presentación La obra completa la componen los siguientes libros:

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2 presentación Editorial MAD le facilita el presente tema de muestra de su obra Temario Específico de Matemáticas para la preparación de las oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. La obra completa la componen los siguientes libros: Temario Específico. 3 volúmenes. Aplicaciones Didácticas. Supuestos Prácticos. Programación Didáctica. Temario B. El desarrollo de los temas es ehaustivo, práctico está orientado al estudio de estas oposiciones. Cada tema cuenta con un índice inicial a modo de esquema-guía una bibliografía que sirve para que el opositor inquieto amplíe los aspectos del tema que más le interesen. Todos los temarios han sido elaborados por profesores epertos en la materia de cada especialidad epertos también en la preparación de opositores a estas plazas, contando con un alto índice de aprobados. Editorial Mad, S.L. El autor. Edición, abril Depósito Legal: SE Derechos de edición reservados a favor de EDITORIAL MAD, S.L. Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor. IMPRESO EN ESPAÑA. Diseño Portada: EDITORIAL MAD, S.L. Edita: EDITORIAL MAD, S.L. Plg. Merka, c/b. Naves ALCALÁ DE GUADAÍRA (Sevilla). Telf.:

3 TEMA 23 Funciones circulares e hiperbólicas sus recíprocas. Situaciones reales en las que aparecen Jesús Gómez Gómez Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

4 Volumen I. Matemáticas ÍNDICE SISTEMÁTICO. INTRODUCCIÓN 2. FUNCIONES CIRCULARES 2.. Ángulos orientados 2.2. Definición de seno coseno 2.3. Definición de las demás funciones circulares 2.4. Propiedades inmediatas 2.5. Periodicidad Continuidad derivabilidad de las funciones circulares 2.7. Gráficas de las funciones circulares Gráficas de las funciones seno coseno Gráficas de las funciones tangentes cotangentes Gráficas de las funciones secante cosecante 3. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES: FUNCIONES CICLOMÉTRICAS 4. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 4.. Definición 4.2. Propiedades inmediatas 4.3. Gráficas de las funciones hiperbólicas 5. FUNCIONES INVERSAS DE LA HIPERBÓLICAS 6. SIMILITUDES ENTRE LAS FUNCIONES CIRCULARES Y LAS HIPERBÓLICAS 6.. Una interpretación geométrica análoga 6.2. Definición a partir de la eponencial 6.3. Tabla de derivadas de las funciones circulares e hiperbólicas de sus inversas 7. SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES CIRCULARES 8. SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 390 CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

