DISEÑO, CONSTRUCCION Y CONTROL DE UN PENDULO INVERTIDO ROTACIONAL UTILIZANDO TECNICAS LINEALES Y NO LINEALES CARLOS ANDRES OSORIO ZÚÑIGA

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1 DISEÑO, CONSTRUCCION Y CONTROL DE UN PENDULO INVERTIDO ROTACIONAL UTILIZANDO TECNICAS LINEALES Y NO LINEALES CARLOS ANDRES OSORIO ZÚÑIGA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA MAESTRIA EN INGENIERIA AUTOMATIZACION INDUSTRIAL BOGOTA, DC 9

2 DISEÑO, CONSTRUCCION Y CONTROL DE UN PENDULO INVERTIDO ROTACIONAL UTILIZANDO TECNICAS LINEALES Y NO LINEALES CARLOS ANDRES OSORIO ZÚÑIGA Tesis ara otar al título de Magíster en automatización industrial Director LEONARDO BERMEO CLAVIJO Ingeniero electrónico MSc Codirector HERNANDO DIAZ MORALES Ingeniero Electricista Phd UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA MAESTRIA EN INGENIERIA AUTOMATIZACION INDUSTRIAL BOGOTA, DC 9

3 Nota de acetación: Trabajo arobado or el comité de evaluación en cumlimiento de los requisitos exigidos or la Universidad Nacional de Colombia ara otar al título de Magíster en Automatización Industrial Jurado Jurado Jurado BOGOTA DC Diciembre 9

4 Dedicado a: Toda mi familia y en esecial a mis adres: Guillermo Osorio Ortiz y Eseranza Zúñiga Sáenz

5 CONTENIDO ág INTRODUCCIÓN 1 1 EL PÉNDULO DE FURUTA 4 11 MODELO MATEMATICO Cinemática 5 11 Exresiones de energía Ecuaciones de movimiento Reresentación en esacio de estado 1 1 PUNTOS DE EQUILIBRIO LINEALIZACION MODELOS DE FRICCION Modelos de fricción clásicos Modelo de fricción de Coulomb con fricción estática 14

6 141 Modelo de fricción de Karno Modelo de fricción dinámico de LuGre 16 VALIDACION EXPERIMENTAL DEL MODELO MATEMATICO 19 1 OBTENCIÓN DE LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS 19 COMPARACIÓN ENTRE EL MODELO MATEMÁTICO Y EL PÉNDULO EXPERIMENTAL 3 CONTROL HIBRIDO PARA EL PÉNDULO DE FURUTA 31 SWING UP 311 Control de energía 4 3 REGULADOR LINEAL CUADRATICO (LQR) 8 33 CONTROLADOR PI VECTORIAL Controlador PI Vectorial con anti wind-u 39 4 COMPENSACION DE FRICCION 4 41 COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN DE COULOMB 43

7 4 COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN DE KARNOPP COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN DE LUGRE Observadores de fricción de LuGre Observador de lazo abierto Observador con realimentación 48 5 CONTROL POR MODOS DESLIZANTES JERARQUICO REPASO DE CONTROL POR MODOS DESLIZANTES 56 5 DISEÑO DEL CONTROLADOR POR MODOS DESLIZANTES JERÁRQUICO Análisis de estabilidad y deslizamiento de todas las suerficies deslizantes 63 5 Controlador libre de singularidad Resultados exerimentales 67 6 TRABAJO FUTURO 69

8 7 CONCLUSIONES 7 A Comonentes utilizados ara el sistema 7 BIBLIOGRAFIA 76

9 LISTA DE TABLAS ág Tabla 1 Valores de los arámetros del sistema 19

10 LISTA DE FIGURAS ág Figura 1 El éndulo de Furuta 4 Figura Vista general del éndulo de Furuta desarrollado 5 Figura 3 Fricción de Coulomb 14 Figura 4 Fricción de Coulomb con fricción estática 15 Figura 5 Esquema del modelo de fricción de Karno 16 Figura 6 La interfaz de fricción entre dos suerficies es imaginada como un contacto entre cerdas Por simlicidad las cerdas inferiores se muestran rígidas 17 Figura 7 Deflexión romedio de la cerda z 18 Figura 8 Comaración de resuestas entre el sistema exerimental (línea azul) y el sistema de simulación (línea roja) ara la condición inicial 365deg, 683 rad / s, 3516 deg, rad / s Figura 9 Diagrama de cuero libre del éndulo Figura 1 Retrato de fase del sistema con control de energía 5

11 Figura 11 Comortamiento atológico del sistema con la ley de control (51) con k= y E 15 8 Figura 1 Esquema de control or realimentación del estado 3 Figura 13 Resuesta del sistema ex con control híbrido (swing u + LQR) ara la condición inicial 1798deg, rad / s, deg, rad / s 3 Figura 14 Resuesta del sistema exerimental con control híbrido (swing u + LQR) ante erturbaciones 33 Figura 15 Esquema de control PI vectorial digital 35 Figura 16 Resuesta del sistema exerimental con control híbrido (swing u + PI Vectorial) ante diferentes valores de referencia ara la osición del brazo 37 Figura 17 Resuesta del sistema con control híbrido (Swing u + PI Vectorial) ante una erturbación en t =13 s 38 Figura 18 Integrador condicionado ara evitar el wind u 39 Figura 19 Res del sistema con control híbrido (swing u + PI Vectorial) con antiwind u ante cuatro erturbaciones en t = 8 s, t = 9 s, t = 98 s y t=16s 4 Figura Control PI Vectorial con com de fricción basada en modelo 4

12 Figura 1 Efecto de la fricción sobre el sistema de control PI Vectorial 43 Figura Resuesta del sistema en la osición invertida con comensación de fricción de Coulomb 44 Figura 3 Esquema del modelo de fricción de Karnoo 44 Figura 4 Resuesta del sistema en la osición invertida con comensación de fricción de Karno 45 Figura 5 Comensación de fricción basada en observador de LuGre y realimentación lineal del estado 49 Figura 6 Comensación de fricción basada en observador de LuGre y realimentación lineal del estado como una interconexión de un sistema SPR y un sistema disiativo 5 Figura 7 Diagrama de Nyquist de G 51 Figura 8 Resuesta del sistema en la osición invertida con control LQR y con comensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo abierto 5 Figura 9 Resuesta del sistema en la osición invertida con control LQR y comensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo cerrado 5 Figura 3 Resuesta del sistema en la osición invertida con control PI Vectorial y comensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo abierto 53

