Unidad 5 Energía INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 Unidad 5 Energía INTRODUCCIÓN La palabra energía es una de las que más se emplean en la actualidad. Has pensado a qué se debe esto? El concepto de energía se emplea en todas las ciencias y es muy importante en nuestra vida social. La potencia de un país se puede medir en términos de la energía que se consume; cada día nos preocupamos más por tener autos que sean más eficientes en su consumo de energía; los científicos buscan formas de energía que contaminen menos nuestro planeta. El caso es que la energía es un concepto muy importante porque está presente en la explicación de todos los fenómenos que nos rodean y sin embargo es muy difícil de definir. La energía no es algo que las cosas posean, es más bien un concepto que podemos definir cuando somos capaces de observar sus efectos. En esta unidad nos acercaremos al estudio de este importantísimo concepto. TRIVIA En un acto del circo un payaso está acostado en el suelo y otro hombre se dispone a golpearlo con un martillo. Para hacer el acto más impresionante el payaso coloca un yunque sobre su Física 147

2 estómago Es de esta manera el acto más peligroso para el payaso? De qué protege el yunque al payaso? El yunque protege al payaso de la energía cinética del martillo, pues una buena parte de ella se absorbe en el yunque, y esa energía se transforma en calor. Durante el impacto la fuerza sobre el yunque es igual y opuesta a la fuerza sobre el martillo. El impulso que detiene el martillo sobre el yunque es el impulso que se transmite por el yunque y llega al payaso. Si el martillo se detiene, el impulso cancela el momento del martillo completamente y todo el momento llega al payaso, a quien no le hace daño pues el yunque tiene mucha más masa que el martillo y por ello se mueve muy poco. En el caso de la energía cinética, en cambio, en lugar de analizar el tiempo durante el cual actúa la fuerza, tomamos en cuenta la distancia sobre la que actúa. El martillo se mueve una distancia grande, pero el yunque, bajo la acción de la misma fuerza, se mueve una distancia muy pequeña; la misma fuerza pero distancias diferentes resultan en energías cinéticas muy diferentes. El martillo pierde más energía de la que adquiere el yunque y es por eso que el yunque protege al payaso. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Trabajo algo en vano Cualquier objeto en movimiento tiene la capacidad de hacer trabajo sobre otro objeto: un jugador de futbol americano hace trabajo sobre otro cuando choca contra él en un partido. Las fuerzas que actúan sobre los objetos pueden clasificarse en dos tipos: fuerzas conservativas y no conservativas. Llamamos a una fuerza conservativa si el trabajo hecho por la fuerza sobre un objeto en movimiento de un punto a otro depende únicamente de las posiciones inicial y final del objeto, y es independiente de la trayectoria seguida por el objeto durante el trayecto. La fuerza de gravedad es una fuerza conservativa. El trabajo hecho por esta fuerza sobre un objeto que cae desde una altura h cerca de la superficie de la Tierra es W = Fd = mgh 148 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

