MATEMÁTICA. Unidad 5 UTILICEMOS LA TRIGONOMETRÍA. Objetivos de la Unidad:

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1 MATEMÁTICA Unidad 5 UTILICEMOS LA TRIGONOMETRÍA Objetivos de la Unidad: Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar eplicar el comportamiento de fenómenos escolares sociales. 55

2 Funciones trigonométricas a partir del utilizando Círculo trigonométrico Números reales utilizando sus Ángulos de referencia Signos de las variables Características Gráficos Ángulos cuadrantales son determinando Amplitud Desfase Dominio Rango Período Descripción del proecto Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su nivel medio.

3 Quinta Unidad Lección Motivación El círculo trigonométrico funciones de ángulos Cuadrantales Pedro Juan trotan sobre una pista circular. Agarrados de una cuerda que los une al centro de la pista. Pedro recorre círculo cuarto, Juan recorre un cuarto de círculo. Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado por la cuerda de Pedro? Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda de Juan? B A Indicadores de logro Construirás con interés precisión el círculo unitario. Determinarás eplicarás, con seguridad, las funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico a partir del punto (, ). Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Signo de los ángulos Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Lado terminal Deducirás calcularás con interés las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales. Lado inicial Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj. Lado terminal Lado terminal Lado inicial Lado inicial Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj. En trigonometría, los ángulos pueden ser positivos o negativos. El lado desde el cual comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial el lado donde finaliza la medición se llama lado terminal del ángulo. Lado terminal Si la rotación del lado inicial Lado inicial lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del reloj, el ángulo es positivo. El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de las agujas del reloj. Segundo Año - Matemática 57

4 El ángulo de referencia de θ denotado por, θ es el menor ángulo cuos lados son el lado terminal de θ el eje. Ángulo de referencia d) Ejemplo Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia de: a) 75º b) º c) º d) 5º Solución a) b) c) θ En general si θ está en el cuadrante II, θ = 8º θ θ θ = 75 En general si θ está en el cuadrante I, θ = θ Si θ está en el cuadrante III, θ = θ 8º Si θ está en el cuadrante IV, θ = 6º θ Ubicación de θ en Ángulo de referencia los cuadrantes θ es igual a I θ II 8 θ III θ 8 IV 6 θ El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje, hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia θ siempre se define con respecto al eje, nunca con respecto al eje. Ángulos coterminales o equivalentes Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección: Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda de Pedro? Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo de = 5. Juan un ángulo de 9. Observa que ambos están en el punto B. Los ángulos 9 5 son ejemplos de ángulos llamados coterminales. θ =8 =6 θ = En general, tienes que si dos ángulos poseen el θ = θ = 8 = mismo lado inicial el mismo lado terminal, se llaman coterminales. Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo, sumas o restas una o más veces 6º a dicho ángulo. Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de ángulos coterminales o equivalentes: θ = θ ± n 6º, n =,,,,,.. θ =6 5 = 5 Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 9º, 8º, 7º, 6º son ángulos cuadrantales. 58 Matemática - Segundo Año

5 Ejemplo Encuentra cuatro ángulos coterminales de º Solución: a) º = º+ 6º = 6º b) º = º + (6º) = 8º c) º = º 6º = 6º d) º = º (6º) = 6º Ejemplo Simplifica el ángulo θ = 58º Solución: Comienzas averiguando cuántas veces contiene el ángulo θ a 6º. Para ello divides: 58 entre 6 la parte entera que es es el nº de veces que contiene a 6. Luego, como 58 contiene veces a 6º, al ángulo 58 le restas veces 6º. 58º (6º) 58º 5º = 8º Conclues entonces que las dos formas más simples o valores canónicos de θ, son 8º 8º 6º = 5º Definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo Sea θ un ángulo en posición normal o estándar: Su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas, su lado inicial coincide con el eje positivo. Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa, al valor ; ordenada, al valor, las funciones de θ se definen así: ordenada abscisa sen θ = = cos θ = = distancia d distancia d ordenada tan θ = = abscisa cot abscisa θ = = ordenada distancia sec θ = = d distancia csc θ = = d abscisa ordenada Ejemplo Determina en forma gráfica las funciones de a) 5º b) º Solución a) El ángulo de 5º posee un ángulo de referencia igual a 8º 5º = 5º. Luego, el triángulo de referencia es de 5º. En la figura de la derecha se representa la situación, donde: =, = ; d = (-,) - θ b) El ángulo de referencia es º 8º = º. Luego, el triángulo de referencia es º, donde: = ; = ; d = d Con estos valores defines las funciones de º P(-,- ) 5 - P(X;Y) 5 Segundo Año - Matemática 59

6 Actividad. Copia en tu cuaderno traza el ángulo de referencia θ del ángulo θ. 5º º θ. Encuentra dos ángulos positivos dos negativos que son coterminales o equivalentes a 75º.. Halla los dos ángulos equivalentes de θ = 5º entre º 6º represéntalos en el plano cartesiano.. Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia determina su valor si: a) θ = 5º c) θ = 5º b) θ = 5º d) θ = º 5. La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de cm, la trasera 6 cm Qué ángulo gira la rueda delantera cuando la trasera gira 8 radianes? 6. Determina gráficamente las funciones de a) 5º b) º c) 5º Círculo trigonométrico o unitario El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la unidad. (-,) (,) r= P(,) (,) En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos son más sencillas de manejar obtener, debido a que el valor d es el radio de la circunferencia es igual a. Así d = r =.. sen θ = = =. csc θ = = d sen θ. cos θ = = = d 5. sec θ = = cos θ (,-). tan θ = = sen θ cos θ 6. cot θ = = cos θ sen θ + = r, + =, + = 6 Matemática - Segundo Año

7 Mediante él, puedes calcular con buena aproimación las funciones de un ángulo. sen 7º =.6 sen 5º =.7 cos 7º =.8 cos 5º =.7 Comprueba los siguientes resultados en tu calculadora. sen 7º =.685 sen 5º =.7768 cos 7º = cos 5º =.7768 Funciones de ángulos cuadrantales Los ángulos cuadrantales son aquellos cuos lados coinciden con alguna semirrecta del eje o del eje. Éstos son: 9º, 8º, 7º 6º ó º. θ (,) P(,) 5 (-,) 7 (,) Q(-.7, -.7) (,-) (,) P(.8,.6) Nota que, cuando θ aumenta acercándose a 9º, la abscisa cada vez se hace más pequeña: tiende a cero. Además, cuando θ aumenta acercándose a 9º, la ordenada cada vez se hace más grande: tiende a uno. Cuando θ = 9º tienes que = ; = ; r = Luego: sen 9º = = cos 9º = = sen 9º tan 9º = = = (infinito) cos 9º cos 9º cot 9º = = = sen 9 º sec 9º = = = (infinito) cos 9º csc 9º = = = sen 9º (,) Si el ángulo continúa aumentando, llegas a 8º, 7º 6º, ángulos cuas coordenadas (, ) representan las funciones trigonométricas (cos θ, sen θ) 9 (,) (-,) (,) θ 8 (-,) (,) (,-) Segundo Año - Matemática 6

