EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES CON MATRICES
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- Rafael Rivas Acuña
- hace 8 años
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1 ÍNDICE 1 Índice EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES CON MATRICES A. Operaciones básicas con matrices 1. Dadas las matrices siguientes A = , B = , C = , se pide calcular las siguientes operaciones: a) AB AB = b) B t A t B t A t = (AB) t = c) (A + I 3 ) 2 ( 11 4 ) (A + I 3 ) 2 = , d) A 2 + 2A + I 3 Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado anterior. e) AC AC = f ) CA g) (A + C) CA = (A + C) 2 = =
2 A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 2 h) A 2 + 2AC + C A 2 + 2AC + C 2 = i) A 2 + AC + CA + C 2 Como (A + C) 2 = (A + C)(A + C) = A 2 + AC + CA + C 2, entonces: A 2 + AC + CA + C 2 = Dadas las matrices siguientes A = , B = , C = , se pide calcular las siguientes operaciones: a) AB AB = b) B t A t B t A t = (AB) t = c) (A + I 3 ) 2 ( 10 5 ) (A + I 3 ) 2 = , d) A 2 + 2A + I 3 Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado anterior. e) AC AC = f ) CA CA =
3 A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 3 g) (A + C) 2 h) A 2 + 2AC + C 2 (A + C) 2 = = A 2 + 2AC + C 2 = i) A 2 + AC + CA + C 2 Como (A + C) 2 = (A + C)(A + C) = A 2 + AC + CA + C 2, entonces: A 2 + AC + CA + C 2 = Dadas las matrices siguientes A = , B = , C = , se pide calcular las siguientes operaciones: a) AB AB = b) B t A t B t A t = (AB) t = c) (A + I 3 ) 2 ( 9 6 ) (A + I 3 ) 2 = , d) A 2 + 2A + I 3 Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado anterior. e) AC AC =
4 A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 4 f ) CA g) (A + C) 2 h) A 2 + 2AC + C CA = (A + C) 2 = = A 2 + 2AC + C 2 = i) A 2 + AC + CA + C 2 Como (A + C) 2 = (A + C)(A + C) = A 2 + AC + CA + C 2, entonces: A 2 + AC + CA + C 2 = Dadas las matrices siguientes A = , B = , C = , se pide calcular las siguientes operaciones: a) AB AB = b) B t A t B t A t = (AB) t = c) (A + I 3 ) 2 ( ) (A + I 3 ) 2 = ,
5 A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 5 d) A 2 + 2A + I 3 Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado anterior. e) AC AC = f ) CA g) (A + C) 2 h) A 2 + 2AC + C CA = (A + C) 2 = = A 2 + 2AC + C 2 = i) A 2 + AC + CA + C 2 Como (A + C) 2 = (A + C)(A + C) = A 2 + AC + CA + C 2, entonces: A 2 + AC + CA + C 2 = Dadas las matrices siguientes A = , B = , C = , se pide calcular las siguientes operaciones: a) AB AB =
6 A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 6 b) B t A t B t A t = (AB) t = c) (A + I 3 ) 2 ( ) (A + I 3 ) 2 = , d) A 2 + 2A + I 3 Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado anterior. e) AC AC = f ) CA g) (A + C) 2 h) A 2 + 2AC + C CA = (A + C) 2 = = A 2 + 2AC + C 2 = i) A 2 + AC + CA + C 2 Como (A + C) 2 = (A + C)(A + C) = A 2 + AC + CA + C 2, entonces: A 2 + AC + CA + C 2 = Dadas las matrices siguientes A = , B = , C = , se pide calcular las siguientes operaciones:
7 A OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES 7 a) AB AB = b) B t A t B t A t = (AB) t = c) (A + I 3 ) 2 ( ) (A + I 3 ) 2 = , d) A 2 + 2A + I 3 Como AI 3 = I 3 A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado anterior. e) AC AC = f ) CA g) (A + C) 2 h) A 2 + 2AC + C CA = (A + C) 2 = = A 2 + 2AC + C 2 = i) A 2 + AC + CA + C 2 Como (A + C) 2 = (A + C)(A + C) = A 2 + AC + CA + C 2, entonces: A 2 + AC + CA + C 2 =
8 B CÁLCULO DE DETERMINANTES 8 B. Cálculo de determinantes 7. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -16 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -21 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -24 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -25 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -24 (d) -84