3 Supongamos ahora que en lugar de caer verticalmente el objeto se desliza, sin fricción, sobre un plano inclinado iniciando, su movimiento a una altura h igual que la de la caída libre. En este caso el trabajo hecho por la fuerza de gravedad es W= mgcosq(y 2 -y 1 ), pero como cosq(y 2 -y 1 ) es precisamente h, de manera que el trabajo efectuado por la fuerza es igual a mgh y no depende de la trayectoria que siguió el objeto en su caída. Otra manera equivalente de determinar si una fuerza es conservativa consiste en calcular el trabajo hecho por dicha fuerza sobre un objeto que se mueve sobre una trayectoria cerrada. Si el resultado de este cálculo es cero, sin importar la forma de la trayectoria, se puede concluir que la fuerza es conservativa. En el caso del movimiento sobre una trayectoria cerrada vemos algo importante: el trabajo hecho por una fuerza conservativa es recuperable, es decir, si en una parte del trayecto la fuerza hace trabajo positivo sobre el objeto, en la trayectoria de regreso el objeto hará una cantidad equivalente de trabajo negativo sobre el sistema. Otra fuerza conservativa es la fuerza elástica definida mediante la ley de Hooke: F= -kx. Si bien la fuerza elástica y la de gravedad son fuerzas muy comunes, no todas las fuerzas son conservativas; un ejemplo de fuerza no conservativa es la fricción. En el caso de la fuerza de fricción, el trabajo hecho para mover a un cuerpo entre dos posiciones depende de la trayectoria seguida por el objeto. La fuerza de fricción actúa siempre en la dirección contraria a la dirección del movimiento. El trabajo hecho por la fuerza de fricción sobre un cuerpo que se mueve en línea recta es por ello menor que el trabajo que hace la misma fuerza sobre el cuerpo si éste se mueve sobre una trayectoria curva. Además el trabajo hecho por la fuerza de fricción es siempre negativo, de manera que si el cuerpo se mueve sobre una trayectoria cerrada, el trabajo hecho por esta fuerza no puede ser nunca cero, siempre es negativo. El trabajo y la energía de movimiento están relacionados, por ello es común que se dé como definición de energía la capacidad de realizar trabajo, aunque estrictamente hablando esta definición no es válida para cualquier tipo de energía. La energía es un concepto sumamente importante pero muy difícil de definir, es por ello que generalmente se definen por separado las diferentes formas en las que la energía se manifiesta. En este curso, la energía que nos interesa estudiar es la que está relacionada con el movimiento de los objetos y que conocemos con el nombre de energía mecánica, de manera que concentraremos la atención en ella. Física 149

4 Es importante recalcar que, a diferencia del concepto de fuerza, el concepto de energía se aplica a sistemas de cuerpos que interactúan y no a un cuerpo aislado. La energía cinética traslacional se define como K = 1 mv 2 2 En esta relación, m es la masa del objeto de interés y v es su velocidad. El trabajo realizado por la fuerza para cambiar la velocidad del objeto de una velocidad v 1 a una v 2, es exactamente el cambio en la energía cinética translacional. Podemos escribir esto de la siguiente manera: W neto = K A este resultado, que es muy importante, se le conoce como el principio trabajo-energía. En este principio el trabajo neto se refiere al trabajo hecho por la fuerza total neta que actúa sobre el objeto en cuestión. Es importante notar que el trabajo y la energía cinética son cantidades escalares. La relación entre el trabajo y la energía cinética opera en los dos sentidos, es decir, si el trabajo hecho por una fuerza sobre un objeto es positivo, la energía cinética del objeto aumenta. Si el trabajo neto es negativo, entonces la energía cinética del objeto disminuye. Si no se hace trabajo sobre un objeto, su energía cinética no cambia. Recordemos que únicamente la componente de la fuerza que actúa en la dirección del movimiento contribuye al trabajo y por lo mismo, al cambio en la energía cinética de un objeto. Dada la conexión tan directa entre el trabajo y la energía cinética, es claro que las unidades en las que se miden son las mismas, es decir, los joules. Las fuerzas conservativas nos permiten definir un tipo diferente de energía, la energía asociada con la configuración del sistema que se encuentra en interacción. A esta forma de energía la llamaremos energía potencial. A diferencia de la energía cinética, no tenemos una definición única para la energía potencial, pero podemos definirla separadamente para cada una de las fuerzas conservativas. Como aquí hemos hablado únicamente de dos de ellas, continuaremos refiriéndonos a las mismas: la fuerza de gravedad y la fuerza elástica. Cuando subimos un objeto a una cierta altura, hacemos trabajo sobre el mismo. Si el cuerpo cae desde donde lo dejamos, 150 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

