ESPECIALIDAD I INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA. Parte 1: Fotones

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1 ESPECIALIDAD I INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA Introducción Parte : Fotones Si bien los electrones, neutrones, protones, etc. presentan características ondulatorias y tienen una longitud de onda asociada y, por otro lado, la radiación electroagnética exhibe tabién una naturaleza corpuscular, es usual (y lo hareos a lo largo de este curso) referirse a los prieros coo partículas y a la segunda coo radiación, aunque se presente explícitaente coo una lluvia de fotones. Los fotones son, efectivaente, partículas de asa en reposo nula cuya energía E y oento P están relacionados a una onda de frecuencia ν y longitud de onda λ que viajan a la velocidad de la luz en el vacío c (λc/ν) ediante las ecuaciones Ehν; Phν/c, Donde h es la constante de Planck: h6, J. S Los fotones se clasifican ás por su origen que por su energía, por ejeplo, enuerareos los siguientes tipos: Radiación de radiofrecuencia (RF): se eiten a raíz de transiciones entre niveles atóicos y oleculares uy próxios entre sí. E< -6 ev; λ> c. Microondas: relacionadas con transiciones oleculares rotacionales. -5 <E(eV)< -3 ; <λ< c. Radiación infrarroja: Eitida por cuerpos calientes (radiación de cuerpo negro) y por transiciones oleculares vibracionales. -3 <E(eV)<; µ<λ<. Luz visible y ultravioleta: Eitida por transiciones electrónicas entre niveles exteriores de átoos y oléculas. ev<e< kev; n<λ< µ. Rayos x característicos: Producidos por transiciones electrónicas en capas atóicas internas. ev<e< kev;, Å<λ< Å. Radiación de frenado o Bresstrahlung: Producidos por el frenado de partículas cargadas en el capo eléctrico de los núcleos atóicos. Se trata de un espectro continuo de energías, que van desde cero hasta la energía cinética de la partícula cargada. Radiación de sincrotrón: Producidos por partículas cargadas que describen una órbita circular con velocidades relativistas. Se eiten fotones en un cono estrecho en la dirección de la velocidad de las partículas. La energía es uy variable, ya que depende de la energía de las partículas cargadas. Rayos γ: Debidos a transiciones nucleares. kev<e; λ<, Å. Radiación de aniquilación: Se eite cuando se aniquila un electrón con un positrón. MeV<E; λ<, Å.

2 Tipos de interacción de fotones con la ateria Un fotón puede interactuar con:. electrones. núcleos 3. átoos o oléculas de las siguientes aneras: a) absorción total (hν ) b) dispersión elástica (hν hν) c) dispersión inelástica (hν hν ) Algunos ejeplos de interacción son:.a) Efecto fotoeléctrico Un fotón con energía hν>ec puede arrancar un electrón ligado a un átoo con energía Ec. La subsiguiente desexcitación puede dar lugar a rayos x característicos. El proceso puede esqueatizarse coo hν+a e - +A +, donde con A se denota el átoo..a) Fotoexcitación Un fotón puede ser absorbido por un electrón atóico si aquél tiene la energía justa para elevar éste a un nivel energético superior. hν+a A *, donde A * indica un estado excitado del átoo A..a) Bresstrahlung inverso Un electrón libre puede absorber un fotón auentando su energía. hν+ e - e - *, donde * indica que ha auentado la energía del electrón..b) Dispersión Thoson Es la dispersión elástica de un fotón por un electrón libre. Constituye el líite clásico y no relativista del efecto Copton; sólo se produce cuando Ec<<hν<< o c, donde o es la asa en reposo del electrón. El líite inferior debe cuplirse para que el electrón atóico pueda considerarse coo libre, ientras que el superior se debe a que este es un efecto no relativista. hν hν con cabio de dirección..c) Efecto Copton Coo en el caso anterior, se asue que el electrón atóico es libre, es decir, su energía de ligadura Ec debe cuplir la condición Ec<<hν. hν + e - hν + e - *.a) Creación de pares El fotón es absorbido en el capo eléctrico del núcleo y se produce un par electrón positrón, con energías cinéticas T - y T +, respectivaente. Sólo puede producirse si hν>, MeV o c. hν (T - + o c ) + (T + + o c ).a) Fotodesintegración del núcleo Es el análogo nuclear del efecto fotoeléctrico; la absorción ocurre cuando el fotón tiene energía suficiente para arrancar un neutrón o un protón del núcleo (hν>8 MeV). hν+n n,p + + N *, donde con N se denota el núcleo..b) Dispersión Thoson por núcleos Es el análogo nuclear de la dispersión Thoson por electrones; es un efecto débil y difícil de observar. hν hν con cabio de dirección.

3 .c) Dispersión de resonancia nuclear Consiste en la fotoexcitación de un nivel nuclear a costa de la energía del fotón absorbido. Posteriorente, cuando se desexcita el núcleo hacia un estado distinto del original se produce la eisión de otro fotón. hν+n hν +N * 3.a) Fotodisociación de oléculas Cuando un fotón tiene energía suficiente, éste puede partir una olécula al entregar su energía en ella. hν+m M +M, donde con M se denota la olécula. 3.b) Dispersión de Rayleigh Es la dispersión coherente de radiación electroagnética por el conjunto de electrones ligados a un átoo. Se produce cuando hν<<ec, es decir, cuando los electrones están bien ligados. hν hν con cabio de dirección. 3.c) Dispersión Raan Este proceso puede considerarse en dos etapas:. Un fotón es absorbido en un átoo o olécula que inicialente está en un estado rotacional-vibracional A; la olécula es excitada a un estado virtual.. La olécula se desexcita a otro estado rotacionalvibracional B distinto del inicial eitiendo un fotón de energía diferente al absorbido. Si A<B, hν>hν (dispersión Stokes) y si A>B, hν<hν (dispersión anti-stokes). hν+m hν +M* En este curso se tratará en detalle el efecto fotoeléctrico, el efecto Copton y la creación de pares y se hará un coentario breve sobre la dispersión Thoson y la dispersión Rayleigh. Sección eficaz Desde el punto de vista corpuscular, la sección eficaz es una agnitud relacionada con la probabilidad de que ocurra una interacción, es decir, con la razón entre el núero n de fotones que interactuaron y el núero n o de fotones que incidieron. Resulta de interés contar con una agnitud que refleje exclusivaente la probabilidad de un dado proceso y sea independiente de la cantidad de centros dispersores presentes en el edio aterial donde éste tiene lugar, por este otivo se define la sección eficaz σ de un proceso deterinado coo: σ n n o nc A donde n C /A es el núero de centros dispersores del blanco por unidad de área. Veos que con esta definición se cuple que [σ]c /n o de centros dispersores. Es útil introducir una unidad acorde con la escala de los procesos de interacción atóicos: el barn -4 c. Una fora de visualizar la sección eficaz es asociar la superficie σ a cada partícula dispersora del blanco; cuanto ás grande sea el área, ayor será la probabilidad de que un fotón incidente choque contra ella, es decir, interactúe. Si son varios los tipos de interacción posibles, el núero n de fotones que interactuaron y por lo tanto σ, constarán de otros tantos suandos: 3