9 B CÁLCULO DE DETERMINANTES Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -21 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 6-21, (c) -16 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 4-16, (c) -9 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 2-9, (c) 0 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 18-18, (c) -32 (d)
10 B CÁLCULO DE DETERMINANTES Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -20 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -22 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 48-24, (c) -22 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 50-25, (c) -20 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 48-24, (c) -16 (d)
11 B CÁLCULO DE DETERMINANTES Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 42-21, (c) -10 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 32-16, (c) -2 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 18-9, (c) 8 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 36-18, (c) -32 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -40 (d) -105
12 B CÁLCULO DE DETERMINANTES Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -44 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 96-48, (c) -44 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) , (c) -40 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 96-48, (c) -32 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 84-42, (c) -20 (d)
13 C CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 64-32, (c) -4 (d) Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos: , (c) , (d) 36-18, (c) 16 (d) Demuestra, usando las propiedades de los determinantes, que 2a 3b + 2 2c + 5 2e + d + 5 2a b + 2 2c + 3 e + 3 a = abcd. a b + 1 c + 2 d + e Demuestra, usando las propiedades de los determinantes, que a b + c d + e 3a 3b + 4c 3d + 4e 2a 2b + 3c 2d + 2e = ace C. Cálculo de la inversa de una matriz Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es
14 C CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es
15 C CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es
16 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Calcula la inversa de y comprueba que es: Calcula la inversa de la matriz y comprueba que el resultado es Calcula la inversa de la matriz 1 c d f 2 2 c d + b 2 f + e 1 c + 1 d + b + 1 f + e + a 1 c d f + 1 y comprueba que el resultado es: f c e a d d + a b c + b c + 2 c + 1 d b c c (d b c) (f c e a d + a b c) e a b b 2 b + 1 b (e a b) a a 67. Calcula la inversa de la matriz 1 a b 2 2 a + 1 c + 2 b 1 a b + 1 y comprueba que el resultado es: a c b 2 a 1 a (a c b) c 2 1 c D. Diagonalización de matrices 68. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 2) 2 (x 1), m(2) = 2 m(1) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 2I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }.
17 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 17 La matriz es diagonalizable porque dim V 2 = dim V S = m(2) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (3, 1, 1) β = 3u 1 + 1u 2 + 1u 3 = (5, 4, 3) v 2 = ( 1, 1, 1) β = ( 1, 0, 1) v 3 = ( 1, 1, 1) β = ( 1, 2, 1) 69. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 3) 2 (x 1), m(3) = 2 m(1) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 3I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 3 = dim V S = m(3) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (5, 2, 2) β = 5u 1 + 2u 2 + 2u 3 = (9, 7, 5) v 2 = ( 2, 1, 2) β = ( 3, 1, 2) v 3 = ( 2, 2, 1) β = ( 3, 4, 2) 70. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 4) 2 (x 1), m(4) = 2 m(1) = 1.