5 Funciones circulares e hiperbólicas sus recíprocas. INTRODUCCIÓN Las funciones circulares fueron introducidas por la vía geométrica a partir de la trigonometría plana. Los musulmanes a disponían de grandes avances en este campo. Así pues, Al Habas (770?-870?) introduce la función trigonométrica de tangente confecciona tablas de sen tg, que luego perfeccionarían Abul-Wafa ( ) Al-Biruni ( ). A comienzos del siglo XVI la trigonometría estaba aún vinculada a la astronomía. De hecho en la obra de Copérnico titulada De revolutionibus orbium coelestium, tres capítulos están dedicados a las funciones circulares. Dos de esos capítulos habían aparecido a en 542, año anterior al de la publicación de la obra de Copérnico, en un escrito de su editor Georg Joachim, llamado Rhaeticus, a quien se debe el estudio sistemático de las seis funciones circulares en 55, apareciendo por primera vez en Europa definidas sobre la circunferencia fundamental. Fuera del seno del coseno Rhaeticus no dio nombre especial a ninguna de las otras. Los nombres de tangente secante aparecen en una obra de Thomas Fincke de 583. En el Barroco temprano se producen nuevas contribuciones. Así pues, los continuadores de Rhaeticus (Otto, Pitiscus,...) construeron tablas con precisión asombrosa de tales funciones. La vinculación con otros problemas como la cuadratura del círculo la aproimación del número hace que el estudio de las funciones circulares cobre vigor, sobresaliendo la figura de Viète ( ), quien, entre otras muchas aportaciones, ideó un método de biparticiones para obtener valores tabulados de las funciones circulares empezó a desarrollar los teoremas fundamentales. Más tarde, el desarrollo de los métodos infinitesimales permitió un enfoque nuevo basado en las series. Así por ejemplo, ha contribuciones diversas (Pascal, Fermat, Wallis, Newton, Leibniz, Bernouilli, etc.) motivadas por el polémico estudio de la cicloide, que originó la aparición de su compañera, la sinuoide. Un manejo eficaz de esta curva se debe a Roverbal en su método de los indivisibles para determinar el área de la cicloide el volumen del cuerpo engendrado por su revolución. Por su parte Hugens se ocupó del estudio de la catenaria, donde intervienen la funciones hiperbólicas, mientras que Gregor estudió las funciones circulares inversas. Aunque las funciones hiperbólicas fueron introducidas en 757 por Ricatti, Lambert les da en 769 la misma importancia que a las trigonométricas calcula una tabla para aquellas. Se ocupó del estudio de las funciones hiperbólicas en coneión con la teoría de las paralelas demostró la irracionalidad de partiendo del desarrollo en fracción continua de tg. Pero probablemente sea Euler, el matemático más relevante del siglo XVIII, el que más aportó al conocimiento de las funciones trascendentes. A él se debe la relación entre las funciones circulares e hiperbólicas con las eponenciales. En su obra Introductio in analsin infinitorum hace un tratamiento estrictamente analítico ( no geométrico) de las funciones trigonométricas. El seno de un ángulo, por ejemplo, a no es un segmento, sino simplemente un número, la ordenada de un punto de la circunferencia unidad, o bien la suma de la serie para algún valor de z. Cabe destacar por último al francés Fourier, que, en su estudio de las funciones analíticas, aportó con las llamadas series trigonométricas una etensión del concepto euleriano de función. Podemos decir que las funciones que se van a estudiar en el presente tema han sido objeto de estudio a lo largo de la historia, en coneión tanto otras parcelas de la matemática, como la geometría o el álgebra, pero también motivado por la investigación en otros campos de la ciencia de la técnica, como la astronomía, la mecánica o la electrónica. 2. FUNCIONES CIRCULARES 2.. Ángulos orientados Partiremos de la noción intuitiva de ángulo orientado (o dirigido ), como par ordenado (s,s 2 ) de semirrectas con un origen común. S 2 O Figura. S TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A 39

6 Volumen I. Matemáticas Si tomamos en el plano un sistema de referencia OXY ortonormal (ejes rectangulares), podemos considerar como semirrecta inicial s la mitad positiva del eje de abcisas (OX + ), entonces el ángulo orientado vendrá dado por la semirrecta terminal, más concretamente por el ángulo barrido por ésta al girar con centro O. De esa manera puede considerarse un ángulo orientado como un ángulo de giro, se puede generalizar la noción de ángulo admitiendo ángulos superiores a una vuelta se pueden establecer dos sentidos de giro (usualmente como positivo el contrario al de las agujas del reloj). Figura Definición de seno coseno Tomemos ahora la circunferencia de centro O radio unidad C = {(u, v) u 2 +v 2 =} Está claro que toda semirrecta con origen en O determina un único punto P(u,v) de C. Ello significa que para cada ángulo orientado, situado sobre el sistema de referencia OXY de la forma establecida, obtendremos un punto P(u,v) cumpliendo u 2 +v 2 =. Entonces definiremos coseno seno de como las coordenadas del punto P. O sea: O u P v A (, 0) cos = u sen = v Figura 3. Observación: Sabido es que podríamos haber tomado una circunferencia de radio r cualquiera las definiciones serían,. Es fácil probar la independencia de tales definiciones con respecto al radio elegido, con lo cual tomamos r=(circunferencia goniométrica), sin restar generalidad. Tratamos de que las definiciones dadas nos permitan construir dos funciones reales de variable real. Pero para ello es preciso que un ángulo orientado quede identificado mediante un número real. En realidad no nos interesa tanto la perspectiva geométrica longitud como la del análisis real, en ese sentido ha otras formas de llegar a las funciones que pretendemos, si recurrir siquiera a la noción de ángulo. No obstante, la introducción del radián puede ser, al menos en primera aproimación, una manera de solventar la cuestión. En efecto, con la definición clásica lo que hacemos es asignar valor al ángu- lo dirigido en sentido contrario al de las agujas del reloj tal que la longitud del arco es, es decir, al ángulo central cuo arco correspondiente tiene la misma longitud que el Figura 4. radio. 392 CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