13 Figura 31 Deterioro en el desemeño del sistema en la osición invertida ocasionada or sobre comensación de fricción 54 Figura 3 Estructura de las suerficies deslizantes jerárquicas 61 Figura 33 Resuesta del sist de control or modos deslizantes jerárquico 67

14 RESUMEN Este trabajo resenta el desarrollo y control de un éndulo invertido rotacional (éndulo de Furuta) Un ejemlo de este tio de sistemas son las aeronaves, vehículos esaciales, vehículos submarinos, barcos, satélites y robots construidos or barras y uniones articuladas asivas y activas Algunas veces, la subactuación uede ser causada or fallas en los actuadores El desarrollo de estos mecanismos que ueden realizar tareas comlejas con un número reducido de actuadores es un asunto de gran interés, uesto que imlica reducción de eso y de costos Un reto ara la comunidad de control ha sido encontrar una única ley de control no lineal que solucione el roblema global de llevar el éndulo desde su osición colgante natural o algún otro estado inicial hasta su osición invertida y mantenerlo allí En este trabajo se diseñan varios tios de controladores lineales y no lineales, se examina su desemeño en el éndulo desarrollado y finalmente se diseña un controlador or modos deslizantes jerárquico ara solucionar el roblema global de control La fricción es muy imortante ara los ingenieros de control, or ejemlo en el diseño de servo mecanismos de alta recisión, robots, sistemas neumáticos e hidráulicos y sistemas de frenos antibloqueo (ABS) ara automóviles En este trabajo, se muestra el efecto de la fricción cuando se utiliza un control or realimentación de variables de estado sobre el éndulo de Furuta También se diseñan comensadores de fricción clásicos y modernos ara reducir los ciclos límite que aarecen al estabilizar el sistema en su osición invertida

15 PALABRAS CLAVES: éndulo invertido rotacional, éndulo de Furuta, subactuado, control or modos deslizantes, fricción

16 ABSTRACT This aer resents the develoment and control of a rotational inverted endulum (Furuta endulum) An examle of such systems are aircraft, sacecraft, underwater vehicles, shis, satellites and robots built by bars and articulated joints assive and active Sometimes underactuation can be caused by faults in the actuators The develoment of these mechanisms that can erform comlex tasks with a reduced number of actuators is a matter of great interest because it further reduces weight and cost A challenge for the control community has been to find a single nonlinear control law that solves the global roblem of bringing the endulum from its natural endant osition or some other initial state to its inverted osition and kee it there In this aer were designed several tyes of linear and nonlinear controllers, examine their erformance in the develoed endulum and finally its designed a hierarchical sliding mode controller to solve the global roblem of control Friction is very imortant for control engineers, for examle in the design of high recision servo mechanisms, robots, neumatic and hydraulic systems and antilock braking systems (ABS) for automobiles This aer shows the effect of friction when using a feedback control of state variables on the Furuta endulum Classic and modern friction comensators are also designed to reduce the limit cycles that aear when the system its stabilized in its inverted osition KEY WORDS: Rotational inverted endulum, Furuta endulum, underactuated, sliding mode control, friction

17 INTRODUCCIÓN Dentro de los sistemas de éndulos invertidos, un ejemlo muy utilizado y rofundamente estudiado es el éndulo encima de un carro móvil, dicho sistema se utiliza ara el análisis exerimental de técnicas de control El inconveniente con este sistema se encuentra en que el recorrido del carro se encuentra acotado, lo que limita las maniobras de control Para eliminar dicha limitación se reemlaza la trayectoria lineal del carro or una trayectoria circular, dando origen al sistema Péndulo de Furuta El sistema Péndulo de Furuta (Furuta K et al, 1994) fue creado or el Dr K Furuta del Instituto de Tecnología de Tokio, Jaón, el cual es un sistema subactuado de dos grados de libertad rotacionales llamados brazo y éndulo El movimiento del brazo se realiza en un lano horizontal girando alrededor de un eje erendicular al lano, el éndulo se encuentra ubicado en un extremo del brazo y su eje giro es colineal al eje axial del brazo y su movimiento se realiza en un lano erendicular al de éste último Desde la aarición del éndulo rotacional se suscitó un roblema mucho más general y comlejo que el del simle mantenimiento de la varilla en la osición invertida: el roblema de llevar el éndulo desde cualquier osición, y en articular desde la osición colgante natural, hasta la osición invertida Este roblema se conoce como el del swing u Por tanto, en el roblema del control del éndulo invertido aarecen dos subroblemas: el de llevar el éndulo desde la osición colgante inicial, u otra osición cualquiera, a las roximidades de la osición deseada; y el de estabilizar al éndulo en la osición invertida 1

18 Conviene observar que el roblema del swing u adquiere radicales diferencias con resecto al de estabilización local, uesto que se trata de un roblema global y no lineal Se trata or tanto, de un ejemlo relativamente simle de roblema no lineal donde el tratamiento lineal es insuficiente En este trabajo se diseña un control híbrido ara coordinar los dos subroblemas: un controlador swing u basado en el control de energía del éndulo ara llevar el sistema a una región cercana a su unto de equilibrio inestable, un controlador LQR y PI Vectorial ara estabilizar localmente el sistema y una estrategia de conmutación ara escoger el momento en que funcionará el swing y el control or realimentación de variables de estado Un reto que ara la comunidad de control ha sido encontrar una única ley de control no lineal que solucione el roblema global de llevar el éndulo desde su osición colgante natural o algún otro estado inicial hasta su osición invertida y mantenerlo allí En este trabajo, se diseña un controlador or modos deslizantes jerárquico ara solucionar este roblema Un sistema subactuado (el éndulo es uno de ellos) es aquel que osee menos actuadores que grados de libertad (DOF) Los sistemas subactuados incluyen fallos en los actuadores, la ausencia de los mismos or consideraciones de diseño, exceso de eso, reducción de costos, etc El fallo en los actuadores de un sistema físico es un roblema de mucho interés ara la teoría de control moderna debido a que resulta imosible tener un control directo sobre el grado de libertad no actuado, de modo que el control de estos se debe realizar (si es osible) or medio de los actuadores restantes