8 = ; = ; r =. Para 8º = ; = ; r =. Para 6º Luego sen 8º = = cos 8º = = sen 8º tan 8º = = = cos 8º cos 8º cot 8º = = = sen 8 º sec 8º = = = cos 8º csc 8º = = = sen 8º Luego sen 6º = = cos 6º = = tan 6º = = csc 6º = = = sen 6º sec 6º = = = cos 6º cot 6º = = (,) (,) (-,) (,) 7 (-,) (,) 6 (,-) (,-) = ; = ; r =. Para 7º Luego sen 7º = = cos 7º = = sen 7º tan 7º = = = cos 7º cos 7º cot 7º = = = sen 7 º sec 7º = = = cos 7º csc 7º = = = sen 7º En las funciones trigonométricas + ó te indica que la función es indeterminada. Ejemplo 5 Un cuerpo de kg pende de dos cuerdas, que forman con la horizontal, ángulos de 6 como se muestra en la figura. Puedes calcular la tensión en cada una de las cuerdas? A º 6º ToA B ToB kg 6 Matemática - Segundo Año

9 Solución: Prolongando la tensión ToA para formar un triángulo de fuerzas tendremos: A B º 6º º ToA ToB P 6º Actividad (,) ToA P = Sen º Sen 9º P sen º Kg 5. ToA = = = 5kg Sen 9º ToB P Sen 6 = Sen 9 P sen 6 Kg ToB = Sen 9 = 87. = 87 Kg La tensión de la cuerda A es = 5 kg La tensión de la cuerda B es = 87 kg Punto de apoo kg Ya sabes que F =, por lo cual éstas forman un triángulo se aplica la siguiente igualdad ToA ToB P = = Sen º Sen 6º Sen 9º 9º (,) (,-) 8º 6º = 7º (-). Basándote en las coordenadas del círculo trigonométrico correspondiente a º, 9º, 8º, 7º 6º = º, determina por simple inspección el valor de: a) sen º i) tan º b) sen 9º j) tan 9º c) sen 8º k) tan8º d) sen 7º l) tan 7º e) cos º m) cot º f) cos 9º n) cot 9º g) cos 8º ) cot 8º h) cos 7º p) cot 7º. Un cuerpo de lb. pende de dos cuerdas que forman ángulos de 5 con la horizontal. Calcula la tensión a la que está sometida cada cuerda. Resumen Un ángulo positivo se mide desde su lado inicial hasta su lado terminal, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Es negativo si se mide en sentido horario. Ángulo de referencia de un ángulo es aquel cuos lados son el lado terminal de θ el eje. Ángulos coterminales o equivalentes son aquellos que tienen el mismo lado inicial terminal. Círculo trigonométrico es aquel cuo radio mide uno. Las funciones de 9º, 8º, 7º 6º están determinadas por sus coordenadas: (, ), (, ), (, ) (, ) respectivamente. El ángulo de º es igual al ángulo de 6º. Segundo Año - Matemática 6

10 Autocomprobación El ángulo equivalente a º es a) º b) 8º c) º d) º El valor de cos 8º es a) θ b) c) d) ninguna de las anteriores El valor de tan 5º es Cuál de las siguientes funciones trigonométricas es indeterminada? a) b) c) a) cos 9º b) tan 9º c) cot 9º d) csc 9º d) a c son correctos Soluciones. c.. d.. b.. b. LAS MAREAS Y ÁNGULOS CUADRANTALES Las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales (9º, 8º, 7º 6º ó º ) son de gran importancia en el gráfico de funciones en el análisis de otros fenómenos como las mareas, el sonido, etc. Así una representación gráfica de las mareas es : tiempo (h) 6 Matemática - Segundo Año

11 Motivación Quinta Unidad Lección Gráfico de la función seno La naturaleza todo lo que ella comprende: mareas, clima, estaciones, reproducción de los animales, cosechas, etc., se rigen por ciclos biológicos o ritmos. Estos ciclos han eistido desde el principio de la vida en el planeta. Se ha demostrado histórica estadísticamente que la naturaleza humana sigue una variedad de ritmos que realizan ciclos a diferentes frecuencias. En el caso de los seres vivos estos ritmos se denominan biorritmos, eisten diferentes biorritmos que afectan nuestro comportamiento en distintas maneras. En el caso de los humanos, se ha comprobado estadísticamente que la energía física se comporta cíclicamente en períodos de días (mitades de días medio), la energía emotiva en períodos 8 días (mitades de días) la energía intelectual en días (mitades de 6 días medio). Otro ejemplo de fenómeno cíclico es la corriente alterna. Considera lo siguiente: un generador de corriente alterna, mide la potencia eléctrica por la epresión siguiente: I = sent, donde: t es el tiempo en segundos. Podrías calcular Cuál es la amplitud el periodo? Cuál es la frecuencia de la corriente? Es decir, Cuántos ciclos se completan en segundo? Indicadores de logro Construirás, con precisión seguridad, el gráfico de la función seno. Determinarás, con precisión seguridad, el dominio recorrido de la función seno. Determinarás con perseverancia la periodicidad en la función seno. Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma: = a sen [b( + c)] + d, = a cos [b( + c)] + d determinando su período con seguridad. Definición de las funciones trigonométricas de números reales Para resolver el problema anterior, estudiarás previamente algunos conceptos. El valor de una función trigonométrica de un número real t es el valor de un ángulo de t radianes. Así, sen se interpreta como seno del número real o como el seno de un ángulo de radianes. Obviamente, sen sen Conclues entonces, que los valores de las funciones trigonométricas de números reales, éstos representan radianes. Para hallar los valores de funciones trigonométricas de números reales mediante calculadora, usas el modo en radianes. O sea que: Para graficar una función trigonométrica, el ángulo debe estar epresado en radianes. Recuerda que en tercer ciclo, estudiaste como convertir grados a radianes viceversa. Para ello llegaste a las siguientes equivalencias. Segundo Año - Matemática 65