18 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 18 b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 4I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 4 = dim V S = m(4) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (7, 3, 3) β = 7u 1 + 3u 2 + 3u 3 = (13, 10, 7) v 2 = ( 3, 1, 3) β = ( 5, 2, 3) v 3 = ( 3, 3, 1) β = ( 5, 6, 3) 71. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 5) 2 (x 1), m(5) = 2 m(1) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 5I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 5 = dim V S = m(5) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (9, 4, 4) β = 9u 1 + 4u 2 + 4u 3 = (17, 13, 9) v 2 = ( 4, 1, 4) β = ( 7, 3, 4) v 3 = ( 4, 4, 1) β = ( 7, 8, 4)
19 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 6) 2 (x 1), m(6) = 2 m(1) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 6I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 6 = dim V S = m(6) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (11, 5, 5) β = 11u 1 + 5u 2 + 5u 3 = (21, 16, 11) v 2 = ( 5, 1, 5) β = ( 9, 4, 5) v 3 = ( 5, 5, 1) β = ( 9, 10, 5) 73. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 7) 2 (x 1), m(7) = 2 m(1) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 7I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 7 = dim V S = m(7) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2
20 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 20 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (13, 6, 6) β = 13u 1 + 6u 2 + 6u 3 = (25, 19, 13) v 2 = ( 6, 1, 6) β = ( 11, 5, 6) v 3 = ( 6, 6, 1) β = ( 11, 12, 6) 74. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 8) 2 (x 1), m(8) = 2 m(1) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 8I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 8 = dim V S = m(8) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (15, 7, 7) β = 15u 1 + 7u 2 + 7u 3 = (29, 22, 15) v 2 = ( 7, 1, 7) β = ( 13, 6, 7) v 3 = ( 7, 7, 1) β = ( 13, 14, 7) 75. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 9) 2 (x 1), m(9) = 2 m(1) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 9I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }.
21 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 21 La matriz es diagonalizable porque dim V 9 = dim V S = m(9) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (17, 8, 8) β = 17u 1 + 8u 2 + 8u 3 = (33, 25, 17) v 2 = ( 8, 1, 8) β = ( 15, 7, 8) v 3 = ( 8, 8, 1) β = ( 15, 16, 8) 76. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 10) 2 (x 1), m(10) = 2 m(1) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 10I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 1I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 10 = dim V S = m(10) = 2 y dim V 1 = dim V T = m(1) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (19, 9, 9) β = 19u 1 + 9u 2 + 9u 3 = (37, 28, 19) v 2 = ( 9, 1, 9) β = ( 17, 8, 9) v 3 = ( 9, 9, 1) β = ( 17, 18, 9) 77. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 3) 2 (x 2), m(3) = 2 m(2) = 1.
22 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 22 b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 3I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 2I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 3 = dim V S = m(3) = 2 y dim V 2 = dim V T = m(2) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (4, 1, 1) β = 4u 1 + 1u 2 + 1u 3 = (6, 5, 4) v 2 = ( 1, 2, 1) β = (0, 1, 1) v 3 = ( 1, 1, 2) β = (0, 2, 1) 78. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 4) 2 (x 2), m(4) = 2 m(2) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 4I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 2I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 4 = dim V S = m(4) = 2 y dim V 2 = dim V T = m(2) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (6, 2, 2) β = 6u 1 + 2u 2 + 2u 3 = (10, 8, 6) v 2 = ( 2, 2, 2) β = ( 2, 0, 2) v 3 = ( 2, 2, 2) β = ( 2, 4, 2)
23 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 5) 2 (x 2), m(5) = 2 m(2) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 5I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 2I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 5 = dim V S = m(5) = 2 y dim V 2 = dim V T = m(2) = 2 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (8, 3, 3) β = 8u 1 + 3u 2 + 3u 3 = (14, 11, 8) v 2 = ( 3, 2, 3) β = ( 4, 1, 3) v 3 = ( 3, 3, 2) β = ( 4, 6, 3) 80. Dada la matriz A = se pide responder a las siguientes preguntas: p A (x) = (x 6) 2 (x 2), m(6) = 2 m(2) = 1. b) Calcula una base del espacio vectorial S = {(x, y, z) : (A 6I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. c) Calcula una base del espacio vectorial T = {(x, y, z) : (A 2I 3 )(x, y, z) t = (0, 0, 0) t }. La matriz es diagonalizable porque dim V 6 = dim V S = m(6) = 2 y dim V 2 = dim V T = m(2) = 2
24 D DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 24 Usando la definición de la matriz M ββ tenemos que: v 1 = (10, 4, 4) β = 10u 1 + 4u 2 + 4u 3 = (18, 14, 10) v 2 = ( 4, 2, 4) β = ( 6, 2, 4) v 3 = ( 4, 4, 2) β = ( 6, 8, 4)
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