5 la fuerza de gravedad hace trabajo sobre el cuerpo. Decimos entonces que cuando el objeto ha sido colocado a la altura indicada, se puede asociar una energía potencial al sistema formado por el cuerpo y la Tierra, puesto que si el cuerpo cae, esta energía se recupera en forma de energía cinética, de la misma manera que el trabajo que se hizo sobre el cuerpo al subirlo se puede recuperar cuando éste cae. En el caso de la fuerza elástica, si damos cuerda a un carrito de juguete, al enrollar la cuerda hemos hecho trabajo sobre el carro. Al soltarla, el mecanismo del carrito, que generalmente consiste de una liga, se desenrolla y ejerce una fuerza sobre las ruedas del carro que lo hacen moverse. Nuevamente en este caso, el trabajo hecho sobre la cuerda se puede recuperar en trabajo que el carro en movimiento puede hacer sobre cualquier otro objeto que encuentre a su paso. Este trabajo se manifiesta nuevamente en forma de energía cinética. La energía potencial ligada a la fuerza gravitacional puede calcularse de la siguiente manera: Si un cuerpo de masa m se sube verticalmente una distancia h aplicando una fuerza igual a la de la gravedad mg, el trabajo hecho por la persona que lo sube es W= -mgh Una vez que se encuentra a esa altura, el cuerpo tiene el potencial de hacer un trabajo igual a mgh cuando cae de esa altura. Entonces definimos el cambio en su energía potencial gravitacional como U= mg(y 2 -y 1 ) En el caso de un material elástico, como un resorte, cuando el resorte se comprime o se estira, se hace trabajo sobre él. Este trabajo puede recuperarse, ya que en el momento en que el resorte se suelta, hace un trabajo sobre el objeto que se encuentra atado a él. Esto último es cierto siempre y cuando el estiramiento del resorte no sea muy grande, pues en ese caso se puede perder la elasticidad del resorte. La fuerza elástica actúa en la dirección contraria al movimiento y está dada por la ley de Hooke: F= -kx donde x es la distancia que se ha comprimido o alargado el resorte y k es una constante determinada por el material del que está hecho el cuerpo elástico. En este caso podemos hablar del cambio de energía potencial elástica, asociado a la fuerza elástica y la podemos obtener nuevamente calculando el trabajo hecho por la Física 151

6 fuerza al comprimir el resorte. El cambio de energía potencial está dado por U = 1/2kx 2. En un sistema conservativo se tiene entonces que el trabajo neto hecho por las fuerzas que actúan sobre el sistema es el cambio en energía potencial, y que el cambio en energía potencial corresponde al negativo del trabajo hecho sobre el sistema. Para estos sistemas entonces se tiene que la suma del cambio en energía cinética y el cambio en la energía potencial es cero: K+ U = 0 Si definimos una cantidad, que denominaremos la energía mecánica total del sistema y denotaremos por E, como la suma de la energía cinética del sistema más la potencial: E = K+U La ecuación que nos dice que la suma de los cambios de ambas es cero se puede escribir como o de otra manera K 2 +U 2 = K 1 +U 1 E 2 = E 1 = constante Estas ecuaciones expresan un principio fundamental y profundo acerca de la energía mecánica total de un sistema conservativo: esta cantidad se conserva. Dicho de otra forma, cuando la energía cinética del sistema aumenta, la energía potencial del mismo disminuye y viceversa. A este principio se le conoce como el nombre de principio de conservación de la energía mecánica. El principio de conservación de la energía mecánica puede resumirse de la siguiente manera: Si las únicas fuerzas que hacen trabajo sobre un sistema son fuerzas conservativas, la energía mecánica del sistema no aumenta ni disminuye en ningún proceso: permanece constante, se conserva. Cuando actúan sobre el sistema fuerzas que no son conservativas, como la fricción, la energía mecánica del sistema no se conserva y la suma del cambio de la energía potencial más el cambio de la energía cinética del sistema es igual al trabajo hecho por las fuerzas no conservativas o disipativas. Otra cantidad asociada al trabajo y a la energía que es importante definir es la potencia; se define como la razón a la que se 152 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