12 rad = 6º 6º Despejando radián: rad = Para convertir radianes a grados, multiplicas por 6º divides entre rad Despejando grado: rad = 6º, º = 6 Para convertir grados a radianes, multiplicas por divides entre 6º. Ejemplo Convierte: a) rad a grados; b) 5º a radianes Solución: 6º 6º a) rad = ; rad = = º rad rad b) º = ; 5º = 5º 6º = 5 6º 6 rad En lo posible se epresará el ángulo en radianes en términos de. Actividad Completa en tu cuaderno por simple inspección los cuadros siguientes: a) b) θ ( rad ) θ ( grados ) θ ( rad ) θ ( grados ) 5 5 Gráfico de = sen Grafica la función = sen, donde es un número real. Debes encontrar los pares ordenados de números reales (, ) que cumplan con la epresión = sen. Una manera de hallar dichos pares es mediante la calculadora científica. Así halla los valores del rango asociados con valores del dominio. Por ejemplo, si = tienes: = sen =. Así, el par (, ) pertenece a la función. (,) P(cos, sen ) (-,) (,) (,-) 66 Matemática - Segundo Año

13 Sin embargo el proceso de graficar = sen puede simplificarse al observar como varía el punto (cos, sen ) cuando se mueve alrededor del círculo trigonométrico o unitario..7 Para graficar = sen en el intervalo [, ], usa los resultados de la figura de la par, complementándolos con.5.5 valores de ángulos múltiplos de que completaste. tomados de la tabla Ejemplo ( rad ) 5 7 = sen Completa el resultado de las siguientes funciones trigonométricas. Sugerencia: observa el círculo trigonométrico. a) sen = b) sen = 6-7,, - 6,, Sen Sen = + 7 = Sen = Sen Sen = = Sen 6 = Observa que: Sen =, luego Sen Sen = Observa que: Sen 6 =, luego Sen Sen = 6 6 Segundo Año - Matemática 67

14 c) Sen Sen = + 5 = Sen = Observa que: Sen = -,, d) Sen Sen = + = Sen = Observa que: Sen = (,) - (,-) e) Encuentra Sen Sen La función = sen es una función impar, porque cumple: Qué puedes observar o concluir de los resultados sen ( ) = sen anteriores? Como estudiaste en la lección anterior, para un ángulo dado, si se le suma un múltiplo entero de 6º ó radianes. Así el nuevo ángulo coincide con el ángulo dado, para cualquier número real para cualquier entero n. Se tiene: sen ( + n) = sen, con n =,,, Las funciones con este comportamiento repetitivo se llaman funciones periódicas. La parte de la gráfica de la función seno correspondiente a < < es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo como una onda senoidal. Como la función es periódica con período, para completar la gráfica de = sen sólo necesitamos repetir la gráfica hecha para [, ], hacia la izquierda hacia la derecha en intervalos de Puedes ver que la función está definida para cualquier valor de, por lo tanto, Df = R. Como la función adquiere valores entre, entonces, Rf = [, ] 68 Matemática - Segundo Año

15 Amplitud, período desfase Comencemos con una comparación de los gráficos = sen, = A sen. A =Sen =A Sen Como el máimo valor de sen es, el máimo valor de A sen es A. Cuál es el rango de esta función? El valor A se llama amplitud de la onda seno: multiplica el valor de sen por A. En tu cuaderno grafica la función = sen. Cuál es la amplitud? Cuál es la amplitud de = sen? Cuál es el rango de cada una de ellas? Como la onda seno, se completa en el intervalo [, ], ese intervalo es el período p de = sen. En tu cuaderno grafica la onda = sen Cuál es el período? En el gráfico de = sen observas que la onda se repite veces en el intervalo [, ] por lo cual p = =. Es decir, la onda = sen se completa en [, ]. En general, si = sen B, el período está dado por p = B B Segundo Año - Matemática 69

16 Ejemplo Grafica, sin tabular, la función = sen. Compara el gráfico con la función = sen. Solución:.5 =Sen = Sen = Sen + Puedes ver que la amplitud es A = ; además, p = = =. B Esto significa que la curva = sen se completa en el intervalo,. O sea que el intervalo, cabe veces en [, ]. Ahora a puedes resolver la situación planteada al inicio de la lección. Como I= sent, entonces la amplitud es, el periodo es =. 6 Como la frecuencia es el inverso del período, ésta es igual a 6 9 =. ciclos por segundo. Desfase de la onda Seno Observa el gráfico de la función = sen + De qué valor de parte la función anterior? Si ésta hubiera sido = sen + De qué valor de partiría? El gráfico anterior muestra una onda senoidal desplazada a la izquierda del origen una cantidad igual a C =. Si C es negativo, el desplazamiento es a la derecha. Cuál es el valor de B en estos ejemplos? B es el coeficiente de. Observa que sucede si B. En general, al graficar la función = A sen (B + C), C cuando B + C =, = cuando B + C =, B C =. En este caso el desfase d es C B B. En forma gráfica: A -.5 -A B.5 Como puedes observar, en la función = A sen (B + C), la amplitud es A, el período el desfase es C B d = B 7 Matemática - Segundo Año

17 =sen( +) =Sen Actividad. Grafica sin tabular las siguientes funciones. a) = sen b) = sen c) = sen d) = sen C = B = A = C = B = A = - = Sen(+) =Sen. Dada la función = sen a) La amplitud b) El período determina. c) El desfase. Un peso de 6 lb., que cuelga de un resorte se estira de pie por debajo de la posición de equilibrio después se suelta. La distancia en que el peso se desplaza de su punto de equilibrio con respecto al tiempo t en segundos, está dada por = sen 8 t. Determina la amplitud el periodo de la función grafícala para el intervalo t. -.5 = Sen(+) C = B = A = =Sen Observa como en cada una de estas gráficas el desfase es C el nuevo período es B B. La función seno está dada, en su forma más simple, por la epresión = sen. Resumen El gráfico que resulta se llama onda seno u onda senoidal. Ésta se repite cada rad, por lo que su período es. Su dominio son todos los números reales su rango es el intervalo [, ]. En su forma general, la función seno está dada por la epresión = A sen (B + C), donde A es la amplitud, B el período p C el desfase d. B Segundo Año - Matemática 7