4 σ n o i ni nc i A donde n i es el núero de fotones que sufrieron una interacción del tipo i, por ejeplo Copton y n Ci es el núero de centros dispersores relevantes para el proceso i, por ejeplo electrones. La probabilidad por centro dispersor por unidad de área de que ocurra una deterinada dispersión hacia cierto ángulo particular θ, por unidad de ángulo sólido Ω alrededor del dσ ángulo θ, se denoina sección eficaz diferencial por unidad de ángulo sólido: dω dσ σ dω es la sección eficaz total del efecto considerado. dω Dispersión Thopson J. J. Thoson descubrió el electrón en 897 y explicó la dispersión de rayos x al incidir sobre un edio aterial, coo la interacción clásica y no relativista entre la onda electroagnética incidente y los electrones atóicos, que se consideran libres. Según esta aproxiación clásica, el electrón que es afectado por la onda electroagnética coienza a oscilar con la frecuencia de aquélla. A raíz de estas oscilaciones, coo se trata de una partícula cargada acelerada, irradia a su vez radiación de la isa frecuencia que la original. La sección eficaz diferencial por unidad de ángulo sólido es el cociente de la energía radiada por unidad de ángulo sólido sobre la energía incidente por unidad de área. En el caso en que la radiación incidente no está polarizada, este cociente resulta ser: dσ dω e ( + cos θ ), donde ro es el llaado radio clásico del electrón. c Th r o o Una integración eleental conduce a la sección eficaz total de Thoson (copruébelo): 8π σ 3 Th r o Veos que σ Th no depende de la energía; de todas aneras, esta expresión funciona razonableente cuando se cuple Ec<<hν<< o c, ya que si hν Ec, falla la hipótesis de electrón libre y si hν o c falla la aproxiación no relativista en la expresión para el capo eléctrico del electrón oscilante. Efecto Copton Aquí tabién se hace la aproxiación de electrón libre, inicialente en reposo, es decir que se ignora la influencia del átoo que contiene a dicho electrón. Recordeos que la asa de una partícula relativista puede expresarse coo o γ, con γ(-β ) -/ y βv/c, donde v es la velocidad de la partícula; por otra parte, la energía de dicha partícula, que en nuestro caso será un electrón, se expresa coo E e c T+ o c, donde T corresponde a la energía cinética. Por otro lado, el oento está dado por P e v o γv. El efecto Copton puede esqueatizarse de la siguiente anera: θ 4

5 T,P e hν ϕ θ A continuación una relación entre λ y λ. Por conservación de la energía: E+ o c E + o γc, () donde Ehν es la energía del fotón incidente y E hν es la energía del fotón dispersado. Por otro lado, P e Suando a abos iebros o c, γ v o o v v c hν con lo cual, P o v + o c c e + o c c γ o, v c v La ecuación () puede escribirse: E E e oγ c c Pe + oc. + o c E' + c Pe + o c, de donde luego P c e + o c ( E E' + c ) o ; Por conservación del oento, Pe ( E + E' EE' ) E' o + E o () c PP + P e P e P + P - P P Reeplazando el ódulo del oento del fotón P por E/c y efectuando el producto escalar: P e (E + E' - E E' cosθ ) (3) c 5

6 Igualando () y (3): Despejando E-E : Es decir, EE' cosθ EE' + ( E c c EE' E E' ( cosθ ) c o ( cosθ ) (4) E' E c o E' ), o h λ' λ ( cosθ ), corriiento Copton c o Resulta útil relacionar la energía E del fotón dispersado con la energía del fotón incidente edida en térinos de la energía en reposo del electrón; para ello es necesario definir un paráetro E/( o c ). A partir de (4) se tiene que: luego, o bien oc + E( cosθ ) ; E' E c E ' oc E o c o, + cosθ o c E'. cosθ + De aquí puede verse que para energías incidentes grandes coparadas con la energía en o c reposo del electrón, E', con lo cual se observa que para θπ/ E o c, cosθ ientras que para θπ (retrodispersión), E o c /. Por otro lado, para θ, E E, es decir, el electrón sigue de largo sin interactuar. Para la energía cinética T adquirida por el electrón teneos que TE(-E /E) poniendo la energía del fotón en función de la longitud de onda asociada y utilizando la expresión del corriiento Copton, es decir: { [ + ( cos )] } λ T E( ) E θ ; (5) λ' ( cosθ ) T E (6) + ( cosθ ) 6

7 Tabién puede ponerse T en función del ángulo ϕ que fora la dirección de viaje del electrón con respecto a la dirección del fotón incidente. cos ϕ T E (7) ( + ) cos ϕ La deostración de la ecuación anterior queda coo ejercicio (problea de la guía ). La áxia transferencia de energía T áx se obtiene a partir de (6); haciendo la E sustitución u-cosθ: T ; se observa que el áxio valor de T se obtiene + u E axiizando u, es decir haciendo u, o bien θπ: T áx. + ( ) Por otro lado, reescribiendo (7) coo E T E, ( + ) cos ϕ se ve que el áxio ocurre cuando cos ϕ, es decir: E E T áx ( ) Con lo que recuperaos el valor obtenido anteriorente. El caso de áxia transferencia de energía corresponde a una retrodispersión del fotón (θπ) acopañada de una eyección del electrón hacia delante (ϕ), coo ocurre en un choque de dos partículas clásicas. Sección eficaz diferencial Copton Hasta aquí heos visto cuál es la relación entre la energía hν de un fotón dispersado por un electrón y el ángulo θ hacia el cuál se dirige el fotón, pero nada heos dicho acerca de qué ángulos (o qué valores de hν ) son ás probables. Para esto debeos considerar la sección eficaz diferencial angular Copton. Klein y Nishina en 98 aplicaron la teoría cuántica de Dirac del electrón para obtener resultados que tuvieran en cuenta los aspectos cuánticos y relativistas del proceso. Lo hicieron en tres etapas:. Obtuvieron dσ/dω para un haz polarizado de fotones dispersados según θ con un ángulo de polarización Θ con respecto al vector eléctrico de los fotones incidentes.. Integraron para todos los ángulos Θ de la radiación dispersada anteniendo θ fijo. 3. Consideraron radiación incidente no polarizada, agrupándola en dos coponentes polarizadas ortogonalente, cada una con la itad de intensidad: dσ dω dσ dω T + dσ dω N, 7

