Matemática Básica Curso Propedéutico Tabla de contenido

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1 Matemática Básica Curso Propedéutico-0 Tabla de contenido PRESENTACIÓN... I UNIDAD ARITMÉTICA... II UNIDAD ÁLGEBRA... III UNIDAD GEOMETRÍA EUCLIDIANA... IV UNIDAD FUNCIONES Y GRÁFICAS V UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA Son Autores los Profesores: Rigoberto Morales Videa Graciela López Moreno A

2 PRESENTACIÓN La educación construe el capital humano para el crecimiento económico para superar la pobreza de un pueblo. Para reinsertar a nuestra región en una economía mundial, se debe mejorar sustancialmente en la competitividad, dado que éste implica conocimientos tecnológicos, manejo de información destrezas, elevar la calidad de nuestros sistemas educativos la preparación de nuestros recursos humanos, se vuelve un requerimiento insustentable. Conocer o saber Matemática, por parte de una persona no puede reducirse a identificar las definiciones propiedad de los objetos matemáticos. Debe implicar ser capaz de usar el lenguaje el sistema conceptual matemático en la resolución de problemas. Por esto se postula la necesidad de establecer puentes entre la Matemática, la realidad natural social que rodea a los jóvenes. Al organizar este material, nos hemos guiado por el interés de contribuir al mejoramiento de la enseñanza de la Matemática en nuestra región con énfasis en las carreras de ingenierías. Hemos realizado este loable esfuerzo de presentarte, estimado estudiante, este documento de Matemática con el propósito de fortalecer tus conocimientos en esta área particularmente estés preparado para realizar tu eamen de admisión puedas clasificar en la opción que tu elegiste. El propósito de este dosier es ofrecerte un material pedagógicamente confiable para que se te facilite tu aprendizaje, con precisión matemática comprensible, con una visión para estudiantes con epectativas de coronar una carrera universitaria. Este material comprende cinco unidades con descripción de conceptos, ejemplos resueltos ejercicios propuestos: I Unidad: Aritmética. II Unidad: Álgebra. III Unidad: IV Unidad: V Unidad: Geometría Euclidiana. Funciones Gráficas. Geometría Analítica Plana.

3 La Aritmética nos proporciona el aprendizaje básico que debemos dominar para profundizar en las restantes unidades que vamos a desarrollar. Un buen conocimiento de la aritmética es tan fundamental como saber leer escribir no puede reducirse a los algoritmos para realizar las cuatro operaciones fundamentales. Muchos de los fenómenos que nos afectan se han vuelto tan complejos que no podemos percibirlos directamente o tratarlos de manera puramente cualitativa, sino que requieren técnicas cuantitativas de recolección tratamiento de información. Los contenidos que ofrece el teto sobre álgebra están enriquecidos con ejercicios de aplicación, enfatizado en las operaciones fundamentales que ésta requiere. Ecuaciones aplicadas a problemas cotidianos de la ingeniería la vida. En la unidad de Geometría Euclidiana te ofrecemos una serie de teoremas postulados con una secuencia lógica una serie de gráficos atractivos vinculados a la percepción de figuras planas, asociadas al medio que te rodea. Una de los contenidos más fructíferos de maor aplicación en la matemática en otras ciencias, es la utilización de las Funciones para la interpretación objetiva de los fenómenos físicos químicos. En esta unidad se presentan diversas gráficas para una mejor comprensión de las diferentes teorías, mostramos también la riqueza de la aplicación a problemas relacionados con la solución de la problemática del medio que nos rodea. Uno de los grandes atractivos de la matemática consiste en la aplicación de la geometría analítica a las diferentes ciencias, ingenierías ramas de éstas, aportando elementos fundamentales para la modelación de proectos arquitectónicos - cónicos aplicados en la construcción de obras de ingeniería. Se resaltan algunos teoremas definiciones para dar énfasis permitir una localización rápida. Las gráficas a lo largo del material permiten reforzar la comprensión de los conceptos de Matemática que pudiesen resultar complejos, así como aplicaciones de la vida real. El corazón de cualquier material de Matemática son los ejercicios que mantienen vivo el interés, eploración, práctica comprensión del mismo. Ofrecemos una variedad de ellos con sus respectivas soluciones.

4 I UNIDAD ARITMÉTICA Contenidos a desarrollar. Conjunto de los números reales Operaciones (+,-,*, /) -Propiedades de los Números Reales (+, *).. Descomposición factorial ( MCD MCM). Potenciación. Regla de Tres Regla de tres Es una operación que tiene por objeto, dados dos o más pares de cantidades proporcionales, siendo una desconocida i incógnita, hallar el valor de esta última. La regla tres puede ser simple compuesta. Es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales. Es compuesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades proporcionales. Regla de tres Simple En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos una desconocida o incógnita. Esta regla puede ser Directa o Inversa, según las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales. Supuesto pregunta. En toda regla de tres ha dos filas de términos o números. El supuesto formado por los términos conocidos del problema va generalmente en la parte superior. La pregunta formada por los términos que contienen a la incógnita el problema va en la parte inferior.

5 Ejemplo. Si lapiceros cuestan C$ 0. Cuánto costaran lapiceros? Supuesto: lapiceros C$ 0 Pregunta: lapiceros C$ X De manera formal, la regla de tres simple directa enuncia el problema de la siguiente manera: A es a B como X es a Y lo que suele representarse así: donde A es, B es 0, X es e Y es el término desconocido. Para resolver todas las reglas de tres simples directas basta con recordar la siguiente fórmula: Ejemplo. Regla de tres simple inversa Si 8 obreros terminan una obra en días. En cuántos días terminaran la misma obra obreros? Supuesto: 8 obreros días Pregunta: obreros X días Formalizado, como antes: A es a B como X es a Y lo que se representa como:

6 Siendo la solución formalizada la siguiente Regla de tres compuesta En la regla de tres compuesta intervienen tres o más partes de cantidades proporcionales, siendo una la cantidad desconocida o incógnita. Método Práctico: Para resolver los problemas de Regla de Tres, aplicamos el método llamado La Le de los Signos, que no es más que la consecuencia práctica de magnitudes proporcionales que consiste en lo siguiente: Se colocan los valores correspondientes a la misma magnitud uno debajo de otro, a continuación se comparan cada par de magnitudes proporcionales con el par que contiene a la incógnita, para saber si son directa o inversamente proporcionales con la incógnita : Si son directamente proporcionales Si son inversamente proporcionales Arriba - Abajo + Arriba + Abajo - El valor de la incógnita viene dado por un quebrado cuo numerador es el producto de todas las cantidades afectadas del signo (+) cuo denominador es el producto de las cantidades afectadas del signo (-) en todos los problemas sin ecepción, el valor numérico que es de la misma especie que la incógnita, llevara signo (+).

