviades e u Cetre de Càlcul és de 0. comades per sego. Es suposa vàlida ua distribució poissoiaa del ombre de comades per iterval de temps. Quia és la probabilitat del succés A: que o s eviï cap comada e 0 segos? Resoldre doblemet la qüestió, a partir del càlcul de probabilitats sobre els valors de les variables:. : Nombre de comades eviades e 0 segos. Y: Temps etre arribades de comades a la cua d impressió. Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-

22 ESTADÍSTICA Llei Normal de paràmetres µ i Notat N ( µ,σ σ, que pot pedre qualsevol valor real amb ua fució desitat de probabilitat, f ( x σ ( x µ σ π e < x < + F (x f (x µ Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-

23 ESTADÍSTICA La fució de distribució de N ( µ,σ o té ua expressió aalítica: x F (x f (t dt x R - Per tat està tabulada pel cas particular µ 0 i σ, coeguda com la llei ormal Z N ( µ 0, σ estàdard. Les taules facilite la iformació per poder calcular si N ( µ,σ P : ([ x] F ( x i P( [ x x ] F ( x F ( x Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-3

24 ESTADÍSTICA Propietats de N ( µ,σ E[ ] µ : VAR σ [ ]. σ és el put d iflexió de la fdp. Fució desitat de probabilitat simètrica: E [ ] µ Mediaa, el que implica F ( µ δ F ( µ +δ µ δ µ µ + δ ( δ ( µ + δ δ > 0 F F µ Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-4

25 ESTADÍSTICA Percetils: P P P ([ µ σ µ + σ] ([ µ σ µ + σ ] ([ µ 3σ µ + 3σ ] Distribució estàdard Z N ( µ 0, σ Tabulada la seva fució de distribució de probabilitat per valors z >0: F Z z t ( z e dt < z < + π Per la propietat de simetria es pode calcular probabilitats acumulades de valors egatius, si δ > 0 : P ([ Z δ ] F ( δ F ( δ P( [ Z δ ] δ > 0 Z Z Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-5

26 ESTADÍSTICA Si N ( µ,σ N ( µ 0, σ llavors la variable Z. µ Z està distribuïda com ua ormal estàdard, σ P µ x µ x µ x µ Z σ σ σ σ ([ x] P P Z F La tipificació permet d emprar les taules de la ormal estàdard pel càlcul de probabilitats de qualsevol variable ormal N ( µ,σ. Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-6

27 ESTADÍSTICA Exemple. U seyal es mesura e mv i pot modelitzar-se com ua gaussiaa Quia és la probabilitat que el seyal superi els 40 mv? 40 P( > 40 P( 40 P(Z P(Z 40 6 P(Z '5 0'9938 0'006 N(00,56. Quia és la probabilitat que el seyal sigui superior a 40 mv si sabem que és superior a 0 mv? P( > 40 / > 0 P( > 40 > 0 P( > 0 P( > 40 P( > P( > 0 - P( 0 - P(Z P(Z 0'65 6 P(Z P(Z '66 Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-7

28 ESTADÍSTICA Trasformacios lieals de v.a. ormals,,, Sigui K v.a. ormals mútuamet idepedets i amb distribucios respectives N ( µ σ i,, llavors la variable S defiida com, i i, i S a + i b i i està distribuïda N( µ,σ S amb µ a + b i µ i i i i i. i σ b σ Si σ,,, K o só mútuamet idepedets llavors N( µ,σ i j b b i j COV (, i j S amb µ a + b i µ i i i Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-8

29 ESTADÍSTICA Aproximacios: B(,p (λ p si (p<0 i >00 o p(-p < 5 B(,p N ( µ p, σ p (-p si p (-p>5 El que fem és µ p i σ p (-p (λ N(λ, λ si λ>5 El que fem és µ λ i σ λ. Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-9

30 ESTADÍSTICA 3.5 Desigualtat de Txebitxev: Sigui ua d esperaça matemàtica µ i variaça Si 0 P δ k σ > llavors, σ δ ( µ δ σ llavors, P δ > 0 ( µ δ P( µ δ µ + δ σ P ( µ kσ P ( kσ k k ( µ kσ δ σ Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-30

31 ESTADÍSTICA 3.6 Teorema Cetral del Límit: Sigui,,, variaça comua K v.a. mútuamet idepedets i amb distribucios d esperaça comua µ i σ llavors la variable Z, suma de les ateriors cetrada i reduïda, covergeix per N µ 0, σ, gra a ua distribució ( Z µ i i N σ ( 0, Alterativamet, la variable ( µ, σ N. S, suma de les ateriors, covergeix per gra a ua distribució E geeral, si,,, K só v.a. mútuamet idepedets de llei qualsevol d esperaça respectiva µ i i variaça respectiva a ua distribució ( µ,σ σ i, la variable N amb µ µ i i i S, suma de les ateriors, covergeix per gra i. i σ σ Prof. Lídia Motero Mercadé Pàg. 4-3