7 Funciones circulares e hiperbólicas sus recíprocas De esta manera el ángulo orientado definido por P se identifica con la longitud del arco AP tomando como unidad el radio de la circunferencia, si para ir de AaPhaqueseguir el sentido contrario de las agujas del reloj. Si para ir deaapvamos en sentido de las agujas del reloj entonces identificaremos con el número. Decimos en cada caso que la medida de es radianes o radianes. Cuando recorremos la circunferencia completa partiendo desde A(,0) en sentido positivo hasta volver a A de nuevo, el ángulo dirigido en que ambas semirrectas inicial terminal son OA corresponde entonces a la longitud total de la circunferencia unidad, que es 2. De ese modo, si nos ceñimos a tan sólo la primera vuelta obtendremos una biección entre los puntos del círculo unidad Celintervalo de números reales [0,2] Figura 5. 0 /2 /2 2 Ha otra forma de interpretar la asignación de un número real a un ángulo orientado. Teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre el área de un sector del círculo unidad el arco correspondiente, la razón de dicha proporcionalidad viene dada por O P S A Para un sector de arco, el área será. Es decir, a un ángulo dirigido positivo de la primera vuelta, le asignamos como medida un número real Figura 6. entre02, que viene a ser el doble del área del sector S correspondiente. Supongamos ahora un ángulo generalizado superior a una vuelta. El arco contado a partir de A es ahora superior a 2 ( lo mismo ocurre con el doble del área del sector barrido). Es como si el arco se fuera arrollando sobre el círculo unidad. Resultaría, pues, que el ángulo de radianes el de+2 radianes corresponderían al mismo punto P sobre el círculo unidad, lo mismo ocurriría con el de +4, +6,... radianes. Si vamos arrollando al revés, es decir, en sentido de las agujas del reloj, tendríamos que los ángulos de 2, 4, 6, radianes también corresponden al mismo punto P. Si llamamos : R Cala función de arrollamiento, tendríamos que (+2k) = () = P(u,v) para todo k Z C Figura 7. 0 v R 5 /2 2 3 /2 /2 0 u /2 3 /2 2 5 /2 3 Nuestra definición dada de seno coseno, se traduce ahora en: Para todo (,+) es: cos = abcisa de ()=u sen = ordenada de ()=v TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A 393

8 Volumen I. Matemáticas Como consecuencias:. cos ( + 2k) = cos, sen ( + 2k) = sen, para cualquier k Z. 2. cos 2 + sen 2 =u 2 +v 2 =, pues P(u,v) está sobre la circunferencia unidad Definición de las demás funciones circulares A partir de sen cos, definimos: Tangente Cotangente Secante Cosecante Puede darse un significado geométrico sobre el círculo unidad C a tales funciones, enlazando con la definición anterior de las funciones cos sen, como las coordenadas (u,v) del punto () = P. Si suponemos 0<<, la longitud del arco será menor que un cuarto de circunferencia estaremos en el primer cuadrante. La semejanza de triángulos nos da: B sen=v= N cos=u= P T O u v Q A tg= cotg = OA=OB=OP=r= Figura 8. sec= cosec = En este caso, todos los valores son positivos por serlouv.para los restantes cuadrantes se puede hacer una interpretación similar, pero ha que tener en cuenta los signos correspondientes. Así pues, para sen, cos tg,laslíneas trigonométricas serían: P T Q O A Q O A O Q A T P P T Figura CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