7 Ejemplo. Para pavimentar 80 metros de pista, 8 obreros tardan días. Cuántos días se necesitaran para pavimentar 0 metros de la misma pista con obreros menos? Supuesto: 80 metros 8 obreros días Pregunta: 0 metros obreros X días Comparaciones: Metros con días: Para hacer menos metros de pista tardan menos días; la regla de tres es directa; colocando arriba de la columna de metros la letra D. Obreros con días: Menos obreros tardarán más días, la regla de tres es inversa; colocando arriba de la columna de obreros la letra I. Donde: D I Supuesto: 80 metros 8 obreros días Pregunta: 0 metros obreros X días Luego pasamos a colocar los signos correspondientes Supuesto: 80 metros 8 obreros días Pregunta: 0 metros obreros X días + - La incógnita viene dada por un quebrado cuo numerador es el producto de todas las cantidades afectadas por el signo (+) cuo denominador es el producto de las cantidades afectadas por el signo (-), Así: 6

8 Ejercicios propuestos. Al resolver -(7-9)+(-) se obtiene: NDLA. Al operar -0(8-6)(-7)+ se obtiene: NDLA. Al resolver (-)()-(-)() se obtiene: NDLA. Al resolver { [ ( ( ))]} ( ) se obtiene: NDLA. Al resolver se obtiene:. 7/.. ¼. -/. NDLA 7

9 6. Al resultado que se tiene al operar. ( ) ( ) ( ). -/. /. -0/9. 0/9 6. NDLA 7. Al resolver [ ] [ ] [ ] obtenemos:. /0. 9/0. 9/0. 0/9. NDLA 8. Al simplificar ( ).. /. -. ( ). NDLA 6. la respuesta es: 9. Al efectuar la operación [( ) ] [ ( )] Se obtiene: ,. 87.,. NDLA 0. El resultado de la siguiente operación es:..... NDLA 8

10 . Al operar se obtiene NDLA. Al resolver la siguiente epresión ( ) ( ) se obtiene NDLA. Hallar el MCD de 9, 6, NDLA. El MCM de,,0,, es NDLA. Si el mcm es 9000, entonces es igual: NDLA 9

11 6. Qué tanto % representa 7 de 68?. %. 00%. %..6%. NDLA 7. Los ¾ de los / de 00 litros es:. 0 lt. 87, lt., lt. 0 lt. NDLA 8.,6 decímetros convertidos a metros son:. 6 m. 0,6 m. 0,06m. 60 m. NDLA 9. Un individuo va al supermercado gasta $900. A esta cantidad se le debe de agregar el impuesto que corresponde al 7% Cuánto es el valor total a pagar?. $6. $96. $0. $0. NDLA 0. Un ganadero tiene 6 ovejas alimentos para ellas para 8 días. Pero si el número de ovejas fuese 6, sin disminuir la ración diaria sin agregar forraje la cantidad de día que se podrá alimentarlas es: NDLA 0

12 . 0 labradores araron un terreno en 0 días trabajando 8 horas diarias (suponga que el rendimiento sea constante). Si 60 hombres labraron el mismo terreno en 8 días, el número de horas que se trabajaron por día es:.,67 hrs. hrs. 0 hrs..0 hrs. NDLA. Para cosechar un campo de berenjenas se emplearon obreros durante 8 horas. Para terminar en horas se requerirán de:. 0 obreros. 0 obreros. 0 obreros. obreros. NDLA. Una cuadrilla de jornaleros han realizado una obra en 0 días trabajando 8 hrs. Cuantas horas deberán de trabajar aproimadamente para terminar la obra en 6 días.. 0 hrs., hrs. hrs., hrs. NDLA. Juan invierte en un banco una cantidad de $000 al 6% de interés anual, deposita el de marzo retira el 0 de junio cuánto es el interés recibido? ( año= 60 días). $00. $0. $0. $0. NDLA

13 II UNIDAD ÁLGEBRA Contenidos a desarrollar Operaciones con epresiones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división Productos notables factorización Teorema del binomio. Operaciones con fracciones algebraicas Radicales Operaciones con radicales Racionalización Ecuaciones lineales en una variable. Ecuaciones cuadráticas en una sola variable Desigualdades lineales cuadráticas en una variable Ecuaciones con valor absoluto Desigualdades con valor absoluto Operaciones con Epresiones algebraicas. Qué es una epresión algebraica? Es toda combinación de símbolos: números letras, ligadas por las operaciones fundamentales del algebra: suma, resta, multiplicación, división, potenciación radicación. Ejemplo: 7 a b ; ; a 8a b ; ( -)(+)

14 Una epresión algebraica es racional cuando no contiene letras bajo el signo radical, en caso contrario es irracional. Una epresión racional es entera si no tiene denominador literal ni eponentes negativos que afecten a las letras, en caso contrario es fraccionaria. Ejemplos: 7 a b d 8, epresión entera. b, epresión racional fraccionaria , epresión irracional. Variable: Un símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto. Ejemplo:,, z, etc. Constante: Un símbolo que representa un elemento determinado de un conjunto. Ejemplo: en la fórmula s=/gt, g es la gravedad es constante g=9.8m/s t "s" son variables. Término: Es una constante, una variable o bien una o varias constantes multiplicadas por potencias de variables. Ejemplos: π,, z, etc. Coeficiente: En un término, es el factor que representa una constante numérica. Ejemplo: en la epresión 7 7, es el coeficiente numérico. Valor numérico de una epresión algebraica. Valor numérico de una epresión algebraica para un conjunto de valores atribuidos a sus letras, es el número que resulta al reemplazar cada letra por su valor efectuar las operaciones indicadas.