18 La unidad amplitud básica de la de función superficie = del sen SI es: es: a) El km b) El cm c) El m d) El hm d) El rango de = sen es: a) [, ] b) [, ] Diez centímetros cuadrados equivalen a: c) [, ] a) m d) [, ] b). m c). m d). m Para Autocomprobación El, período m de equivalen la función a = sen ( + ) es: a) km a) b) km c) c) dam b) d) hm d) El desfase de la función = sen ( + ) es: a) convertir cm a dam : b) a) Multiplicas por b) Divides entre c) Divides c) entre, d) Multiplicas por, d) Soluciones. c.. c.. d.. a. ONDA SENO Y ACTIVIDAD CARDÍACA Cuando la actividad cardíaca se traduce a imágenes mediante el electrocardiógrafo, que es el aparato usado para hacer electrocardiogramas, se obtiene un patrón repetitivo como el de la gráfica. Este comportamiento repetitivo es característico de las funciones trigonométricas, puede analizarse mediante éstas. Este es el principio de los electrocardiógrafos de los monitores cardíacos. Estos últimos son aparatos que sirven para dar seguimiento a pacientes graves o en procesos de recuperación. 7 Matemática - Segundo Año

19 Quinta Unidad Lección Motivación Gráfico de las funciones cos, tan, cot, sec, csc En una plaa del litoral salvadoreño, la marea sube.8 m a partir de cierta línea paralela a la costa luego de horas baja.8 m a partir de la misma línea. Con estos datos puedes construir el gráfico que relaciona la altura de la marea el tiempo. Indicadores de logro Construirás, con precisión seguridad, el gráfico de las seis funciones trigonométricas. Determinarás, con precisión seguridad, el dominio recorrido de las seis funciones trigonométricas. Gráfico de = cos Determinarás con perseverancia la periodicidad en las funciones trigonométricas. Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma: = A cos (B +C) determinando su período con seguridad. (,) P(cos, sen ) (-,) (,) = cos (,-) Para graficar = cos procedes de forma similar a la función seno: sólo observas como varía P(a, b) = (cos, sen ) en el círculo trigonométrico Segundo Año - Matemática 7

20 -5 =Cos Como el desfase es positivo, significa que el desplazamiento es hacia la derecha. Luego, el gráfico es: P= = cos es una función par, a que para cualquier valor de se cumple que: cos ( ) = cos. Por ejemplo, cos ( ) = cos.5 Observa que el período es:, que Df = R Rf = [, ] Al igual que en la función seno, la parte de la gráfica de la función coseno que corresponde a < es un ciclo llamado onda cosenoidal Puedes ver que el trazado de su gráfico es similar al de la onda senoidal. En la gráfica del coseno se observa que la onda cosenoidal es igual a la onda senoidal desplazada rad a la izquierda, es decir: = cos = sen + La función = cos equivale a sen +. Al igual que la función seno para: = A cos (B + C), A es la amplitud, B es el período C es el desfase. B Ejemplo Grafica la función = cos( ) Solución Amplitud: A = Período: p = = = B C Desfase: = = B Ahora a puedes graficar la función planteada al inicio de esta lección. Grafícala en tu cuaderno. Compárala con la siguiente: Gráfico de = tan = cot Observa como varía el valor de la tangente para diversos valores de un ángulo ubicado en el círculo trigonométrico. (-a,a) (,) (-,) (,) (-a,-a) - d = (,-) (a,a) (a,-a) tiempo (h) 7 Matemática - Segundo Año

21 Para valores positivos de un ángulo múltiplos Para valores negativos de un ángulo múltiplos de radianes, tienes de radianes, tienes (rad) tan rad tan = aa = 6 = = tan a a = = 5 a a 7 a a 8 = En el cuadro anterior puedes ver que = tan θ es una función impar, a que tan ( θ) = tan θ. Los resultados que dan nos indican asíntotas representadas en la siguiente figura. tan tan = = = a = a = = = tan a = + = a ( ) = = = tan = = 5 tan 5 a = = a tan = 7 tan = = 7 a = = a = tan ( ) = = - Segundo Año - Matemática 75

22 b Al estudiar el comportamiento de tan = en el a intervalo,, puedes ver que cuando se por la izquierda, a se aproima a cero aproima a =Tan Gráfico de = tan 6 mediante valores positivos, mientras que b se aproima b a. O sea, tan = crece indefinidamente; es decir, a tiende a infinito. Por otro lado, cuando se aproima por la derecha, a se aproima a cero por medio de -6 valores positivos b se aproima a. Esto significa b que tan = decrece indefinidamente, o sea, tan a tiende a. Esto se muestra en el siguiente gráfico. En este gráfico observas las siguientes características: El período es Dominio: Todos los números reales ecepto los múltiplos de + k, k entero. Rango:. Asíntota vertical Función impar simétrica con respecto al origen. Discontinua en + k ; k entero. Función creciente entre las asíntotas Asíntota vertical Como cot =, para graficar = cot tan simplemente se toman los valores recíprocos de los valores de las ordenadas de la gráfica de = tan en la figura. Observa la gráfica. En el intervalo [, ] cuando se aproima a cero por la derecha, tiende al infinito. Si procedes de la misma manera para los intervalos entre otras asíntotas, se ve que la función tangente es periódica con período. Por lo tanto, para completar la gráfica de = tan sólo se necesita repetir la gráfica de la figura, sobre intervalos de longitud tanto a la izquierda como a la derecha del intervalo inicial para etender la gráfica hasta donde se desee. Graficando en base a los valores anteriores, tendremos: - 76 Matemática - Segundo Año

23 Cuando se aproima a por la izquierda tiende a menos infinito. Esta situación se da en todos los intervalos múltiplos de. Luego al graficar = cot desde hasta obtienes: =Cot Gráfico de = cot Gráfico de = sec.5.5 =Cos =sec = Cos Características de = cot Período: Dominio: Todos los números reales ecepto k, con k entero. Rango:. -.5 Función impar decreciente entre las asíntotas. Discontinua en k, k entero De la misma manera que se obtuvo la gráfica de = cot al tomar los valores recíprocos de las coordenadas en la gráfica de = tan, haces csc = sec = sen cos Observa que cos =, si vale,,, etc... Luego, la gráfica de sec debe tener asíntotas verticales en esos puntos. Además, cuando cos crece o decrece en un intervalo sec hace eactamente lo contrario. Para obtener las gráficas de = csc e = sec tomas los recíprocos de las ordenadas de las gráficas de = sen e = cos, respectivamente. Características de = sec Período: Dominio: Todos los números reales ecepto + k, k entero Rango: ], ] [, [ Función par (simétrica con respecto al eje ) Discontinua: en + k, k entero Características de = csc Período: Gráfico de = csc.5 Dominio: Todos los números reales ecepto k, k entero Rango: ], ] [, [ Función impar (simétrica con respecto a /) =Csc = Sen =Sen Segundo Año - Matemática 77

