Métodos de Integración

Transcripción

1 Métodos de Integración

2 Contenido Introducción Integrales Simples 3 3 Dos Métodos Fundamentales 5 3. Sustitución o Cambio de Variable Integración por Partes Integración de Funciones Trigonométricas 4. Integrales de la forma sen n y cos n Integrales de la forma sen m cos n Integrales de la forma tan n Integrales de la forma sec n Integrales de la forma tan m sec n Integrales de la forma sen n cos m con n m Integrales de la forma sen n sen m o cos n cos m con n m Integración por Sustituciones Trigonométricas 9 6 Integración de Funciones Racionales 5 7 Funciones Hiperbólicas y Sustituciones Hiperbólicas 33 8 Integrandos Racionalizables Funciones racionales de potencias fraccionarias Funciones racionales de senos y cosenos Funciones racionales del tipo R(, ) Funciones racionales del tipo R(, ) v

3 vi Contenido 8.5 Funciones racionales del tipo R(, +) Integrales 43 0 Respuestas 47

4 . Introducción La definición de la integral de una función continua f en un intervalo [a, b] como el límite de las sumas parciales de particiones rectangulares, en símbolos b n f() lim f(α i ) i, n a no nos provee de un conjunto de reglas operativas para resolver integrales de manera tan precisa como lo son el conjunto de reglas para resolver derivadas. Es el Teorema Fundamental del Cálculo que nos da una mejor heurística para calcular el valor de f(), b a la cual es el punto de partida de los métodos epuestos aqui: hállese una función g tal que b g () f(); luego f() g(b) g(a). La función g es única salvo constante aditiva a y está definida para todos los valores de donde f() está definida. Por todo esto y por ser nuestro objetivo en estas notas elaborar métodos para hallar g, obviaremos los límites b de integración a y b (por lo que tampoco nos interesará calcular el valor de f() ) y, a en general, trabajaremos con la integral indefinida f() cuya solución tiene la forma g()+c, donde g es una función que satisface i g () f() (y es esta última condición la que utilizamos para verificar que, en efecto, g es una solución de la integral.) El proceso de hallar una solución para una integral es lo que se denomina integrar una función o simplemente integración. Enlaepresión f() g()+c, lafunción f() sellama integrando, lafunción g() sellama primitiva o antiderivada de f y C es la constante de integración, lacual olvidaremos escribir en general (y muchas veces por razones de espacio). Sin embargo, se debe tener siempre presente que son infinitas las soluciones de una integral indefinida y cualquier par de ellas difieren en una constante. b El símbolo f() se atribuye a la inventiva de Leibniz (646 76), quien quiso a representar con éste una suma infinita de rectángulos, cada uno de altura dada por el

5 Introducción valor de la función f y base infinitamente pequeña o de valor infinitesimal. El uso que Leibniz dio a estos fue más que notacional: él consideró como una variable a valores infinitesimales positivos (en el sentido de ser un número positivo menor que cualquier número finito positivo) y operó con éste de igual manera que con cualquier otra cantidad numérica para obtener muchas de las fórmulas del cálculo diferencial e integral que conocemos hoy. Este uso de como cantidad infinitesimal, si bien como recurso notacional resulta ser tremendamente clarificador de muchas fórmulas del Cálculo, fue controversial por que en su época, y hasta mediados del siglo XX, careció de fundamentación matemática. Es en el año 965 cuando se logra reconciliar la consideración de como cantidad infinitesimal con el rigor de las matemáticas: el matemático Abraham Robinson (98 974) demostró formalmente la posibilidad de etender el conjunto de los números reales a un conjunto que incluya las cantidades infinitas e infinitesimales. En vista de estos resultados podemos tranquilamente considerar a la manera de Leibniz, y es así como lo haremos aqui. Esto es, consideramos como una variable que toma valores infinitesimales positivos, y su uso en la deducción de fórmulas para integrar queda matemáticamente justificado (por ejemplo, en la sección 3. cuando escribimos du g (), olos du y dv en las integrales por partes en la sección 3.). Como bono etra, esperamos que del conocimiento de este avance de la matemática moderna, el lector pueda librarse del trauma que le resulta al intentar responder la pregunta: Por qué?3. Respuesta: Muy simple! porque se está dividiendo una cantidad infinitesimal no nula por sí misma. Otro punto que merece ser aclarado es el siguiente. Cuando hablamos de resolver la integral para una función f, lo que se está pidiendo en realidad es hallar una primitiva g para f que se eprese en términos de funciones elementales (e.g. composiciones finitas de funciones aritméticas, trigonométricas, logarítmicas, eponenciales, radicales y otras de igual estilo). El que esto sea posible no está garantizado por ningún teorema para funciones continuas y, más aún, se ha demostrado que eisten funciones continuas elementales que no admiten primitivas en términos elementales; por ejemplo, la función f() e. Estas razones establecen la filosofía directriz de los métodos de integración: se clasifican las funciones conocidas que admiten primitivas elementales en clases según un patrón general que sabemos resolver mediante una operación específica; cualquier otra función que no presente las características de los elementos de alguna de las clases establecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de estas mediante un número finito de manipulaciones. Pero, por lo antes dicho, el éito de este procedimiento no está garantizado y depende en gran medida de la destreza que sólo se adquiere con la práctica. En este sentido integrar es un arte. Véase la obra de C. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover 959, para un ecelente recuento de esta parte de la historia de la matemática. VerA.Robinson, Non-standard Analysis, North Holland, Amsterdam, Esta es una pregunta que consuetudinariamente me hacen los estudiantes de cálculo.

6 . Integrales Simples Comenzamos con una lista de las funciones que admiten una primitiva simple; estas son las que podemos obtener como una aplicación inmediata del Teorema Fundamental del Cálculo y nada más. (Esto es una verdad a medias: las integrales a 5 no entran dentro de este patrón; pero las incluimos aqui para completar la lista de integrales cuyo integrando es una función simple. En la sección 3., ejemplo 3..6, daremos una justificación de ellas.). k k + C, para todo número real k.. α α+ α+ 3. ln + C + C, para todo número real α. 4. e k ek k + C, para todo número k a k ak k ln a + C, para a yk sen cos + C. 7. cos sen + C 8. sec tan + C 9. csc cot + C 0. (sec )(tan ) sec + C. (csc )(cot ) csc + C. tan ln sec + C ln cos + C 3. cot ln csc + C ln sen + C 4. sec ln sec + tan + C 5. csc ln csc + cot + C 6. arcsen + C arccos + C, para < 7. + arctan + C arccot + C 3

7 4 Simples 8. arcsec + C arccsc + C, para > 9. senh cosh + C 0. cosh senh + C. sech tanh + C. csch coth + C 3. + arcsenh + C ln( + + )+C 4. ± arccosh + C ln( ± )+C, para >., si < 5. arctanh arccoth ln + ln +, si > Aneo a esta tabla de integrales se tienen las siguientes propiedades de la integral que deben saber manejarse también. Propiedad : [f() ± g()] f() ± g() Ejemplo. [e + 3 ] e + 3 e C Propiedad : kf() k f(), para todo k R. Ejemplo arctan + C +