9 Funciones circulares e hiperbólicas sus recíprocas 2.4. Propiedades inmediatas. sen0=0, sen =,sen =0,sen = 2. cos0=, cos =0,cos =, sen =0 3. La función seno es impar: sen ( ) = sen, R 4. La función coseno es par: cos ( ) = cos, R 5. sen ( + ) = cos, cos ( + ) = sen 6. sen ( + ) = sen, cos ( + ) = cos 7. sen ( + ) = cos, cos ( + ) = sen 8. sen ( ) = cos, cos ( )=sen 9. sen ( ) = sen, cos ( ) = cos 0. sen( ) = cos, cos( ) = sen. sen ( + 2k) = sen, k Z 2. cos ( + 2) = cos, k Z 3. tg ( + k) =tg, k Z 4. cotg ( + k) =tg, k Z 5. sen ( + ) = sen cos + cos sen 6. cos ( + ) = cos cos sen sen 7. sen ( ) = sen cos cos sen 8. cos ( ) = cos cos + sen sen 9. sen 2 = 2sen cos 20. cos 2 = cos 2 sen 2 2. cos 2 + sen 2 = tg 2 = sec cotg 2 +=cosec sen 2 = 25. cos 2 = 26. sen+sen=2sen 27. sen sen=2cos cos sen TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A 395

10 Volumen I. Matemáticas 28. cos+cos=2cos cos 29. cos cos= 2sen sen Las propiedades anteriores se pueden justificar geométricamente, en consonancia con nuestra introducción de las funciones circulares a partir de ángulos orientados sobre el círculo unidad. Otras construcciones más formales por la vía analítica, que no se basan tanto en la noción de ángulo, eigen otro tipo de demostraciones, como veremos adelante Periodicidad Es esta una característica fundamental de las funciones circulares, que las hace sumamente importantes para el tratamiento de multitud de fenómenos (ondas, vibraciones, oscilaciones,...) Dada una función f() definida en un dominio D, un período es todo número p que cumple: a) D +p D b) f( + p) = f(), D Si eiste algún número con las condiciones anteriores a f() se le denomina función periódica. Se verifican: Todo múltiplo de un período es también un período, es decir: f( + kp) = f(), D. La diferencia de dos períodos es otro período. Si f() es una función periódica, no constante, sus períodos son los múltiplos del menor período positivo, sólo ellos. Al menor período positivo le llamaremos T (período primitivo). Las seis funciones circulares son periódicas. En el caso del seno, coseno, secante cosecante el período primitivo es T=2. En el caso de la tangente el período primitivo es T =,aque tg(+)=, análogamente para la cotangente Continuidad derivabilidad de las funciones circulares Se utilizará de nuevo aquí la notación inicial introducida en la sección 2.2. Así pues, el círculo unidad es C = {(u, v) u 2 +v 2 =}() la función de arrollamiento de R en C, que a cada número real asocia el punto P(cos, sen ) de C, siendo la longitud del arco desde A(,0) al punto P. Sea I = [a,b] un intervalo de R con amplitud suficientemente pequeña. Puesto que al arrollar I sobre C no se produce estiramiento, tendremos un arco de longitud a b entre (a) (b). (a) (a) = (cos a, sen a) (b) = (cos b, sen b) sen a sen b (b) cos a cos b Figura CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