24 Actividad La figura siguiente será mu útil en muchos de los problemas de este ejercicio. b (,) R= a b P(cos, sen ) unidades sen (-,) rad (,) a cos. Completa la siguiente tabla, en tu cuaderno. Valor en Función sen cos tan cot sec No esta definida csc. Considera P(a, b) = (cos, sen ) sobre el círculo trigonométrico o unitario (observa la figura anterior) completa en tu cuaderno la tabla siguiente, ( significa crecimiento significa decrecimiento): Función = sen = b = cos = a = tan = b/a = cot = a/b (,-) varia de varia de varia de varia de a a a a Significa que: = sen En, es positiva creciente En, es positiva decreciente En, es positiva creciente Cómo es = sen en,? Mu bien, negativa creciente 78 Matemática - Segundo Año

25 Resumen El gráfico de la función coseno se llama onda cosenoidal. Sus elementos principales son: amplitud, período desfase. Como la función coseno u onda cosenoidal equivale a la función seno adelantada / radianes, sus características son iguales a la onda senoidal. Ambas funciones son continuas periódicas. Los gráficos de las otras cuatro funciones presentan características especiales, son discontinuas. Segundo Año - Matemática 79

26 La La unidad amplitud básica de de la superficie función del = SI cos es: ( + ) es: a) a) El km b) b) El cm c) c) El m d) El hm d) El período de la función anterior es: Diez centímetros cuadrados equivalen a: a) a) m b) b). m c) c). m d). m d) Para Autocomprobación La, función m equivalen = tan es a creciente en el intervalo: a) km a) 5 b) km, c) dam d) b) hm, c), d) Todas las anteriores Para convertir construir cmel gráfico a dam : de = sec se parte del a) inverso Multiplicas de la función. por b) a) Divides sen entre c) Divides entre, b) cos d) Multiplicas por, c) tan d) csc Soluciones. d.. b.. d.. b. VIBRACIONES MUSICALES Las funciones trigonométricas tienen mucha aplicación en el movimiento vibratorio oscilatorio. Por ejemplo en el movimiento de una partícula en una cuerda de guitarra a la que se ha hecho vibrar o en un resorte que se ha comprimido luego se pone a oscilar. De acuerdo a la vibración del instrumento musical, así es el sonido emitido por éstos. Además ha que hacer notar que la misma vibración en dos instrumentos musicales diferentes como guitarra violín pueden producir sonidos diferentes. 8 Matemática - Segundo Año

27 Quinta Unidad Lección Motivación Identidades trigonométricas Un ingeniero civil está diseñando la curva de una intersección. Las dos autopistas se cruzan formando un ángulo θ. El borde de la autopista debe unirse con dos puntos A B por medio de un arco de circunferencia tangente a las autopistas en esos dos puntos. El ingeniero necesita determinar la relación entre el radio del arco r, la distancia d de A B desde la intersección el ángulo BCA. Observa el dibujo en donde se muestra que A B son los puntos de tangencia de la circunferencia con las autopistas. P r A d r B d C θ Indicadores de logro Determinarás, eplicarás aplicarás las identidades trigonométricas recíprocas, con seguridad confianza. Determinarás, eplicarás aplicarás las identidades trigonométricas de cociente, con seguridad confianza. Deducirás, eplicarás aplicarás las identidades pitagóricas, con seguridad confianza. Cómo haces para comprobar que son idénticos? Identidades trigonométricas fundamentales Transformarás una epresión trigonométrica a una que contenga solamente seno coseno, con precisión. Verificarás las identidades trigonométricas aplicando las recíprocas, las de cociente las pitagóricas, con interés. Resolverás problemas utilizando identidades trigonométricas, mostrando respeto a la opinión de los demás. Por definición de las razones trigonométricas tienes: a) sen θ = d) csc θ = h h b) cos θ = h e) sec θ = h c) tan θ = f) cot θ = En matemática el concepto de identidad equivale a igualdad. Así, la ecuación ( 5 )( + 5) = 5, es una identidad, a que es cierta para todo valor de. Esto lo puedes comprobar dándole a los valores en los números reales que desees. En esta lección estudiarás las principales identidades trigonométricas. θ h Segundo Año - Matemática 8

28 Cómo son las razones que aparecen a la par? Puedes ver que: sen θ = csc θ = ( ) csc θ sen θ cos θ = sec θ = ( ) sec θ cos θ tan θ = cot θ = ( ) cot θ tan θ Éstas son las funciones recíprocas. Además del círculo unitario tienes: sen θ =, cos θ = entonces: sen θ cos θ tan θ = = ( ) cot θ cos θ = = sen θ ( 5 ) Éstas son las funciones de cociente. Recuerda que el círculo trigonométrico está constituido por todos los puntos P(, ), tales que su distancia al origen es la unidad, esto es + =. Además se indicó que para todo ángulo θ, eiste un único punto en el círculo trigonométrico que le corresponde. Considera un ángulo θ cualquiera sea P(, ), el punto del círculo unitario que le corresponde, entonces se tiene que + =, pues las epresiones en ambos lados de la igualdad son positivos; como en el círculo trigonométrico sen θ =, cos θ =, se tiene: sen θ + cos θ = ( 6) De la relación anterior se obtienen otras dos identidades: sen θ = cos θ cos θ = sen θ. Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre sen θ, obtienes: sen θ cos θ + = sen θ sen θ sen θ θ P(cos θ, sen θ) Esta última epresión es equivalente a: + cot θ = csc θ ( 7) Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre cos θ, obtienes: sen θ cos θ + = cos θ cos θ cos θ Es decir: tan θ + = sec θ ( 8) A las relaciones (6), (7) (8) se les denomina, identidades trigonométricas pitagóricas: sen θ + cos θ = ( 6) + cot θ = csc θ ( 7) tan θ + = sec θ ( 8) En tu cuaderno, prueba la identidad sen θ + cos θ = para θ = º O sea, sen º + cos º = En resumen, hasta aquí tienes ocho relaciones trigonométricas de suma importancia que reciben el nombre de Identidades Trigonométricas Fundamentales: Recíprocas De cociente Pitagóricas sec θ = θ cos θ tan θ = sen sen θ + cos θ = cos θ csc θ = + cot θ = csc θ sen θ cos θ cot θ = cot θ = sen θ tan θ + = sec θ tan θ Otras identidades trigonométricas Los procedimientos algebraicos básicos las relaciones trigonométricas fundamentales son, las herramientas principales para simplificar epresiones trigonométricas, verificar identidades trigonométricas o resolver ecuaciones trigonométricas. Estos tres ejercicios típicos son importantes porque la maoría de los problemas de aplicación de la trigonometría requieren la resolución de al menos uno de ellos. 8 Matemática - Segundo Año