8 3. Dos Métodos Fundamentales Los métodos de sustitución e integración por partes son la base de todos los demás métodos. Aquellos son, en esencia, una combinación de uno de estos dos, o ambos, más algún truco algebraico. 3. Sustitución o Cambio de Variable Si una integral tiene la forma f(g())g () el método de sustitución o cambio de variable consiste en tomar u g() de donde du g (). Se resuelve f(u) du y luego de hallada la solución (llamémosla F (u) +C) sevuelve a poner todo en términos de sustituyendo u por g(); es decir, f(g())g () F (g()) + C. (3.) La justificación de éste método se basa en la regla de la cadena para la derivada de funciones compuestas: Si f y g son derivables y la composición de f con g está bien definida, entonces, si F es una primitiva de f, setiene (F (g())) F (g())g () f(g())g (), por lo tanto, F (g()) es una primitiva de f(g())g (), de donde se obtiene (3.). Ejemplo sen cos. Hacemos la sustitución: u +3sen, yasí du 3cos.Laintegral nos queda: u 3 du 3 4 u 43 + C 5

9 6 Métodos Fundamentales y, por lo tanto, Ejemplo sen cos ( + 3 sen ) C Hacemos la sustitución u 4 +6ydu 4 3. Así 5 du u 4 u 5 du 5 6 u C 5 6 (4 +6) 45 + C. Ejemplo Hacemos la sustitución: u 5, de donde u +5 y udu.laintegral nos queda: (u +5)uudu (u 4 +5u ) du 5 u u3 + C. Retornando a la variable se concluye que 5 5 ( 5) ( 5) 3 + C. A continuación tenemos tres fórmulas generales de integración que son consecuencia inmediata del método de sustitución o cambio de variable. (En todos los casos considere u f().) Fórmula general : Ejemplo 3..4 (b) (c) (a) arcsen (ln 3 ) f n ()f () f n+ () n + sen 3 cos sen 4 4 arcsen (ln 3 ) ln + C, para n + C ( arcsen ) + C + C Fórmula general : Ejemplo 3..5 (a) e f() f () e f() + C e e e + C

10 Sustitución 7 (b) e Fórmula general 3: e e + C Ejemplo 3..6 (b) (c) (a) e e + f () ln f() + C f() ( ) +ln 3+ ln + () ln 3+ ln tan sen ( ) cos e e + ln e + + C ln 3+ ln + C sen cos (De manera análoga se resuelve la integral de cot.) ln cos + C (d) sec + tan sec sec sec + tan ln sec + tan + C sec tan + sec sec + tan La solución anterior es la que se enseña con más frecuencia en los cursos de cálculo para la integral de sec, yesla que más rápidamente se olvida. A mi parecer esto es así porque el truco de multiplicar y dividir el integrando por sec + tan es muy poco natural. Por eso daré acontinuación otra solución más natural de esta integral, aunque tal vez al lector no le resulte en este momento así puesto que se utiliza la siguiente separación de una fracción de polinomios en otras más simples: ( + a)( a) ( +a + ) a Sin embargo, luego de leer el capítulo 6, el lector podrá juzgar mejor sobre la naturalidad de esta solución. Ejemplo 3..7 cos sec cos cos cos sen cos ( + sen )( sen ) ( cos + sen + cos ) sen (ln + sen ln sen )+C ln + sen sen + C ln + sen + sen sen + sen + C ln ( + sen ) sen + C

11 8 Métodos Fundamentales ln ( + sen ) cos + C ln + sen cos + C ln sec + tan + C. Una nota histórica: Esta última solución de la integral de la secante apareció publicada por primera vez en la obra Geometrical Lectures de Isaac Barrow ( ). El interés suscitado en la época de Barrow por resolver esta integral se debió asu utilidad en el trazado de mapas geográficos, descubierta por Edward Wright (56 65), quien determinó que para trazar con eactitud en un mapa el paralelo de latitud θ, sedebe tomar como distancia de este al ecuador la integral de la secante de θ. Ejercicio 3.. Halle las primitivas de cosecante y cotangente. 3. Integración por Partes La fórmula de derivación para el producto de dos funciones nos proporciona de una fórmula útil para resolver integrales cuyo integrando es el producto de dos funciones de naturaleza distintas. Sean f y g funciones sobre la misma variable y derivables. Entonces (f()g()) f ()g()+f()g (), por lo que fg es una primitiva de f g + fg ;esdecir, f()g() (f()g()) f ()g() + f()g (), de donde se obtiene la siguiente fórmula, que es lo que se conoce como la regla de integración por partes, f()g () f()g() f ()g(). Esta fórmula nos dice que la integral de un producto de dos funciones, una f() yla otra la derivada de una g(), no es mas que el producto de f por g menos la integral del producto de la derivada de f por lafunción g. Una manera de desglosar los cálculosy recordar esta regla de integración consiste en lo siguiente: dado el problema de resolver f()g (), hacemos Luego u f() y dv g (), por lo que du f () y v g() f()g () udv u v v du f() g() g()f () VerV.F.Rickey, P. M. Tuchinsky, An application of geography to mathematics: history of the integral of the secant, Math. Magazine, 53 3 (6 66) 980

12 Por Partes 9 Ejemplo 3.. e. Hacemos Así e u v Volvemos a integrar por partes u du dv e v e e v du e e e tomando u y dv e (en consecuencia du y v e ). Tenemos e e e e 4 e Finalmente, Ejemplo 3.. e e e ( e + ) + C 4 e cos.tomemos u cos du sen dv e v e e Entonces e cos e cos + e sen Volvemos a integrar por partes e sen tomando u sen du cos dv e v e para luego obtener e cos e cos + e sen e cos + e sen e cos Hemos obtenido, en el lado derecho de la igualdad, la misma integral que deseábamos calcular pero con signo opuesto. Sumando e cos aambos lados de la igualdad y dividiendo entre obtenemos e cos e (cos + sen )+C

13 0 Métodos Fundamentales Ejemplo 3..3 cos(ln ). Sea u cos(ln ) du sen (ln ) dv v Luego cos(ln ) cos(ln )+ sen (ln ) Integrando nuevamente por partes con u sen (ln ) ydv se obtiene cos(ln ) cos(ln )+ sen (ln ) cos(ln ) Otra vez se presenta el fenómeno que observamos en el ejemplo anterior: aparece en el lado derecho de la igualdad la integral que comenzamos a integrar... y ya sabemos que hacer. Así, cos(ln ) ( cos(ln )+ sen (ln )) + C. En este momento podríamos preguntarnos si importa cómo se eligen u y dv, cuando se intenta resolver una integral por la fórmula de integración por partes. Si nos tomásemos la molestia de integrar en el ejemplo 3.. tomando u e y dv cos,entonces obtendríamos la misma solución. Intente ahora integrar en el ejemplo 3.. tomando u e y dv ; severá entonces que el proceso de integración no tiene fin! Para auiliar al lector en la correcta elección de quién debe ser u y quién dv eisten diversos recursos mnemotécnicos en forma de poemas o rezos, para ninguno de los cuales conozco una demostración matemática de su infalibilidad y, por eso, me limitaré arecomendar que use su ingenio y practique el método de integración por partes lo suficiente como para desarrollar su propio criterio de elección. Un tipo de funciones que invitan a ser integradas por partes son las inversas de funciones trigonométricas y las logarítmicas, ya que sus derivadas son funciones algebraicas. Ejemplo 3..4 En estos ejemplos u es todo el integrando y dv. (a) arctan arctan + (sustitución w + ) arctan ln( + )+C (b) arcsen arcsen (sustitución w ) (c) arcsen + + C ln ln ln + C