11 Funciones circulares e hiperbólicas sus recíprocas La longitud de la cuerda que une (a)(b) es menor que el arco que la subtiende, en consecuencia Son obvias las inigualdades (cos a cos b) 2 (cos a cos b) 2 + (sen a sen b) 2 (sen a sen b) 2 (cos a cos b) 2 + (sen a sen b) 2 que combinadas con la anterior nos llevan a cos a cos b a b sen a sen b a b Ahora podemos utilizar estos resultados para probar la continuidad de la funciones seno coseno en cualquier punto 0. En efecto, dado cualquier > 0 eiste =, tal que si 0 <, entonces cos cos 0 0 < sen sen 0 0 < Resulta, pues, que: Las funciones reales f() = cos g() = sen son continuas en todo R (la continuidad es además uniforme). Para las demás funciones circulares vale el teorema relativo a la continuidad de la función cociente de dos funciones continuas. Esto es, la función cociente es continua salvo en aquellos puntos donde la del denominador se anula. Así pues: Las funciones tg sec son continuas en R Las funciones cotg cosec son continuas en R {k /k Z} Veamos ahora la derivabilidad. La demostración clásica de que las funciones seno coseno son derivables en todo R se basa en las fórmulas de adición (propiedades de la sección 2.4.) en el límite. Para probar dicho límite, consideraremos h <, pues nos va a interesar lo que ocurre para h pequeño. Si es0<h<, podemos recurrir a la figura poner: Área ( OAP) Área (Sector OAP) Área ( OAT) sen h h tg h P(cos h,sen h) T Dividiendo entre sen h: O Q A(,0) Tomando inversos: cos h (*) Figura. Si fuese < h< 0 tomando h>0tendríamos cos ( h), como cos ( h) = cos h, sen ( h) = sen h, queda de nuevo (*). Ahora basta tomar límites en (*) aplicar la regla del sandwich. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A 397

12 Volumen I. Matemáticas Además al pasar al límite tendremos: Entonces: Dsen=. Dcos= Las derivadas de las demás funciones circulares se obtienen aplicando las conocidas reglas de derivación Gráficas de las funciones circulares La gráfica de una función periódica se da, por lo general, solamente en un período. Como la gráfica se repite a intervalos regulares de amplitud T, bastaría deslizar la porción dada en ambas direcciones siguiendo el eje OX, para obtener la gráfica completa. Por otro lado, la interpretación geométrica de las funciones circulares en el intervalo [0,2], permite construir la gráfica en dicho intervalo de cada una viendo cómo varía la línea trigonométrica correspondiente (ver epígrafe 2.3.) al recorrer el círculo unidad una vuelta. Acompañaremos dicha construcción con una síntesis de las propiedades más relevantes que se reflejan en la gráfica. Y Y = sen X Y X X 2 =tg = cos Figura Gráficas de las funciones seno coseno De cos 2 + sen 2 =sedesprenden cos, sen, R. Es decir, son funciones acotadas sobre R, siendo cos, sen, R. Puesto que sen =cos0=sen= = cos =, se tendrá que + son los valores máimo mínimo absolutos de tales funciones por tanto, el recorrido de ambas funciones es el intervalo [,+]. El período de ambas funciones es 2, como a vimos. Además, son continuas derivables en todo R, siendo (sen ) = cos, (cos ) = sen. 398 CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

13 Funciones circulares e hiperbólicas sus recíprocas De ahí que los puntos singulares de ambas funciones (donde presentan los máimos mínimos locales) se obtienen de las relaciones = 0 sen k = 0, para todo k Z. Tendríamos que los puntos críticos o estacionarios de la función seno se obtienen para = coseno los presenta para =k. Las gráficas etendidas a todo R son las siguientes:, mientras que la función Figura 3. = sen /2 2 0 /2 2 3 Figura 4. = cos /2 3/ Gráficas de las funciones tangente cotangente El período de las funciones es ahora, presentando discontinuidades de salto infinito en los puntos en que anulan cos sen. Así pues, la función = tg es discontinua en = ( k Z), mientras que la función=cotgloesen=k ( k Z). Las gráficas tienen asíntotas verticales en tales puntos. Podemos tomar para = tg el período comprendido entre, para la función = cotg el comprendido entre 0. Las gráficas completas se obtienen por repetición a intervalos regulares a izquierda derecha del de partida. /2 0 /2 /2 /2 3 /2 0 3 /2 =tg = cotg Figura 5. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A 399