15 Ejemplos: 7a b Determine el valor numérico de la epresión a a 6, para a= b=. Solución: Monomios: Un monomio es una epresión algebraica cuas letras están sometidas únicamente a la operación de multiplicar (pudiendo llevar eponentes). Ejemplos:, al buscar el mcd se convierte en un monomio. veamos otros ejemplos de monomios Observación: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplo: a b a b 7 a b son semejantes. a b no son semejantes. Suma algebraica de monomios semejantes: Para sumar varios monomios semejantes se suman algebraicamente sus coeficientes el resultado se multiplica por la parte literal, su resultado es siempre un monomio. Ejemplo: Determine la suma de los siguientes monomios a b c ; a b c a b c

16 Solución: c b a c b a c b a c b a c b a c b a Signos de Agrupación. Se tendrá en cuenta que si un signo de agrupación está precedido del signo (+), cada término de la epresión encerrada entre signos de agrupación, conservan su signo, en cambio sí está precedido del signo menos (-), cada término de la epresión encerrada entre el signo de agrupación, cambia de signo. Ejemplo: Simplificar: z z z z Observemos que los más internos son los paréntesis por lo tanto son los primeros en eliminar. z z z z Ahora eliminamos las llaves. z z z z Ahora eliminamos los corchetes. z z z z Nos queda reducir términos semejantes que bien podemos hacerlo de manera directa o bien agrupando; en este caso lo haremos agrupando z z z z z Grado de un monomio: Un monomio tiene dos tipos de grados; absoluto relativo. Grado relativo: Es el grado respecto a una letra (variable).

17 Ejemplo: a b c Es de segundo grado respecto a la variable a De tercer grado respecto a la variable b De primer grado respecto a la variable c Grado absoluto: Es la suma de los eponentes de su parte literal. Ejemplo: a b c es de seto grado. Su grado absoluto es (++) = 6, por tanto el término Polinomios: Es una suma algebraica de varios monomios cada uno de estos constitue un término del polinomio. Cuando un polinomio contiene sólo dos términos, se llama binomio; si contiene tres términos es un trinomio. Ejemplos: - es un binomio; +-7 es un trinomio; a b-ab -/a +6b es un polinomio. De manera general a toda epresión algebraica que tiene de dos a más términos se le llama polinomio. Reducción de un polinomio Sea el polinomio su forma reducida sería = -+, en donde observamos que tanto el polinomio propuesto como el obtenido son equivalentes a no contiene términos semejantes. Grado de un polinomio: Grado relativo: Es el eponente correspondiente únicamente a una letra. 6

18 Ejemplo: Sea el polinomio - + es de cuarto grado con respecto a de quinto grado en, de seto grado en Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio es el grado del monomio de maor grado absoluto. Ejemplo: Sea -7-9 se busca el término de maor grado absoluto el cual es por tanto el polinomio es de noveno grado absoluto. Polinomios Ordenados: Los polinomios se ordenan de modo creciente o ascendente decreciente o descendente, a sea con respecto a una o más variables. Ejemplo: a) Ordenar el polinomios de forma decreciente Ejemplos: Adición sustracción de polinomios.. Sumar Solución: = ( ) + ( ) = = Restar - +- De

19 Solución: Colocamos el minuendo al inicio que va acompañado de la palabra De luego el sustraendo que va acompañado de la palabra restar. = ( ) - ( ) = ( ) + (-) ( ) = ( ) + (- + -+) = = Multiplicación de Epresiones Algebraicas. La multiplicación de epresiones algebraicas implica el uso de la propiedad distributiva las propiedades de los eponentes, las cuales mencionamos a continuación. Producto de dos Monomios. El producto de dos monomios es un monomio en el que se verifica:. El coeficiente es el producto de los coeficientes de cada uno de los factores.. La parte literal está formada por la letra contenida en los dos monomios, cada una de ellas con un eponente que sea la suma de sus eponentes en cada uno de los factores.. El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. Ejemplo: Obtenga el producto de los monomios: a a a Producto de un Polinomio por un Monomio. 7 7 a a Ejemplo: Obtenga el producto de:

20 Producto de dos Polinomios. Ejemplo: Obtenga el producto de: Tenemos varios caminos para resolver esta situación Forma Horizontal. Distribuir cada término del binomio por el polinomio Efectuar la multiplicación 8 6 Reducir términos semejantes División de Epresiones Algebraicas. a) División de un monomio por otro monomio. Si un monomio dividendo es divisible por un monomio divisor, el coeficiente es un monomio cuo coeficiente es igual al cociente de los coeficientes del dividendo del divisor. En la división también aplicamos las lees de los eponentes. Ejemplo: a ) a a 0 a El resultado es un monomio. a a a ) a 9

21 El resultado no es un monomio, no cumple con la definición. ) a 7a a 7 a 7 El resultado no es un monomio. b) División de un Polinomio por un Monomio. Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio se suman los cocientes parciales. Ejemplo: Efectué: ) ( 8a b a b a b ) a b Solución: 8a b a b a b a b a b a b 7 b a b b a b 6a bc 8a c ) ac Solución: a b ac c) División de dos Polinomios. Ejemplo: ) Dividir a 0a a a a 0a a a a a a a a 8a a a 0 a a 0

22 División Sintética Regla de Ruffini Demostraremos el procedimiento de manera ilustrada. Ejemplo: ) Dividir ( ) ( ) Pasos que no debemos olvidar: a) Revisar que el dividendo esté completo ordenado. b) Etraer los coeficientes del dividendo despejar el divisor. c) Bajar el primer coeficiente = 0 = El cociente es 6 con resto -. Binomio al cuadrado. Ejemplo: ) Calcular Productos Notables Factorización. 6 0 Producto de la suma por la diferencia Ejemplo: q p p q En este caso ordenamos la suma para que nos quede en el mismo orden

23 que la diferencia. p q p q p q q p p q 9p q p q p q p q Cubo de un binomio (Suma) Ejemplo: De igual manera se hace con la diferencia al cubo. Cubo de un binomio (diferencia) Ejemplo: 6 8

24 Cuadrado de un Polinomio. Ejemplo : Producto de binomios con términos en común. Para facilitar la aplicación de la regla, lo haremos a través de un esquemas Ejemplo: Factor común de un monomio: a a a Ejemplo: ) 8 Los coeficientes numéricos tienen como MCD a.