19 La fricción fue estudiada amliamente en la ingeniería mecánica clásica y últimamente ha tenido un fuerte resurgimiento Aarte de la curiosidad intelectual, esto se debe a grandes necesidades en la ingeniería en un amlio rango de industrias que van desde los discos duros hasta los vehículos La fricción es muy imortante ara los ingenieros de control, or ejemlo en el diseño de servo mecanismos de alta recisión, robots, sistemas neumáticos e hidráulicos y sistemas de frenos antibloqueo (ABS) ara automóviles La fricción es altamente no lineal y uede causar errores de estado estacionario, ciclos límite y un desemeño obre Por lo tanto, es imortante ara los ingenieros de control entender los fenómenos de fricción y como lidiar con ellos Con la otencia comutacional actual es osible en muchos casos lidiar efectivamente con la fricción Esto tiene un gran otencial en el mejoramiento de la calidad, economía y seguridad de un sistema Uno de los objetivos de este trabajo es ilustrar los efectos de la fricción, la comensación de fricción y exlotar las características de un nuevo modelo dinámico de fricción, el modelo de LuGre (De Wit et al, 1995) Los resultados son comarados con comensadores de fricción clásicos La imlementación de las técnicas de control mencionadas anteriormente se realiza utilizando el toolbox xc target de Matlab 3

20 1 EL PÉNDULO DE FURUTA El éndulo de Furuta se muestra en la Figura 1 Consta de dos cueros inerciales conectados: un ilar central con momento de inercia J, rígidamente conectado a un brazo horizontal de longitud l a y masa homogéneamente distribuida en línea m a El éndulo de longitud l y masa homogéneamente distribuida en línea m El ángulo del éndulo,, ha sido definido como cero en la osición vertical arriba, y ositivo, cuando el éndulo se mueve en la dirección de las manecillas del reloj El ángulo del brazo,, se ha definido ositivo cuando el brazo se mueve en la dirección contraria a las manecillas del reloj Figura 1 El éndulo de Furuta 4

21 Figura Vista general del éndulo de Furuta desarrollado 11 MODELO MATEMATICO La obtención del modelo es basada en la teoría de Euler-Lagrange (Gafvert M, 1998) 111 Cinemática La osición de un unto P sobre el éndulo uede ser descrito or el vector de osición r )) T ( ra, r ) ( rx ( ra, r ), ry ( ra, r ), rz ( ra, r (1) con r ( r, r ) r cos r sin sin x a a r ( r, r ) r sin r sin cos () y a a rz ( ra, r ) r cos 5

22 6 La variable r a es la osición radial del brazo, y r es la osición radial del éndulo Las distancias radiales son medidas desde el centro de rotación de los cueros Tomando derivadas resecto al tiemo de (1) se obtiene una exresión ara la velocidad T a z a y a x a r r v r r v r r v r r v )), ( ),, ( ),, ( ( ), ( (3) de un unto P sobre el éndulo, con cos sin sin cos sin ), ( a a x r r r r r v sin sin cos cos cos ), ( a a y r r r r r v (4) sin ), ( a z r r r v Esto se usa luego ara exresar el cuadrado de la magnitud de la velocidad de P: cos ) sin ( ), ( a a a r r r r r r r v (5) 11 Exresiones de energía Exresiones ara la energía cinética y otencial son obtenidas en esta sección La energía cinética es obtenida a artir de la solución de la integral dm v T 1 (6) usando (5), y la energía otencial al resolver

23 V g rdm (7) z usando (1) Las exresiones son obtenidas ara cada cuero searadamente Pilar central T c J (8) V ; (9) c Brazo horizontal la c (,) a / a T v s m l ds (1) 1 (11) ml 3 a a V ; (1) a Brazo endular l ( a, ) / T v r s m l ds (13) 7

24 1 1 m( la l sin ) mlal cos ml (14) 3 3 l V g r ( l, s) m / l ds (15) z a 1 m gl cos (16) La energía cinética total del éndulo invertido rotacional está dada or T T T c a T (17) y la energía otencial total or V V c V a V (18) 113 Ecuaciones de movimiento Formulando el Lagrangiano L T V las ecuaciones del movimiento están dadas or (19) d dt d dt L L L L () 8

25 siendo el torque externo alicado al brazo horizontal Las derivadas arciales son: L L J sin cos ma m la m l m lal L m 3 1 l lal 1 cos sin m 1 1 sin m gl sin (1) L 1 m l l a 1 cos m 3 l Insertando (1) en () e introduciendo J 1 3 ( ma m ) la 1 3 m l 1 m l l a resultan las ecuaciones de movimiento ara el sistema: m gl 1 () ( sin ) cos cos sin sin (3) cos cos sin sin 9

26 Teniendo en cuenta que el ar de control se genera or un motor de corriente continua controlado or voltaje: V R I di L dt V K e K e I (4) R R donde R, K e y L corresonden a las constantes eléctricas del motor En la exresión anterior se desrecia el efecto inductivo en el motor (or ser muy equeño) ara simlificar el modelo Considerando que el ar es roorcional a la corriente: e K e K K t I V (5) R R Debido a que en los motores de corriente de continua el valor de Kt y el valor de Ke son casi idénticos, se reemlaza Kt or Ke en la exresión anterior 114 Reresentación en esacio de estado Introduciendo las variables de estado x 1 x, x3, 4, x, las ecuaciones de movimiento (3) ueden reescribirse de una forma aroiada ara integración y ara el diseño de controladores en el esacio de estado: 1

27 1 x x x 3 x4 x sin 1 sin cos sin sin cos sin sin sin sin cossin 1sin sin cossin sin sin cos 4 x (6) 1 PUNTOS DE EQUILIBRIO Igualando las derivadas de las variables de estado en la reresentación (6), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas no lineales: x cos sin x 4 sin sin (7) Por lo tanto, los untos de equilibrio del sistema son x,,, 1 Donde k con k Z 13 LINEALIZACION Sea dx f ( x, ) (8) dt con f definida de forma aroiada El modelo linealizado en el unto de equilibrio 11

28 x,,,,, (9) se obtiene a artir de d x dt f x f x Ax B (3) con x x x Para,,, x lo anterior origina A 1 1 B (31) Con valores roios,, (3) El sistema linealizado osee un valor roio en la arte derecha del semi-lano comlejo Basado en el método de linealización de Lyaunov se uede concluir que el unto de equilibrio,,, x es inestable Para,,, x lo anterior origina 1