7 hace un trabajo, es decir, la potencia promedio se define como P = W/t y se mide en joules/segundo=watts. Como el trabajo y la energía están relacionadas, la potencia puede definirse también como la razón a la que cambia la energía en el tiempo. La energía y la potencia son dos conceptos diferentes. Si una persona sube una escalera, la energía que utiliza para hacerlo es la misma si lo hace lentamente que si lo hace corriendo, pero la potencia no lo es; es por ello que cuando la persona sube corriendo se siente más cansada que si subió lentamente. PROBLEMAS 1. Un hombre levanta un ladrillo de masa 5 kg desde el suelo hasta un estante que está a dos metros de altura. Cuánto trabajo hizo? De dónde saca energía el hombre para hacer este trabajo? Podría hacer este trabajo si no hubiera comido? Solución: La fuerza que se opone al movimiento del cuerpo es el peso del ladrillo; como en la Tierra una masa de 1 kg pesa 10 N, una masa de 5 kg pesa 50 N. Así tenemos que el trabajo hecho por el hombre es: W = Fd = (50 N)(2 m) = 100 J El hombre obtiene la energía necesaria para hacer el trabajo de la energía elástica de sus músculos y de la energía química que le provee la comida. Una persona poco musculosa es incapaz de cargar cosas pesadas, mientras que otra más musculosa puede hacerlo aprovechando la energía elástica de los músculos. Por supuesto, si una persona no come, le es muy difícil aprovechar la energía elástica de los músculos pues no hay transformación de energía química a energía mecánica. 2. Cuánto trabajo hace un estudiante sobre su mochila cuando sube dos pisos por la escalera de la escuela? Solución: Supongamos que la mochila del estudiante tiene una masa de 10 kg y que cada piso de la escuela está a una altura de 3 m del de abajo, es decir, que el estudiante tiene que subir al segundo piso que está a 6 m de altura. Física 153

8 Las fuerzas que actúan sobre la mochila son su peso, que actúa hacia abajo, y la fuerza que el estudiante ejerce sobre la mochila para sostenerla, que actúa hacia arriba y contrarresta el peso de la mochila; es decir, la suma de estas dos fuerzas debe ser cero: Fe - mg = 0 El peso de la mochila es mg = (10 kg)(9.8 m/s 2 ) = 98 N = Fe Para calcular el trabajo que hace el estudiante sobre la mochila al subir las escaleras, debemos tomar en cuenta que la escalera hace un ángulo q con la vertical, de manera que el trabajo es: We = Fedcosθ Pero de la figura podemos ver que dcosθ = h, donde h es la altura que debe subir el estudiante; entonces, We= (98 N)(10 m) = 980 J 3. Cuando manejas un auto, una de las cuestiones por las que te debes preocupar es la distancia a la que te mantienes del auto que viaja frente a ti. Si la velocidad a la que viajas es de 60 km/h la distancia a la que puedes detener completamente el automóvil es de 20 m, pero si viajas a 120 km/h, cuál es la distancia que recorre el auto antes de detenerse completamente? Solución: Supongamos que la fuerza que actúa para detener el auto, que es la fuerza que se aplica con los frenos, es constante durante el tiempo que tarda el auto en detenerse. Si usamos el principio trabajo-energía, la fuerza que actúa para detener el auto lo hace en la dirección contraria a la que viaja el automóvil, por lo que el trabajo neto será: Wneto=-fd Por el principio trabajo-energía, Wneto= cambio de energía cinética; entonces, como la velocidad final del auto es cero, K=0-1/2mv 2 Puesto que la masa del auto y la fuerza de frenado permanecen constantes, lo que obtenemos de esta igualdad es que la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad a la que viaja el auto; si la distancia necesaria para detenerlo 154 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

9 cuando viajaba a 60 km/h era de 20 m, cuando viaja a 120 km/ h, que es el doble de la velocidad, la distancia será cuatro veces mayor, es decir, 80 m. 4. Una grúa en una construcción levanta un peso de 3,000 N hasta una altura de 5 m en 10 s Cuál es la potencia de la grúa? Solución: Para calcular la potencia de la grúa es necesario calcular primero el trabajo que hace: W = Fd = (300 N)(5 m) = J La potencia es el trabajo por unidad de tiempo, así que P = W/t = 15,000J/10s = 1,500watts = 1.5 kw 5. Cuál es la potencia que puede desarrollar una persona con sus piernas? Solución: Supongamos primero que la persona pesa 80 k, es decir 800 N, y que esa persona sube las escaleras de su casa desde la planta baja hasta el primer piso, es decir una altura de 3 m. Si la persona tiene una buena condición física, puede subir las escaleras en aproximadamente 4 s. El trabajo que esta persona hace es de W = (800 N)(3 m) = 2,400 J y la potencia que desarrolla es de P = 2,400 J/4 s = 600 watts. Haz este experimento con varios compañeros de tu clase. Quién es el que más potencia desarrolla? Quién desarrolla menos? 6. Se desea subir un piano a un estrado que está a 0.8 m de altura sobre el nivel del piso de la sala de conciertos. Para hacerlo con mayor facilidad se utiliza una rampa que tiene 5 m de largo. La masa del piano es aproximadamente de 200 kg Cuál es el trabajo que se hace sobre el piano? Solución: La fuerza que hace el trabajo es aquélla que es paralela a la superficie de la rampa porque es esa la dirección en la que se hace el desplazamiento. Para encontrar esta componente de la fuerza paralela al plano inclinado tenemos que: F = (200 kg)(9.8 m/s 2 )(0.8 m/5 m) = N Física 155