29 Ejemplo Simplifica la epresión trigonométrica cos θ sec θ. Solución: Utiliza una identidad trigonométrica de manera que la epresión original se transforme en otra más simple. Recuerda que: sec θ =, sustituendo esta identidad en la epresión original tienes: cosθ cos cos θ sec θ = θ cos θ. cos θ = cos θ = De manera que cos θ sec θ = Ejemplo Simplifica la epresión trigonométrica csc sec Solución: Sabes que csc = sec = ; sustitues en la epresión original sen cos obtienes: csc sen cos = = = cot de manera que es válida la igualdad sec sen cos csc = cot sec En el siguiente ejemplo, el procedimiento de simplificación es más etenso, sin embargo las herramientas que se utilizan son las mismas. Ejemplo Simplifica la epresión trigonométrica ( cos ) sen θ + θ cot θ sen θ cos θ Segundo Año - Matemática 8

30 Solución: ( sen θ + cos θ ) sen θ + sen θ cos θ + cos θ = cot θ sen θ cos θ cos θ sen θ cos θ sen θ ( ) + sen θ + cos θ sen θ cos θ = cos θ sen θ cos θ sen θ sen θ θ = + cos cos θ sen θ cos θ sen θ = ( sen θ cos θ ) sen θ cos θ sen θ cos θ sen θ cos θ = cos θ sen θ cos θ sen θ cos θ = cos θ sen θ ( ) sen θ = cos θ (sen θ + cos θ ) sen θ = tan θ cot θ sen θ cos θ cos θ = ( ) Efectúas el producto notable en el numerador sustitues en el denominador cot θ por cos θ. sen θ Sustitues en el numerador a sen θ + cos θ por en el denominador efectúas la diferencia. Reduces términos semejantes en el numerador de la fracción compleja efectúas el producto de los etremos medios. Multiplicas en el numerador denominador por sen θ Factorizas en el denominador aplicando factor común. Cancelas el factor cos θ sustitues sen θ por cos θ Simplificas cos θ sustitues sen θ Sustitues sen θ θ cos por tan θ Por tanto, verificas que la epresión ( cos ) sen θ + θ es igual a la epresión tan θ. cot θ sen θ cos θ Otra aplicación de las relaciones trigonométricas es la verificación de las identidades. Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor en el dominio de las funciones involucradas. Para verificar las identidades lo más frecuente es iniciar con un lado de la igualdad, mediante un procedimiento algebraico válido, transformarlo en la epresión del otro lado. Ejemplo Verifica la identidad trigonométrica tan θ cot θ = Solución: Puedes simplificar el lado izquierdo de la igualdad hasta obtener la epresión del lado derecho. sen θ cos θ tan θ cot θ = Sustitues tan θ = cot θ = cos θ sen θ sen θ cos θ = Cancelas los factores iguales cos θ sen θ = Obtienes que la igualdad se cumple La identidad ha sido verificada. 8 Matemática - Segundo Año

31 Ejemplo 5 Verifica la identidad trigonométrica cos A tan A = sen A Solución: cos A tan A = sen A Sustitues tan A = sen A cos A cos A sen A = sen A cos A Cancelas el factor cos A sen A = sen A Se verifica la identidad Ejemplo 6 Verifica la identidad trigonométrica cot cos + sen = csc. Solución: cos cot cos + sen = csc Sustitues cot = sen cos cos + sen sen = csc Multiplicas cos + sen sen = csc Efectuas la suma cos + sen = csc Sustitues cos + sen = sen = csc Sustitues = sen sen csc csc = csc Se verifica la identidad Ahora observa cómo se resuelve el problema planteado al inicio de esta lección. De la figura BCA + θ = 8 º. Luego BCA = 8º θ. Además, PA AC, a que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Luego, PC bisecta a 8º θ θ BCA, por lo que PCA = BCA = = 9º r Como el triángulo PAC es rectángulo, a que A = 9º tan PCA =, de donde d r d = tan PCA d = r cot PCA d = r θ cot 9º θ θ θ Y como cot 9º tan =, entonces d = r tan Una aplicación de esta identidad es: Dos autopistas se encuentran a un ángulo de. El bordillo debe unirse a los puntos A B localizados a 5 pies del comienzo de la intersección. Segundo Año - Matemática 85

32 a) Aproima el radio del arco que une A B. b) Determina la longitud del arco. Solución: Considera la fórmula que acabas de encontrar: P R Q d = r tan θ en este ejemplo, d =5 pies θ = º. d Debes determinar r, r = tan θ pies r = pies se lee aproimadamente º tan Fórmulas para la suma la diferencia de ángulos ( ) Además de las relaciones trigonométricas a mencionadas, eisten algunas epresiones que involucran la suma o diferencia de ángulos: sen(α + β), cos(α + β), tan(α + β), sen(α β), cos(α β) tan(α β). Para ello es necesario conocer las equivalencias de estas epresiones. Considera los ángulos α β, tales que el ángulo α + β se representa en posición estándar en la figura dada. Se consideran los ángulos, α, β α + β en el I cuadrante, pero el resultado es válido para cualquier α β. Para este ángulo (α + β), se puede seleccionar cualquier punto P sobre su lado terminal de B a Q sobre el lado terminal de α, tales que PQ OQ. Además considera PM OX, QN OX. Sea el punto R en PM tal que QR PM. Como en los ángulos NOQ MPQ son ángulos agudos de lados perpendiculares, de acuerdo con la construcción, se conclue que: mfnoq = mfmpq = α. Recuerda que en notación de ángulos, m significa medida f significa ángulo. Observa la figura de acuerdo con ella, analiza la siguiente justificación: Como PM = PR + RM RM = QN PM PR + QN PR sen ( α + β ) = = = + OP OP OP PR. PQ QN. OQ = + OP. PQ OP. OQ PR. PQ QN. OQ = + PQ. OP OQ. OP QN OP Es decir sen (α + β) = sen α. cos β + cos α. sen β. Para encontrar la epresión para sen(α β), se procede de la siguiente forma: sen ( α β) = sen α + ( β) = cos α. sen β + sen α. cos β Ejemplo 7 Calcula el valor eacto de sen Solución: β α M ( ) = cos α. sen β + sen α. cos β 7 ( ) = sen α. cos β cos α. sen β Esto, debido a que sen ( ) = sen, cos ( ) = cos. Entonces: sen(α β) = sen α. cos β cos α. sen β En forma análoga se puede obtener la epresión para cos(α + β) para cos(α β). cos(α + β) = cos α. cos β sen α. sen β cos(α β) = cos α. cos β + sen α. sen β Recuerda que, hasta ahora, sólo se conoce el valor eacto de las funciones trigonométricas para,,,, 6 por lo tanto debe epresarse 7 en términos de ellos, como 7 + =. Utilizando la fórmula del seno para la suma de ángulos obtienes: 7 sen = sen + = sen. cos cos + sen N 86 Matemática - Segundo Año