14 4. Integración de Funciones Trigonométricas En este capítulo estudiaremos métodos para resolver integrales de productos y potencias de funciones trigonométricas. Todos consisten, esencialmente, en el método de sustitución junto con algunas identidades trigonométricas. Las identidades trigonométricas fundamentales que debemos recordar son sen + cos (4.) sen ( ) sen (seno es una función impar) (4.) cos( ) cos (coseno es una función par) (4.3) y las identidades de la suma de dos ángulos sen ( + y) sen cos y + sen y cos (4.4) cos( + y) cos cos y sen sen y (4.5) Cualquier otra identidad que sea necesaria se deduce a partir de estas, y asi lo veremos en la medida que se necesite. El lector debe esforzarse por aprender la manera de obtener las nuevas identidades a partir de (4.) (4.5) en vez de memorizarlas. Por ejemplo (y a manera de calentamiento), las fórmulas para la resta de dos ángulos se pueden deducir asi: sen ( y) sen ( +( y)) sen cos( y)+ sen ( y) cos (por (4.4)) sen cos y sen y cos (por (4.) y (4.3)) y cos( y) cos( +( y)) cos cos( y) sen sen ( y) (por (4.5)) cos cos y + sen sen y (por (4.) y (4.3)) 4. Integrales de la forma Caso 4.. n es par. Usamos las identidades sen n y cos n. sen cos y cos +cos (4.6)

15 Funciones Trigonométricas las cuales se deducen combinando las identidades: cos cos sen (tome y en (4.5)) y sen + cos de la siguiente manera cos cos sen ( sen ) sen sen y cos cos sen cos ( cos )cos. Luego de realizada la sustitución trigonométrica adecuada, se desarrolla el polinomio de senos o cosenos y se resuelven cada uno de los sumandos: los de potencia par por este método y los de potencia impar por el método que se eplica en el caso 4... Ejemplo 4.. ( ) cos sen 4 ( sen ) ( cos + cos ) 4 cos + cos sen + +cos sen sen 4 + C 3 Ejemplo 4.. +cos cos + sen + C 4 Caso 4.. n es impar. Descomponemos la función trigonométrica en dos factores: uno de potencia n yelotro de potencia. Luego empleamos la identidad sen +cos yelmétodo de cambio de variable. Ejemplo 4..3 sen 3 sen sen ( cos ) sen cos cos sen La última integral la resolvemos con el cambio de variable u cos y du sen : cos sen u du u3 3 cos3 + C 3 Así sen 3 cos + cos3 + C 3

16 Funciones Trigonométricas 3 Ejemplo 4..4 cos 5 cos 4 cos ( sen ) cos ( sen + sen 4 ) cos sen sen cos + sen 4 cos tomando u sen y du cos concluimos cos 5 sen u du + u 4 du sen 3 u3 + 5 u5 + C sen 3 sen sen 5 + C 4. Integrales de la forma sen m cos n. Caso 4.. n y m son pares. Utilizamos simultáneamente las dos identidades (4.6) deducidas en 4.. para obtener integrales sólo de cosenos y proceder con cada una con el método que convenga de la sección 4.. Ejemplo 4.. ( )( ) cos +cos sen cos ( cos ) ( + cos 4) sen 4 + C 3 Ejemplo 4.. ( )( ) cos +cos sen cos 4 ( cos )( + cos + cos ) 8 ( ) + cos cos cos 3 8 ( + ) +cos 4 8 sen ( sen ) cos 6 64 sen sen 3 + C.

17 4 Funciones Trigonométricas Observación 4.. Alternativamente estas integrales pueden resolverse epresando seno en términos de coseno (o coseno en términos de seno) mediante la identidad sen + cos, se transforma así a una suma de integrales de una sola de las funciones trigonométricas que se consideran y se resuelven según los casos de la sección 4.. En la práctica esto resulta ser más ineficiente que la sustitución simultánea eplicada antes, puesto que aumenta las potencias en vez de disminuirlas. Caso 4.. n o m impar. Se realizan las operaciones epuestas en el caso 4.. para la función de potencia impar. Ejemplo 4..3 cos 3 sen 5 cos cos sen 5 ( sen ) cos sen 5 sen 6 6 (complete usted los pasos intermedios). Ejemplo 4..4 sen 3 cos 4.3 Integrales de la forma sen sen cos Para todo n, realizamos la descomposición ( cos ) sen cos cos5 5 tan n. tan n tan tan n, sen 8 8 cos3 3 + C + C. sustituimos tan por sec yresolvemos por el método de cambio de variable. (Recuerde que tan +sec,lacual se obtiene dividiendo (4.) por cos.) Ejemplo 4.3. tan 3 tan tan (sec ) tan Ejemplo 4.3. tan 4 tan +ln cos + C. tan tan (sec ) tan tan sec (sec ) tan3 tan + + C. 3

18 Funciones Trigonométricas Integrales de la forma sec n. Caso 4.4. n es par. Se realiza la descomposición sec n sec sec n, se utiliza la identidad sec tan + yelmétodo de cambio de variable. Ejemplo 4.4. sec 4 sec sec ( + tan ) sec sec + tan sec tan + tan3 + C. 3 Caso 4.4. n es impar. Se realiza la descomposición sec n sec sec n yseintegra por partes. Ejemplo 4.4. (La siguiente es una de las integrales más populares en cualquier curso de Cálculo.) sec 3 sec sec. Sean u sec du sec tan dv sec v tan entonces sec 3 sec tan sec tan sec tan tan sec (sec ) sec sec 3 + sec sumando sec 3 aambos lados de la igualdad y dividiendo entre concluimos: sec 3 (sec tan +ln sec + tan )+C.