10 El trabajo realizado por esta fuerza es entonces: W = Fd = (313.6 N)(5 m) = 1,568 J. 7. Cuál es la potencia necesaria para mantener funcionando un elevador que se mueve con una velocidad de 5 m/s cuando sube 25 pisos de un edificio a su capacidad máxima que es de 6,000 N? Solución: Como la potencia es el trabajo por unidad de tiempo, tenemos que: P = W/t = Fd/t Pero como d/t es la velocidad, entonces podemos reescribir la potencia como P = Fv = (6,000 N)(5 m/s) = 30,000 J por qué no utilizamos el número de pisos? 8. Cuál es la velocidad que adquiere una persona de masa 8 kg que brinca desde un trampolín de 10 m al llegar al agua? Solución: Aunque este problema lo puedes resolver usando técnicas de cinemática, también puede resolverse de una manera simple usando el principio trabajo-energía. El trabajo que la persona hace para subir al trampolín es su peso multiplicado por la altura del trampolín, es decir, W = mgh La velocidad inicial de la piedra es de 0 m/s y la velocidad final es la que queremos encontrar. Podemos entonces calcular el cambio en la energía cinética de la persona: K = 1/2mv 2 0 Por el principio trabajo-energía sabemos que W = K, o sea que 1/2mv 2 = mgh, de la cual podemos obtener la velocidad v 2 = 2gh = 19.8 m/s. 9. Un objeto de 10 kg de masa se deja caer desde la parte superior de un plano inclinado a un ángulo de 30º. En la parte inferior del plano inclinado hay un resorte de longitud 2m que se comprime bajo la acción del choque con el cuerpo que desciende y el cuerpo se queda en reposo en ese punto. Se 156 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

11 sabe que el resorte puede comprimirse una distancia de un metro bajo la acción de una fuerza de 100 N. Cuál es la velocidad del objeto cuando se encuentra con el resorte? Solución: El resorte se puede comprimir 1m si se le aplica una fuerza de 100N. Utilizando la ley de Hooke tenemos que la constante de elasticidad del resorte es de k = F/x = 100 N/1 m = 100 N/m La masa se deja caer desde la parte superior del plano inclinado (ver figura). La masa se desliza sobre el plano y llega al resorte. Por la acción de la masa, el resorte se comprime hasta que el objeto llega a la parte inferior del plano inclinado, donde se queda en reposo. Entonces, su energía cinética en ese momento es cero. La energía cinética en ese punto debe ser igual a la energía potencial que la masa tenía al iniciar su movimiento y que está dada por mgh, es decir: 1/2kx 2 = mgh Despejando la altura de la ecuación anterior tenemos que h = kx 2 /2mg = (100 N/m)(2 m) 2 / 2(10 kg)(10 m/s 2 ) = 2 m Para hallar la altura a la que se encuentra el objeto cuando llega al resorte utilizamos el hecho de que el plano está inclinado 30º y que el resorte tiene una longitud de 2 m, de manera que la altura a la que está la masa cuando toca el resorte es: H = 2sen30 o = 1 m Como la energía total del objeto es la misma en el momento que toca el resorte, que en el momento que empieza su movimiento o en el momento en que queda en reposo en la parte inferior del plano inclinado, mgh = 1/2mv 2 + mgh en la que v es la velocidad que nos interesa. Despejándola tenemos que v 2 = 2g(h H) = 2(10 m/s)(2 m 1 m) = 20 m 2 /s 2 y de ahí tenemos que v = 4.47 m/s Física 157