25 Factor común por agrupación de términos: Ejemplo: ) 8 0z z 7 8 0z z 7 z 7z 7 Agrupamos. 8 Etraemos factor común. z8 7 la factorización total. Etraemos factor común por segunda vez, hasta llegar a Ejercicios propuestos. En los siguientes ejercicios encierre la respuesta correcta justificando el resultado. ) Al operar (a-)-( ) se obtiene: a) - b) c) - d) - +6a+ e) Ninguna de las anteriores ) Al operar (a- )+(a-), se obtiene: a) -6 b) -6 c) -6 d) - e) Ninguna de las anteriores ) operar -+6-( ) obtiene: a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores

26 ) Al operar ( ) ( ) a) b) c) - + d) - - e) Ninguna de las anteriores ) Al restar se obtiene a b c d e. Ninguna de las anteriores 6) Al operar (- ) ( ) se obtiene a b c d e. Ninguna de las anteriores 7) Al operar (a-)(a+), se obtiene: a) +a-6 b) -a-6 c) -6a+ d) +a-6 e) Ninguna de las anteriores 8) Al operar (a-)(a+), se obtiene: a) -6 b) +a-6 c) -a+6 d) -a-6 e) Ninguna de las anteriores 9) Al operar (-)(a+), se obtiene: a) -6 b) +a-6 c) +a-

27 d) -a-6 e) Ninguna de las anteriores 0) Al operar (a-)(a+), se obtiene: a) -6 b) +a-6 c) +a- d) -a-6 e) Ninguna de las anteriores ) Al multiplicar ( )( ) se obtiene a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores ) Al operar ( ) se obtiene: a. b. c. d. e. Ninguna de las anteriores ) Al operar ( ) se obtiene a. b. c. d. e. Ninguna de las anteriores ) Al operar ( ) se obtiene a. b. c. d. e. Ninguna de las anteriores ) Al multiplicar ( ) es a. 6

28 b. c. d. - e. Ninguna de las anteriores 6) Al dividir entre a+, se obtiene a. b. c. d. e. Ninguna de las anteriores 7) Al dividir entre +, se obtiene como residuo a. b. c. d. e. Ninguna de las anteriores 8) Al dividir + por + el cociente el residuo respectivamente son: a. b. c. d. e. Ninguna de las anteriores 9) La factorización de es: a. ( ) b. (+9)(+) c. (-9)(-) d. ( ) e. Ninguna de las anteriores 7

29 Binomio de Newton. Comúnmente sabemos cómo desarrollar los binomios m n a que tenemos a mano una regla precisa. Pero Qué sucede cuando se nos presenta la situación o bien m n? En este caso tenemos que acudir al desarrollo de potencias de binomios de la forma n conocido como binomio de Newton en honor a Sir Isaac Newton (6-77) por haber establecido su generalización. Número Combinatorio. Dado un número natural n un número el número combinatorio n, k como: k n ( k 0 ó k natural) definimos C k n n n! k k!n k! Ejemplo: 0 0! !! 0!!.! 0C 0 Este número es llamado número combinatorio. Volviendo al tema del Binomio de Newton, decíamos que al pretender desarrollar a b, lo podemos obtener multiplicando a b por si mismo veces si tuviésemos a b se procederá del mismo modo así sucesivamente, hasta tener a b n = a ba b... a b n veces. Es obvio el tedio que sería calcular a b 00, por ejemplo; por lo tanto se hace necesario una fórmula que definimos a continuación: 0 n a b k n n a k k b nk 8

30 Cómo encontrar un término cualquiera del desarrollo a b n? Usamos la ecuación T k n C nk k a. b k Por ejemplo, determinar el quinto término del desarrollo 6. Tenemos que n = 6 por el eponente del binomio k = porque es el término que nos piden encontrar, de lo que obtenemos: T. 6 C 6 T ! ! T 6! 6! T 6!.! T 6 T Operaciones con Fracciones Algebraicas. Simplificación. Es el proceso de reducir a su forma mínima una fracción algebraica. Decimos que una fracción está en su forma mínima cuando el numerador el denominador no tienen factor común diferente de. Para simplificar una fracción descomponemos en sus factores tanto el numerador como el denominador luego cancelamos los factores que sean iguales que estén simultáneamente en ambos. Ejemplos: Simplificar a. a. a.. a. a a 9

31 0 ) ) Adición Sustracción. La adición sustracción de fracciones algebraicas siguen las reglas de la adición sustracción de fracciones con números reales. Ejemplo: Efectuar la siguiente sustracción de fracciones algebraicas reducir la respuesta a su mínima epresión Solución: = = El mínimo común denominador es MCD =. Entonces. = = = = = 0 7

32 Multiplicación División. Se deduce la multiplicación la división de fracciones algebraicas a partir de las reglas de multiplicación división de números reales. Ejemplo: ) Ejercicios Propuestos. I. Desarrolle. a) 7 b) n m b a En las potencias indicadas obtenga el término que se les pide. a) El quinto término de 7 7 m b) Los dos términos centrales de c) El término central de 0 ab c 6 6

33 d) El término que contiene a de Efectué las operaciones indicadas. a. b. c. d. e) f) g

34 h. Radicales Raíz n-ésima de un número: se llama raíz n-ésima de un número a otro número que elevado a la potencia n-ésima reproduce el primero. Notación: Raíz n-ésima de b n b b n El símbolo se llama radical, n es el índice b el radicando. Ejemplo si n =, se escribe b en lugar de b. Propiedades básicas de los radicales. a) Raíz de un Producto: La raíz m-sima de un producto de las raíces m- sima de los factores m abc m a m b m c Ejemplo: Igual podemos simplificar de manera directa. b) Raíz de un Cociente: la raíz m-sima de un cociente es igual al cociente m a a de las raíces m-simas de sus términos. m b m b Ejemplo: 6a b ab a b a b a b a b c) Potencia de una Raíz: para elevar una raíz a una potencia se eleva la n n m cantidad subradical a dicha potencia. m a a

35 Ejemplo: 7 ) d) Raíz de una Potencia: para etraer una raíz de una potencia cuo eponente es múltiplo del índice de la raíz, se divide dicho eponente por el índice de la raíz. m mp p a a Siendo p : mp m Ejemplo: ) e) Raíz de una raíz: Para etraer la raíz de una raíz se etrae la raíz que indica el producto de los índices. m n a mn a Radicales semejantes. Dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo índice la misma cantidad sub-radical. Ejemplo: ), 8 Simplificar un radical es transformarlo en otros equivalentes de epresión más sencilla, es decir los factores bajo el radical tiene eponentes menor que el índice del radical; no ha fracciones bajo el radical el índice del radical es el menor posible. Ejemplo: Simplificar

36 a) a b 8a b a b a a b a ab a Adición Sustracción de radicales. Operaciones con radicales. Al sumar o restar radicales lo hacemos del mismo modo que lo hicimos con polinomio, teniendo cuidado de reducir los radicales semejantes. Ejemplo: Sumar b 8 b b 8 b, eliminamos los paréntesis. b b 8, agrupar reducir términos semejantes b Multiplicación de radicales. Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican las cantidades subradicales. Si tuvieran distintos índices se les reduce previamente al mismo índice. Ejemplo: Multiplicar: a) ab c a b a c a b c a b c.a b c 0a b c División de radicales. Para dividir radicales del mismo índice se dividen las cantidades subradicales. Si tuvieran distintos índices se les reduce previamente al mismo índice.