19 6 Funciones Trigonométricas Las integrales de la forma cot n y csc n se resuelven de manera análoga a los casos 4.3 y 4.4, empleando por supuesto las identidades trigonométricas apropiadas y recordando que (cot ) csc y (csc ) csc cot. Por ejemplo, resuélvase cot 4 3 y csc 6. Nota: En el capítulo 7 se deduce una fórmula general para sec n utilizando otros métodos. 4.5 Integrales de la forma tan m sec n. Caso 4.5. n es par. Hacemos la siguiente descomposición y luego realizamos un cambio de variable sec n sec n sec (sec ) n sec n (tan +) sec z tan de manera que la integral original se transforma en una integral polinómica sencilla. Ejemplo 4.5. tan sec 4 tan sec sec tan (tan +)sec. Sea z tan, porlo tanto, dz sec.entonces, tan sec 4 z (z +)dz z5 5 + z3 3 + C tan5 + tan3 + C. 5 3 Caso 4.5. m es impar. Hacemos la siguiente descomposición tan m sec n tan m sec n tan sec m (tan ) sec n tan sec m (sec ) sec n tan sec

20 Funciones Trigonométricas 7 y luego realizamos un cambio de variable u sec de manera que la integral original se transforma en una integral polinómica sencilla. Ejemplo 4.5. tan 3 sec 3 tan sec tan sec (sec ) sec tan sec. Sea u sec ; porlo tanto du sec tan. Luego tan 3 sec 3 (u )u du u5 5 u3 3 + C sec5 5 sec3 + C. 3 Caso n es impar y m es par. Epresamos la integral original en términos de sec sólamente por medio de la transformación tan m (tan ) m (sec ) m para luego resolver por el método de integración por partes como se hizo en Ejemplo tan sec (sec ) sec sec 3 sec (sec tan +ln sec + tan ) ln sec + tan + C (sec tan ln sec + tan )+C. Ejercicio 4.5. Resolver tan 4 sec Integrales de la forma sen n cos m con n m. Utilizamos la identidad sen n cos m ( sen (n + m) + sen (n m)) la cual se obtiene al sumar las identidades sen (n + m) sen n cos m + sen m cos n sen (n m) sen n cos m sen m cos n.

21 8 Funciones Trigonométricas Ejemplo 4.6. sen 4 cos 5 ( sen 9 + sen ( )) ( ) cos 9 cos + C Integrales de la forma sen n sen m o cos n cos m con n m. Utilizamos las identidades sen n sen m (cos(n m) cos(n + m)) (4.7) cos n cos m (cos(n m) + cos(n + m)). (4.8) las cuales se obtienen de las identidades básicas cos(n + m) cos n cos m sen m sen n (4.9) cos(n m) cos n cos m + sen m sen n. (4.0) Sumando (4.9) +(4.0) obtenemos (4.8), restando (4.0) (4.9) obtenemos (4.7). Ejemplo 4.7. Ejemplo 4.7. sen 0 sen (cos 8 cos ) ( ) sen 8 sen + C. 8 cos( 5) cos 3 (cos( ) + cos 8) ( ) sen sen C. 8

22 5. Integración por Sustituciones Trigonométricas Si un integrando contiene una epresión de la forma a b, a + b o b a donde a>0 y b>0, una sustitución trigonométrica adecuada transforma la integral original en una que contiene funciones trigonométricas, más fácil de resolver en general. Las sustituciones adecuadas son: Si se tiene (i) a b hacemos a b sen t; (ii) a + b hacemos a b tan t; (iii) b a hacemos a b sec t. Para devolver el cambio hacemos uso de la definición geométrica de las funciones trigonométricas: en un triángulo rectángulo si t es la medida del ángulo de uno de los catetos cateto opuesto cateto adyacente alahipotenusa, entonces sen t, cos t,ylas demás hipotenusa hipotenusa funciones trigonométricas se definen combinando adecuadamente estas dos (e.g. tan t sen t cos t cateto opuesto ). Los detalles se ilustran en los siguientes ejemplos. cateto adyacente Ejemplo Sea 3sen t; enconsecuencia, 3cos tdt. Luego, sen t 3 cos tdt 3 sen t sen 3 t cos t cos tdt3 sen t sen t dt sen t 3 dt 3 (csc t sen t) dt sen t 3(cos t ln csc t + cot t )+C. 9

23 0 Sustituciones Trigonométricas Ahora retornamos a la variable original de la siguiente manera: Si 3sen t entonces 3 sen t; por lo tanto, en un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos de medida t el cateto opuesto al ángulo t tiene longitud ylahipotenusa longitud 3. El otro cateto, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, es entonces 9. Asísetiene la siguiente figura: 3 t 9 Este es el triángulo corrrespondiente a la ecuación 3sen t. Apartir de éste se deducen las siguientes igualdades: cos t 9 3, csc t 3 y cot t 9. Concluimos entonces que ( 9 9 ) ln C. Ejemplo Sea tan t; enconsecuencia, sec tdt. Luego, 4+ sec tdt tan t +tan t sec t tan t dt csc tdt ln csc t + cot t + C. tan t. El triángulo corres- Retornamos a la variable original: si tan t entonces pondiente a esta ecuación es

24 Sustituciones Trigonométricas 4+ t por lo tanto csc t 4+ y cot t. Finalmente, 4+ ln C. Ejemplo Sea 5sec t,entonces 5sec t tan tdt.así 5 sec t tan t 5 5 sec t 5 dt sec tdtln sec t + tan t + C. Volvemos a la variable original: si 5sec t entonces 5 sec t. Por otra parte, tan t sec t 5. Por lo tanto, 5 ln C. (Observe que no fue necesario dibujar el triángulo rectángulo correspondiente a la ecuación 5sec t para epresar la solución final en términos de la variable ; simplemente utilizamos una conocida identidad que relaciona la tangente con la secante. Debe entonces quedar claro que dibujar el triángulo, correspondiente a la sustitución trigonométrica realizada, es un artificio eficaz pero no único y, a veces, no es el mejor auilio para devolver los cambios.) Si la epresión en el radical es un polinomio de segundo grado, a + b + c, lotransformamos en una resta de cuadrados mediante la completación de cuadrados: a + b + c ( + b ) a ( b 4ac 4a ).

25 Sustituciones Trigonométricas Ejemplo Completamos cuadrados: +3 ( + 3) (( +) 4) 4 ( +) Por lo tanto, 3 4 ( +) y esta última tiene la forma de las integrales estudiadas previamente. Hacemos la sustitución +sen θ cos θdθ. Luego, 4 4 ( +) 4 sen θ cos θdθ 4 cos θdθ ( + cos θ)dθ θ + sen θ + C. Regresamos a la variable original. Tenemos sen θ +,porlo que θ arcsen ( ) +. Por otra parte, sen θ sen θ cos θ y cos θ 4 ( +) sen θ (a esta identidad se pudo también haber llegado utilizando el triángulo rectángulo correspondiente a la ecuación +sen θ ). En consecuencia, 3 ( ) + arcsen + ( +) 4 ( +) + C. Ejemplo 5.5 (5+ + ) 3 Completamos cuadrados: + +5( +) +4 ytrabajamos con la integral (( +) +4) 3 Sea + tanθ, porlo tanto, sec θdθ. Entonces sec θ (( +) +4) 3 (4 tan θ +4) dθ 3 4 cos θdθ sen θ + C. 4 4 dθ sec θ Volvemos a la variable original. tan θ + es El triángulo rectángulo correspondiente a la ecuación

26 Sustituciones Trigonométricas 3 ( +) +4 θ + del cual se deduce que sen θ + ( +) +4. Finalmente ( ) (5+ + ) + + C. 3 4 ( +) +4