12 10. Con qué velocidad llega a la parte más baja un péndulo de longitud L que se deja caer desde una posición en la que hace un ángulo q con la vertical? Solución: Coloquemos el origen de coordenadas en el punto B que se muestra en la figura. θ A B FIGURA 5.1 Por el principio de conservación de la energía mecánica, la energía del péndulo cuando se coloca en el punto A de la figura debe ser la misma que cuando está en la parte de abajo en el punto B. Dicha energía esta dada por: E A = 1/2 mv A 2 + mgl(1 cosθ) = 1/2mv B 2 +mgh B en la que v B es la velocidad con la que llega abajo el péndulo. Despejando v B y teniendo en cuenta que v A = 0 y h B = 0, tenemos que v B 2 = 2gL(1 cosθ) 158 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

13 PRÁCTICA Relación entre la energía cinética y la potencial en un péndulo simple. Material necesario Una pelota de goma Un alfiler Un hilo delgado Un clavo Un estroboscopio Dispositivo experimental Construir un péndulo con el alfiler, la pelota de goma y el hilo. Clavar el extremo del hilo al borde de una mesa o sobre un marco de madera, de forma que el clavo no vibre. Experimento Mide la masa de la pelota y la longitud del hilo. Eleva la pelota a una cierta altura previamente determinada. Anota esta altura en tu libreta. Suelta la pelota sin empujarla. Si dispones de un estroboscopio y de una cámara fotográfica asegúrate de construir un cuarto oscuro alrededor del péndulo. Con el obturador de la cámara abierto registra utilizando el estroboscopio las imágenes del movimiento del péndulo. Si no cuentas con un estroboscopio, deja oscilar el péndulo varias veces y calcula su período de oscilación. la velocidad del péndulo en su punto más alto (desde donde lo soltaste) y en su punto más bajo calculando la variación de las componentes horizontal y vertical de la velocidad. No olvides calcular el error en tus mediciones. Repite las observaciones soltando el péndulo desde cinco diferentes alturas. Para encontrar una relación entre la velocidad del péndulo en el punto más bajo de su trayectoria y la altura de la que se soltó, haz una tabla en la que anotes las alturas y la velocidad en el punto más bajo calculada en cada caso y otra en la que anotes los logaritmos de estas mismas variables. Haz una gráfica de los valores de la tabla que contiene los logaritmos. Calcula la pendiente de la recta obtenida y su ordenada al origen. Utilizando las propiedades de los logaritmos encuentra una relación entre la velocidad del péndulo en el punto más bajo de su trayectoria y la altura de la que se soltó. Calcula la energía cinética en el punto más alto de la trayec Física 159

14 toria y la energía potencial en el punto más bajo para cada uno de los movimientos y compáralas. Qué es lo que obtienes? Qué puedes concluir de tus resultados? Hasta ahora has obtenido una respuesta comparando únicamente dos puntos de la trayectoria del péndulo. Qué puedes decir de la energía cinética y de la energía potencial en otros puntos de la trayectoria del péndulo? Cómo podrías comprobar estas conclusiones? Cuál es la principal diferencia al hacer este experimento con el estroboscopio o al hacerlo con el cronómetro? SÍNTESIS El trabajo que hace una fuerza para desplazar un objeto una distancia d está dado por la ecuación W=Fdcosθ, en la que θ es el ángulo entre el vector fuerza y el vector desplazamiento. La energía cinética de un objeto que viaja a velocidad v se define como K= l/2mv 2, El principio trabajo-energía dice que el trabajo neto que sobre un cuerpo hace que la fuerza resultante aplicada sobre el, es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo. La energía potencial depende, en cambio, de la fuerza involucrada al hacer el trabajo. La energía potencial está asociada siempre a una fuerza conservativa, únicamente tiene sentido hablar de los cambios en la energía potencial del sistema. El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende únicamente de las posiciones inicial y final de la trayectoria que siguió el cuerpo, mientras que el trabajo realizado por las fuerzas disipativas depende de la trayectoria seguida. La energía potencial de un sistema está relacionada con la configuración de los cuerpos que forman el sistema. La energía potencial está asociada siempre con la interacción de dos o más cuerpos, no es algo que un objeto tenga. En este curso hemos definido dos tipos de energía potencial: la asociada con la fuerza gravitacional: U=mgh y la asociada con la fuerza elástica: F=1/2kx 2. Cuando sobre un sistema actúan únicamente fuerzas conservativas, la energía mecánica total del sistema definida como la suma de la energía cinética más la potencial del mismo, se conserva. Cuando intervienen fuerzas disipativas se puede hablar de conservación de la energía únicamente si se introducen nuevas formas de energía diferentes a la mecánica. La potencia se define como la razón a la que se hace trabajo sobre un objeto o la razón a la que se transforma su energía de una forma a otra. 160 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