8 donde los subíndices T y N se refieren a las probabilidades de dispersión de las coponentes del haz incidente polarizadas tangencial y noralente al plano de dispersión, respectivaente. El resultado final es: dσ ro ν ' ν ν ' + sen θ. dω ν ν ' ν Teniendo en cuenta que ν /νλ/λ [+(-cosθ)] - (ver ecuación 5), la expresión anterior puede escribirse coo σ r o d dω d dω [ + ( cosθ )] [ + ( cosθ )] + ( cosθ ) + + cos + ( cosθ ) ( σ r o cosθ ) + ( cosθ ) + ( cosθ ) dσ ro ( cosθ ) + cos θ + dω [ + ( cosθ )] + ( cosθ ) + + cos La expresión de Klein-Nishina en esta fora perite ver claraente que tiende a la fórula de Thoson para bajas energías: dσ ro lí dω ( + cos θ ) dσ dω Se observa que, para bajas energías, la probabilidad de dispersión es áxia para θ y π y ínia para θ π/ (ver fig. ). La fracción de energía dispersada por unidad de ángulo sólido y por núero de centros dispersores por unidad de área dσ s /dω es el producto de la fracción de fotones dispersados en ese ángulo por la fracción de energía que se lleva cada fotón: entonces: dσ s hν ' dσ dσ < ; dω hν dω dω ( cosθ ) + cos θ + 3 [ + ( + cosθ )] + ( cosθ dσ s ro dω ) Sección eficaz total Copton Integrando (8) se obtiene la sección eficaz total: Th (8) θ θ 8

9 Figura.Sección eficaz diferencial angular dσ/dω para un ángulo de dispersión θ. σ dσ dω dω π dσ π senθ dθ dω De acuerdo con lo que ustedes obtendrán en el problea 3a) de la guía, σ ( + ) + πro ln( + ) + ln( + ) c /e ( + ) Para bajas energías, en la aproxiación de prier orden en, la expresión anterior conduce a σ 8 π r ( ) 3, (9) o según se obtiene al resolver el problea 3b) de la guía. Entonces, en el líite de bajas energías, la sección eficaz total Copton tiende a la sección eficaz total Thoson: 8π líσ 3 r o σ,66-4 c /e /3 barn/e La sección eficaz total para la energía dispersada se define coo σ s Th dσ s dω dω Por el problea 4 a) de la guía se obtiene: π dσ s π senθ dθ dω 3 ( + )( ) 8 ( ) ( ) ( ) σ s πr o ln

10 Resolviendo el inciso b) del iso problea se llega que para bajas energías incidentes, en prier orden de : σ 8 πr ( 3 ) 3 o s Veos de la expresión anterior que para bajas energías σ s tiende a la expresión de la sección eficaz de Thoson. Esto significa que cuando hν es pequeño la dispersión es elástica, es decir, el electrón no absorbe energía, o sea que cuando tiende a cero, σ s σ. La sección eficaz para la energía absorbida por el electrón está dada por la diferencia entre la sección eficaz total y la sección eficaz de la energía dispersada: σ a σ - σ s. Entonces σ s representa la fracción de la energía del haz de fotones incidente que interactuó por efecto Copton que es dispersada, es decir, que se llevan los fotones dispersados, ientras que σ a es la fracción de energía que no se llevan los fotones, o sea, que se llevan los electrones. Los subíndices s (scattered) y a (absorbed) se refieren a que la energía que se llevan los fotones dispersados puede viajar lejos de la zona de la colisión, ientras que la que se llevan los electrones es depositada cerca. Desde un punto de vista ás acroscópico, entonces, sólo la energía que se llevan los electrones es absorbida por el aterial, o por esa región del aterial, ientras que el resto es dispersada lejos. () Restando (9)-() veos que para pequeños valores de, 8πr o σ a, 3 Veos que σ a tiende a cero para bajas energías, lo que es otra fora de decir que en este caso estaos en un proceso de dispersión elástica o Thoson. Distribución angular de fotones Copton Figura. Sección eficaz diferencial dσ/dθ por ángulo para un ángulo de dispersión θ.

11 No es lo iso la sección eficaz diferencial angular dσ/dω para un ángulo de dispersión θ que la sección eficaz angular dσ/dθ para el iso ángulo, ya que dωπ senθ dθ. Efectivaente, dσ dσ dω dσ π senθ dθ dω dθ dω De esta expresión se observa que aunque dσ/dω es áxia para θ igual a cero, dσ/dθ se anula, puesto que senθ se anula (coparar las figuras y ). Distribución angular de electrones Copton Por cada fotón dispersado en dωπ senθ dθ hay un electrón dispersado en el ángulo sólido dω π senϕ dϕ. Entonces, dσ dσ dω dω dω' θ ϕ dω' Para averiguar la distribución angular de los electrones dσ dω' ϕ es necesario utilizar dσ la expresión conocida para la distribución angular de fotones y la relación dω θ entre los ángulos θ y ϕ, que según se deuestra en el problea de la guía está dada por: cosθ cot gϕ ( + ) tgθ / ( + ) () senθ En efecto, la distribución angular de los electrones estará dada por dσ dω ' ϕ dσ dω θ dω dσ dω' dω θ senθ dθ. () senϕ dϕ Podeos encontrar dθ/dϕ llaando f(ϕ)cotgϕ y g(θ)(+)(-cosθ)/senθ en () df dθ dϕ y recordando que : dϕ dg dθ con lo cual, la ecuación () resulta df dg cosθ y ( + ), dϕ sen ϕ dθ sen θ d σ dσ senθ ( + cosθ ) 3 dω' dω + sen ϕ ϕ θ

12 Figura 3. Sección eficaz diferencial angular dσ/dω para electrones dispersados en un ángulo ϕ. Esto representa la sección eficaz diferencial angular por unidad de ángulo sólido graficada en la figura 3; la distribución por unidad angular dσ/dϕ está dada por es decir: d σ dσ dϕ dω' ϕ dω' dϕ d σ dσ π senθ ( + cosθ ) dϕ dω θ + sen ϕ,. Expresando la ecuación anterior en térinos del ángulo ϕ se obtiene la relación representada en la figura 4. De la observación de abas figuras puede verse que si bien dσ/dω es áxia ϕ, para dσ/dϕ se anula para ese ángulo. Adeás se aprecia que no existen electrones retrodispersados, es decir, dispersados en un ángulo ayor que 9 o, lo que coincide con el caso de un choque clásico. Distribución en energía de los electrones dispersados La fracción de electrones dispersada con energía cinética T por intervalo de energía está dada por ( cosθ ) dσ dσ dϕ dσ π senθ + dϕ (3) dt dϕ dt dω + sen ϕ dt θ

13 Figura 4. Sección eficaz diferencial dσ/dϕ por ángulo para los electrones dispersados en ϕ. A partir de la ecuación (7) puede obtenerse ϕ(t) y de allí dϕ/dt; por otra parte, a partir de (6) puede expresarse cosθ en función de T; efectuando los reeplazos correspondientes en (3) se obtiene la sección eficaz diferencial en energía dσ/dt de los electrones en función de su energía cinética T. Esta relación se representa gráficaente en la figura 5. Figura 5. Sección eficaz diferencial en energía dσ/dt para los electrones dispersados. Se observa que la sección eficaz diferencial se anula a partir de cierto valor de T, puesto que coo habíaos dicho antes, existe un valor áxio para T 3

14 T áx + E ; efectivaente, los valores de corte en el gráfico corresponden a ( ) este valor de T áx para cada valor de. Veos tabién que si tiende a cero T áx tiende a cero, es decir, llegaos al líite de la dispersión elástica de Thoson. Coo hν hν-t, puede obtenerse inforación acerca de la distribución en energía de los fotones dispersados utilizando los gráficos de la figura 5. Nota: puesto que la dispersión Copton es producida por electrones libres, la sección eficaz correspondiente es una sección eficaz electrónica o por electrón y suele expresarse coo e σ. Dispersión Rayleigh o coherente El fotón interactúa con los electrones ligados a un átoo. El átoo no es ionizado ni excitado y el fotón no cabia su energía sino sólo su dirección de viaje. hν átoo θ hν Este tipo de dispersión se produce cuando hν<<e c, o sea, cuando los electrones están fuerteente ligados en coparación con la energía del fotón incidente. Todos los electrones del átoo actúan coo centros dispersores de anera coherente, es decir, la coponente de la onda dispersada por cada uno de ellos guarda la isa diferencia de fase respecto de la onda incidente. La sección eficaz diferencial angular está dada por dσ R dω r o dσ Th ( + cos θ ) f f donde ff(hν, θ, Z) (Z es el núero atóico) es el factor de fora atóico y está relacionado con la densidad electrónica del átoo blanco. Una característica de la dispersión Rayleigh es que, dentro del rango de energías en que se observa, el cono de dispersión es pequeño para valores grandes de hν, ientras que para bajas energías y particularente para Z grandes ese cono auenta su apertura considerableente. La sección eficaz total Rayleigh presenta, en priera aproxiación, el siguiente coportaiento: σ R Z ( hν ) Está expresión confira lo dicho anteriorente, ya que uestra que el efecto es ás intenso para hν bajas y Z grandes, es decir, cuando el fotón incidente ve ás ligado a los electrones. dω, 4

15 Nota: puesto que la dispersión Rayleigh es producida coherenteente por todos los electrones ligados a un átoo, la sección eficaz correspondiente es una sección eficaz atóica o por átoo y suele expresarse coo a σ R. Efecto fotoeléctrico Es una interacción de un fotón con los electrones atóicos que consiste en la absorción del fotón y la eisión de un electrón ligado que sale eyectado fuera del átoo (fotoelectrón). Habíaos visto que los fotones no pueden ser absorbidos cuando interactúan con un electrón libre (efecto Copton), ya que debido a la conservación de P y E se obtiene que existe un valor áxio para la energía hν transferida T áx, que es siepre enor que hν: T áx. + ( ) Si el electrón, en cabio, está ligado, el átoo tabién participa en la conservación de P y E. Básicaente, luego de la absorción del fotón, de energía hν y oento hν/c î, un electrón es eyectado con energía cinética T y oento P e en una dada dirección. El átoo ionizado retrocede con una dirección prácticaente puesta, pero con velocidad uy pequeña, de anera de conservar P total hν/c î. Esto se debe a que en general el oento del fotón es ucho enor que el del electrón P e y el del átoo P a, ya que éstos son partículas con asa en reposo no nula; por eso P e +P a. Coo ejercicio puede ostrarse que par una energía cinética de kev el oento del electrón es unas 3 veces ayor que el del fotón. Por otro lado, P a MV a y P e MV e ; entonces V a (/M)V e <<V e ; es decir, debido a la gran asa M del átoo, alcanza con una velocidad de retroceso V a despreciable para conservar el oento total; por lo tanto su energía cinética es prácticaente nula: T a (MV a )/P a V a /<<P e V e /T e Entonces podeos suponer que la energía hν del fotón es íntegraente utilizada para arrancar al electrón del átoo: hν+u o T (conservación de la energía). Fijando el cero del potencial de anera que para el electrón libre U. Entonces, U o -E c, donde U o es la energía potencial del electrón en cuestión y E c es su energía de ligadura. U -E i -E c Luego, hνt-u o, o bien: hνe c +T. Este efecto, en el que toda la energía del fotón es transferida es, entonces, posible por la vinculación del electrón con el átoo. Por este otivo s hace ás iportante a edida que la energía de ligadura es ayor, es decir, en las capas ás internas del átoo. 5

16 K L I LII L III Electrón libre M I...M V N I...N VII Aproxiadaente el 8% de las interacciones fotoeléctricas se producen en la capa K. Esto siepre y cuando hν>e K, es decir, cuando el fotón incidente tiene energía suficiente coo para arrancar un electrón de dicha capa. Veos, pues, que existe un ubral fotoeléctrico que debe exceder el fotón para que el efecto sea posible. En realidad, hay tantos ubrales coo capas o subcapas atóicas pobladas. Distribución angular de los fotoelectrones Hay una tendencia de los fotoelectrones de baja energía a salir eyectados en la dirección del vector eléctrico del fotón incidente, o sea, en una dirección noral a la dirección de viaje del fotón. Esta tendencia es especialente seguida cuando hν es baja: hν<3 kev, que es el rango de interés en algunas técnicas espectroétricas coo fluorescencia de rayos x (FRX) y icroanálisis con sonda de electrones (EPMA). Para altas energías los electrones tienden a salir ás hacia adelante. hν B E e - átoo La distribución angular de los fotoelectrones viene dada por la sección eficaz diferencial angular dτ/dω, donde τ denota la sección eficaz total fotoeléctrica, que puede apreciarse en la figura 6. Otra fora de ver lo iso es ediante el concepto de ángulo de bipartición, que es el seiángulo de un cono dentro del cual salen dispersados la itad de los fotoelectrones; en la figura 7 puede observarse que crece cuando hν decrece. 6

17 Ángulo ϕ entre el fotoelectrón y el fotón Figura 6. Sección eficaz diferencial angular fotoeléctrica dτ/dω por unidad de ángulo sólido. Figura 7. Ángulo de bipartición en función de la energía del fotón. Sección eficaz total fotoeléctrica La sección eficaz fotoeléctrica τ o cualquiera de sus foras diferenciales dτ/dϕ, dτ/dω, es uy difícil de obtener a partir de cálculos teóricos; por este otivo los resultados de la teoría y de los experientos deben apoyarse utuaente. Coo la deducción de expresiones para τ es uy copleja, no la abordareos en este curso. Las características principales de τ son las siguientes: ττ(z,hν) hν (MeV) τ decrece con hν para un dado Z Es decir, si auentaos hν los fotones pasan ás de largo disinuyendo la probabilidad de interacción. Esto ocurre hasta que hν alcanza el valor E c de alguna capa atóica. τ crece abruptaente para τe c para cada capa o subcapa atóica debido a que para hν<e c el efecto fotoeléctrico no es posible para esa capa y para hν>e c sí lo es. 7

18 Entre esos bordes de absorción E c, el decreciiento de hν puede aproxiarse por τ (hν) - con (hν) ( 3). Para una isa capa atóica, E c crece onótonaente con Z. Suponiendo que hν>e c para alguna capa en particular, y que esa condición se antiene al auentar Z, τ crece con Z coo Z n con 4<n<4,6. L I L II L III Au K τ (unidades arbitrarias) K L L L II I III Al Ag K τ K,6 3,4,9 5,5 8 hν (kev) Figura 8. Sección eficaz fotoeléctrica en función de la energía del fotón incidente para Al, Ag y Au. En la figura 8 se presenta un gráfico cualitativo de τ en función de hν donde se ven reflejadas las consideraciones precedentes. Se llaa τ K a la sección eficaz fotoeléctrica debida sólo a la capa K. En la figura 8 se uestra gráficaente su significado. Se cuple aproxiadaente que τ K 4/5τ, siepre que hν>e K ; de lo contrario, se cuple que τ do 4/5τ, donde τ do representa la contribución a τ de la capa atóica ás ligada cuya energía de ligadura sea enor que hν. Consideraciones sobre la deducción de τ Las teorías epleadas para la obtención de expresiones para τ parten de las siguientes hipótesis: El átoo blanco está aislado. Esto significa que se desprecia la influencia de enlaces oleculares y cristalinos. Es uy buena aproxiación para los electrones ás ligados, donde es ás probable el efecto fotoeléctrico. 8

19 El átoo aislado es neutro y está en su estado fundaental. El potencial atóico es central. Es decir, se supone que UU(r). Esta hipótesis claraente se cuple para el átoo de hidrógeno. Si hay ás electrones presentes que repelen al electrón que será eyectado se considera un proedio esférico de la distribución de carga que ejerce un apantallaiento radial sobre la atracción del núcleo. Algunos resultados Stobbe (93) obtuvo τ K en un arco cuántico no relativista (ecuación de Schrödinger). Pratt y otros (973) obtuvieron τ en un arco cuántico relativista (ecuación de Dirac) haciendo aproxiaciones para obtener expresiones analíticas. Cullen y otros (989) publicaron tablas de τ en base a resultados teóricos obtenidos por Saloan y otros (988) y a datos experientales edidos por Hubbell y otros (98). Actualente se aprovecha la capacidad de cálculo existente para evitar aproxiaciones resolviendo nuéricaente la ecuación de Dirac. El grado de precisión alcanzado para los valores de τ depende de la energía del fotón incidente y del núero atóico del blanco; así, los resultados obtenidos por Pratt y otros tienen una precisión del orden de: hν,5 MeV,5 MeV hν MeV Z 5 5% % Z > 5 5% % Estos resultados son razonableente aplicables siepre, ya que para energías ayores que,5 MeV, donde se advierten ayores discrepancias, τ es despreciable frente a las secciones eficaces de otros efectos (Copton y creación de pares). Deterinaciones experientales Básicaente existen dos étodos experientales para la deterinación de τ: Deterinación de τ ediante la edición de la sección eficaz de atenuación total µ. Se define la sección eficaz de atenuación total µ coo la sua de las secciones eficaces de todos los efectos de interacción: µz e σ + a σ R + a τ +... Se ha ultiplicado la sección eficaz Copton por el núero atóico Z para poder suar este efecto de tipo electrónico con los otros que son de tipo atóico. En este étodo se ide la sección eficaz total µ ediante un dispositivo coo el que se ilustra a continuación: I o Coliador or Coliador I Detector x 9

20 Coo se verá ás adelante, la intensidad I que resulta luego de la atenuación del haz de intensidad I o en la láina de espesor x puede calcularse coo II o exp(-cte µ x), donde la constante está relacionada con la densidad y el peso atóico del atrial interpuesto. Si se conoce con precisión la sección eficaz de los otros efectos puede despejarse la sección eficaz fotoeléctrica: a τ µ - Z e σ - a σ R -... Este étodo tabién puede aplicarse cuando a τ es ucho ayor que las otras secciones eficaces, es decir, para energías en el rango de los rayos x característicos. En este caso se cuple que a τ µ. Deterinación directa de τ En realidad se ide el núero de fotoelectrones y de allí se infiere τ. Por este étodo, adeás, se pueden deterinar distribuciones angulares de los fotoelectrones, así coo tabién contribuciones de las distintas subcapas, ya que Thν-E c. Los fotoelectrones se colectan ediante la aplicación de un capo eléctrico. En general, por cualquiera de los dos étodos, se obtienen precisiones entre el % y el %. Coeficientes τ a y τ s Los fotoelectrones no se llevan toda la energía del fotón, sino hν-e c. Es decir, se puede calcular la fracción de energía absorbida, análogaente a coo se hizo en el caso de la dispersión Copton: T hν Ec τ a τ τ a τ (3) hν hν La energía E c es liberada por el átoo casi en su totalidad ediante la eisión de un fotón característico o de un electrón Auger, cuya energía es algo enor que E c. De esta anera el átoo vuelve al estado original, pero una parte de la energía incidente (si se eite un fotón característico) abandona la región. Entonces, en realidad: donde h ν c, car hν hν c, car ω c τ a τ, (4) hν < E c es la energía del fotón característico proediada sobre los distintos decaiientos posibles hacia la capa c y ω c es el coeficiente de producción de fluorescencia de la capa c, es decir, la probabilidad de que la capa c sea llenada ediante la eisión de un fotón característico y no de un electrón Auger. Por lo tanto, la expresión (3) no considera que parte de E c finalente se transfiere a electrones (Auger), ientras que la ecuación (4) sí lo tiene en cuenta. Adeás habría que tener en cuenta que si los fotones incidentes pueden excitar varias capas, los valores de ν y ω c varían de capa a capa. De las expresiones (3) ó (4) queda claro que para h c, car valores grandes de hν, τ a τ y entonces τ s. Líneas de eisión Supongaos que luego de una absorción fotoeléctrica, un átoo eyecta un electrón ligado a la capa K con una energía de ligadura E K. Esto iplica que el átoo pasó a un estado energético auentando su energía en E K, que es la parte de la energía del fotón incidente que no se llevó el fotoelectrón. Si ahora la vacancia es llenada por un electrón

21 que estaba en la capa L, con energía de ligadura E L, el átoo disinuye su energía pasando a un estado con una vacancia en dicha capa. La diferencia de energía entre los dos estados, puede ser eitida coo un fotón de energía hν car E K -E L. Este fotón recibe el nobre de fotón o rayo x característico K. Si el hueco en la capa K hubiera sido llenado ediante un electrón de la capa M, con energía de ligadura E M, la energía del fotón eitido habría sido hν car E K -E M. Este fotón característico se denoina Kβ. Tabién podría haberse producido originalente un efecto fotoeléctrico en la capa L. En este caso los fotones característicos eitidos son del tipo L (L, Lβ, etc., dependiendo desde qué capa atóica es llenada la vacancia). En realidad, las posibilidades son uchas, ya que hay una capa K, tres capas L, cinco capas M, siete capas N, etc., aunque algunas transiciones no están peritidas (o son ucho enos probables) por las llaadas reglas de selección (ver ás adelante). Se observa que para una transición particular, la energía del fotón característico es una función creciente de Z: hν b( Z a), donde a y b son constantes propias de cada transición. La relación anterior es conocida desde 93 coo ley de Moseley. Coo caso particular, para la línea K se cuple que 3 ν Rc( Z ), 4 h K donde R o e 4 /(8cε o h 3 )9,737 c - es la constante de Rydberg (c es la velocidad de la luz en el vacío y ε o, su peritividad. Esta expresión coienza a fallar para núeros atóicos altos. Orbitales atóicos y reglas de selección Para coprender el origen y la naturaleza de los distintos niveles de energías de un átoo y las reglas de selección entre las diferentes transiciones, es necesario recordar que dichos niveles son los autovalores E n de la ecuación de Schrödinger: h r Η ψ ψ + V ( ) ψ Eψ, donde Η es el operador hailtoniano, ħh/(π), V es la energía potencial del sistea y ψ, la función de onda del electrón. Para un capo central coulobiano sin considerar efectos relativistas, los niveles de energía están cuantizados siendo los autovalores del operador Η, E n -/n, donde n,,3,.. se denoina núero cuántico principal. x z L z L y El vector ipulso angular orbital L del átoo tabién está cuantizado; en particular su ódulo debe cuplir que: L l (l+) ħ, donde l n-; l se denoina núero cuántico de oento angular orbital. No es posible conocer siultáneaente las tres coponentes del oento angular orbital: si se conoce el ódulo L y una de las coponentes (por ejeplo L z ), se desconocen las otras dos (por ejeplo L x y L y ). Adeás de la cuantización en ódulo hay cuantización en dirección: L z l ħ, donde el núero cuántico agnético l debe cuplir que l l.

22 La relación entre el ódulo del oento angular orbital y su coponente L z puede verse esqueatizada en la siguiente figura para los casos l y l. l L ħ L z ±ħ, z ħ ħ L l l L 6 ħ L z ±ħ,±ħ, z 6 ħ -ħ l l ħ L l -ħ - ħ l - l -ħ l - -ħ l ħ z 3/ ħ ħ/ -ħ/ - 3/ ħ S s / s -/ Por otra parte, el electrón tiene un oento angular de espín S, que tabién está cuantizado: su ódulo es fijo, S 3/ ħ, ientras que hay dos posibilidades para la coponente z: S z ± / ħ, o bien, S z ± s ħ, donde s es el núero cuántico de espín. Suando vectorialente los oentos angulares orbital y de espín se obtiene el oento angular total J, que coo consecuencia de la cuantización de sus dos coponentes, tabién está cuantizado: J j (j+) ħ, donde j l ±/. Al considerar correcciones relativistas y tabién, al tener en cuenta el apantallaiento (radial) de los restantes electrones que hace que el capo no sea coulobiano, los niveles de energía no dependen sólo del núero cuántico principal n, sino que tabién dependen de l. Por otro lado, el oento angular de espín S del electrón trae aparejado un oento agnético M S S. Visto desde el electrón, el núcleo de carga +Ze gira alrededor del electrón, generando un capo agnético B L.

23 z z L B M S -e +Ze y +Ze -e y x x La energía del electrón debida a esta interacción espín-órbita es proporcional a M S B, es decir, proporcional a S L, por lo tanto, los niveles de energía pueden escribirse coo EE n,l + cte. S L, donde el prier térino es la contribución del capo central apantallado y con efectos relativistas, ientras que el segundo incorpora la interacción espín-órbita. Existen dos valores posibles para este segundo térino, según sea la orientación relativa de los vectores S y L. L S J jl+/ L S J jl-/ Según el principio de exclusión de Pauli, en un átoo dos electrones no pueden tener el iso conjunto de núeros cuánticos. En virtud de este principio, a edida que auenta Z, las capas u orbitales atóicos van ocupándose de anera ordenada, de anera que hay un núero áxio posible de electrones en cada orbital. Las capas atóicas están relacionadas con el núero cuántico principal n, ientras que los orbitales, con n y l conjuntaente, coo se uestra en la tabla. El cálculo de la probabilidad de transición P desde un estado atóico inicial i a un estado atóico final f, entre un instante t o y un instante posterior t, puede calcularse a partir del operador evolución U(t,t o ): P f,i <ψ f U(t,t o ) ψ i >, donde ψ f y ψ i son las funciones de onda correspondientes a los estados final e inicial, respectivaente. A partir de la conservación de la energía, del oento angular y de consideraciones acerca de la paridad de las funciones de onda, algunas de las P f,i resultan nulas en la aproxiación dipolar del operador U(t,t o ), es decir, hay transiciones que están prohibidas en la aproxiación dipolar. Esto da lugar a las llaadas reglas de selección dipolar; en virtud de estas reglas, las transiciones peritidas son aquéllas que satisfacen las siguientes condiciones para los núeros cuánticos: n ; l ±; j ó ± 3

24 Capa n l l s Orbital N o áx de e - Subcapa (N o de e - ) K ±½ s j/ --- () L ±½ s j/ 8 L I () ±½ p j/, 3/ L II () j/ ±½ L III (4) j3/ - ±½ M 3 ±½ 3s j/ 8 M I () ±½ 3p j/, 3/ M II () j/ ±½ M III (4) j3/ - ±½ ±½ 3d j3/, 5/ ±½ M IV (4) j3/ ±½ M V (6) j5/ - ±½ - ±½ N 4 ±½ 4s j/ 3 N I () ±½ 4p j/, 3/ N II () j/ ±½ N III (4) j3/ - ±½ ±½ 4d j3/, 5/ ±½ N IV (4) j3/ ±½ N V (6) j5/ - ±½ ±½ 3 3 ±½ 4f j5/, 7/ 3 ±½ 3 ±½ N VI (6) j5/ 3 ±½ N V II (8) j7/ 3 - ±½ 3 - ±½ 3-3 ±½ El núero de electrones peritido en cada subcapa, o degeneración, está dado por j+. 4

25 Espectro de rayos x característicos Supongaos que un haz de fotones onocroático, de energía hν>e K incide sobre un blanco delgado y se observa la radiación eitida por el iso con un detector que fora un ángulo θ con respecto a la dirección de incidencia. Detector hν θ Si graficaos el núero de fotones detectado por intervalo de energía I(E) en función de la energía E observareos algo parecido a esto: I Lη L Lβ Lβ 3 K Kβ Las líneas observadas tienen un ancho que depende de características propias del espectróetro adeás del ancho natural debido a la naturaleza cuántica de cada transición radiativa involucrada. Para la energía hν de los fotones incidentes se observa un pico debido a la dispersión Rayleigh, adeás, puede apreciarse un pico intenso para la energía hν hν/[+(-cosθ)], correspondiente a la dispersión Copton en el ángulo de detección. Las restantes líneas se deben al llenado radiativo de vacancias originadas por efecto fotoeléctrico. En el ejeplo de la figura el blanco es puro; si fuera ulticoponente, habría ás líneas en el espectro; la posición de las isas revela la naturaleza de los eleentos presentes, ientras que su altura estaría en relación con la abundancia relativa de los eleentos correspondientes. Es iportante encionar que los fotones característicos, a diferencia de los fotoelectrones, se eiten isotrópicaente. Esto se debe a que el tiepo en el que transcurre la eyección del electrón es del orden de -5 segundos, ientras que el decaiiento para llenar la vacancia se produce - segundos después, es decir, cuando hν hν E 5

26 el fotoelectrón está a varias cuadras, de anera que no perturba la sietría esférica del átoo. Creación de pares Es la absorción de fotones en el capo de partículas cargadas (principalente, núcleos atóicos). La energía del fotón absorbido es epleada en la creación de un par electrón-positrón. El positrón es una partícula siilar al positrón (con la isa asa), pero con carga +e, de anera que en el proceso se conserva la carga. hν núcleo e + e - Por la conservación de la energía-asa: hνt + + o c + T - + o c T + + T - + o c, donde T + y T - son las energías cinéticas del positrón y el electrón, respectivaente. Coo estas energías cinéticas son positivas, la energía del fotón incidente no puede ser enor que hν ín o c, MeV; es decir, el efecto no es posible por debajo de esta energía. Para estudiar este proceso es necesario considerar la teoría de Dirac (cuánticarelativista). En este arco se puede describir la situación con niveles negativos para la energía del electrón. De acuerdo con esta descripción, existe un ar de electrones suido en niveles energéticos negativos, coo se uestra en la figura. E T - o c hν - o c T + Niveles energéticos negativos ocupados por -E electrones no observables Los electrones se vuelven observables cuando adquieren una energía o c, ientras que con energías enores que o c, están en potencia. Si a alguno de estos posibles electrones, de energía -E se le entrega una energía hν> o c, salta a un estado observable con energía E T - + o c. El hueco en el nivel energético negativo es un positrón de energía E T + + o c. Entonces, hνe +E T - +T + + o c. El electrón y el positrón interactúan con el núcleo, pero adeás hay que tener en cuenta el capo electroagnético del fotón incidente. Bethe y Heitler (934) obtuvieron expresiones para la sección eficaz κ de creación de pares y para la sección eficaz diferencial en energía dκ/dt + asuiendo la hipótesis T>>U para todo tiepo, donde T se refiere a la energía cinética de cualquiera de las dos partículas creadas y U al potencial del núcleo. Llaando v a la velocidad de la ás energética de esas partículas, puede verse que la condición T>>U lleva a que >>Ze /(ħv) Ze /(ħcβ)z/(37β), con /37 e /(ħc): constante de estructura fina. Entonces, para que se cupla esta condición, debe ser: >>Z/(37 β). Si la energía del electrón o la del positrón creado es del orden de o c, entonces T~, es decir, β~ y la 6

27 teoría falla. Esto nos dice que la teoría no funciona cuando hν~ o c ; incluso falla para valores ayores de hν si Z es grande. Por ejeplo, para ploo (Z8) y hν88 MeV se observan discrepancias de hasta el % con resultados experientales. Distribución angular Para T>> o c las partículas creadas tienen una arcada tendencia a salir en la dirección del fotón incidente; el ángulo θ con la dirección de incidencia varía, en estos casos, coo o c /T. Si T~ o c la descripción es ás coplicada y la distribución angular es ucho enos picuda hacia delante. Distribución en energía Por cada positrón creado con energía cinética T + hay un electrón creado con energía cinética T - hν-t + - o c ; por lo tanto, la probabilidad de crear un positrón con energía cinética T + es igual a la de crear un electrón con energía cinética T - hν-t + - o c y está dada por dκ σ o Z P dt h c + ν donde σ o r o /37 5,8-8 c ; P depende de Z, hν y T +, anulándose para hν o c ; P es una agnitud adiensional cuyo valor oscila entre y ; aproxiándose a este últio valor para grandes valores de hν. Se suele graficar P en función de la variable εt + /(hν- o c ), que es la fracción de la energía disponible que adquiere el positrón (varía entre y ). En la Fig. 9 pueden verse resultados teóricos de P obtenidos por Bethe y Heitler. Se observa que P es una función par de ε con respecto al valor,5. Esto significa que, para valores dados de Z y hν existe la isa probabilidad de generar positrones con T + <½(hν- o c ) que hacerlo con T + >½(hν- o c ). Adeás existe la isa probabilidad de crear un positrón con ε,3 que con ε,7, es decir, de crear un electrón con ε,3. Por lo tanto, en proedio, los electrones se crean con la isa energía que los positrones. En realidad no hay tal sietría, pues al ser creado el par, el núcleo atrae al electrón y repele al positrón. La energía potencial del positrón es Ze /r (r es la distancia al centro del núcleo), ientras que la del electrón es - Ze /r, de anera que la diferencia U Ze /r. Esta diferencia de energía potencial se traduce en una diferencia de energía cinética, de anera que T + >T -. Apantallaiento Para grandes valores de hν (~ MeV y ayores) auenta la probabilidad de crear un par a distancias r>r K, donde r K es el radio de la capa K, con lo cual los electrones de dicha capa atóica coienzan a quedar dentro. Es decir, la carga efectiva del núcleo disinuye y por lo tanto tabién disinuye el potencial electrostático U(r) y la intensidad del efecto de asietría en las energías cinéticas de las partículas creadas. Un odelo para describir el potencial apantallado es: U( r ) Ze r e e r a o, con acte/z ⅓., 7

28 El síbolo e e denota la carga del positrón, ientras que e es la base de los logaritos naturales. Puede verse que según este odelo, para valores pequeños de r (los electrones atóicos quedan fuera), U(r) Ze e /r; en cabio, para grandes valores de r (participan ás electrones apantallando el núcleo), U(r). Figura 9. Sección eficaz diferencial de creación de pares expresada a través de la función adiensional P. Las curvas fueron calculadas a partir de las ecuaciones de Bethe y Heitler, incluyendo correcciones de apantallaiento para energías hν> o c. Sección eficaz total κ La sección eficaz total se obtiene integrando la sección eficaz diferencial: κ dκ hν c hν c + dt+ hν oc o o dt+ σ o Z dt P σ Z o Pdε ; es decir, σ o Z P c /átoo. En la siguiente tabla se uestran valores de σ o P para el ploo y el aluinio, con correcciones de apantallaiento incluidas. 8

29 En prier lugar puede verse que la sección eficaz κ crece con hν al contrario que para los otros procesos estudiados. Adeás puede verse que para hν<5 MeV, P no depende de Z. Entonces, si hν<5 MeV, para un eleento cualquiera x: κ κ x Pb Z Z x Pb κ κ x Pb Z x 8 Finalente cabe observar que la fracción de energía absorbida puede escribirse en priera aproxiación coo hν oc κ a κ, (5) hν ya que la energía en reposo de las partículas creadas no es liberada en las inediaciones del lugar donde ocurrió el proceso. Creación de pares en el capo de un electrón Este efecto existe y puede edirse. De todas aneras es ucho enos probable que cuando hay un núcleo atóico presente: κ κ núcleo bz electrón donde bb(hν) está entre y. Se observa a partir de la conservación del oento lineal que la ínia energía necesaria para la creación de un par en el capo de un electrón es 4 o c. Los productos de este proceso se observan coo un triplete. Procesos de atenuación Ley de atenuación exponencial, 9

30 Un haz de fotones que atraviesa un edio aterial va atenuándose a edida que va interactuando ediante algunos de los ecanisos descriptos. Existen dos foras de atenuación: por absorción (un fotón desaparece) y por dispersión (un fotón es desviado de su trayectoria inicial). Si inciden n fotones por unidad de tiepo y por unidad de área sobre una láina de espesor x, la atraviesa sin interactuar un núero n (n n): x n n n n' Se observa experientalente que x, es decir, definiendo nn n, resulta n n n x. El factor de proporcionalidad que surge se denoina coeficiente de atenuación total µ. Este coeficiente es una función de la energía E o de los fotones incidentes y del núero atóico Z del edio aterial. Pasando al líite para espesores uy pequeños dn se tiene que: dn µ dx, (6) n ln n µ x + C, n Ae µ x A y C son constantes; en particular, A n() n o ; luego: n µ x n o e (7) Distintos tipos de coeficientes de atenuación El espesor lineal x se ide en unidades de longitud, por ejeplo, c; otra edida de espesor es el espesor ásico ρx, que se expresa en g/c. Tabién existe el espesor atóico (en átoos por c ) y el electrónico (en electrones por c ). Coo el exponente de la ec. (7) debe ser adiensional, el coeficiente de atenuación total µ tendrá distintas unidades según sea la unidad del espesor. Así, el coeficiente de atenuación lineal µ se expresa (por ejeplo) en /c; el coeficiente de atenuación ásico µ/ρ, en c /g, el coeficiente de atenuación atóica a µ, en c /átoo y el coeficiente de atenuación electrónica e µ, en c /electrón. Estos dos últios no son otros que las secciones eficaces atóica y electrónica, respectivaente. Es posible relacionar los distintos coeficientes de atenuación entre sí teniendo en cuenta que el producto [coef. de atenuación] [espesor] debe ser igual para todos los tipos de espesores, ya que la relación entre el núero de fotones incidentes y transitidos no puede depender de la fora en que se ida el espesor ver ec. (7). Así por ejeplo, se puede coparar el coeficiente de atenuación lineal con el atóico: µ x a µ núero de átoos/área µ a µ núero de átoos/voluen µ a µ ρ núero de átoos/asa µ aµ ρ N A /A 3

31 donde N A es el núero de Avogadro y A, el peso atóico. Tabién se puede coparar el coeficiente de atenuación atóico con el electrónico: aµ núero de átoos/área e µ núero de electrones/área a µ e µ núero de electrones/núero de átoos a µ eµz O bien el coeficiente de atenuación ásico µ/ρ con el lineal: µ/ρ ρx µ x µ/ρ ρ µ µ/ρ a µ N A /A Nota: µ/ρ es el síbolo utilizado para denotar el coeficiente de atenuación ásica. Atenuación conjunta por distintos procesos Se considera que cada proceso de atenuación afecta a la radiación incidente en fora independiente de los otros. La notación enos abigua para los coeficientes de atenuación lineales Copton, fotoeléctrico, por creación de pares y Rayleigh es σ, τ, κ y σ R, respectivaente, ientras que las correspondientes secciones eficaces se indican con e σ, a τ, a κ y a σ R ; sin ebargo, es frecuente referirse a estas últias con la notación ás sencilla: σ, τ, κ y σ R, igual que para los coeficientes de atenuación lineales, lo cual hace iprescindible apelar al contexto. Si consideraos distintos efectos, la ec. (6) se cuple para cada uno de ellos por separado: dn n dn n Copton foto σ dx τ dx Suando iebro a iebro se obtiene para el iebro izquierdo la variación total del núero de fotones: dn ( σ + τ +...)dx n Coparando esta últia ecuación con la ec. (6) se ve que µ Σµ i, donde µ i indica la atenuación de cada efecto por separado. Coparación entre distintos procesos de atenuación Coo puede verse en la figura, según sea la energía de los fotones incidentes y la naturaleza del blanco, es ás iportante uno u otro efecto. 3