27 4 Sustituciones Trigonométricas

28 6. Integración de Funciones Racionales Nos ocuparemos ahora de la integral de funciones de la forma p() q(), donde p() m + β m m + + β 0 y q() n + α n n + + α 0 (con α i,β j R); es decir, p() esunpolinomio de grado m y q() esunpolinomio de grado n. Observe que, en ambos polinomios, se asume el coeficiente del término de mayor grado es ; esto siempre puede tenerse mediante una simple factorización. Además el caso interesante se presenta cuando m < n; porque si m n, efectuamos la división de polinomios para epresar p()/q() como s() + r()/t(), donde r() esunpolinomio de menor grado que t(). Para dividir polinomios utilice el método que más le convenga (siempre que sea matemáticamente válido); uno que a mí meagrada consiste en factorizar el denominador y, sucesivamente, construir en el numerador los factores del denominador, uno a uno, haciendo las cancelaciones necesarias, hasta obtener un numerador de menor grado que el denominador. Los siguientes ejemplos sencillos ilustran esta situación. Ejemplo 6. Por lo tanto,. Observamos que ln + + C + Ejemplo Resolvemos así 3 + ( ) ( ) ( )

29 6 Funciones Racionales Luego 3 + Ahora, si m<n, descomponemos p() q() p() q() ln + C. en una suma de fracciones simples, esto es A, ( a ) l + + A,l ( a ) + + A k, ( a k ) l + + A k,l k k ( a ) B, + C, ( +b + c ) r + + B,r + C,r ( +b + c ) + B s, + C s, ( +b s + c s ) + + B s,r s + C s,rs rs ( +b s + c s ) donde los denominadores de cada fracción son los factores lineales o cuadráticos (y potencias de estos) que resultan de la factorización de q() (siendo l i y r j las multiplicidades respectivas de estos factores en q()). Que tal descomposición es posible siempre es un importante teorema del álgebra cuya demostración dejamos para el final de éste capítulo, y que utiliza, a su vez, el no menos importante teorema fundamental del álgebra (que no demostraremos aqui ) según el cual todo polinomio, con coeficientes reales, puede factorizarse en un producto de polinomios de grado o, irreducibles y con coeficientes reales. De acuerdo con lo antes escrito, estamos asumiendo entonces que nuestro polinomio q() viene dado en la forma q() ( a ) l ( a k ) l k ( +b + c ) r ( +b s + c s ) rs donde los factores de grado son irreducibles en R. Observación 6. La irreducibilidad en R de +b + c se deduce verificando la desigualdad c b > 0. Se tienen cuatro casos. Caso 6. Los factores de q() son todos lineales y ninguno se repite. Es decir, q() ( a )( a ) ( a n ), con a i a j, siempre que i j. En ese caso escribimos p() q() A + A + + A n (6.) a a a n A ( a ) ( a n )+ + A n ( a ) ( a n ) ( a )( a ) ( a n ) donde A, A,...,A n son números reales que se determinan igualando numeradores y resolviendo las ecuaciones que se obtienen, para distintos valores arbitrarios de, como se ilustra en el siguiente ejemplo. VerM.Spivak, Calculus, editorial Reverté S.A., 978, para una demostración de ese resultado

30 Funciones Racionales 7 Ejemplo Factorizamos el denominador: 4 q() 4( )( +) (factores lineales distintos) De acuerdo con lo eplicado escribimos + 4 A + B A( +)+B( ) + ( )( +) Como los denominadores son iguales, igualamos numeradores +A( +)+B( ) y asignando valores arbitrarios a (preferiblemente que anulen algún factor) obtenemos para B 4 por lo tanto + 4 para A 3 4 A + B ln + ln + + C Observación 6. Otra manera de calcular los coeficientes A,..., A n se basa en la siguiente observación sobre la derivada de q(). Puesto que q() ( a )( a ) ( a n ) donde ninguno de los factores se repite, su derivada tiene la forma q () ( a ) ( a n )+( a ) ( a n )+ +( a ) ( a n ) n ( a j ) Por otra parte, si i j i A + A + + A n p() a a a n q() entonces, multiplicando ambos lados por q(), tenemos A ( a j )+A ( a j )+ + A n ( a j )p() j j j n

31 8 Funciones Racionales Observando que, para cada i,...,n,elproducto de factores lineales que acompaña a A i es eactamente el i ésimo sumando de q (), concluimos que, para cada i,...,n, A i p(a i ) (a i a j ) p(a i) q (a i ) j i es decir, el valor de A i es igual al cociente de p sobre q,ambos evaluados en a i,lai ésima raíz del polinomio q. Esta fórmula para calcular los coeficientes A i puede ser más ventajosa que resolver sistemas de ecuaciones lineales, en particular si q() es un polinomio de grado muy grande. Como ejemplo calculemos los coeficientes A y B del ejemplo anterior utilizando esta fórmula. Tenemos que q () y, por lo tanto, A p()/q () 3/4 yb p( )/q ( ) /4. Finalmente, téngase en cuenta que en la deducción de la fórmula (6.) se utilizó el que q() es un producto de factores lineales todos distintos y, por lo tanto, esta fórmula no sirve para calcular los A i de los casos que siguen a continuación. Caso 6. Los factores de q() son todos lineales y algunos se repiten. Supongamos que ( a) esunfactor que se repite k veces. Entonces, correspondiente a ese factor habrá, en la descomposición (6.), la suma de las k fracciones simples A ( a) k + A ( a) k + + A k ( a) + A k ( a) donde A,...,A k son números reales. Luego se procede como en el caso anterior. Ejemplo ( + )( ) 3 igualamos numeradores 3 +. Escribimos ( + )( ) 3 A + + B + C ( ) + D ( ) 3 A( )3 + B( + )( ) + C( + )( ) + D( +) ( + )( ) 3 3 +A( ) 3 + B( + )( ) + C( + )( ) + D( +) y observamos que fácilmente se obtienen A 7/7 y D /3 sievaluamos la ecuación anterior en y respectivamente. Para obtener los otros dos coeficientes evaluamos en 0 y en (y damos los valores hallados a A y D), lo cual da las ecuaciones B C 7 B C 9 7 de estas últimas se obtiene B 7/9 yc 3/7. Por lo tanto, 3 + ( + )( ) ( ) + 3 ( ) ln ( ) ln 3 ( ) + C (6.)

32 Funciones Racionales 9 Observación 6.3 En este caso también los coeficientes A,...,A k, que acompañan a las fracciones simples correspondientes a cada potencia del factor ( a) que se repite k veces, pueden calcularse por una fórmula que envuelve la derivada de una función. Veamos como. Si q() se descompone en ( a) k h(), con h(a) 0,entonces p() q() p() ( a) k h() A ( a) k + A ( a) k + + A k ( a) + r() h(). Multiplicando por ( a) k obtenemos: p() h() A + A ( a)+ + A k ( a) k +( a) k r() h(). De aqui se deduce que A p(a) h(a), A d ( ) p(a),...,a k h(a) (k )! d k k ( ) p(a). h(a) Caso 6.3 La factorización de q() contiene factores cuadráticos irreducibles que no se repiten. En este caso al descomponer p()/q() en una suma de fracciones simples, por cada factor cuadrático irreducible de q(), digamos +b + c, corresponde una fracción cuyo denominador es el factor cuadrático y numerador un polinomio de grado con coeficientes indeterminados; es decir, una fracción de la forma: A + B +b + c Luego se procede a igualar numeradores y resolver las ecuaciones correspondientes para determinar los coeficientes reales, como en el caso anterior. Ejemplo Descomponemos el integrando en fracciones simples y obtenemos ( 3)( + 3)( +9) A 3 + B +3 + C + D A( + 3)( +9)+B( 3)( +9)+(C + D)( 9) Para 3, 3, 0y se tiene, respectivamente, A 3/08, B 9/08, D (7A 7B )/9 /8 y C (40A 0B 8D 3)/8 4/9. Por lo tanto ln ln ln arctan 3 + C (Para la integración de +9 hágase la sustitución u +9;ypara la de +9 utilice el método de sustitución trigonométrica o vea la tabla de integrales simples en el capítulo.)