15 LECTURA: Satélites y naves espaciales Cómo se ponen en órbita los satélites y las naves espaciales que son lanzadas desde la Tierra? Cómo es posible que escapen a la atracción gravitacional de nuestro planeta? La Tierra ejerce una fuerza de atracción sobre todos los objetos que se encuentran cerca de ella. Sabemos que esta fuerza es la responsable, entre otras cosas, de la caída de los cuerpos y del vuelo parabólico de los proyectiles que hemos estudiado con anterioridad, y que la relación F=mg que usamos para calcularla, en la que tomamos g como una constante, es una buena aproximación si los objetos involucrados no están muy lejos de la superficie de la Tierra. Cuando éste no es el caso, sin embargo, la ley de movimiento que es necesario utilizar es la dada por la Ley de Gravitación Universal de Newton: F=-G mm r 2 en la que G es la constante de gravitación universal, r es la distancia entre los dos objetos que se atraen, cuyas masas son m y M respectivamente. El signo menos indica que la fuerza se ejerce en la dirección del objeto más masivo, que en el caso que nos interesa es la Tierra. Pensemos ahora en el trabajo requerido para vencer la atracción de la gravedad terrestre. Como hemos visto en esta unidad, el trabajo es el producto de la fuerza que se ejerce en la dirección del movimiento por la distancia recorrida. Supongamos que el objeto que nos interesa recorrió una distancia Dr; entonces, el trabajo hecho por la fuerza está dado por: W=G mm r 2 -G mm r 1 La fuerza de gravitación es una fuerza conservativa; por ello, es útil considerar el concepto de energía potencial para resolver el problema que nos interesa. Hemos visto que la energía potencial es el negativo del trabajo. Entonces podemos considerar que la energía potencial de un objeto que se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra puede escribirse como: U= -G mm r Física 161

16 Esta relación nos indica que conforme el objeto se acerca a la Tierra, su energía potencial decrece y es siempre negativa. Apliquemos ahora este concepto al problema que nos interesa. Nuestra experiencia nos indica que siempre que lanzamos un objeto hacia arriba, regresa a la Tierra. La altura que alcanza el proyectil depende de la velocidad inicial que le imprimimos. Qué tan grande tiene que ser esa velocidad para que el proyectil alcance a vencer la atracción gravitacional terrestre? La velocidad mínima para que esto suceda se conoce como velocidad de escape, y para encontrarla podemos utilizar el principio de conservación de la energía. La energía total de la nave o satélite que se desea lanzar al espacio es 1 2 E m v G mm n T = n n - 2 rt Si consideramos que la masa de la nave esta dada por m n, que la masa de la Tierra es M T, que la velocidad que le imprimimos a la nave es v 1 cuando la lanzamos y se encuentra sobre la superficie de la Tierra y que la velocidad final de la nave cuando está en el espacio en la posición r 2 es v 2, utilizando el principio de conservación de la energía tenemos: 1 2 mv 1 G mm mv G mm n T n - = n n - r 2 r 2 2 n n 1 2 T Como la distancia r 2 es muy grande comparada con el radio de la Tierra, la podemos considerar infinita, y por ello la energía potencial en ese punto es cero. Además, la velocidad de la nave en el espacio puede ser tomada como cero puesto que nos interesa la mínima velocidad de escape; entonces, v 2 = 0 y la energía cinética correspondiente es también cero. Tomando estas condiciones en cuenta, la ecuación para la conservación de la energía queda como: 1 2 mv 1 G mm n T n n - = 0 2 rt De ella podemos despejar la velocidad inicial de la nave: 2GM vn 1 = rt Sabemos que el radio de la Tierra es de 6.38 X 10 6 m y que su masa es de 5.97 X kg. Además, la constante de gravi- 2 T 162 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