37 Ejemplos: ) z z z z z z z z Racionalización del denominador. Ejemplo: Racionalice el denominador de las siguientes epresiones. a). El denominador es un binomio irracional: Para racionalizar, se multiplican numeradores denominadores por el binomio conjugado del denominador. Se llaman epresiones conjugadas dos epresiones que están formadas una por la suma otra por la diferencia de iguales términos. Ejemplo: La conjugada de a b es a b La conjugada de es Ejemplo: Racionalice el denominador de las siguientes epresiones. 6

38 a) Ejercicios propuestos I) Efectué las siguientes operaciones indicadas. a) 0 8 ac b) b a c a c c c b c) 8 7 d) e) II) Racionalice el denominador de: a) b) c) 7

39 d) Ecuaciones Lineales en una variable. Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos epresiones, las cuales contienen números variables. Igualdad: Epresiones que igualados cantidades con el mismo valor: a b c Ejemplo: 0 Ecuación: Es una afirmación de que dos epresiones son iguales, en la que ha una o más incógnitas que solo se verifica para determinados valores. Ejemplo: ) 7, es una ecuación con una incógnita con solución única, = Ecuaciones Lineales: Definición : Una ecuación de la forma a b 0, a 0, donde a b son números reales, se llama Ecuación Lineal. Ecuaciones Equivalentes: Definición: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Ejemplo: 0 ; Solución o Raíces de la ecuación. Ejercicio: 8

40 Resuelva La única solución de la ecuación original es. Ecuaciones Lineales con una variable real. Una ecuación de la forma a b 0, donde a, b ; a 0 recibe el nombre de ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita. Ejemplo: Resuelva: 7 6 Solución: Ejemplo: Resuelva 9

41 Solución: Para eliminar los denominadores, multiplicamos a ambos miembros por el m.c.m de los denominadores de las fracciones en la ecuación. m.c.m,,,, 6 6 Ejercicios Propuestos. I. Encuentre la solución de la ecuación dada. a) 6 b) 6 7 c) 8 8 d) u u u u 0

42 e) f) 8 g) 6 h) i) j) k) Resuelve los siguientes problemas. Halla dos números tales que si se dividen el primero por el segundo por la suma es ; mientras que si se multiplica el primero por el segundo por la suma es 7.. Un número consta de dos cifras cua suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Halla dicho número.. Halla una fracción equivalente a / cuos términos elevados al cuadrado sumen.

43 . Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 9 la diferencia sea 9.. Tengo 0 monedas. Unas son de cinco córdobas otras de un córdoba. Puedo tener en total 78 córdobas? Ecuaciones Cuadráticas. Una ecuación cuadrática es una ecuación del tipo a b c 0 con a 0 a, b, c. Método de Factorización. Anteriormente estudiamos los diferentes casos de Factorización pues aquí es donde aplicamos el caso que contiene un trinomio de la forma a b c. Ejemplo: Resuelva 0 Solución: Aplicamos el método de factorización para obtener una ecuación equivalente: ( ) () Si aplicamos la multiplicación por cero:

44 0 ó 0 Las soluciones de las ecuaciones lineales son: Estas son las raíces de la ecuación cuadrática se puede verificar sustituendo en la ecuación original. Por medio de la Fórmula General. Fórmula cuadrática. Si a 0, entonces las raíces de a b c 0 están dadas por b b ac a La naturaleza de las raíces está determinada por el radicando cual se le llama discriminante. b ac, al Ejemplo: Resuelva 0 Solución: De la fórmula cuadrática con a, b, c 8 6 6, tenemos: 6 ( ) ()

45 Las soluciones son:, Ejercicios propuestos. I) Resuelva a) 6 0 b) u 8u c) d d 8 d) v v e) A A f) 0 g) 8 0 h) g g 0 i) 8 0 Ecuaciones Reducibles a la Forma Cuadrática Consideramos ahora dos tipos de ecuaciones que se pueden resolver reduciendo o transformándolas a la forma cuadrática. Ecuaciones que implican eponentes radicales o ecuaciones irracionales. Ecuaciones que implican eponentes racionales. Ejemplo: Ecuaciones que implican radicales. Resolver una ecuación que implica un radical como

46 Se puede eliminar el radical, elevando ambos miembros al cuadrado, así: Con lo que obtenemos una ecuación cuadrática la reescribimos. 0 Es entonces que procedemos a resolver por factorización o fórmula general Solución:, Ecuaciones que implican eponentes racionales. Ejemplo: Resolver la ecuación: 6 0 Solución: Reescribimos la ecuación de la forma: 6 0, de esta forma obtenemos una ecuación cuadrática. a) solución directa 6 0 0

47 ó, elevando al cubo ambos lados. ó 7 ó 8 Conjunto solución 8,7 Ejercicios Propuestos. ) ) ) ) ) 80 6) 7) a a 8) a a Desigualdades o Inecuaciones Lineales Cuadrática. Desigualdades Lineales. Ejemplo: Resuelva 8 6 Solución: 8 6, restando a ambos lados. 8, restando a ambos lados. 6

48 , multiplicando por a ambos lados En el ejemplo anterior, la solución escrita en forma de intervalo gráfica seria respectivamente., Ejemplo: 0 Resuelve Solución: Solución:, 0 Desigualdades Cuadráticas. Ejemplo: Resuelva 0 Solución: Escribimos todos los términos distintos de cero al mismo lado

49 Factorizando Los números críticos son: 0 0 Solución:,, - Desigualdades Radicales no Racionales. Son proposiciones que representan el coeficiente de dos polígonos P( ) Q( ) considerando las raíces del denominador no forman parte del conjunto solución. Ejemplo:, ) 0 Solución: Como todos los términos diferentes de cero están a un lado de la desigualdad; entonces procedemos a elaborar la tabla de los signos. Puntos críticos: De aquí obtenemos que la solución está dada por, 0, 8

50 - 0 Desigualdades Polinómicas de grado n Se puede usar los métodos desarrollados para las desigualdades cuadráticas racionales, para resolver desigualdades polinómicas de n grados racionales de naturaleza más general. La maoría de las aplicaciones importantes de la matemática implican más el uso de desigualdades que de igualdades; pues en el mundo real pocas cosas son eactas. Ejemplos: Resuelva: Puntos críticos:,, Solución:,., - 9

51 Ejercicios Propuestos. Resuelva las siguientes desigualdades, eprese las soluciones en notación de intervalo trace la gráfica. ) 0 ) ) 6 ) 0 7 ) 6) 7) 8) 7 9) 0 0) 0 Valor Absoluto en Ecuaciones Lineales Desigualdades. La relación entre el Álgebra la Geometría, una herramienta importante cuando se trabaja con ecuaciones desigualdades que implican valor absoluto. Recuerde que anteriormente definimos que representa la distancia a lo largo de la recta numérica desde hasta el origen. 0

52 Por ejemplo el enunciado algebraico. Ejemplos: Resuelva escriba la solución en notación de desigualdad de intervalo donde corresponda. ) ó Solución:,9 Ejercicios propuestos. Resuelve las siguientes ecuaciones desigualdades con valor absoluto a. b. 6 0 c. 6 d. 9

53 e. f. 0 III UNIDAD GEOMETRÍA EUCLIDIANA Contenidos a desarrollar Conceptos Básicos (Punto, recta, plano, espacio) Ángulos Paralelismo Relaciones Proporciones Perpendicularidad Clasificación de los triángulos Recta puntos notables Razones Proporciones Congruencia de triángulos. Cuadriláteros. Polígonos regulares. Circunferencia círculo. Cuerpos sólidos. Ejemplos: ) En la figura a partir de la información dada, determine el valor : 0 / º Solución. De la figura deducimos que los ángulos indicados forman un par lineal, por tanto son suplementarios, luego: / º + 0 º = 80 / º = 80-0 º = (0) /

54 = 6º ) Sean m m m es una secantes a m m. Determine los valores de X e Y, dada la información en la figura. Solución m m Con la información dada los ángulos 0 son alternos internos por lo que son congruentes, de donde tenemos: - 0 = 0 Y + 8 m = - 0 (- = - 0) (-) = 0 ) En la figura m valor de. m. A partir de la información dada determine el Solución 0º 60º º 60º º 60º º m m. m m. Si trazamos una línea auiliar paralela a las rectas dadas que pase por el vértice del ángulo que mide 0, se forman ángulos alternos internos entre paralelas con los ángulos que miden 60, luego se tiene: + 60 = 0 = 0 =

55 Ejercicios sobre Ángulos. ) A partir de la información dada en la figura encuentre el valor de X. ) Si A, B C son colineales, BD AC. Hallar el valor de. )- En las figuras, los raos, segmentos rectas paralelas se representan colocándoles puntas de flecha en el mismo sentido.en cada uno determine el valor del ángulo indicado. a) b) c) d) e) f)

56 Triángulos Ejemplos -Encuentre la media proporcional entre 9 6 Solución: De acuerdo a la definición, se pide el valor de X, tal que 9, luego 6 X 6 X 9 X X - Encuentre la tercera proporcional entre 6 Solución: De acuerdo a la definición, se pide el valor de X, tal que Si un triángulo tiene un perímetro de 8cm sus lados son proporcionales a los números,7 9, encuentre las longitudes de dichos lados. Solución:

57 Sea a, b c. Las longitudes de los lados del triángulo, luego c Por las propiedades de las proporciones se tiene a b c a b c a b c 8 Pero el perímetro es P= a + b + c = 8, luego 7 9 Por tanto a = () () = 0cm b = (7) () = 8cm c = (9) () = 6cm Teorema. Teorema sobre proporcionalidad semejanza de triángulo. Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los otros lados quedan divididos en segmentos proporcionales. A X U Y B D E V C DE BC u v Ejercicios: - Si P representa el perímetro de un triángulo, determine las longitudes de sus lados si: a) p = 7 sus lados proporcionales a, 7 6

58 b) p = 90 sus lados proporcionales a, - Teniendo como referencia la rotulación en el triángulo dado la información que se brinda a continuación, calcule los elementos restantes. a) = 9 b) a =, b = c) a = 0, c = 8 d) b =,c = e) a =,c = A c h b B D a C Ejercicios sobre semejanzas. Una persona está situada en el punto A, tiene al frente dos postes ED BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura. Si la distancia entre el punto A el poste BC es ( + ) metros la distancia entre los postes es ( + ) metros, cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED? a) m b) 9 m c) 6 m d) m e) 0 m. En la figura m valor de m. A partir de la información dada determine el a) 0º b) 60º c) 0º d) º e) 70º m 7

59 Clasificación de los Cuadriláteros. m Ejemplos - La figura representa un trapecio isósceles con AB II CD.S :AC=BD=.CD= AB=, determine su área. Solución: Por ser un trapecio isósceles EF=CD=, luego AB EF AE=FB= Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos h= 69 Por tanto el área buscada es A= 0U 8

60 - El lado de cada cuadro mide.la estrella de la figura se forma uniendo vértices de los cuadrados con los puntos medios de los lados opuestos Cuál es el área de la estrella? Solución: Toda la figura es un cuadrado, por lo que encontramos su área. A u Observemos que las partes no sombreadas son triángulos b. h 0. rectángulos, en total son 8, así que A 0.u Área no A 8 0. u sombreada=8 Luego para obtener el área de la estrella, restamos el área de todo el cuadrado menos el área no sombreada. A - Ans = u u u Polígonos Regulares Una de las propiedades de los polígonos regulares es que pueden inscribirse circunscribirse en una circunferencia. EL heágono está circunscrito a la circunferencia El octágono está inscrito en la circunferencia 9

61 La apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita en el polígono. En general, si R es el radio de un polígono regular, la apotema la longitud de los lados. R ap a p R a p r Áreas perímetros de polígonos regulares. Si n es el número de lados, a la longitud de cada lado tiene: Perímetro: p = n.a a p la apotema, se Área: A = n. a. a p p. a p Ejemplo () El perímetro de un decágono regular es.7 su apotema.8 Cuál es el radio de la circunferencia circunstancia? Determine el área de la región poligonal correspondiente (Redondee su respuesta) Solución Datos P =.7, a p. 8 p.7 n = 0a. 7 n 0.7 Se tiene R = a p.8 A Pap

62 Ejercicios. En la figura, los círculos son tangentes tienen radio igual a 0. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. Cuál es el área de la región sombreada? A B C Los arcos AB BC son semicírculos cuos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la figura. Si BC = AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada el área de la región no sombreada es:. El lado maor del rectángulo de la figura mide 0. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias cuál es la longitud de la curva? 6

63 . el área de un rectángulo es,86.m su perímetro es 6m. Calcular sus dimensiones. 6. calcular los lados de un rectángulo, sabiendo que si se agregan m a su base se quita otro tanto a la altura, el área no se altera; pero si se agrega m a su base se quita m a su altura, el área aumente 6 m. 7. un poste cercano a un árbol mide m su sombra en un momento dado mide.8m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide m, hallar la altura del árbol. (.). 8. una varilla clavada en el piso cercana a un árbol mide m su sombra mide.m, entonces si el árbol mide 6m, Cuánto mide su sombra? (8m) 9. un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo después situarse de manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo Qué altura tiene un edificio si una persona cuos ojos están a.m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 0m del edificio la persona está a 6m del espejo? (0m) 0. en un jardín de forma cuadrada de 8.60m de lado se desea construir un estanque circular veces menor que el jardín Qué ha de ser su diámetro?. una puerta está formada de una parte rectangular un semicírculo. El ancho es de.60m la altura total m. Cuál es el área de la superficie? m.6m 6

64 Circunferencias polígonos Ejemplos. En la figura O representa el centro de la circunferencia si m < A0C=0º, determine los valores de, X. B C o X A Solución: a) m AC M AOC 0º b) 80º ADC 80º 0º 60º c) m BC, perom BC 60º 0º - En la figura de la izquierda, determine valor de si m AB 0mCD 90 Solución: 90º D C B A 0º Por ser un ángulo interno tenemos 90º 0º 60º 6

65 Ejercicios Propuestos ) Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia, ma 0 mb 70 se trazan tangentes a la circunferencia por A, B C de forman que forman el triángulo circunscrito a A' B' C'. T S K N Q R M ) A partir de la figura la información dada, encuentre el valor indicado A B a) AC = 6, PB = 6, PD = 8. Hallar AP PC. P b) AP =, PC =, PD =. Hallar PB. c) PC = PA, FD 0, BD =. Hallar AC. D C d) BD =, PB = 6 PB = PA. Hallar PC. ) a) PA = AD, PB =, BC = 7. Hallar PD. D A b) PD = 6, PA = PC =. Hallar PB. c) PD = 7, AD = BC =. Hallar PB. P d) PA = 8, AD = BC = 0. Hallar PC. C B e) PD =, PA =, PC = 0. Hallar PB. Área de un círculo. 6

66 El área de un círculo, es el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia correspondiente. Puede probarse que el área de u circulo de radio r o diámetro d está dada por: Regiones Circulares Sector Circular: es la sección de un círculo limitada por dos radios el arco r correspondiente A rs A r ( en radianes) 60º ) Segmento Circular: es la sección del círculo limitada por una curda el arco correspondiente. El área de un segmento Circular puede calcularse mediante la diferencia entre el área del sector circular correspondiente el triángulo formado por lados radios la cuerda que une los etremos del arco. Para calcular el área del triángulo generalmente ha que hacer uso de la trigonometría, salvo los casos de triángulos con ángulos de 0º, º, 60º, 90º o múltiplos de ellos. Tenemos h r r cos cot rsen tan r Si se mide en radianes, el área del segmento circular esta dada por A r sen rs Corona Circular: es la sección de un plano limitado por dos circunferencias concéntricas. El área puede obtenerse como la diferencia entre las áreas del círculo eterior el círculo interior o sea que A R r 6

67 ) Trapecio Circular: es la sección de una corona circular, limitada por dos radios. El área es la diferencia entre las áreas de los sectores circulares que los determinan. A R r o A R r, en radianes. Si hacemos h R r si s s son las longitudes de los arcos eterior e interior respectivamente se tiene A h R r hs s Ejemplo: ) Cuál es el radio de la circunferencia cua longitud es? Solución: Como C r C r r r ) la longitud de la circunferencia correspondiente a un círculo el perímetro de un cuadrado son 0cm cada uno Cuál tendrá maor área? Solución: Tenemos C 0 0 r 0r A O r cm 0 P l l 0 l l A l A A cm El círculo tiene maor área. 66

68 ) si O es el centro de la circunferencia de la figura, r 6 m AOB 60º determine el área de la región sombreada la longitud del área AB. Solución: r Tenemos que para un sector circular A rs 60º r s 80º 60º 6 A 6, 60º 6 60º s 80º Ejercicios Propuestos.. A O B Encuentre el área de la corona circular si a) OA = 6 AB = b) OB = 6 AB =. A B C c) OB = 6 OA = Si es un diámetro de la circunferencia su longitud es, encuentre el área del ABC. O. Si el área del sector circular OAB mide. cm la longitud del arco AB es cm, encuentre el radio del círculo. O A B 67

69 . En la figura, cada pétalo es formado al trazar arcos cuo centro está en la circunferencia que pasan por el centro de la misma. Si el radio de la circunferencia es, encuentre el área de los seis pétalos.. Determine el área cubierta por las tres letras de la figura 6. En la figura, los círculos son tangentes tienen radio igual a 0. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. Cuál es el área de la región sombreada? Cuerpos Sólidos. Volúmenes áreas de prismas En general el volumen de un prisma está dado por V = Ab h donde Ab es el área de la base h es la altura del prisma. Las áreas laterales totales dependen del tipo de prisma. No ha una fórmula general, sin embargo no ha que olvidar que las bases son regiones poligonales las caras laterales son regiones paralelográmicas. Para un Prisma Recto. AL = P.a = P.h, AT = P.a + Ab 68