33 30 Funciones Racionales Caso 6.4 La factorización de q() contiene factores cuadráticos irreducibles que se repiten. Supongamos que +b + c es un factor de q() que se repite k veces, entonces en la descomposición de p()/q() en suma de fracciones simples debe tenerse, correspondiente al factor ( +b + c) k,lasuma de las siguientes k fracciones: A + B ( +b + c) k + A + B ( +b + c) k + + A k + B k +b + c donde A, B,..., A k, B k son números reales a ser determinados como en los casos anteriores. Ejemplo 6.6 (. Reducimos a fracciones simples + +3) ( + +3) A + B + C ( + +3) + D + E + +3 igualando numeradores se sigue que A( + +3) +(B + C) +(D + E)( + +3) 4 (A + D)+ 3 (4A +D + E)+ (0A + B +3D +E) + (A + C +3E)+9A igualando coeficientes y resolviendo simultáneamente obtenemos A /9, B /3, C /3, D /9 ye /9. Por lo tanto, ( + +3) ( + +3) Para resolver (, multiplicamos numerador y denominador por yhacemos la sustitución u + +3(por lo tanto du ( +)). Así + +3) + ( + +3) + ( + +3) du u u ( + +3) y para resolver ( +) + utilizamos el método de sustitución trigonométrico, tomando + tan θ y sec θdθ,locual nos da el resultado final ( ) + arctan ln ( +) +

34 Funciones Racionales 3 Finalmente ( ) ( + +3) 9 ln arctan ( ) + 9 ln ( +) + + C Nota adicional Veamos una demostración del teorema que fundamenta los métodos de este capítulo; a saber Teorema de Descomposición en Fracciones Simples: Sea p() una función racional, donde q() p() yq() son polinomios con coeficientes reales, grado de p() < grado de q() yq() tiene la siguiente factorización en factores lineales y cuadráticos irreducibles con multiplicidades respectivas l j ( j k) yr j ( j s): q() ( a ) l ( a k ) l k ( +b + c ) r ( +b s + c s ) rs (6.3) Entonces p() se puede epresar como la suma de todas las epresiones obtenidas de la siguiente q() manera: por cada factor ( a) l de q() setiene una epresión de la forma A ( a) l + A ( a) l + + A l ( a) (6.4) con A,..., A l,números reales; y por cada factor ( +b + c) r se tiene una epresión de la forma B + C ( +b + c) r + B + C ( +b + c) r + + B r + C r ( +b + c) (6.5) (Los dos tipos de fracciones que constituyen las epresiones generales anteriores se llaman simples.) Demostración: Lo primero que haremos es etender la descomposición (6.3) de q() al conjunto de los números complejos. En ese caso cada factor cuadrático irreducible +b + c tiene por raíces un número complejo α + iβ ysuconjugado α iβ y, en consecuencia, q() sedescompone en factores lineales asi: q() ( a ) l ( a k ) l k ( (α + iβ )) r ( (α iβ )) r (6.6) ( (α s + iβ s )) rs ( (α s iβ s )) rs Veamos ahora que, para cada uno de los factores de q() en(6.6), se tiene una epresión de la forma (6.4). Sea ( ξ) uno de estos factores lineales y m su multiplicidad. Entonces q() ( ξ) m h() con h(ξ) 0 y escribimos p() q() p(ξ) p()h(ξ) p(ξ)h() ( ξ) m + h(ξ) h(ξ)( ξ) m h() Asumiré que el lector conoce los números complejos y sus propiedades; pero, en caso de duda, puede hallar en M. Spivak, op. cit., todo lonecesario para demostrar las afirmaciones que haré sobre estos números aqui.

35 3 Funciones Racionales ( Claramente ξ es una raíz del polinomio p()h(ξ) p(ξ)h() h(ξ) p() h() ) y, por lo tanto, h(ξ) p()h(ξ) p(ξ)h() h(ξ)( ξ)p (), donde p () esunpolinomio de grado menor que el grado de q() menos (ya que ( p () p() h() ) (6.7) ( ξ) h(ξ) yelpolinomio de la derecha es de grado menor que el grado de q()/( ξ)). Luego p() q() p(ξ)/h(ξ) ( ξ) m + p () ( ξ) m h() Sea A p(ξ)/h(ξ) yasi tenemos la primera fracción simple de la epresión correspondiente al factor ( ξ) m. Repetimos el procedimiento anterior con los polinomios p () y( ξ) m h() para obtener la siguiente fracción simple, y asi sucesivamente hasta obtenerlas todas. El próimo paso es analizar la descomposición en fracciones simples, obtenida anteriormente, correspondiente a las raíces complejas de q(). Sea α + iβ una raíz compleja de q() con multiplicidad r. Vimos que el conjugado de α + iβ, elnúmero α iβ, estambién raíz de q() con igual multiplicidad r y( (α + iβ))( (α iβ)) +b + c, con b α y c α + β, es el correspondiente factor cuadrático, con coeficientes reales, cuyas raíces son α + iβ y α iβ. Pongamos ξ α + iβ y ξ α iβ. Entonces, según lo hecho anteriormente, el factor ( ξ) r da origen a la epresión yelfactor ( ξ) r da origen a la epresión A ( ξ) r + A ( ξ) r + + A r ( ξ) B ( ξ) r + B ( ξ) r + + B r ( ξ) Afirmamos que, para cada j,...,r,elnúmero B j es el conjugado de A j,ennotación B j Āj. Esto es asi puesto que, para cada j, A j y B j se obtienen al evaluar el mismo cociente de polinomios p j () en ξ y h() ξ, respectivamente (y donde p 0 p, p se obtiene como en (6.7), etc.). Luego A j ( ξ) j + Ā j ( ξ) j g j () ( +b + c) j donde g j ()esdegrado j y con coeficientes reales. En consecuencia g j () ( +b+c)g j ()+ s(), donde s() esunpolinomio de grado con coeficientes reales. Sea entonces s() D j + E j, con D j y E j reales; en consecuencia, A j ( ξ) j + Ā j ( ξ) j D j + E j ( +b + c) j + g j () ( +b + c) j Si repetimos las cuentas esta vez con la fracción g j /( +b + c) j (y esto para cada j) obtenemos la descomposición asociada a los factores cuadráticos de q() deseada. Esto concluye la demostración del teorema.

36 7. Funciones Hiperbólicas y Sustituciones Hiperbólicas Las funciones seno y coseno hiperbólicos se definen por senh e e y cosh e + e (7.) Por analogía con las funciones trigonométricas se definen la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante, respectivamente, como tanh e e e + e, coth e + e e, (7.) e sech e + e y csch e e (7.3) A partir de estas definiciones se pueden verificar las siguientes fórmulas de diferenciación: d senh cosh, d tanh d cosh sech y d coth senh, csch De estas ecuaciones se obtienen las integrales inmediatas cosh senh, senh cosh, sech tanh y csch coth También utilizando las fórmulas (7.) se verifican identidades fundamentales como cosh senh (7.4) cosh( + y) cosh cosh y + senh senh y (7.5) senh ( + y) senh cosh y + senh y cosh (7.6) Estas identidades se pueden combinar de igual manera que se hizo con sus análogas trigonométricas para obtener otras identidades como cosh cosh + y senh 33 cosh

37 34 Funciones y Sustituciones Hiperbólicas y utilizar estas últimas para resolver integrales de la forma cosh n y senh n o cosh n senh m Podemos proseguir así y desarrollar métodos paralelos a los desarrollados en las secciones (4.) a la (4.7) del capítulo 4 para resolver todo tipo de integrales de funciones hiperbólicas. No lo haremos aqui y sugerimos al lector que desarrolle esos métodos como ejercicio. Téngase en cuenta, sin embargo, que muchas veces es más efectivo sustituir las funciones hiperbólicas que aparecen en una integral por sus definiciones en términos de e, obteniendose asi integrales de polinomios en e que resultan fáciles de resolver. Ejemplo 7. + senh + e e +cosh ( + e e )e + e +e ( + e + e )e ( + e e )e e + e + (sustitución u e ) u + u u(u +) du y esta última es una integral que podemos resolver usando los métodos epuestos en el capítulo 6. La analogía de las funciones hiperbólicas con las trigonométricas resulta de mejor utilidad no para calcular integrales de funciones hiperbólicas (por todo lo antes dicho) sino, más bien, para calcular integrales de otras funciones (e.g. radicales) cuyas formas sugieren alguna identidad de funciones hiperbólicas y la consecuente sustitución hiperbólica adecuada. Para ilustrar lo que queremos decir considere, por ejemplo, integrar b a. La epresión b a sugiere utilizar la sustitución a b cosh u junto con la identidad (7.4) para eliminar la raíz y obtener b a a a cosh u a du a senh udu a b a b b senh u ( senh u u 4 ( arccosh b ) a ( senh u cosh u u) b ) recordando que arccosh ln( + ) podemos epresar la solución anterior como b a a ( b ln( + ) ) + C + C

38 Funciones y Sustituciones Hiperbólicas 35 Análogamente, para integrar b + a considere el cambio a b senh u, ypara integrar a b considere a b tanh u (para esta última se usa tanh u sech u). Los detalles los puede desarrollar el lector guiándose con lo realizado en el capítulo 5. (Recuerde también que arcsenh ln( + +); arctanh + ln,si < <; arccoth + ln,si <<. Todas estas fórmulas se deducen fácilmente de las definiciones de las funciones hiperbólicas en términos de la función eponencial.) Ilustraremos la utilidad de las sustituciones hiperbólicas hallando una fórmula para integrales del tipo sec n, para cualquier entero n. Ejemplo 7. Comencemos con n,esdecir sec. Tomamos u sec, porlo que du sec tan u u ysetiene sec usec du ucosh v senh vdv u cosh v dv v arccosh u ln(u + u ) ln(sec + tan ) Generalizamos a continuación para cualquier entero n. Ejemplo 7.3 Al igual que en el ejemplo anterior, hacemos sec u seguida de la sustitución hiperbólica u cosh v para obtener sec n sec u n u n ucosh v du u cosh n vdv n (ev + e v ) n dv n n ( ) n k k0 ( ) n e kv e (n k)v dv k n k0 e v(k n+) dv (7.7) Sea α k n +. Si n es par, entonces k n y,porlo tanto, α 0cualquiera sea k. Esto significa que (7.7) es, en efecto, una suma de integrales de la función eponencial yenese caso resulta ser igual a n n ( n k k0 ) e αv α n n ( ) n e α arccosh u k α pero arccosh u ln(u + u ) ln(sec + tan ) y,porlo tanto, la última ecuación nos queda igual a k0 n n ( ) n (sec + tan ) k n+ k k n + k0 (7.8)

39 36 Funciones y Sustituciones Hiperbólicas Si n es impar, entonces k (n )/ esunentero para el cual α es 0. En este caso (7.7) nos queda ( ) n n ( ) n e αv n v + (7.9) (n )/ k α ( ) n n (n )/ k0 k n ln(sec + tan )+ n k0 k n ( ) n (sec + tan ) k n+ k k n + Tenemos asi una fórmula general para sec n deducida con auilio de las funciones hiperbólicas: si n es par, sec n se calcula mediante la ecuación (7.8); y, si n es impar, utilizamos la ecuación en (7.9). Observe que también se tiene entre las líneas de u n la demostración anterior una fórmula para du que el lector podría intentar u escribir eplícitamente. Ejercicio 7. Halle una fórmula para csc n análoga a la fórmula anterior para potencias enteras de la secante Las sustituciones hiperbólicas se verán otra vez en el capítulo 8.

40 8. Integrandos Racionalizables En este capítulo estudiamos algunas integrales de funciones que, mediante un cierto cambio de variable, pueden reducirse a integrales de funciones racionales que resolvemos luego utilizando los métodos epuestos en el capítulo 6. Recordemos que una función racional es un cociente de polinomios p(). Si denotamos esta función por R() ysif() escualquier otra función, entonces R(f()) es una q() función racional de la función f; esto es, un cociente de polinomias en la variable f(). Análogamente, R(f(),g()) denota una función racional en las dos variables f() yg(); es decir, un cociente de dos polinomios que toman por variables las funciones f y g, y,en general, R(f (),...,f n ()) denota una función racional de las funciones f,..., f n. El problema que nos interesa resolver es el siguiente: dada una función racional de una o más funciones, R(f (),...,f n ()), transformarla mediante alguna sustitución en una función racional R(u), es decir, un cociente de polinomios. 8. Funciones racionales de potencias fraccionarias Si se tiene una función racional de la forma R( /n, /n,..., /n k), un cociente de potencias fraccionarias de la variable, entonces la sustitución z m donde m es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de los eponentes, transforma la función en un cociente de polinomios en z. Este hecho es fácil de verificar ( verifíquelo!). Ejemplo / (m.c.m. de los denominadores ) 3+/ Sea z,porlo tanto, zdz. Luego 3+ z 3 ( dz z 3z +9 7 ) dz 3+z 3+z ( z ) z +9z 7 ln 3+z + C (retornamos z / ) 37

41 38 Integrandos Racionalizables ( ) 3/ / 7 ln 3+ / + C 8. Funciones racionales de senos y cosenos Si se tiene una función racional de la forma R( sen, cos ), se lleva a una función racional mediante la sustitución z tan Esto resulta asi ya que se tendrá arctan z y, en consecuencia, +z dz Utilizando la identidad cos y cos y ytomando y / tenemos cos cos sec (/) +tan (/) z +z +z Análogamente, a partir de la identidad sen y sen y cos y y tomando y / tenemos sen sen (/) cos(/) sen (/) cos (/) cos(/) tan(/) +tan (/) z +z tan(/) sec (/) En resumen, si se tiene una función racional de la forma R( sen, cos ), entonces con la sustitución z tan(/) se obtiene lo siguiente: ( z R( sen, cos ) R +z, z ) +z +z dz Ejemplo 8.. dz 5+4cos +z ( dz ) 5+4 z 9 z dz (3 z)(3 + z) +z dz 3 3 z + dz (complete los pasos de la descomposición en fracciones simples) 3 3+z 3 ln 3 z + 3 ln 3+z + C 3 ln 3+z 3 z + C devolviendo el cambio se concluye 5+4cos 3 ln 3+tan(/) 3 tan(/) + C

42 Integrandos Racionalizables 39 Ejemplo 8.. Volvemos a integrar una de nuestras funciones favoritas: sec cos ( + z ) dz ( z )( + z ) dz z ( +z + ) dz ln +z z z + C ln +tan(/) tan(/) + C Pero +tan(/) cos(/) + sen (/) tan(/) cos(/) sen (/) (cos(/) + sen (/))(cos(/) + sen (/)) (cos(/) sen (/))(cos(/) + sen (/)) +cos(/) sen (/) + sen cos (/) sen sec + tan (/) cos por lo tanto sec ln sec + tan + C. 8.3 Funciones racionales del tipo R(, ) Una función racional de la forma R(, )sepuede llevar a una función racional de dos maneras: (a) Mediante la sustitución trigonométrica cos z, sen z, sen zdz; lo cual nos da R(, ) R(cos z, sen z) sen zdz una integral de función racional de senos y cosenos que resolvemos por el método eplicado en 8.. (b) Si escribimos (+), esto sugiere la sustitución: + z z, de donde + +z, + +z y 4z ( + z ) dz.

43 40 Integrandos Racionalizables Luego una función racional. R(, ) ( ) R, ( + ) + ( ) z R +z, z 4z +z ( + z ) dz Ejemplo 8.3. La forma de la siguiente integral inmediatamente sugiere utilizar el método (b) ( ( + ) ( + ) ( + ) +z 4z z ( + z dz 4 ) + + sea z + z (un integrando racional que resolvemos por los métodos del cap. dz z4 6) 8.4 Funciones racionales del tipo R(, ) Una función racional de la forma R(, ) se puede llevar a una función racional de tres maneras: (a) Mediante la sustitución hiperbólica ) cosh z, senh z, senh zdz; obteniéndose asi, R(, ) R(cosh z, senh z) senh zdz Esta última integral se resuelve colocando las definiciones de senh z y cosh z en términos de e z y haciendo la sustitución y e z (recordemos lo visto en el capítulo 7). (b) Si escribimos ( +), esto sugiere la sustitución: + z Luego +z, de donde + z, + z y una función racional. R(, ) ( ) +z R z, z z 4z ( z ) dz. ( ) R, ( +) + 4z ( z ) dz

44 Integrandos Racionalizables 4 (c) Mediante la sustitución trigonométrica sec z, por lo que tan z y tan z sec zdz. Asi, R(, ) R(sec z,tan z) tan z sec zdz la cual es una integral de función racional de senos y cosenos que se resuelve por el método eplicado en 8.. Ejemplo 8.4. Resolvemos la siguiente integral por el método (c) tan z sec z ( ) 3/ sec z tan z tan 3 z dz sec zdz sec z tan z sec zdzln sec z + tan z + C ln + + C (Para obtener la última igualdad utilice el triángulo trigonométrico correspondiente a sec z -vercapítulo 5-outilice la identidad tan z + sec z.) 8.5 Funciones racionales del tipo R(, +) Una función racional de la forma R(, +)sepuede llevar a una función racional de dos maneras: (a) Mediante la sustitución trigonométrica tan z, por lo que + sec z, sec zdz para luego obtener R(, +) R(tan z,sec z) sec zdz una integral del tipo 8.. (b) Mediante la sustitución hiperbólica senh z, +cosh z, cosh zdz; obteniéndose asi, R(, +) R( senh z,cosh z) cosh zdz, que se resuelve como se eplica en 8.4 (a).

45 4 Integrandos Racionalizables Ejemplo 8.5. senh + z cosh z cosh zdz senh zdz cosh z dz ( ) senh z z + C ( + arcsenh )+C ( + ln( + + )) + C

46 9. 03 Integrales Resolver. 4. sen e sec cos. cos 3. + sen arcsen tan 5. cos 6. cos + sen cos + sen. +e 4. e sen ( +) 9. cot θ dθ. ln( sen θ) cos 5. (a ) 3/ 8. (3 7) /3 ( 5/3 +) /3 sen cos sen cos 5 cos e e 6. dy y(y 3 +) /3 / dθ tan θ 6. du (e u e u ) 9. ( +) 4. ( +) ln

47 44 03 Integrales 3. a 3. e cos 33. (3 +) 34. ( + 3 ) 35. cot θ + sen dθ 36. θ z 5 dz +z e 4t ( + e t dt 38. ) /3 arcsen 4. ( ) 44. dy (y +) y + y 47. ln( + + ) 50. /5 + 4/5 39. ( 3 + ) + (e e ) 3e 6e a 48. tan 5. sec ( +) ( + 3) /3 ( ) 3/ arctan du e 4u +4e u arcsec 59. +cos 6. cos 54. ln e ( +) e 4 6 cos 4 cos sen ( ) 65. ln( + ) 68. ln( + ) 7. 3 ( 66. +) dt t t arcsen t +t 6 dt

48 03 Integrales e arccosh e arcsen 76. sen () 77. tan tan + sec 78. dt e t ( + ) sen cos 8. sec (cos +4sen 5) (+ln) 84. cos cos e 4 e cos 5 sen 3 cos +4sen 88. e t dt 89. sen sen 4 3 cos 3 9. t 3 +t +8 t 3 +4t dt 9. +4t dr 3 4r r 93. (y +)dy y 3 6y +y cot 3 sen cot 3tdt sen 3t /4 97. arcsen θdθ θ 98. tan 99. n ln, n R 00. ( +) cos 6 sen 0. cosh + senh 03. +cosh senh +cosh + senh

49 46 03 Integrales

50 0. Respuestas (Todas las respuestas deben estar seguidas del término + C; éste se omite para ahorrar espacio.). e sec ( arcsen ) ln 4 8. ln + sen 3. + sen tan 6. ln arctan( ) 9. ln ( )( 3) ( ) 0. arctan( sen ). ln ln sen θ. 9 5 (5/3 +) 5/3 3. ln( e )+ 4. sen +cos 5. ln tan cos sen 7. 3( + e ) /3 0(e 3) 0. a a 8. ln ( ) ( +) (+) ( ++) 3 6 arctan ( 3 ). ( ) cos 3 ln 4 cos 3 ln y 3 y (6y 3 +3). 3( /3 4 /3 ) + ln (/3 +) 4 + /3 / arctan( 3 ( /3 )) 3. (ln + + ) 4. ( ) ln 5. 4 ln +tan θ tan θ + θ 6. +ln ( ) e u 9. ln ln ( +3) 3 + ( ) arctan 3 47