14 Volumen I. Matemáticas Gráficas de las funciones secante cosecante A partir de las propiedades de coseno seno son inmediatas las siguientes consideraciones acerca de las funciones =sece=cosec El recorrido de ambas es ], ] [+,[ El período de ambas es 2 La función = sec presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde se anula cos, o sea, en = ( k Z) La función = cosec presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde se anula sen, o sea, en =kkz) Figura 6. /2 0 /2 3 /2 0 /2 3 /2 2 = sec = cosec 3. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES: FUNCIONES CICLOMÉTRICAS La función sen: R [,+] no es uno a uno, pues sen = sen ( + 2k). Ni siquiera si nos ceñimos a la primera vuelta, o sea, para [0,2], a que para un mismo valor del intervalo [,+], salvo para +, ha dos números de [0,2] cuo seno tiene dicho valor. Sin embargo, si restringimos el dominio de la función seno a un intervalo conveniente podemos construir una función uno a uno f que tendrá una recíproca f. Eisten muchas maneras de hacerlo. Algunos dominios posibles son: [, ], [, ], [, ], etc., en realidad cualquiera de ellos se puede elegir indistintamente. Se acostumbra, sin embargo, a elegir el intervalo [, ]. Podemos hacer uso de un enunciado general, que es consecuencia inmediata del teorema de Darbou o de valores intermedios para una función continua en un intervalo cerrado acotado. PROPOSICIÓN: Si f: [a,b] R es estrictamente creciente/decreciente continua, entonces define una biección de [a,b] en [f(a),f(b)] su recíproca f es también continua estrictamente creciente/decreciente. Los intervalos elegidos para la restricción a una función uno a uno son el [, ] para el caso de las funciones seno tangente, el [0,] para el caso de coseno cotangente. Obtenemos así las restricciones biectivas: sen: [, ] [,+] cos: [0,] [,+] tg: [, ] ],+[ cotg: [0,] ],+[ 400 CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

15 Funciones circulares e hiperbólicas sus recíprocas cuas gráficas son: = sen /2 0 /2 = cos /2 0 /2 0 /2 =tg Haciendo uso de la proposición anterior podemos definir las funciones recíprocas de las anteriores: sen, cos,tg cotg. Usualmente se denominan respectivamente arco seno, arco coseno, arco tangente arco cotangente: arcsen: [,+] [, ] arctg: ],+[ [, ] Figura 7. arccos: [,+] [0,] arccotg: ],+[ [0,] Las gráficas correspondientes se obtienen de las anteriores tomando las simétricas respecto a la recta =, con lo que resultan las siguientes: /2 = sen = arccos /2 0 /2 /2 0 = arctg /2 0 Figura 8. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A 40

16 Adquirir la obra completa de Editorial MAD para la preparación de cada especialidad tiene un beneficio adicional para los opositores: acceder a un servicio personal eclusivo que les facilita Editorial MAD los autores de las publicaciones. Cada libro de la colección inclue un cupón de compra. Al adquirir la totalidad de los libros correspondientes a una especialidad, deberá remitirnos los cupones incluidos en los mismos recibirá por una clave de acceso a la página Web en Internet que Editorial MAD ha desarrollado para sus clientes que preparan oposiciones a Profesores de Enseñanza Secundaria ( En esta página podrá acceder en eclusiva a una serie de materiales para reforzar la preparación resolver dudas. Al mismo tiempo podrá acceder a las actualizaciones legislativas de los temas correspondientes al programa de la convocatoria de la Comunidad Autónoma por la que se vaa a presentar a las pruebas. Todo este asesoramiento, acceso a la información actualizada actualizaciones normativas de las publicaciones se realizan a través de Internet se facilita eclusivamente a aquellas personas registradas como adquirentes de nuestros libros. Una auda personal en eclusiva para aquellas personas que se quieran preparar estas oposiciones con la garantía de un buen material el respaldo de una empresa con un plan de preparación completo. EDITORIAL MAD, S.L. Polg. Merka, c/b, Naves Alcalá de Guadaíra, Sevilla. Tfno: