EL DIABLO DE LOS NÚMEROS

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1 LA GACETA 1 EL DIABLO DE LOS NÚMEROS Seccón a cargo de Javer Clleruelo Mateo Cartomaga matemátca y cartoteoremas mágcos por Venanco Álvarez, Pablo Fernández y M. Auxladora Márquez 1. INTRODUCCIÓN Una reunón de amgos, un descanso entre charla y charla de un congreso de matemátcos, cualquer momento es bueno para que alguen saque una baraja y realce un par de trucos con las cartas que dejan asombrados al personal. La mayor parte de esos trucos están basados en algún prncpo de tpo combnatoro, probablístco, artmétco, etc., aunque quen los realza probablemente no acabe de entender del todo el porqué de su funconamento. Pero, por supuesto, no todos los trucos con cartas son automátcos o se basan en certa habldad mental para memorzar las cartas, hacer cuentas, etc. Y basta ver la actuacón de un mago profesonal (donde las cartas aparecen y desaparecen, las barajas camban de color, etc.) para convencernos de que sus trucos se basan en algo más que en meros cálculos. Decía Martn Gardner, cuyos lbros de Matemátca recreatva (ver [Ga1], [Ga2]) contenen multtud de juegos con cartas, que los trucos que podríamos llamar matemátcos son, certamente, más aburrdos y menos espectaculares que los que realzan los magos profesonales en sus actuacones (aunque éstos tambén los utlzan, convenentemente adornados con técncas de habldad manual, detalles de presentacón y sutlezas pscológcas, que ocultan su verdadera razón de ser). Los que descrbremos en la segunda seccón de esta nota conjugan, a nuestro juco, conceptos matemátcos dversos e nteresantes con efectos mágcos sorprendentes y entretendos. Para la realzacón de todos los juegos que se descrben en este artículo utlzaremos la llamada baraja francesa (aunque la mayor parte de ellos tambén se pueden hacer con una baraja española corrente de 40 cartas). Hay varas razones por las que prefermos una baraja de póker, además de por tener más tradcón mágca. Por una parte, el hecho de que las cartas se dvdan en rojas y negras da lugar a combnacones nteresantes; y, por otra parte, a veces es convenente que el número de cartas sea elevado. Las 52 cartas de la baraja francesa se agrupan en cuatro palos: dos rojos, los corazones ( ) y los damantes ( ), y dos negros, pcas ( ) ytréboles ( ).

2 2 ELDIABLODELOSNÚMEROS Cada palo está compuesto por 13 cartas. Dez de ellas tenen valores numércos que van desde el 1, o As, hasta el 10. Las otras tres son las fguras: J (se corresponde con la sota de la baraja española, del nglés Jack), Q (la dama, del nglés Queen) y K (el rey, del nglés Kng). Estas fguras no tenen valores numércos, pero s no se dce lo contraro, les asgnaremos los valores J = 11, Q =12yK = 13. En cualquer truco con cartas, para dspar dudas sobre la honestdad del mago, es necesaro mezclar prevamente las cartas. Hay varas técncas para hacerlo, y aquí emplearemos la mezcla por mbrcacón (que cualquera puede realzar, aunque quzás no con la eleganca y perca de un crouper profesonal). Prmero cortamos el mazo, más o menos por la mtad, y luego mezclamos los dos montones resultantes, como en el dbujo: Mazo orgnal Montón A Montón A Montón B Mazo fnal Montón B Generalmente, no seremos capaces de cortar exactamente por la mtad, n de mezclar perfectamente los dos mazos (de manera que las cartas de uno y otro vayan alternándose). Pero, sea cual sea nuestra habldad para hacerlo, es obvo que una sola mezcla de éstas no deshace completamente la ordenacón ncal de las cartas: por eso barajamos varas veces. En la tercera seccón contestaremos a la pregunta: cuántas mezclas son necesaras para estar razonablemente convencdos de que la baraja queda sufcentemente desordenada? Hay otra técnca para mezclar las cartas, que ya requere una habldad manual fuera del alcance del común de los mortales, y que descrbremos en la seccón fnal de este artículo. Su aplcacón a la realzacón de trucos de maga está, como hemos comentado, reservada a los magos profesonales, pero tene una rquísma estructura matemátca, que confamos nterese al lector. 2. JUEGOS DE CARTAS Una de las reglas báscas de los magos es la de no desvelar el secreto, y aquí vamos a ncumplr repetdamente este precepto. Dgamos en nuestro descargo que muchos de estos juegos son ben conocdos, y se pueden encontrar en lbros de Matemátca recreatva o en la red.s añadmos a eso la rresstble tentacón de mostrar que juegos con resultados tan sorprendentes se basan en sencllos prncpos matemátcos, nos sentremos sufcentemente justfcados. Para realzar estos juegos no se necesta nnguna habldad manual especal, tan sólo es convenente tener certa soltura mezclando la baraja. La mayoría de estos trucos son automátcos, pero algunos de ellos requeren un poco de esfuerzo mental y algo de entrenamento prevo.

3 LA GACETA 3 No será necesaro menconar que este artículo ha de leerse acompañado de una baraja. Y podemos asegurar que el lector, una vez domnado cualquera de los juegos, notará un rrefrenable deseo de mostrárselo al prmero que pase cerca. Pero no ha de pensarse que, por ser fácles de realzar, éstos son malos juegos. De hecho, nosotros sentmos mucho apreco por estos trucos, y realzamos algunos de ellos habtualmente en nuestras actuacones nformales. Es costumbre, en los lbros de maga, exponer en prmer lugar el efecto, o sea, lo que el espectador va a ver, y a contnuacón la realzacón, queesloque el mago debe hacer para consegur el efecto. Nosotros seguremos este esquema, añadendo breves comentaros sobre los prncpos matemátcos nvolucrados. Truco 1: La carta del día Este prmer juego está basado, másqueenunprncpomatemátco, cas en una obvedad: s cuento M cartas y más tarde cuento N M, alfnal habré contadon cartas en total. Por supuesto, esto se hace de una forma velada y con una presentacón orgnal, para que no resulte tan evdente. Efecto: Cada día del año tene asocada una carta partcular; por ejemplo, la carta del 1 de enero es el 7 de pcas, la del 3 de marzo es el 4 de trébol, etc. Un espectador mezcla la baraja y, sguendo unas sencllas ndcacones, llegará hasta la carta del día de hoy que el mago habrá anuncado prevamente. Realzacón: Dale la baraja a un espectador y, mentras la mezcla a su gusto, explca al públco que cada día del año tene su carta especal... aunque no te acuerdas muy ben de cuál es la carta de hoy. Después de la mezcla pde al espectador que haga sobre la mesa dos montones de 13 cartas cada uno. Coge las cartas que sobran y ponlas en un lugar aparte de la mesa. Mentras haces esta operacón mra secretamente la segunda carta del mazo (contando por los dorsos) y recuérdala. Por ejemplo, puedes extender las cartas en las manos abertamente durante una fraccón de segundo mentras dces alguna frase. N que decr tene que esta accón debe pasar nadvertda. Haz que el espectador mezcle cada uno de los montones de 13 cartas que hay en la mesa, y mentras lo hace, d que la carta de hoy es... (nombra la carta que has vsto antes). Pde al espectador que tome uno de los montones y vaya echando cartas sobrelamesacaraarrbaalavezquecuentahacaatrás del 13 al 1; es decr, pone una carta en la mesa y dce trece, pone otra encma y dce doce, etc. S el valor de alguna carta concde con el número que se está cantando (recordando que las fguras J, Q y K valen 11, 12 y 13), es decr, s sale por ejemplo el 8 de tréboles mentras dce ocho, hazle parar en ese momento y retra las cartas que sobran (7 en este caso), colocándolas sobre el montón de descarte. S no se produce nnguna concdenca, haz mezclar otra vez el grupo de 13 cartas y repte el procedmento. Estas operacones se repten con el segundo grupo de 13 cartas. Supongamos por ejemplo, que la carta que concde con su número es ahora el 3 de corazones (se retrarían las 2 cartas restantes).

4 4 ELDIABLODELOSNÚMEROS Hasta ahora tenemos en la mesa dos montonctos de cartas cara arrba, uno con el 8 de tréboles en la parte superor y el otro con el 3 de corazones. Tambén tenemos un montón de cartas cara abajo, donde hemos do descartando las que sobran. Pde al espectador que sume los valores de las dos cartas superores, en nuestro ejemplo = 11, y que del montón grande cuente exactamente ese número de cartas. Antes de voltear la undécma carta, una pausa dramátca, recuerda a la audenca que, por ser hoy el día que es, tene que ser la carta (nombra la carta vsta) y no puede ser otra...ya solo queda dejar que el espectador muestre la carta y recoger la ovacón de tu públco. Explcacón matemátca: Observemos que s nos hemos parado en las cartas n 1 y n 2, nos sobran n 1 1yn 2 1 cartas que hemos colocado en el montón de descarte. Recordemos que la carta que hemos vsto estaba en la segunda poscón. Por tanto ahora estará en la poscón 2+(n 1 1) + (n 2 1) = n 1 + n 2. Las matemátcas que hay detrás de este truco son muy smples. Sn embargo, hay un detalle que puede resultar más nteresante al lector. Se trata de calcular la probabldad exacta de que, en el proceso de contar haca atrás, al menos una carta concda con su número. Supongamos, para smplfcar, que los valores numércos de las 13 cartas son todos dferentes 1. Estamos entonces ante un problema clásco, el problema de los desbarajustes (derangements, ennglés), que consste en calcular la probabldad de que, s tenemos n sobres y n cartas y metemos las cartas en los sobres al azar, no acertemos con nnguna de ellas (en térmnos más técncos, la probabldad de obtener una permutacón de {1,...,n} que no fje elemento alguno). Es una de las aplcacones cláscas del prncpo de nclusón/exclusón, y el resultado es que esa probabldad vene dada por 1 0! 1 1! + 1 2! 1 3! + 1 +( 1)n n!. Una probabldad que, en cuanto n es grande, es práctcamente e 1,loque no deja de ser sorprendente 2. En nuestro caso, buscamos la probabldad de que no tengamos un desbarajuste, así que la probabldad de que haya alguna concdenca es muy cercana a 1 1/e 0,6321. No es un mal ejemplo para mostrar al alumno la naturaldad del número e. 1 Es éste el peor caso? Es decr, cuándo será más probable que ocurran concdencas, cuando todas las cartas son dstntas o cuando hay cartas con valores numércos repetdos? Qué opna el lector? 2 Sobre todo, el hecho de que, a efectos práctcos, es una probabldad ndependente de n, algo que va en contra de la ntucón, pues uno dría que cuanto mayor sea el número de sobres y cartas, más fácl será acertar alguno ( o no?; sn haber hecho el cálculo, qué habría dcho usted?).

5 LA GACETA 5 Truco 2: Vuelvo dos y corto El sguente juego es uno de los muchos que aprovechan la clasfcacón de las cartas en dos colores. Hay un momento en el que se requere una certa habldad manual, pero el efecto es sorprendente. Efecto: El mago toma un paquetto de cartas y explca que hay dos tpos de movmentos que se van a hacer en este juego: 1. Cortar y completar el corte. 2. Dar la vuelta a las dos cartas superores y dejarlas encma del paquete. Después de hacer estas operacones unas cuantas veces, a modo de ejemplo, el mago le entrega el paquetto de cartas a un espectador, se gra de espaldas y le pde que contnue él msmo hacendo estos dos movmentos, tantas veces como quera y en el orden que quera, hasta que nade pueda saber cuántas cartas están cara arrba y cuántas están cara abajo. Cuando el espectador termna, el mago se pone de nuevo de cara al públco, recoge el paquete de cartas sn mrarlo, y lo lleva debajo de la mesa o detrás de su espalda. A contnuacón anunca que empleando el tacto va a ser capaz de averguar cuántas cartas hay cara arrba. En efecto, el mago dce un número, saca las cartas a la vsta y cuenta las que están cara arrba, comprobándose que tenía razón. Pero es más, el mago hace notar que el espectador separó, sn saberlo, cara arrba las cartas de un color y cara abajo las del otro. Realzacón: Antes de empezar el juego, toma un pequeño paquete de cartas en el que haya el msmo número de cartas rojas que de negras (por ejemplo 8 rojas y 8 negras), y colócalas de forma que los colores estén alternados (roja, negra, roja, negra, etc.). Toma el paquete de cartas cara abajo y comenza a hacer el juego como se explca en el efecto. Ten en cuenta que al hacer el movmento de dar la vuelta a las dos cartas superores, las dos han de volverse a la vez, como s fuesen una sola. De este modo se nverte el orden que tenían orgnalmente. Cuando tengas las cartas fuera de la vsta, separa las cartas que se encuentran en los lugares mpares de las que se encuentran en los lugares pares, hacendo dos paquetes; éste es el únco paso que requere certa habldad manual 3. Después, dale la vuelta a uno de ellos y junta los dos. D el número de cartas que hay cara arrba (8 en nuestro ejemplo), y termna mostrando las cartas como se descrbe en el efecto. Explcacón matemátca: Este juego se basa en que los dos movmentos descrtos, s ben camban el orden orgnal de las cartas, no alteran certa estructura que descrbremos a contnuacón. 3 No tanta, en realdad: ten el mazo en la mano zquerda y pasa la prmera carta a la mano derecha, entre el pulgar y el índce; la segunda, entre el índce y el dedo medo, la tercera, de nuevo entre el pulgar y el índce, etc.

6 6 ELDIABLODELOSNÚMEROS Recordemos que al prncpo del juego las cartas están alternadas por colores. Es rrelevante s la prmera es roja o negra, lo mportante es que estén alternadas. Obsérvese que el hecho de cortar conserva esta estructura. De hecho, para comprender el funconamento del juego, podemos pensar que las cartas están dspuestas en círculo, de manera que la prmera y la últma son consecutvas. Además, las cartas pueden encontrarse en dos estados, cara arrba o cara abajo. Naturalmente, al prncpo están todas cara abajo. Desde este punto de vsta, el segundo movmento consste en ntercambar dos cartas consecutvas y al msmo tempo cambar su estado. De esta manera, cuando una carta pasa de poscón par a mpar (o vceversa) tambén tene que cambar de estado. Por esta razón, según sea par o mpar la poscón que ocupen, las cartas estarán clasfcadas en dos grupos: 1. Rojas que están cara abajo y negras que están cara arrba. 2. Negras que están cara abajo y rojas que están cara arrba. A lo largo de todo el proceso se mantene esta clasfcacón de las cartas en dos grupos según su pardad. Cuando el mago, después de separar las cartas en dos montones, voltea uno de ellos, lo que hace es cambar de estado todas lascartasdeungrupo.así, todas las cartas de un color estarán cara arrba y las del otro cara abajo. Truco 3: La mansón embrujada El sguente truco lo ha realzado en televsón el conocdo lusonsta Davd Copperfeld. El famoso mago nvtaba a los telespectadores a partcpar desde sus casas. Comprobaremos aquí que para realzarlo no se necesta nngún tpo de poder extrasensoral, sno que sólo se trata de la aplcacón de un prncpo matemátco. Efecto: Un grupo de ncautos espectadores se perde en el bosque y se refuga en una mansón embrujada, donde las habtacones aparecen y desaparecen. Después de una larga persecucón, el mago, con sus malas artes, será capaz de atrapar a todos los espectadores en la msma habtacón. Realzacón: Coloca sobre la mesa nueve cartas cara abajo formando un cuadrado de 3 3. Explca que éstas son las habtacones de la mansón, y que se puede pasar de una a otra a través de las puertas que hay en cada lado, es decr, se puede r haca arrba, abajo, derecha o zquerda, pero no en dagonal. A modo de ejemplo coloca una moneda u otro pequeño objeto sobre una de las cartas y muévelo sguendo la regla. D por ejemplo avanzo tres lugares, y mueve la moneda pasando de una carta a otra en horzontal o vertcal tres veces (puedes hacer el recorrdo que queras, ncluso retroceder sobre tus pasos, sempre que no avances en dagonal). Una vez que el públco ha comprenddo el mecansmo, retra las cartas que ocupan las esqunas y la del centro, y pde a los espectadores que cada

7 LA GACETA 7 uno se stúe mentalmente en una de las cuatro cartas que quedan. Explca que aquella noche apareceron nuevas habtacones y vuelve a colocar las cnco cartas que habías qutado. Realza la sguente secuenca de accones (véase la fgura): Pde a los espectadores que se muevan 4 lugares, y retra las dos cartas de las esqunas superores. Pde a los espectadores que se muevan 5 lugares, y retra la carta que queda en la prmera fla y la tercera carta de la segunda fla. Pde a los espectadores que se muevan 3 lugares, y retra la segunda carta de la segunda fla y la tercera de la tercera fla. Pde a los espectadores que se muevan 1 lugar, y retra la prmera carta de la segunda fla y la segunda de la tercera fla. S los espectadores no se han equvocado al moverse, habrás consegudo atraparlos a todos en la msma habtacón. Avanzar 4 Avanzar 5 Avanzar 3 Avanzar 1 Atrapados! Explcacón matemátca: Como el lector ya habrá magnado, este truco se basa en la pardad. El hecho de que se utlce un cuadrado de tamaño 3 3 es rrelevante. Se podría emplear tambén un rectángulo de cualquer tamaño. En general, se puede dsponer un conjunto de cartas sobre la mesa como s cada una de ellas estuvera sobre una caslla de un tablero de ajedrez. La únca condcón es que el conjunto de cartas sea conexo, esto es, debe cumplrse que, partendo de cualquer carta, y hacendo movmentos en horzontal y vertcal, sea posble llegar a cualquer otra carta. De este modo, las poscones de las cartas se dvden en dos tpos, según la caslla correspondente sea blanca onegra. Para realzar el juego, tenemos que hacer que todos los espectadores estén al prncpo en poscones de un msmo tpo. Por esta razón, se qutan 5 cartas (en general, todas las cartas del tpo contraro) antes de que los espectadores se stúen mentalmente en las habtacones. De este modo, a lo largo de la persecucón, va a ser posble saber en qué tpo de poscones (casllas blancas o negras) se encuentran todos los espectadores. En efecto, la clave está en que, s el número de movmentos es par, estarán en poscones del msmo tpo que antes, mentras que s el número de movmentos es mpar, camban de tpo de caslla. De esta forma, podemos

8 8 ELDIABLODELOSNÚMEROS retrar cartas de poscones del tpo contraro a donde se encuentran los espectadores. Por ejemplo, s están en casllas blancas y les pedmos que se muevan 5 lugares, ahora ocuparán casllas negras, y podremos qutar cartas de casllas blancas. Evdentemente, la secuenca de movmentos descrta en la realzacón es solamente una de tantas posbles. Lo únco que hay que tener en cuenta es que cada vez que qutemos habtacones, el conjunto de cartas que queda debe segur sendo conexo, pues s en algún momento hubera dos espectadores en componentes dstntas, no sería posble atraparlos al fnal en la msma habtacón. Varacones: En cada paso, no sólo podemos qutar habtacones, sno que tambén podemos añadr alguna en cualquer poscón. Otra cosa que podemos hacer es mover cartas, tenendo en cuenta que, s movemos una carta de la pardad contrara a donde está el espectador, se puede llevar a cualquer poscón, pero s movemos una carta en la que es posble que se encuentre el espectador, tendremos que llevarla a una poscón de la msma pardad. Estos movmentos, además de dar varedad al juego, tambén pueden servr para evtar que el conjunto de habtacones deje de ser conexo. Así, s desconectamos la mansón por error, añadmos cartas para que vuelva a ser conexa. Un punto débl de este juego es que el espectador puede darse cuenta de que al prncpo se le oblga a stuarse en cartas de un determnado tpo (blancas o negras). Una forma de ocultar esto es empezar con las cartas colocadas en una poscón más compacta (en nuestro ejemplo, un cuadrado de tamaño 2 2) y una vez stuados los espectadores, mover estas cartas de manera que todas estén en poscones de la msma pardad, a la vez que se añaden nuevas habtacones. Truco 4: El prncpo de Kruskal La prmera vez que oímos hablar de este juego fue en Fnlanda, durante un curso de verano de matemátcas. En uno de los descansos estuvmos hacendo trucos de maga (de los que no son automátcos, sno que requeren certa habldad manual). Uno de los chcos que estaba allí quso partcpar y realzó entonces el juego del que vamos a hablar en esta seccón. Al termnar, Steffen Rohde, que era uno de los matemátcos presentes, exclamó: Esto no es maga, es un lema! Por esta razón, durante mucho tempo estuvmos refréndonos a este juego entre nosotros como el lema. Al documentarnos para escrbr este artículo, descubrmos que este truco es ben conocdo entre los magos y se basa en el llamado prncpo de Kruskal 4. 4 En honor del matemátco Martn D. Kruskal.

9 LA GACETA 9 Efecto: Cada espectador elge un número al azar entre el 1 y el 10. Partendo de este número y con ayuda de una baraja recén mezclada, se realzan unas sencllas operacones. Al fnal, ndependentemente del número elegdo, todos los espectadores llegarán al msmo resultado. Realzacón: Explca a tus espectadores que vas a realzar un expermento con la baraja y que ellos tenen que repetrlo después. En prmer lugar, elges un número al azar, por ejemplo el tres. A contnuacón vas echando cartas sobre la mesa cara arrba a la vez que cuentas: uno, dos, tres. Al colocar la tercera carta sobre la mesa te fjas en su valor; dgamos que es un cnco. Sgues echando cartas sobre la mesa contando: uno, dos, tres, cuatro, cnco. Te fjas en el valor de la qunta carta y comenzas otra vez a contar mentras pones cartas sobre la mesa. Procede de este modo, echando cartas y contando, hasta agotar la baraja. Haz notar a los espectadores el número que le ha corresponddo alaúltma carta de la baraja, y explca que s huberas empezado con otro número, a la últma carta le habría corresponddo otro númerodstnto(cosa que es falsa, como luego se verá). Una vez que ha quedado claro el procedmento, da a mezclar lbremente la baraja y pde a tus espectadores que cada uno de ellos pense en un número entre el 1 el 10. Comenza a echar cartas sobre la mesa una a una mentras los espectadores van hacendo mentalmente la msma operacón que tú hcste antes, partendo del número que haya elegdo cada uno. Al termnar, todos los espectadores (o al menos la mayoría) habrán llegado al msmo resultado. Explcacón matemátca: S el lector ntenta explcar por sí msmopor qué funcona este juego, posblemente llegue a la conclusón de que, en realdad, este juego no funcona sempre, y tene razón! Se basa en un prncpo probablístco. A modo de ejemplo, supongamos que la sucesón de cartas es La sguente fgura recoge el resultado del proceso, para esta ordenacón de la baraja, cuando elegmos para comenzar los números 3, 2 y 6 (destacamos las cartas que ncan cada nuevo recuento): empezando con empezando con empezando con En los tres casos, unas veces antes que otras, la sere de cartas destacadas acaba concdendo. Esta es, por supuesto, la clave: s en algún momento dos

10 10 EL DIABLODELOSNÚMEROS seres de éstas concden, entonces todas las cartas posterores tambén concden. Se podría decr que cada carta de la sere depende de la carta anteror, pero no de su hstora. Calcular la probabldad exacta de que sempre se llegue al msmo resultado sería excesvo para estas págnas 5.Peroesfácl convencerse de que la probabldad debe ser cercana a 1 s hay un número sufcentemente grande de cartas, ya que basta una sola concdenca entre las dos seres. Para que el juego funcone mejor, convene asgnar a las fguras, en lugar de su valor habtual, J = 11, Q = 12, K = 13, un valor bajo; por ejemplo, 1. De esta forma, el número de cartas que componen la sere es mucho mayor y por tanto, la probabldad de que alguna carta concda (y en consecuenca todas las demás) es mucho más alta 6. De cualquer manera, es posble que exsta algún número ncal para el que la sere correspondente sea completamente dsjunta con las demás. Por tanto, se corre el resgo de quealguen elja estenúmero y falle. Sn embargo, de exstr algún número malo, lo más probable es que sea elegdo por relatvamente pocos espectadores y que todos los demás concdan al fnal. Truco 5: La qunta carta Desde el punto de vsta pedagógco, el sguente juego 7 es una pequeña joya, porque lustra una buena cantdad de conceptos matemátcos: teoría de la nformacón, permutacones, prncpo del palomar, artmétca modular, etc. Requere un poco de entrenamento, tanto del mago como del ayudante, para su realzacón. Efecto: El mago se presenta con un ayudante. Un espectador elge cnco cartas sn que las vea el mago. El ayudante le entrega cuatro de las cnco cartas al lusonsta, quen, tras unos nstantes de concentracón, advna la carta que falta. Explcacón: Como el lector habrá sospechado, el truco consste en que, con las cuatro cartas, el ayudante codfca la nformacón necesara para advnar la qunta carta. Tenendo en cuenta el orden de las cuatro cartas, se pueden codfcar 4! = 24 mensajes. Y, sn embargo, el número de cartas posbles 5 Un modelo probablístco, basado en cadenas de Markov, se puede encontrar en [LRV]. 6 En el artículo ctado anterormente, [LRV], se realza un estudo numérco, medante smulacón Montecarlo, de la nfluenca que sobre el éxto del juego tenen dos factores: por un lado, la asgnacón de valor a las fguras y, por otro, el número con el que empeza el mago. El prmer factor es, con mucho, el más mportante. Aunque en el artículo sólo se consderan los casos de asgnar, o ben valores 11, 12 y 13 a las fguras, o ben 10 para todas, o ben 5, una extrapolacón de esos resultados a la asgnacón que nosotros sugermos, 1 para todas las fguras, nos permte hacernos una dea de la altísma probabldad de éxto que tene el juego. El otro factor, el número con el que empeza la cuenta el mago, es mucho menos relevante, aunque los cálculos sugeren que elegr 1 como prmer salto es lo más apropado. 7 Que se debe a Wllam Ftch Cheney Jr. (ver [Kl]).

11 LA GACETA 11 es 52 4 = 48; parece que es mprescndble envar un bt de nformacón adconal. Lo sorprendente de este juego es que el orden en que se entregan las cuatro cartas es sufcente. Para que no se sospeche que el ayudante le hace alguna señal al mago, se puede realzar de manera que lo únco que hace el ayudante es señalar al espectador qué cartas debe r entregándole al mago. Invtamos al lector a que, antes de segur leyendo, ntente encontrar por símsmounmétodoparacodfcarlaquntacarta. En este juego, la responsabldad del ayudante no es sólo ordenar las cartas que el mago va a ver, sno tambén elegr cuál es la carta que hay que advnar. Aquí radca la nformacón que faltaba en nuestro análss anteror. Para empezar, notemos que s de una baraja tomamos cnco cartas, al menos dos tenen que concdr en palo, por el prncpo del palomar; la carta que advnaremos será una de estas dos. Como en cada palo hay 13 cartas, la dstanca entre ellas será sempre un número m menor o gual que 6. Aquí estamos utlzando un orden crcular (después del 13 va el 1); por ejemplo, la dstanca entre el 10 y el 2 es m =5. Utlzando las permutacones posbles de las tres cartas que quedan (3!=6), vamos a codfcar el número m, queestá entre 1 y 6. La cuarta carta será la menor de las dos del msmo palo, de forma que s le sumamos m, obtenemos la carta que hay que advnar. Vamos a explcar una forma de codfcar un número entre 1 y 6 con tres cartas. En prmer lugar hay que establecer un orden para la baraja. Lo natural es emplear el valor numérco de cada carta. En caso de que dos cartas tengan el msmo número, establecemos un orden arbtraro para los palos. Aquí emplearemos el orden pcas corazones tréboles damantes (para recordarlo, un truco mnemotécnco: P-Co-Tu-Da). Este procedmento establece un orden para nuestras tres cartas. A contnuacón asgnamos un número a cada permutacón posble de estas tres cartas, de acuerdo con la sguente tabla: permutacón m Ejemplo 1: El espectador elge las cartas: 4, J, K, 6 y7. Comohay tres cartas del msmo palo, tenemos lbertad para elegr las dos que hagan los cálculos más sencllos. En este caso, el ayudante elge el 4 yel6 ; esta últma carta es la que, fnalmente, el mago advnará. Así que le pasaremos, como cuarta carta, el 4. S a esas alturas hemos consegudo nformar al mago de la dstanca m =2,podrá termnar el juego. Para codfcar m = 2 tenemos que construr la permutacón (1, 3, 2). Así que, de las otras tres cartas, pasamos prmero la menor, el 7, luego la mayor, K, y fnalmente la ntermeda, J.

12 12 EL DIABLODELOSNÚMEROS Ejemplo 2: Un poco más complcado 8 : el espectador elge las cartas 5, 5, 2, J y J. De las dos cartas del msmo palo, la prmera es la J (la que pasaremos en cuarto lugar) y la segunda es el 2 (la que advnará el mago). De esta forma la dstanca entre ellas es m = 4. El orden natural de las otras tres cartas es 5, 5, J (recuérdese que corazones va antes que damantes). Para descrbr la permutacón correspondente a m = 4,(2, 3, 1), entregamos, sucesvamente, 5, J y5. Truco 6: El prncpo de Glbreath Éste es un prncpo matemátco que tene muchas aplcacones 9. Sus efectos sorprenden aunque, como veremos, su explcacón es muy senclla. Empecemos con un juego muy smple. Efecto: Un espectador forma dos montones de cartas y segudamente los mezcla. El mago coge la baraja mezclada y se la lleva detrás de la espalda. Utlzando tan sólo su tacto, es capaz de encontrar dos cartas de dferente color, tantas veces como se le pda. Realzacón: Este juego se puede hacer con una baraja completa o con un pequeño paquete que tenga el msmo númerodecartasrojasquedenegras. Antes de comenzar, y en secreto, ordena las cartas de la baraja para que queden los colores alternados (roja, negra, roja, negra, etc.). Entrega la baraja a un espectador y pídele que vaya echando cartas cara abajo, una a una, sobre la mesa, y que se pare cuando lo desee, procurando que los dos montones que se obtenen sean aproxmadamente guales. Mezcla los dos paquetes por mbrcacón, o mejor aún, pde que los mezcle el msmo espectador s sabe hacerlo. Lleva la baraja detrás de la espalda o debajo de la mesa, de modo que n tú n los espectadores podás verla. Explca que con el tacto eres capaz de dstngur los colores y que, para demostrarlo, vas a sacar cada vez una carta roja y otra negra. Smulando un gran esfuerzo de concentracón, ve sacando parejas de cartas de la parte superor de la baraja. Se puede presentar el juego de otra manera: se explca al prncpo que las cartas negras son polcías y las rojas son asesnos (el rojo, claro, representa la sangre). Se procede como en la explcacón anteror, y después de la mezcla, se deja la baraja sobre la mesa y se van volteando las cartas de dos en dos, observando que cada polcía atrapó a un asesno. Explcacón: Cuando el espectador forma los dos mazos, las últmas cartas de cada mazo son de dferente color; lo msmo ocurre con las penúltmas, las antepenúltmas... los dos mazos tenen la secuenca de rojas y negras nvertdas. Fjémonos en la carta que prmero cae sobre la mesa al mezclar: dgamos 8 Por supuesto, en este juego la ley de Murphy tambén es aplcable: cuando se realza este truco, sempre salen combnacones tan dfícles como ésta. 9 Los lusonstas lo conocen con este nombre en recuerdo de Norman Glbreath, matemátco y mago afconado, quen lo descubró en 1958.

13 LA GACETA 13 que es roja y del prmer montón (el msmo argumento srve para las otras posbldades). La sguente carta en caer, o ben es la negra penúltma del prmer montón, o ben la negra últma del segundo montón. Así que con segurdad tendremos un par roja-negra. Y luego? S, por ejemplo, ha caído la negra del segundo montón, las cartas que ahora ocupan el fondo de los montones son, de nuevo, de dstnto color. Lo msmo ocurre s ha caídolanegradelprmer montón. Estamos en la stuacón ncal, y podemos repetr el razonamento. En realdad, el argumento es más general, y no sólo funcona con la secuenca roja-negra. Clasfquemos las cartas en n tpos (por ejemplo, n =2para rojas y negras, n = 4 para palos, etc.). Denotemos por C a cualquer carta de tpo ( =1, 2,...,n). Tomamos un paquete en el que haya el msmo número de cartas de cada tpo y las dsponemos en dos montones: en uno de ellos colocamos las cartas en secuencas ordenadas C 1,C 2,...,C n,c 1,C 2,..., y en el otro hacemos lo msmo pero en orden nverso: C n,c n 1,...,C 1,C n,c n 1,... A contnuacón hacemos una mezcla por mbrcacón de ambos paquetes. Esta mezcla no necesta ser perfecta. S ahora dvdmos la baraja en gruptos de n cartas consecutvas, cada uno de estos pequeños paquetes estará formadopor una carta de cada tpo (no necesaramente ordenadas). En el proceso de mbrcacón, se van mezclando cartas de cada uno de los dos paquetes. Fjémonos en las n prmeras cartas que quedan mbrcadas. Habráunnúmero m de cartas que provenen del prmer montón. Estas cartas serán de los tpos C 1,C 2,...,C m.elresto,queserán n m, provene del segundo montón, y dado que el orden de los dos paquetes era nverso el uno respecto del otro, estas cartas serán de los tpos C n,c n 1,...,C n (n m 1). Vemos así que en estas prmeras n cartas hay una de cada tpo. S elmnamos estas prmeras n cartas, podemos hacer un análss smlar con las n cartas sguentes. Debemos tener en cuenta, no obstante, que ahora las secuencas no tendrán el orden natural C 1,...,C n,snoc m+1,...,c n,c 1,...,C m ysu correspondente nverso. La sguente fgura descrbe una posble mezcla para n = 4 (clasfcacón por palos). No hacemos explícto el valor de cada carta, sólo el palo al que pertenece: } mezclamos El sguente juego es una aplcacón drecta de la versón general del prncpo de Glbreath. Obsérvese cómo, s ben para nosotros es un juego smlar } } }

14 14 EL DIABLODELOSNÚMEROS al de los polcías y los asesnos, a los ojos del espectador parece completamente dstnto. Efecto: El mago escrbe una predccón en un trozo de papel y se lo entrega a un espectador para que lo guarde. Se toman dos barajas y se mezclan entre sí por mbrcacón. El mago forma cuatro montonctos con las cartas que han quedado arrba. Los espectadores elgen uno de ellos y suman los valores de las cartas. Cuando se desvela la predccón del mago se comprueba que es un número que concde con la suma. Realzacón: Antes de empezar, elge una secuenca de, dgamos, cnco números entre el 1 y el 13. Por ejemplo, 2, 4, 5, 7 y 10. La suma de estos números será la predccón, en nuestro caso, = 28. Toma una de las barajas y saca de ella todas las cartas cuyos valores correspondan con los números elegdos. Forma con ellas cuatro secuencas en orden ascendente y colócalas sobre el resto de las cartas. Haz lo msmo con la otra baraja, pero esta vez ordena las cartas en orden descendente, (10, 7, 5, 4, 2). Procede como en el efecto, y una vez mezclada la baraja, haz cuatro montonctos de cnco cartas cada uno. No mporta qué montoncto elja el espectador, porque la suma de los valores de las cartas de cada uno de ellos será sempre el msmo (en nuestro caso, 28). Observa que s la mezcla ha sdo muy regular, puedes formar más de cuatro montonctos, pero nunca más de ocho. El hacer sólo cuatro es para garantzar que, por muy rregular que sea la mezcla, el juego funcone. Con las modfcacones evdentes, tambén se puede hacer este juego con una únca baraja. En este caso sólo se colocan dos secuencas sobre cada mtad de la baraja, y después de la mezcla sólo se hacen dos montonctos. 3. CON SIETE BASTA El título de esta seccón no alude a nnguna (ya añeja) sere televsva, sno a un hecho que todo mago conoce ben: a saber, que para desordenar una baraja, sete mezclas consecutvas son sufcentes. Vamos a construr un modelo probablístco que se ajuste al proceso que segumos en una mezcla por mbrcacón (veáse la lustracón al prncpo del artículo; en la termnología nglesa, un rffle-shuffle). Este proceso consta de un corte prevo, y luego una mezcla de los dos montones resultantes. Prmero contaremos cuántas reordenacones de la baraja se consguen con este procedmento, y luego asgnaremos probabldades. Numeramos las poscones de las N cartas en el mazo orgnal con 1,...,N. Prmero cortamos el mazo a una certa altura, dgamos k. Obtenemos así dos montones, el prmero, con las cartas de las poscones 1 a k, y el segundo, que ncluye las cartas de k +1 a N. Vamos a permtr que k pueda tomar cualquer valor entre 0 y N (los extremos supondrán que no se hace corte alguno); en total, hay N + 1 cortes posbles. Fjada la altura k, cuántas posbles mezclas hay? Desde luego, s k =0o k = N, sólo uno, pues no hay montones que mezclar. En todo caso, fjémonos

15 LA GACETA 15 en que, al mezclar, se mantene el orden relatvo de los dos mazos; esto es, la carta 1 nunca aparecerá detrás de la 2, o de la k; y de gual manera, la carta N no puede aparecer, por ejemplo, delante de la k +1. Contemos de cuántas maneras se pueden entrelazar las cartas: la dsposcón fnal del mazo es una lsta de N poscones (leer de zquerda a derecha la lsta es como leer de arrba a abajo las cartas del mazo). Las dos lstas sguentes son dos posbles resultados de la mezcla: k } {{ } N poscones k } {{ } N poscones Nótese que las k cartas del prmer montón mantenen el orden relatvo. El resto de la lsta se completa automátcamente: esas poscones las ocupan los símbolos (k+1,...,n) (en este orden). Así que, después de todo, un entremezclado ( no es más que elegr k poscones de entre las N posbles. Hay, por tanto, N ) k mezclas posbles (para k prefjado). corte k =0 k =1 k =N. mezcla El árbol que dbujamos a la zquerda descrbe todo el proceso: el prmer vértce, la raíz, representa al mazo en el orden orgnal. Los vértces de la generacón sguente representan al mazo después de cortar (cada rama corresponde a un corte a altura k). De cada uno de estos vértces salen un certo número de ramas: para cada k, exactamente ( N k ).Losvértces fnales, las hojas del árbol, representan las posbles ordenacones del mazo que obtenemos con este procedmento; pero, para asegurarnos de que estamos contando correctamente, tendremos todavía que comprobar que no haya hojas que representan a la msma reordenacón. En realdad, sólo hay una permutacón a la que se puede llegar de dstntas maneras: curosamente, la permutacón dentdad, aquélla que deja el mazo tal como estaba. Desde luego, s k =0ó k = N, el mazo queda tal como estaba. Pero ncluso cortando a altura k, con1 k N 1, podemos volver a la ordenacón ncal: los montones son (1,...,k)y(k+1,...,N), y los mezclamos de manera que prmero vayan las cartas del prmer montón, y luego las del segundo (una manera algo torpe de mezclar, por certo). Como señalábamos, éste es el únco caso en que podemos llegar a la msma ordenacón sguendo dos procesos dstntos (esto requere un pequeño argumento, que dejamos como ejercco para el lector), así que ya tenemos toda la nformacón: un sencllo cálculo nos dce que, tras una mezcla por mbrcacón, podemos obtener 2 N N reordenacones dstntas del mazo orgnal. Vamos a asgnar probabldades, con un modelo que ntenta replcar el proceso físco que segumos al mezclar las cartas 10. En prmer lugar, es ra- 10 Un modelo sugerdo por Glbert y Shannon en 1955 e, ndependentemente, por Reeds en 1981.

16 16 EL DIABLODELOSNÚMEROS zonable consderar que los cortes más o menos por la mtad sean los más probables: proponemos, entonces, asgnar al corte a altura k una probabldad ( ) 1 N 2 N. k El aspecto de una tal dstrbucón bnomal es el que aparece en la fgura de la derecha (para el caso N = 52): hay probabldad no nula de realzar cualquer corte (aunque, para N = 52, esta probabldad es del orden de ), y lo más probable es cortar por la mtad Ahora vamos con la asgnacón de probabldades para la mezcla: por supuesto, s k =0ó k = N, no hay nada que dscutr, así que pongámonos en el caso de un corte a altura k general. Estamos, pues, en un certo vértce de la segunda generacón en el árbol que dbujábamos antes: salen ( ) N k ramas, y hay que asgnar probabldades a cada una de ellas. Una opcón posble es asgnar una dstrbucón unforme: esto es, la probabldad de cada una de las ( N k ) ( ramas es, smplemente, 1/ N ) k. Como cortar a altura k tenía probabldad 2 N( N) k, resulta que todas las posbles reordenacones (salvo la dentdad) tenen la msma probabldad, 1/2 N. Esta asgnacón no es tan arbtrara como podría parecer, como muestra el sguente argumento. Empezamos con dos montones de k y N k cartas, e nterpretamos la mezcla de la sguente manera: sacamos, una a una, cartas del fondo de cualquera de los dos montones, y las vamos stuando en el mazo fnal. S en un paso de este proceso, dgamos el paso, hayk (1) y k (2) cartas en cada uno de los montones, proponemos que las probabldades de extraer la sguente carta del prmer y segundo montón sean k (1) k (1) + k (2) y k (2) k (1) + k (2), respectvamente. Esto es, probabldades proporconales al tamaño de cada montón. Curosamente, este proceso termna asgnando una probabldad unforme a cada uno de los ( N) k resultados posbles. Supongamos que hemos obtendo una certa mezcla sguendo este procedmento. La probabldad de haber obtendo este resultado partcular es el producto N =1 k ( ) k (1) + k (2), donde k ( ) será, para cada, quzás k (1) oquzás k (2). Sea cual sea el orden de extraccón de las cartas segudo, lo certo es que, cuando el contador

17 LA GACETA 17 aumenta en una undad, el denomnador dsmnuye en otra (hay una carta menos). El prmer denomnador es k +(N k) =N, así que el producto de los denomnadores es N!. Para los numeradores ocurre otro tanto: no sabemos en qué orden sucede, pero las k cartas del prmer montón y las N k cartas del segundo van pasando al mazo fnal. Así que en el numerador aparecen todos los números de k a1,yden k a 1. En total, el numerador vale k!(n k)!; y la probabldad de cada resultado partcular es 1/ ( ) N k. Ya hemos completado la descrpcón del modelo: en una mezcla por mbrcacón se pueden producr 2 N N reordenacones dstntas: la dentdad tene probabldad (N +1)/2 N, mentras que las demás tenen, cada una de ellas, probabldad 1/2 N. Vamos entonces con lo que nos nteresa: qué ocurre cuando realzamos, sucesvamente, varas mezclas por mbrcacón? Con la prmera mezcla apenas generamos 2 N de las N! posbles permutacones. Tras la segunda, ncluso suponendo que no se reptan ordenacones, obtendríamos no más de 2 2N.Un cálculo con el ordenador, o el uso de la estmacón de Strlng, nos permten convencernos de que, para N = 52, y en el mejor de los casos, cuatro mezclas sucesvas apenas podrían generar 1 de cada permutacones. Desde luego, nunca dríamos que la baraja queda sufcentemente mezclada. Claro que, qué quere decr sufcentemente mezclada? Dfícl cuestón, sn duda. Aquí daremos una posble medda, sobre cuya valdez el lector podrá reflexonar 11. Estamos en S N, el conjunto de las permutacones de N objetos. S hacemos s mezclas por mbrcacón sucesvas, el resultado es una certa permutacón; llamemos entonces p s (π) a la probabldad de que las s mezclas produzcan la permutacón π S N. Lo que haremos será comparar esta dstrbucón de probabldad con la unforme, u(π) =1/N!, para cada π S N, medante la sguente cantdad: δ s = 1 2 p s (π) 1. N! π S N 1 El factor 1/2 essólo para normalzar, de forma que 0.8 nos quede un número entre 0 (s, y sólo s, p s es 0.6 la unforme) y 1. Aunque aquí no daremos los detalles 12, se puede calcular explíctamente p s y, con ayuda del ordenador, obtener el valor de nuestra medda δ s para los sucesvos valores de s. Lagráfca de la zquerda muestra los valores de δ s para los prmeros 14 valores de s en el caso de una baraja con N = 52 cartas. Desde 11 Es la llamada varacón total, un concepto ben conocdo en Probabldad. En [TT] se sugere otra aproxmacón al problema, en térmnos de Teoría de la Informacón. Esencalmente, estudan cómo la nformacón contenda en la ordenacón ncal de la baraja va desaparecendo conforme vamos hacendo sucesvas mezclas. 12 El lector podrá consultarlos, por ejemplo, en [DB].

18 18 EL DIABLODELOSNÚMEROS luego, en el valor s = 7 es la prmera vez que δ s está por debajo de 0,5. Uno podría decdr que ses, o quzás ocho, es el número de mezclas adecuado. Pero lo que nos muestra está gráfca es que, en torno a las 6 8 mezclas se produce un salto enorme, lo que se llama un fenómeno de cut-off LA MEZCLA FARO PERFECTA En esta seccón fnal nos asomaremos a las matemátcas de las llamadas mezclas perfectas o mezclas faro. El nombre procede de un antguo juego de cartas que se llamaba precsamente faro, cuya fnaldad era emparejar las cartas. Cada vez que se jugaba una nueva mano, se hacía una mezcla de este tpo, pues era necesaro deshacer todas las parejas que se habían formado en la partda anteror. La mezcla perfecta consste en cortar (exactamente) por la mtad, y luego entrelazar las cartas de manera que las cartas de uno y otro mazo vayan alternándose. Como ya advertmos en su momento, hacer una mezcla de éstas con una baraja completa es extremadamente dfícl 14. El lector podrá ntentarla con un número reducdo de cartas, hacendo la mbrcacón manualmente. En realdad hay dversos tpos de mezclas perfectas, dependendo del número de cartas de que conste la baraja. Empecemos por el caso de un número par de cartas, N, que, para los cálculos que haremos a contnuacón, convene etquetar como 0, 1,...,N 1: cortamos por la mtad y luego tenemos dos opcones, o ben mezclar de manera que la carta de la poscón 0 quede arrba (será una mezcla exteror), o ben de forma que quede en la segunda poscón del mazo fnal (mezcla nteror). En el dbujo aparecen las dos posbldades, para un mazo con N =12cartas: exteror corte nteror S N es mpar, al cortar se forman dos mazos desguales y, en la mezcla, haremos que el mazo grande englobe sempre al pequeño. De nuevo dstngumos la mezcla exteror (la carta 0 queda en la poscón superor) y la mezcla Con la aproxmacón en térmnos de Teoría de la Informacón de [TT], este fenómeno no aparece. La nformacón va desaparecendo desde la prmera mezcla y, en torno a la sexta mezcla, se ha perddo cas completamente. Incluso cuatro o cnco bastarían, desde este punto de vsta, para desordenar la baraja. 14 Aunque uno de los autores de esta nota, que para eso es mago, es capaz de ello. En la págna pondremos próxmamente un vídeo con una demostracón práctca.

19 LA GACETA 19 nteror (la 0 va a la segunda poscón). El dbujo recoge el caso de un mazo con N =11cartas: exteror nteror Tenemos cuatro casos posbles, pero en cualquera de ellos, estamos reordenando el mazo orgnal, hacendo una permutacón del orden ncal. S llamamos E(k) (respectvamente, I(k)) a la poscón a la que va la carta k en una mezcla exteror (nteror), es fácl comprobar que 5 10 E(k) 2k { mód (N 1) para N par y 0 k<n 1, mód (N) para N mpar; (y además E(N 1) = N 1sN es par), mentras que I(k) 2k +1 { mód (N +1) paran par, mód (N) para N mpar. Ya podemos presentar un juego basado en mezclas perfectas. Para realzarlo se requere bastante habldad manual. Lo nclumos sólo para lustrar las posbldades mágcas que tene la mezcla faro. Truco 7: El prncpo de Penélope Este prncpo dce lo sguente: S retro n cartas de la parte nferor de una baraja, entonces, al hacer una faro (exteror s n es par, o nteror s n es mpar), la carta que ocupaba la poscón vgésmosexta pasa a ocupar la poscón n-ésma. Las poscones a las que nos refermos aquí son las naturales, cuando etquetamos las poscones en la baraja de 1 a 52. Evdentemente, el número 26 no desempeña nngún papel especal: s la baraja tuvera N cartas (con N par), sería la carta de la poscón N/2 la que habría que consderar. Por supuesto, el número n de cartas que retramos debe ser menor o gual que N/2. El gran mago nglés Alex Elmsley ha publcado gran cantdad de juegos basados en este prncpo (ver [M]). La explcacón de esta propedad no es del todo evdente a prmera vsta. Para poder utlzar las fórmulas que hemos escrto anterormente, numeremos las poscones de las N cartas de 0 a N 1. Lo que tenemos que comprobar, en esta numeracón, es que la carta de la poscón N/2 1pasaalaposcón n 1. Tras retrar las n cartas del fondo de la baraja, nos quedan N n cartas, cuyas poscones van etquetadas por 0, 1,...,N 1 n.

20 20 EL DIABLODELOSNÚMEROS S n es par, la faro exteror con las N n cartas nos lleva la que nos nteresa, la de la poscón N/2 1, a ( N ) ( N ) E N 2 mód (N n 1) N n 1+n 1 mód (N n 1) n 1 mód (N n 1). Mentras que, s n es mpar, una faro nteror con N n cartas hará que ( N ) ( N ) I N 1 mód (N n) N n + n 1 mód (N n) n 1 mód (N n). Una de las dfcultades técncas de la mezcla faro es cortar exactamente por la mtad. En este caso, la stuacón es más complcada, porque además deberemos detectar, al hacer el corte, s el número de cartas N n es par o mpar. Con el entrenamento adecuado, esto es perfectamente posble. El sguente juego es una aplcacón drecta del prncpo de Penélope. Efecto: El mago escrbe en secreto el nombre de una carta en un trozo de papel. Un espectador toma un grupo de cartas de la parte nferor de la baraja y las cuenta mentras el mago se vuelve de espaldas. Una vez contadas las cartas (por ejemplo, ocho), se busca en el resto del paquete la carta que ocupa la poscón octava. Esta carta concde con la predccón del mago. Realzacón: Antes de empezar, busca la carta de la poscón 26 y recuérdala; esta será la carta de la predccón. Actúa según se descrbe en el efecto y aprovecha el momento en que te vuelves de espaldas para realzar la mezcla faro. El prncpo de Penélope hará elresto. EL ORDEN DE UNA MEZCLA PERFECTA Volvamos al estudo de las mezclas perfectas. Una de estas mezclas, sea cual sea, es una permutacón de las N cartas y, como tal, tendrá unorden (s σ S N,elordendeσ, ord(σ), es el menor entero t para el que σ t = d). Hagamos, por ejemplo, la cuenta para N par, N = 2n, y la mezcla exteror E, que sabemos que mueve las cartas (excepto la últma, que queda sempre fja) con la sguente regla: E(k) 2k módulo (2n 1). S aplcamos una segunda mezcla, tendremos E 2 (k) 2 2 k módulo (2n 1). Y así sucesvamente, de manera que el orden de la mezcla exteror será el menor entero t para el que 2 t k k mód (2n 1), para todo 0 k 2n 1. En otras palabras, el menor entero t para el que 2 t 1módulo 2n 1.

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