33 Ahora sustitues los valores que a conoces para las diferentes funciones trigonométricas simplificas la epresión: = + = de donde el valor eacto de sen Ejemplo 8 Calcula el valor eacto de cos 5º Solución: 7 es + 6 En igual forma, se epresa 5º en términos de ángulos cuos valores para las funciones trigonométricas se conozcan: 5º = 5º º cos 5º = cos (5º º) = cos5º cosº + sen5º senº Se sustituen los valores de las diferentes funciones trigonométricas se simplifica la epresión: = + = Ejemplo 9 5 Calcula el valor eacto de tan Solución: En la misma forma, se descompone 5 en términos de como 5 = +, luego se utiliza la 6 6 fórmula para la suma de ángulos para la tangente se obtiene: tan tan tan tan = + 6 = tan.tan 6 al sustituir los valores de las funciones trigonométricas simplificar la epresión obtienes: = = = Por lo tanto, tan 5 = +. Usando identidades trigonométricas determina: a) sen 75º b) cos rad c) tan 5 6 rad Actividad. Comprueba para valores de ángulos internos α, β, γ de un triángulo no rectángulo, que, para calcular esos valores, se aplican las identidades. Resumen Estas son las identidades que has estudiado en esta lección. sen θ = o csc θ = csc θ sen θ. cos θ = o sec θ = se c θ cos θ. tan θ = o cot θ = cot θ tan θ. sen θ + cos θ = 5. tan θ + = sec θ 6. + cot θ = csc θ 7. sen( α + β) = sen α. cos β + cos α. sen β 8. sen( α β) = sen α. cos β cos α. sen β 9. cos( α + β) = cos α. cos β sen α. sen β ( ) = + sen sen. cos α β cos α. cos β α. β tan α tan β. tan( α + β) = tan α tan β Segundo Año - Matemática 87

34 Un ejemplo de identidad trigonométrica es: a) cos 6º =.5 b) sen = θ c) tan θ = sen cos θ d) cot θ = 5 El valor de sen + cos es: a) b) c).7 d).87 Autocomprobación La epresión cos 75º equivale a: a) cos( 9º 5º) b) cos(9º + 5º) c) d) Al escribir tan cos únicamente en términos de sen θ, resulta: a) sen b) sen c) sen d) sen Soluciones. c.. b.. a.. c. POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA Las aplicaciones de las identidades trigonométricas se dan en muchas áreas del conocimiento. Por ejemplo, en un circuito de corriente alterna con reactancia, la potencia es: P = V má I má cos θ t sen θ t Mediante identidades trigonométricas se V ma Ima demuestra que: P = sen ω t Donde: P = potencia V = voltaje I = intensidad de la corriente 88 Matemática - Segundo Año

35 Quinta Unidad Lección 5 Motivación Ecuaciones trigonométricas En un taller de mecánica industrial, se desea fabricar una pieza como la que aparece a la derecha. Cuáles deben ser los valores del ángulo θ para que la pieza tenga las medidas que se indican? Este problema sugiere la ecuación sen θ = qué valores de θ cumplen con esta ecuación? θ En esta lección aprenderás a calcular los valores del ángulo que satisfacen ecuaciones con funciones trigonométricas. Indicadores de logro Identificarás, resolverás eplicarás, con seguridad confianza, ecuaciones trigonométricas de una sola función. Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos. Si la ecuación trigonométrica es verdadera para todo valor posible de los ángulos, se llama identidad trigonométrica. Por ejemplo la ecuación sen θ + cos θ = es una identidad, a que, como lo puedes comprobar, es cierta para todo valor del ángulo θ. Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo. Por ejemplo, la ecuación sen θ =, es una ecuación condicional: es cierta para los valores θ = º = 6 rad 5 θ = 5º = 6 rad, en el intervalo [, ] Compruébalo en tu cuaderno. Qué es una ecuación trigonométrica? Resolverás problemas, con perseverancia, utilizando ecuaciones trigonométricas. Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S. Así para el ejemplo anterior, 5 S = {, en [, ]. 6 6 } Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se epresarán en radianes, salvo que en el ejemplo o ejercicio se especifique lo contrario. Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica son similares a los utilizados para resolver ecuaciones algebraicas. Igual que en la verificación de identidades trigonométricas, con frecuencia se requerirá el uso de algunas propiedades trigonométricas fundamentales. En la solución de una ecuación de este tipo se debe tomar en cuenta la periodicidad de las funciones trigonométricas. Segundo Año - Matemática 89

36 Es mu importante recalcar que al resolver una ecuación trigonométrica, es suficiente encontrar sus soluciones entre. Luego, de acuerdo con el período de la respectiva función, basta sumar a estas soluciones múltiplos de ó, según corresponda al período de las funciones que contiene la ecuación, para obtener las demás soluciones. Ejemplo Resuelve la ecuación cos θ = 5 - θ Solución: Al despejar el valor de cos θ de la ecuación, se tiene: cos θ = Para qué valores de θ, el coseno de θ es igual a? De los triángulos básicos de las funciones trigonométricas, o por calculadora, obtienes: cos =, es decir, θ = es solución de la ecuación dada. Además, como la función cos es positiva en el primero en el cuarto cuadrante, θ = pertenece al primer cuadrante, la ecuación tiene otra solución en el cuarto cuadrante cuo ángulo de referencia es, esta solución sería 5 θ = = Con esto, las únicas soluciones de la ecuación cos θ = en el intervalo [, ], son θ = θ = 5 ; es decir, el θ Ejemplo Resuelve la ecuación tan θ = en [, ] Solución: Para resolver la ecuación tan θ =, lo primero que debes notar es que las soluciones que se buscan se ubican en el segundo cuarto cuadrante, pues la tangente es negativa en esos dos cuadrantes. De los triángulos básicos se sabe que tan = por ello θ = corresponde al ángulo de referencia para las soluciones. La solución cuo lado terminal está en el segundo cuadrante tiene ángulo de referencia θ = es =. Falta encontrar el ángulo que se encuentra en el cuarto cuadrante cuo ángulo de referencia es, este es 7 =. Así, el conjunto solución de la ecuación tan θ = en el 7 intervalo [, [ es S = {, } 7 θ 5 conjunto solución de la ecuación es: S = {, } 9 Matemática - Segundo Año

37 Ejemplo Resuelve la ecuación sen θ + = Solución: Al despejar sen θ de la ecuación, se tiene: senθ = Para resolver esta ecuación, primero debes notar que las soluciones que se buscan se ubican en el tercer cuarto cuadrante, pues sen es negativa en esos cuadrantes. De la tabla de valores para las funciones trigonométricas, sabes que sen = por ello θ = corresponde al ángulo de referencia. La solución cuo lado terminal está en el tercer cuadrante con este ángulo de referencia es + =. Falta encontrar el ángulo que se encuentra en el cuarto cuadrante con ese mismo 5 ángulo de referencia, este es =. Así, las soluciones de la ecuación sen θ + =, en el intervalo [, ], son θ = θ = 5. El conjunto solución de la ecuación dada es: 5 S = {, } Solución: La ecuación dada es equivalente a la ecuación sen θ tan θ sen θ =. Factorizando obtienes: sen θ(tan θ ) = Las soluciones de esta ecuación corresponden a las soluciones de las ecuaciones sen θ = tan θ =. Las soluciones de sen θ =, en el intervalo[, ] son θ = θ = Para resolver la ecuación tan θ =, se obtiene primero la solución θ = en el primer cuadrante, como la tangente es positiva en el primer tercer cuadrante, falta encontrar el ángulo que se encuentra en el tercer cuadrante cuo ángulo de referencia es, este es 5 + = Así, las soluciones de la ecuación tan θ =, en el intervalo [, ] son 5 5 θ - 5 Ejemplo Resuelve la ecuación sen θ tan θ = sen θ en el intervalo [, ] En conclusión, el conjunto solución de la ecuación dada se obtiene de la unión de las soluciones de las dos ecuaciones anteriores, es decir, 5 S = {,,, } Segundo Año - Matemática 9

38 Cómo encuentras una solución sin restricciones? El hecho de poner un intervalo donde deben estar las soluciones es una restricción sobre ellas; el conjunto solución de la ecuación = sin poner restricciones es sin duda, S = {, }; sin embargo, el conjunto solución de la ecuación = en el intervalo ], ] es S = { }. Observa que, como la función sen, tiene período la función tan tiene período, el conjunto solución del ejemplo anterior si no se pide la solución restringida al intervalo [, ], es S = { k, + k, con k Z }. Nota además que en este conjunto solución encuentras incluidas las soluciones particulares, 5,,, que se obtienen dando a k los valores de. Ejemplo 5 Halla el conjunto solución de la ecuación cos θ = cosθ Solución: Recuerdas la identidad trigonométrica cos θ = cos θ? Sustitues cos θ en la ecuación tienes: cos θ = cos θ cos θ cos θ + = Igualas a cero Todas las soluciones de la ecuación dada corresponden a los ángulos coterminales a θ = a θ =, que se pueden escribir como el conjunto solución S ={k, con k Z}. Ejemplo 6 cos θ = Reduces términos semejantes ( cos θ ) ( + cos θ ) = Descompones en factores cos θ =, + cos θ = Igualas a cero cada factor cos θ =, cos θ = Despejas cos θ θ =, θ = Resuelves para θ Resuelve la ecuación sen ( θ ) =, en el intervalo[, ]. Solución: Despejas el valor de sen (θ) de la ecuación, tienes: sen ( θ ) =. Cuál es el ángulo tal que sen =? Se cumple para = + k, = + k. 9 Matemática - Segundo Año

39 Sustitues = (θ) obtienes θ = + k θ = + k k k Al dividir por los valores de θ son: θ = + θ = Si tomas los valores para k =,,,, las soluciones son: ,,,,,,, que corresponden a los ángulos en [, [. Compruébalo en tu cuaderno. Fíjate que en el ejemplo anterior la función senθ tiene un período de =, así, la función completa períodos en el intervalo [, ]. En cada período se tienen soluciones como son períodos, se obtienen 8 soluciones en total. Ejemplo 7 Resuelve sen θ = cos θ. Epresa la solución en grados radianes. Solución: Al usar la identidad fundamental cos θ = sen θ, la ecuación dada se transforma en la ecuación: sen θ = ( sen θ) = sen θ. Así, sen θ = sen θ. Resuelves esta ecuación tienes: sen θ + sen θ = Transponiendo terminos sen θ = ± ( )( ) Fórmula cuadrática para despejar sen θ ( ) sen θ = ± 5 luego sen θ = sen θ = Para resolver la ecuación sen θ = buscas el ángulo de referencia, el cual es 6 ó º, trasladas este ángulo a los cuadrantes donde la función sen es positiva (I II). 5 Así, las soluciones en [º, 6º[ son θ = = º θ = = 5º 6 6 La ecuación sen θ = no tiene soluciones pues el sen sólo toma valores entre por ello, ningún valor θ cumple con la ecuación sen θ =. El conjunto solución es 5 S = { + k ; + k, con k Z que epresado 6 6 } en grados corresponde al conjunto {º + 6º k; 5º + 6º k, con k Z} Segundo Año - Matemática 9

40 Ejemplo 8 Resuelve la ecuación sen θ cos θ+ sen θ cos θ = Solución: Usas las fórmulas del ángulo doble: sen θ = sen θ cos θ cos θ = cos θ sen θ La ecuación dada es equivalente a: (sen θ cos θ) cos θ + sen θ (cos θ sen θ) = Factorizando obtienes la ecuación: sen θ ( cos θ + cos θ sen θ) = La cual es equivalente a sen θ ( cos θ sen θ) =. Al usar la fórmula sen θ = cos θ, la última ecuación se transforma en la ecuación sen θ ( cos θ ) =. Luego sen θ = ó cos θ = Por último, se procede a resolver las dos ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno. Ejemplo 9 En una ciudad, el número de horas de claridad D(t) en cierto período del año se aproima mediante la ecuación D( t ) = sen t ( 79 ) +, en donde t está 65 en días t = corresponde al día de enero. Cuáles días del año tienen eactamente.5 horas de claridad? Solución: Para responder a la pregunta planteada necesitas resolver la ecuación: sen ( t 79) = sen ( t 79) 5 65 =. Si se llama θ = ( t 79) la ecuación anterior se 65 escribe como sen θ = el ángulo de referencia es las soluciones buscadas están en el tercer 6 cuarto cuadrante (pues el seno es negativo es estos cuadrantes) La solución en el tercer cuadrante es 7 θ = + = la solución en el cuarto 6 6 cuadrante es θ = =, estos dos valores 6 6 corresponden a las soluciones en [, [. De esta manera, se deben determinar los valores t tales que: 7 ( t 79) = ó ( t 79) = º º º 6 º t t Al dividir entre, esta ecuación resulta equivalente a la ecuación: sen ( t 79 ) 65 = 9 Matemática - Segundo Año