29 A 1 1 B (33) Con valores roios,, i (34) El sistema linealizado osee cuatro valores roios sobre el eje j, así que no se uede llegar a una conclusión sobre la estabilidad de este unto de equilibrio a artir de la aroximación lineal 14 MODELOS DE FRICCION La fricción ocurre en todos los sistemas mecánicos, ej rodamientos, transmisiones, cilindros neumáticos e hidráulicos, válvulas, frenos y ruedas En el éndulo utilizado ara los exerimentos, la fricción es una comlicación que no uede desreciarse Nótese, sin embargo, que la fricción en el motor es más notable que en el unto de ivote del éndulo or lo cual se desreciará este última La fricción es un fenómeno natural bastante difícil de modelar y aún no es comletamente comrendido Los modelos de fricción clásicos son descritos or maeos estáticos entre velocidad y fuerza de fricción Estos modelos clásicos no exlican el comortamiento histerético cuando se estudia la fricción ara velocidades no estacionarias, las variaciones en la fuerza de rutura ni los equeños deslazamientos que ocurren en la interfase de contacto durante la fase de fricción estática Estudios recientes, (Olsson H, 1996) muestran que es 13

30 necesario un modelo de fricción dinámico ara describir el fenómeno de fricción de forma recisa En esta sección se resentarán dos modelos clásicos de fricción y un nuevo modelo dinámico de fricción (De Wit et Al 1995) aroiado ara el control 141 Modelos de fricción clásicos Los modelos de fricción clásicos están conformados or diferentes comonentes donde cada uno se ocua de ciertos asectos de la fuerza de fricción La idea rincial es que la fricción se oone al movimiento y que su magnitud es indeendiente de la velocidad y del área de contacto 1411 Modelo de fricción de Coulomb con fricción estática El modelo mas común que se utiliza es el modelo de fricción de Coulomb (Coulomb 1785) F F sgn C (35) Figura 3 Fricción de Coulomb 14

31 Donde la fuerza de fricción Fc es roorcional a la carga normal, ej F C F N Nótese que este modelo es un modelo ideal de relé El modelo de fricción de Coulomb no describe que sucede cuando la velocidad es cero Puede ser cero, o uede tomar algún valor entre el intervalo Fc y Fc, deendiendo de como se defina la función signo Una forma oular ara resolver esto es introducir Stiction (Stiction es un modo informal de escribir Static Friction) la cual describe la fuerza de fricción en el reoso Por lo tanto, se asume que si la velocidad es cero y la fuerza total que actúa sobre el sistema es menor que la fuerza de fricción estática Fs, entonces la velocidad ermanece en cero El movimiento ocurre cuando la fuerza alicada es mayor que Fs Figura 4 Fricción de Coulomb con fricción estática Un estimativo de la fuerza de fricción obtenida de este modelo es si ^ F Fs sgn F (36) ^ F Fc sgn si donde F es la fuerza resultante que actúa sobre la junta del brazo 15

32 Un roblema con este modelo ara simulaciones o roósitos de control es el de detectar cuando la velocidad es cero Una solución ara esto es el modelo resentado or Karno (Karno 1985) 141 Modelo de fricción de Karno Este modelo fue desarrollado ara solucionar el roblema de detectar cuando la velocidad es cero y ara evitar la conmutación entre diferentes ecuaciones ara adhesión y deslizamiento En la figura 5 se muestra un esquema de este modelo Figura 5 Esquema del modelo de fricción de Karno El modelo define un intervalo de velocidad cero, DV Para velocidades dentro de este intervalo, la velocidad uede cambiar y ser diferente de cero ero la salida del bloque se mantiene en cero or una zona muerta Deendiendo de si DV o no, la fuerza de fricción es una versión saturada de la fuerza externa o una función estática arbitraria de la velocidad 14 Modelo de fricción dinámico de LuGre Recientemente, ha habido un interés significativo en los modelos de fricción dinámicos Esto se debe a la curiosidad intelectural, a la demanda de servos de recisión en un amlio rango de industrias y los avances de hardware que hacen osible la imlementación de comensadores de fricción 16

33 Figura 6 La interfaz de fricción entre dos suerficies es imaginada como un contacto entre cerdas Por simlicidad las cerdas inferiores se muestran rígidas El modelo de LuGre es un modelo de fricción dinámico resentado en (De Wit et Al 1995) En (Olsson H, 1996) se uede encontrar un análisis extenso del modelo y sus alicaciones Este modelo está relacionado con la interretación del modelo de cerda de la fricción La fricción se modela como la fuerza de deflección romedio de resortes elásticos Cuando se alica una fuerza tangencial las cerdas se deflectarán como resortes Si la deflección es suficientemente grande, las cerdas emiezan a deslizar La deflección romedio de la cerda ara un movimiento en estado estable está determinada or la velocidad Es más baja, a bajas velocidades, lo cual imlica que la deflección en estado estado estable decrementa con el incremento de la velocidad Esto modela el fenómeno donde las suerficies se aartan debido a el lubricante y modela el efecto Stribeck El modelo también incluye el fenómeno de variación de la fuerza de rutura y el de retardo de fricción 17

34 El modelo tiene la forma dz z dt g( ) ( / ) s g( ) F F F e C S C dz F z1 dt (37) Donde z denota la deflexión romedio de la cerda Figura 7 Deflexión romedio de la cerda z El arámetro es la rigidez de las cerdas y 1 un coeficiente de amortiguamiento La función g modela el efecto Stribeck (disminución de la fuerza de fricción al incrementar la velocidad a bajas velocidades) donde s es la velocidad de Stribeck El arámetro Fc corresonde a la fuerza de fricción de Coulomb y Fs a la fuerza de fricción estática 18

35 VALIDACION EXPERIMENTAL DEL MODELO MATEMATICO 1 OBTENCIÓN DE LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS Los valores de las masas y las longitudes del brazo y el éndulo se obtuvieron mediante medición directa Los datos mecánicos y eléctricos del motor se obtuvieron a artir de la hoja de datos del fabricante Algunos valores de arámetros del modelo de fricción se obtuvieron mediante sintonización manual Estos arámetros son la rigidez de la cerda, el coeficiente de amortiguamiento 1 y la velocidad de Stribeck Tabla 1 Valores de los arámetros del sistema Parámetros del sistema Valor Unidades Masa del Péndulo (m ) 89 Kg Masa del Brazo (m a ) 56 Kg Longitud del Péndulo (l ) 5 m Longitud del Brazo (l a ) 35 m Inercia del Motor (J) 847e-6 Kgm Inercial del ilar central 3e-5 Kgm Gravedad (g) 98 m / s Constante de Torque en el Motor (K t ) 44 Nm / A Resistencia del Motor (R) 335 Torque de fricción de Coulomb 4 Nm Torque de fricción estático 45 Nm Velocidad de Stribeck 1 m/s Rigidez de la cerda N/m 19