70 Donde AL: Área lateral, AT: Área total, P: Perímetro de la base, a = h: Longitud de la arista lateral o altura. Para un paralelepípedo regular, si a, b c representa el largo, ancho alto tenemos: Volumen: V abc Área Total:. ab bc ac A T La diagonal está dada por: d a b c d b c En particular para el cubo de lado a, se tiene: Volumen: V a Área Total: A T 6a La diagonal está dada por: d a a Ejemplos: ) Dado un cubo cua diagonal mide 6, determine su volumen su área total. Solución: Tenemos que para un cubo d a 6 Entonces la longitud del lado es a b 6 Su volumen está dado por V a V 6,096u Su área total está dada por A T 6a 66,6u A T Pirámides. Una pirámide es un sólido que se caracteriza por tener una base poligonal sus caras son regiones triangulares que tiene un vértice en común V. 69

71 La altura de la pirámide es la distancia desde el vértice V al plano de la base. Las pirámides se clasifican de acuerdo al tipo de base. Así tenemos pirámides triangulares, si su base es un triángulo, pirámides cuadradas, si su base es un cuadrado; etc. También se clasifican en regulares no regulares. Pirámide Regular. Es una pirámide cua base es un polígono regular u el pie de la perpendicular trazada desde el vértice al plano de la base es el centro de la base. Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. A las alturas de dicho triangulo se le llama apotema de la pirámide Sección transversal. Similar en los prismas, una sección transversal de una pirámide es la intersección no vacía con un plano paralelo al plano que contiene a la base. Toda sección transversal de una pirámide es semejante a la base. k h Si h es la altura de la pirámide k es la distancia del vértice a la sección transversa, si A es el área de la base A el área de la sección transversal, entonces: A' k A h 70

72 Además, si la base de la pirámide es un polígono regular l l son las longitudes de los lados de la base la sección transversal respectivamente, l' k entonces l h Principio de Cavalier. Dados dos cuerpos sólidos un plano, supongamos que todo plano paralelo al plano dado que interseca a cada uno de los dos cuerpos, interseca también al otro las secciones transversales tienen igual área, entonces los cuerpos tienen el mismo volumen. Basados en este principio se obtienen las fórmulas para el volumen de diversos cuerpos sólidos: Pirámides, conos, esferas, etc. Volumen de una Pirámide: V Ab. h A b area de la base h altura Áreas: únicamente ha fórmulas para las pirámides regulares: A P. a L AT Pa donde : A P p perímetro de la base a apotema de las caras laterales Pirámide Truncada o Tronco de Pirámide. Es el sólido que resulta cuando una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base. Si AB es el área de la base de la pirámide original, Ab el 7

73 área de la sección transversal que forma la otra base, h la altura del tronco de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales, se tiene. Volumen : V h AB Ab AB Ab Area Lateral : AL P P' a Area Total : AT P P' a AB A b donde P P' son los perímetros de las bases Si consideramos la pirámide original la pirámide que quitamos para formar un tronco de pirámide, se obtiene la siguiente relación. Ejemplos: Si H es la altura de la pirámide original k es la distancia del vértice a la sección transversal si h es la altura del tronco de pirámide, entonces si V es el volumen de la pirámide original V el V k volumen de la pirámide que se quita V ' H El volumen de la pirámide truncada es la diferencia V-V ) Determine el volumen de una pirámide de base triangular regular si su altura es 0cm la arista de la base mide cm. Solución: Tenemos que V A. b h Por ser la base un triángulo equilátero se tiene. A b l V 97.cm Luego cm 7

74 Cilindros Conos Circulares Volumen Área de un Cilindro *Para un Cilindro Circular de radio r altura h tenemos: Volumen V Ab * h r h Su área lateral es un rectángulo en el caso del cilindro circular recto o bien un paralelogramo en el caso de un cilindro circular oblicuo, de base la longitud de la circunferencia altura h. En ambos casos se tiene: Área Lateral A L rh Área Total A T A L Ab rh r Volumen Área del Cono *Para los conos en general su volumen está dado por: V Ab * h r h *Para un cono circular recto, su área lateral está formada por un sector circular, cuo radio es la generatriz del cono la longitud del área corresponde a la circunferencia de su base. Luego: A L rg, donde, g h r, A T A L A B Cono Truncado V hr r A g R r A L T g A h L R r R r Rr 7

75 Área Volumen de una Esfera Se puede probar a partir del principio de Cavalier, que para una esfera de radio R, su volumen V el área de la superficie esférica está dado por: V R S R Regiones Esféricas *Cuando un plano secante corta a una esfera, se forman dos sólidos llamados segmentos esféricos de dos bases. Si consideramos la superficie esférica en lugar del sólido, cada parte recibe el nombre de casquete esférico o zona de una base. Zona segmento de una base S V V Rh p h h ha h 6 *Si la esfera es cortada por dos planos secantes paralelos, la parte de la esfera limitada por dichos planos recibe el nombre de segmentos esféricos de dos bases. De manera similar se considera si consideramos la superficie limitada por los planos recibe el nombre de zona de dos bases. Zona de segmentos de dos bases S Rh V h a 6 b h 7

76 Ejercicios Propuestos. ) El volumen de una caja es 6.8 dm. su longitud es de 0cm, su altura es igual a los / de su anchura. Calcular la superficie total. (. dm ) ) Dado un cubo cua diagonal mide 6, determinar su volumen su área total. (V=096, AT=6) ) Calcular el volumen, el área lateral el área total de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de cm de radio 6cm de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono que lo corta a una altura de 9cm de la base (0.7 cm, cm,,8cm ) ) Hallar el volumen de un prisma recto de altura 0cm. Si sus bases son triángulos equiláteros con área 9 cm. Determine la arista de la base el área lateral. ( V 90 cm, l 6cm, A 80cm ) ) Hallar el volumen de un prisma recto de altura cm, si sus bases son heágonos regulares el área lateral es cm. (7.cm ) 6) Hallar el volumen de un prisma recto cuas bases son regiones trapezoides, si las aristas paralelas de las bases miden 9 las no paralelas 6. la altura del prisma es las no paralelas 6. la altura del prisma es. (7.u ) 7) Las bases del prisma de la figura son triángulos equiláteros sus caras son regiones rectangulares. Si la longitud de una arista de la base es 6 la altura del prisma es 0, calcule el volumen del prisma la superficie total. (V=.88, AT=.8) L 8) La altura de un cono es de cm. Un plano paralelo a la base lo interseca a cm de la misma formando un cono pequeño en la parte 7