17 tación universal tiene un valor de 6.67X10-11 Nm 2 /kg 2. Sustituyendo estos valores en la relación anterior encontramos que la mínima velocidad que hay que imprimirle a la nave es de 1.12 X 10 4 m/s. AUTOEVALUACIÓN 1. Si en una fábrica se reemplaza el montacargas por uno nuevo que tiene el doble de potencia cuánta más carga podrá levantar? a) el cuádruple b) el doble c) la misma d) una y media veces más 2. Una motocicleta frena bruscamente cuando viaja a 60 km/h; cuánta distancia más recorrerá antes de frenarse completamente que si fuera viajando a 20 km/h cuando se accionaron los frenos? a) el doble b) el cuádruple c) tres veces más d) nueve veces más 3. Si un defensa de futbol americano tiene la misma energía cinética que un corredor cuál de los dos corre más aprisa? 4. Si se hace un trabajo de 150 J para levantar un paquete desde el suelo Cómo cambió su energía potencial respecto a la que tenía en su posición inicial? Cuál será su energía potencial si lo levantas una altura dos veces mayor? 5. Cuáles son las cantidades físicas que intervienen en la definición de trabajo? Cuáles son las cantidades físicas que intervienen en la definición de la energía cinética? Por qué si estas cantidades físicas son diferentes, ambas magnitudes se miden con las mismas unidades? 6. Cuál es la relación de la potencia con la velocidad? Física 163

18 7. Explica las diferencias entre los conceptos de energía, trabajo y potencia. 8. Qué requiere de mayor trabajo: levantar una carga de 10 kg verticalmente hasta una altura de 3 m o levantar una carga de 5 kg hasta una altura de 6 m? 9. Qué puede decirse de la velocidad de un cuerpo si el trabajo neto sobre él es cero? 10. Un niño juega con una patineta en un estacionamiento. Baja por una rampa, recorre una parte de camino plano y después sube por otra rampa. Cómo calcularías la energía cinética del niño y su patineta cuando llegan al punto más bajo de la primera rampa? Cómo calcularías la energía cinética del niño y su patineta cuando llegan al punto más alto de la segunda rampa? Cuál es la diferencia entre estas dos energías y la que tiene el niño con su patineta mientras recorre la parte plana de la trayectoria? 11. Un baúl es arrastrado 25 m por el piso por medio de una cuerda que forma un ángulo de 35º con la horizontal. La tensión de la cuerda es de 10 N. Cuál es el trabajo hecho por la cuerda sobre el baúl? 12. Un automóvil pesa 2,000 N, Cuánto vale su masa? Cuánto trabajo se requiere para levantarlo a una altura de 4 m sobre el nivel del piso? Cuál será su energía potencial en ese punto? Si se soltara de la grúa que lo levanta, cuál será la velocidad con la que llega al piso? 13. El martillo mecánico de una máquina para clavar pilotes pesa 800 kg y cae desde una altura de 5 m antes de golpear el pilote. El impacto hunde al pilote 30 cm en el terreno. Cuál es la fuerza media que ejerce el martillo mecánico sobre el pilote? 14. Una masa de 40 kg se eleva una altura de 20 m en 3 s Cuánta potencia se desarrolló? 15. Cuál es la velocidad máxima a la cual un motor de 50 kw puede levantar una carga de 800 kg? 164 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

19 16. Observa la siguiente montaña rusa: A B FIGURA 5.2 El carrito tiene una masa de 400 kg y originalmente está a 50 m de altura y se mueve a 5 m/s. Encontrar: a) La velocidad del carrito en el punto A que se encuentra a 20 m de altura. b) La velocidad del carrito en el punto B que se encuentra a 30 m de altura. c) A qué altura se encuentra el punto C en el que el carro se detiene para después regresarse. Física 165

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