36 Parámetros del sistema Valor Unidades Coeficiente de amortiguamiento 4 Ns/m COMPARACIÓN ENTRE EL MODELO MATEMÁTICO Y EL PÉNDULO EXPERIMENTAL Para verificar la validez del modelo matemático con el modelo de fricción de LuGre (37), se realizó una toma de datos en lazo abierto del éndulo exerimental bajo cierta condición inicial conocida y se comaró con la resuesta del sistema de simulación bajo la misma condición Figura 8 Comaración de resuestas entre el sistema exerimental (línea azul) y el sistema de simulación (línea roja) ara la condición inicial 365deg, 683 rad / s, 3516 deg, rad / s teta (deg) 55 5 tetadot (rad/s) tiemo (deg) tiemo (seg) hi (deg) hidot (rad/s) tiemo (seg) tiemo (seg)

37 En la figura 8 se uede areciar que el modelo matemático junto con la sintonización de los valores de los arámetros arece ser una buena aroximación de la dinámica real del éndulo de Furuta exerimental 1

38 3 CONTROL HIBRIDO PARA EL PÉNDULO DE FURUTA 31 SWING UP En esta sección se utiliza un modelo simlificado del éndulo de Furuta Este modelo simlificado desrecia los torques de reacción ejercidos desde el éndulo hacia el brazo, de esta forma, el control de energía del éndulo ueda estudiarse sin considerar la osición y la velocidad del brazo El modelo obtenido de esta simlificación es de segundo orden Figura 9 Diagrama de cuero libre del éndulo Sea m la masa del éndulo, J el momento de inercia del éndulo resecto al ivote y l cm la distancia desde el ivote a su centro de masa El ángulo entre la vertical y el éndulo es, donde es ositivo en el sentido de las agujas del reloj La aceleración de la gravedad es g y la aceleración del ivote es u La aceleración u es ositiva si es en la dirección ositiva del eje x La ecuaciones de movimiento ara el éndulo son:

39 d Fx m a xcm H m x l sin cm dt (38) d Fy m a ycm V m g m l cos lcm dt (39) d Tcm Vlcm sin Hlcm cos Icm dt (4) H y V son las fuerzas de reacción ejercidas or el brazo sobre el éndulo De (38), (39) y (4) se obtiene la ecuación de movimiento del éndulo: J m gl sin mul cos (41) cm cm La estrategia utilizada es basada en el control or energía y es resentada en (Astrom y Furuta, 1996) La idea básica es incrementar la energía del sistema de tal manera que finalmente tenga suficiente energía ara llegar a una región cercana al unto de equilibrio inestable Allí, se realiza un intercambio a una ley de control local que estabiliza el éndulo La energía del éndulo sin controlador (u=) es: 1 E J m glcm cos 1 (4) La energía total es la suma de la energía cinética y la energía otencial Se ha definido que la energía otencial es cero cuando el éndulo está en la osición vertical suerior 3

40 311 Control de energía Una forma de llevar el éndulo a la osición vertical suerior es incrementar su energía al valor corresondiente de energía en dicha osición Esto corresonde a la trayectoria 1 E J m glcm cos 1 (43) La cual corresonde a la órbita homoclína del sistema Es evidente que esta trayectoria contiene el unto, Para realizar el control de energía es necesario entender como influencia la aceleración del ivote la energía del éndulo Calculando la derivada de E resecto al tiemo se tiene: de dt J m gl sin m ul cos (44) cm cm En la anterior exresión se ha utilizado la ecuación (41) La ecuación (44) muestra que es fácil controlar la energía El sistema es simlemente un integrador con ganancia variable La controlabilidad se ierde en (44) cuando o /, or ejemlo cuando el éndulo está horizontal o en el instante en el que el éndulo cambia de dirección Para obtener la ley de control se utiliza el método de Lyaunov Sea V E / obtiene E una función candidata de Lyaunov, al derivar se V cos (45) E E E m l ue E cm 4

41 y Si se escoge u k cos (46) E E se encuentra que V m lcmke E cos (47) Con lo que V es semidefinida negativa La función de Lyaunov tiende a cero siemre y cuando y cos Debido a que el éndulo no uede mantener una osición estacionaria con / la estrategia (46) lleva la energía hacia el valor deseado E Figura 1 Retrato de fase del sistema con control de energía x ' = y y ' = 4486 sin(x) y 3 cos(x) cos(x) 3 y y cos(x) x 5

42 En la figura 1 se uede areciar que las trayectorias del sistema tienden a la curva de energía cero El sistema controlado conserva los untos de equilibrio en estado natural El unto de equilibrio, es una silla or lo cual se hace necesario utilizar una estrategia diferente ara estabilizar el origen del sistema El unto de equilibrio, es una fuente nodal Existen otras leyes de control que consiguen llevar la energía del sistema al valor deseado Para cambiar la energía lo más ráido osible la magnitud de la señal de control debe ser lo más grande osible Esto se consigue con la ley de control E E cos u umáx sign (48) La cual lleva la función V E E a cero y E hacia E La ley de control (48) uede resultar en chatering Esto uede evitarse con la ley de control E E sign cos u k (49) Para valores grandes de k, la estrategia (49) se comorta de forma similar a la estrategia (48) que roorciona el máximo incremento o decremento de energía La ley de control resentada en (49) resulta en un swing u que hace que el éndulo ase or el origen Sin embargo, queda estabilizar localmente el éndulo alrededor de su osición de equilibrio inestable Para realizar el intercambio entre la ley de control del swing u y la ley de control local se utiliza una estrategia de conmutación muy simle Si el éndulo se encuentra en una osición angular 6

43 menor a los +-15 el controlador local entra en funcionamiento de lo contrario funcionará el controlador swing u En el caso en el que el sistema ase or el origen con exceso de energía debido a una condición inicial fuerte y el controlador local no logre estabilizar el éndulo y escae del dominio de atracción, el controlador swing u entrará en funcionamiento e intentará llevar el éndulo nuevamente hasta arriba Hasta ahora el control de energía lanteado anteriormente ara realizar el swing u no arece resentar roblemas Sin embargo, al imlementar esta técnica en el modelo de cuarto orden del éndulo de Furuta se resentan algunos casos donde la ley falla Una rimera conclusión a artir de simulaciones y exerimentos en el éndulo real es que la ley de control (49) basada en el modelo simlificado de dimensión dos necesita ajustarse de forma cuidadosa Se ha encontrado que ara valores de k inferiores a 3 y E 15, el estado del sistema no asa cerca al origen Por suuesto, el controlador local nunca tendrá la oortunidad de funcionar 7

44 Figura 11 Comortamiento atológico del sistema con la ley de control (51) con k= y E Angulo del éndulo (rad) Velocidad angular del éndulo (rad/s) tiemo (seg) Angulo del éndulo (rad) Energía (J) Acción de control (Voltios) tiemo (seg) tiemo (seg) 3 REGULADOR LINEAL CUADRATICO (LQR) En la anterior sección se resentó que con un buen ajuste de los arámetros del controlador swing u se logra llevar el éndulo a una región cercana al origen También se demostró que el origen es inestable lo que hace necesario utilizar una estrategia de control diferente ara estabilizarlo Debido a que todos los estados son medibles, se utiliza una técnica de control lineal (LQR) or realimentación del estado ara estabilizar localmente el unto de equilibrio,,, 8

45 El modelo lineal utilizado se obtiene al linealizar (6) en el unto de equilibrio,,, Teniendo en cuenta la exresión (5) se obtiene como entrada al sistema el voltaje alicado a los terminales del motor La reresentación en el esacio de estado de tiemo continuo al reemlazar los valores de los arámetros de la tabla 1 es: donde x Ax Bu (5) c c A c y B c (51) Utilizando el método de invarianza al escalón con un tiemo de muestreo de 1 ms se obtiene la siguiente reresentación en el esacio de estado de tiemo discreto x( k 1) Ax( k) Bu( k) (5) donde e A 9757e y 49 B 46 (53) 9

46 La matriz de controlabilidad del sistema (5) está dada or Co B AB A B A B (54) El rango de la matriz Co es 4 Por lo tanto, el sistema discreto es controlable El esquema de control or realimentación del estado utilizado se muestra en la figura 1 Figura 1 Esquema de control or realimentación del estado Para obtener la matriz de ganancia de realimentación de estado K se utiliza el control ótimo LQ Este regulador calcula la matriz de ganancia ótima tal que la ley de realimentación de estado u( k) Kx( k) minimiza la función de costo J T T x Qx u Ru (55) Los arámetros de diseño del diseño LQ son las matrices de eso Q y R Q se 3

47 utiliza como esos de enalización ara los estados y R ara enalizar la señal de control Las matrices de diseño utilizadas ara los exerimentos son: 5 6 Q 6 5 (56) R 1 (57) Este diseño arroja el vector de realimentación del estado K [ ] (58) y los olos de lazo cerrado [ ] (59) A continuación se resentan las gráficas de resuesta del sistema exerimental con control híbrido ara la condición inicial 1798deg, rad / s, deg, rad / s Los valores de los arámetros ara el controlador swing u son E 1 y k 4 31

48 Figura 13 Resuesta del sistema exerimental con control híbrido (swing u + LQR) ara la condición inicial 1798deg, rad / s, deg, rad / s teta (deg) -5 tetadot (deg/s) tiemo (seg) tiemo (seg) hi (deg) -1 hidot (deg/s) tiemo (seg) tiemo (seg) u (Voltios) tiemo (seg) 3

49 A continuación se realiza una nueva toma de datos donde se lleva manualmente el éndulo hasta su osición invertida y se erturba alicando una fuerza en su extremo Figura 14 Resuesta del sistema exerimental con control híbrido (swing u + LQR) ante erturbaciones X: 68 Y: teta (deg) 5-5 X: 164 Y: -5 tetadot (deg/s) 4-1 X: 348 Y: tiemo (seg) tiemo (seg) X: 348 Y: hi (deg) 4 X: 164 Y: 33 hidot (deg/s) X: 68 Y: tiemo (seg) tiemo (seg) 1 5 u (Voltios) tiemo (seg) 33

50 En la figura 14 se uede observar la resuesta del sistema ante erturbaciones ocasionadas or la alicación de una fuerza externa sobre el extremo del éndulo Tal como se uede observar, el sistema es caaz de mantener el equilibrio a esar de las erturbaciones en t = 164 s y t = 68 s Para ello, el brazo se tiene que mover hasta 33 grados ara que el éndulo recuere el equilibrio y luego hasta grados En t = 35 s la erturbación hace caer el éndulo y el swing u lo lleva nuevamente hasta una región cercana al unto de equilibrio inestable donde el controlador LQR lo regula 33 CONTROLADOR PI VECTORIAL En la sección 3 se utilizó un controlador LQR ara llevar el estado del sistema a cero Sin embargo, este tio de diseño no considera directamente las esecificaciones estáticas Para eliminar errores de estado estacionario de forma acetable se requiere usar un re comensador; ero este diseño no es robusto ara reducir los errores Una forma de conseguir un desemeño robusto consiste en utilizar acción integral En esta sección se retende diseñar un controlador lineal ara lograr que el brazo siga referencias de osición tio escalón manteniendo el éndulo en su osición invertida 34

51 Figura 15 Esquema de control PI vectorial digital La reresentación en tiemo discreto de la lanta está dada or (5), (53) y (6) y( k) Cx( k) (6) Para este diseño, la matriz de salida está dada or C [1 ] La ley de control ara el PI Vectorial digital está dada or u( k) Kx( k) Kiv( k) (61) donde A I B K (6) CA CB ^ Ki K I 1 ^ ^ ( k 1) A ( k) B w( k) (63) ^ w( k) K ( k) (64) 35

52 ^ A A B y ^ B I (65) Los olos de lazo cerrado deseados son [ ] (66) lo cual arroja ^ K (67) K (68) Ki -7 (69) A continuación se realiza una toma de datos del sistema exerimental con el controlador swing u y el controlador PI Vectorial ara comrobar la habilidad de este último ara seguir referencias de osición tio escalón 36

53 Figura 16 Resuesta del sistema exerimental con control híbrido (swing u + PI Vectorial) ante diferentes valores de referencia ara la osición del brazo teta (deg) 5-5 tetadot (deg/s) tiemo (seg) tiemo (seg) hi (deg) -5-1 hidot (deg/s) tiemo (seg) tiemo (seg) u (Voltios) tiemo (seg) En la figura 16 se uede areciar que el sistema es caaz de seguir referencias tio escalón ara la osición del brazo de forma acetable Hasta ahora este diseño ara no resentar ningún roblema Sin embargo, aún no se ha estudiado la estabilidad del sistema ante erturbaciones Las siguientes figuras muestran la resuesta del sistema ante erturbaciones 37

54 Figura 17 Resuesta del sistema con control híbrido (Swing u + PI Vectorial) ante una erturbación en t =13 s teta (deg) -5 tetadot (deg/s) tiemo (seg) tiemo (seg) hidot (deg/s) hi (deg) tiemo (seg) tiemo (seg) 1 5 u (Voltios) tiemo (seg) En la figura 17 se uede areciar que una erturbación ocasionada or una fuerza externa sobre el extremo del éndulo desestabiliza la osición invertida y el sistema nunca vuelve a recuerar la estabilidad en dicha osición Un análisis más rofundo revela que esto es causado or el efecto del wind-u en el integrador del PI Vectorial Al utilizar control híbrido, se debe tener en cuenta que si el controlador local osee acción integral, esta debe aagarse cuando el éndulo se 38

55 encuentre en la fase del swing u ara evitar el fenómeno de wind-u que ocasiona inestabilidad en el éndulo de Furuta 331 Controlador PI Vectorial con anti wind-u Para imlementar el controlador PI Vectorial con anti wind u, se reemlaza el integrador en tiemo discreto or el siguiente integrador condicional Figura 18 Integrador condicionado ara evitar el wind u El integrador de la figura 18 entrará en funcionamiento si el éndulo se encuentra en el dominio de atracción del controlador local 15deg ara y se aagará or fuera de él 39

56 Figura 19 Resuesta del sistema con control híbrido (swing u + PI Vectorial) con antiwind u ante cuatro erturbaciones en t = 8 s, t = 9 s, t = 98 s y t=16 s X: 1 Y: teta (deg) 5-5 tetadot (deg/s) -1 X: 814 Y: X: 163 Y: X: 91 Y: tiemo (seg) tiemo (seg) 1 15 hi (deg) tiemo (seg) hidot (deg/s) tiemo (seg) 1 5 u (Voltios) tiemo (seg) En la figura 19 se uede areciar que el controlador PI Vectorial con anti wind u logra estabilizar el éndulo en su osición invertida a esar de erturbaciones tan fuertes que hacen caer el éndulo 4

57 Es imortante resaltar que ara imlementar el controlador LQR y PI Vectorial es necesario realizar una instrumentación de la señal del ángulo Esta señal debe transformarse de tal forma que el ángulo teta siemre se encuentre entre el rango rad rad sin imortar el número de vueltas que ueda llegar a realizar el éndulo Esto se debe, a que or su naturaleza, los controladores LQR y PI Vectorial son controladores lineales y eseran valores de las variables de estado ligeramente desviados del unto de linealización,,, Por ejemlo, si esto no se realizara, un valor de ángulo de 355 grados o 715 grados (desviación de 5 grados) ocasionaría un mal cálculo de la acción de control y el sistema no funcionaría Para el controlador swing u, sin embargo, esta transformación es indiferente ya que ara el cálculo de la acción de control, utiliza el coseno del ángulo 41

58 4 COMPENSACION DE FRICCION El objetivo de esta sección es mejorar aún más el desemeño del controlador local diseñado en la sección 33 Se roone agregar una comonente no lineal al controlador PI Vectorial ara reducir el efecto de la fricción en la junta del brazo Para esto, se utiliza un modelo de fricción y se obtiene un estimativo de la fuerza de fricción F ~ la cual se convierte a voltaje F a través de la exresión (5) y se suma a la ley de control local ~ u( k) Kx( k) Kiv( k) (7) ~ u u F (71) Figura Control PI Vectorial con comensación de fricción basada en modelo Debido a que la entrada de control y la fricción entran al sistema en el mismo lugar, el torque de fricción real se cancela si F ~ F 4

59 Figura 1 Efecto de la fricción sobre el sistema de control PI Vectorial X: 3 Y: teta (deg) 1-1 X: 1456 Y: 18 hi (deg) u (Voltios) X: 394 Y: tiemo (seg) tiemo (seg) tiemo (seg) En la figura 1 se uede areciar el efecto de la fricción sobre el desemeño del sistema de control PI Vectorial La fricción en la junta del brazo ocasiona que éste oscile con una amlitud aroximada de 11 grados 41 COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN DE COULOMB Para obtener un estimativo del torque de fricción en la junta del brazo se utiliza el modelo sgn F C (7) Donde c es el torque de fricción de Coulomb y es igual 4 Nm Para roducir un torque aroximadamente igual a F se utiliza la exresión (5) Por lo tanto, la señal de voltaje que debe sumarse a la acción de control del PI Vectorial es c sgn R ~ F (73) K 43

60 Figura Resuesta del sistema en la osición invertida con comensación de fricción de Coulomb X: 351 Y: teta (deg) hi (deg) u (Voltios) X: 988 Y: tiemo (seg) tiemo (seg) tiemo (seg) En la figura se uede areciar que se logró reducir en grados aroximadamente la oscilación del brazo con una comensación de fricción basada en el modelo de fricción de Coulomb en comaración con la resuesta sin comensación de fricción 4 COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN DE KARNOPP Para la estimación del torque de fricción se utiliza el esquema de la figura 3 Figura 3 Esquema del modelo de fricción de Karnoo El valor de dv utilizado es 4 rad/s, el nivel de fricción estática es S 45 y el nivel de fricción de Coulomb es C 4 44

61 Para el caso en que abs dv ~ F sat s u (74) En caso contrario c sgn R ~ F (75) K Figura 4 Resuesta del sistema en la osición invertida con comensación de fricción de Karno X: 46 Y: teta (deg) - hi (deg) u (Voltios) X: 4546 Y: tiemo (seg) tiemo (seg) tiemo (seg) En la figura 4 se uede areciar que se logró reducir en 4 grados aroximadamente la oscilación del brazo con una comensación de fricción basada en el modelo de fricción de Karno en comaración con la resuesta sin comensación de fricción 43 COMPENSACIÓN DE FRICCIÓN BASADA EN EL MODELO DE FRICCIÓN DE LUGRE Una motivación detrás del modelo de LuGre es ofrecer un modelo de fricción de Coulomb con fricción estática regularizado Este modelo catura muchas de las 45

62 características de la fricción tales como el incremento del torque de fricción a bajas velocidades La forma más común utilizada es (76) dz dt z g( ) g( ) FC ( FS F dz F z 1 dt C ) e ( v / v s ) / (76) Con Fs, Fc, s,, 1 arámetros ositivos Para integrar al modelo las roiedades intuitivas del modelo de cerda, la deflexión z debe ser finita Es or esto, que el modelo osee la siguiente roiedad: Proiedad 1: Asuma que g( ) a Si z() a, entonces zt () at Demostración: Sea Vt () z /, entonces la derivada temoral de V evaluada a lo largo de la solución de () es dv dt z z g( ) (77) dv dt z z g( ) sgn( )sgn z (78) La derivada dv/dt es negativa cuando z g( ) Debido a que g( ) es estrictamente ositiva y acotada or a, se uede areciar que el conjunto 46

63 z: z a es un conjunto invariante ara las soluciones de () Todas las soluciones de z(t) que emiezan en ermanecen allí Intuitivamente, se esera que la fricción disie energía Puede robarse que el maeo : z definido or () es disiativo Proiedad : El maeo : z, definido or (76), es disiativo resecto a la 1 función Vt () z(), t es decir, t z( ) ( ) dv( t) V() (79) Demostración: De () se tiene que dz z z z dt g( ) (8) dz z (81) dt Por lo tanto, t dz( ) z( ) ( ) d z( ) V( t) V() d t (8) 47

64 Para el éndulo de Furuta se tiene que Debido a que el estado z no uede medirse, es necesario utilizar un observador ara estimar la fricción con este modelo 431 Observadores de fricción de LuGre Para el modelo de Coulomb la fuerza de fricción uede determinarse directamente a artir de cantidades medibles Debido a que el modelo de LuGre es dinámico, es necesario utilizar un observador ara estimar la fuerza de fricción 4311 Observador de lazo abierto Debido a que la dinámica en el modelo de LuGre es estable y ráida, la solución más simle es utilizar el observador de lazo abierto ^ d z dt ^ z g( ) ^ ^ d z F z 1 dt ^ (83) 431 Observador con realimentación Se uede obtener un observador más comlejo introduciendo realimentación a artir de otras señales del sistema El observador resultante es ^ d z dt ^ ^ d z F z 1 dt ^ z ke g( ) ^ (84) 48

65 donde la realimentación del observador e es una señal relacionada al error de estimación Se asume que la fricción afecta al sistema en la entrada Sea e Lx, donde x es el estado del sistema Sea ecuación de error ~ ^ F F F y ~ ^ z z z La ~ dz dt ~ z klx (85) g( ) se obtiene restando (84) de (76) El sistema de lazo cerrado dx dt Ax B( u F) (86) ^ u F u u Kx (87) (88) (86), (87), (88), (76) y (84) uede reresentarse or el diagrama de bloques en la figura 5 Figura 5 Comensación de fricción basada en observador de LuGre y realimentación lineal del estado (Gafvert M, 1999) 49

66 Figura 6 Comensación de fricción basada en observador de LuGre y realimentación lineal del estado como una interconexión de un sistema SPR y un sistema disiativo (Gafvert M, 1999) Particionando el sistema de lazo cerrado en una arte lineal y una no lineal se origina el diagrama de bloques de la figura 6 Se uede areciar que KsI A B L si A B s ~ ~ e z Gz (89) En (Gafvert, 1999), se lantea que ara asegurar que el error de observador ~ ^ F F F y el estado x convergen asintóticamente a cero, se debe escoger L de forma tal que G sea estrictamente real ositiva (SPR) Al introducir el observador de lazo cerrado, se obtiene un maeo disiativo de e a ~ z y, sumando la señal estimada de fricción a la señal de control, el error será la salida de un sistema lineal oerando sobre ~ z Esto significa, que se tiene una 5

67 interconexión de un sistema disiativo y un sistema lineal SPR Se conoce que tal interconexión es asintóticamente estable El valor escogido ara L es L [ 5 3 4] (9) lo cual origina la función de transferencia s 498s 175s 7799s1857 G (91) 4 3 s 336s 431s 6458s415 la cual es SPR según el diagrama de Nyquist de la figura 7 Figura 7 Diagrama de Nyquist de G 4 Nyquist Diagram 3 1 Imaginary Axis Real Axis 51

68 Figura 8 Resuesta del sistema en la osición invertida con control LQR y con comensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo abierto 1 8 X: 51 Y: teta (deg) hi (deg) X: 5596 Y: 637 u (Voltios) tiemo (seg) tiemo (seg) tiemo (seg) En la figura 8 se uede areciar que se logró reducir en 7 grados aroximadamente la oscilación del brazo con una comensación de fricción de LuGre basada observador de lazo abierto en comaración con la resuesta sin comensación de fricción Figura 9 Resuesta del sistema en la osición invertida con control LQR y comensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo cerrado X: 4394 Y: teta (deg) hi (deg) X: 4938 Y: 155 u (Voltios) tiemo (seg) tiemo (seg) tiemo (seg) En la figura 9 se uede areciar que se logró reducir al igual que en el caso anterior, aroximadamente en 7 grados la oscilación del brazo con una comensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo cerrado Esto, en comaración con la resuesta sin comensación de fricción 5

69 En las figuras 8 y 9 se ha utilizado un controlador LQR ara estabilizar el sistema en su osición invertida Aunque se logró reducir la amlitud de las oscilaciones con la imlementación de los observadores de fricción de LuGre, en comaración con otros modelos, el sistema resenta error de estado estacionario Por esta razón, en el siguiente exerimento, se utiliza el controlador PI Vectorial diseñado en la sección 33 con el observador de fricción de lazo abierto (83) Figura 3 Resuesta del sistema en la osición invertida con control PI Vectorial y comensación de fricción de LuGre basada en observador de lazo abierto teta (deg) hi (deg) X: 546 Y: 155 u (Voltios) -5 - X: 537 Y: tiemo (seg) tiemo (seg) tiemo (seg) En la figura 3 se uede areciar que se logró reducir la oscilación del brazo a grados aroximadamente Además, se logró mejorar considerablemente el error de estado estacionario Es evidente, que el buen desemeño del observador de fricción de lazo abierto, deende en gran medida, de un buen ajuste de arámetros ara el modelo de LuGre Un mal ajuste de arámetros uede ocasionar una comensación obre o una sobre comensación de fricción (ver Figura 31) y emeorar el desemeño que tenía el sistema cuando no se utilizaba comensación de fricción o incluso causar inestabilidad 53