Unidad VI Funciones. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Precálculo. 1 P á g i n a. Relación:

Transcripción

1 Unidad VI Funciones Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Relación: Una relación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos dados. La relación está determinada por algún criterio que permite asociar a algunos o a todos los elementos del primer conjunto con algunos o todos los elementos del segundo conjunto. La relación puede representarse mediante un diagrama, tabla, pares ordenados, etc. Al primer conjunto se le llama conjunto de salida y al segundo conjunto de llegada. Dentro de los cuales podemos identificar: Variable independiente: es la característica que representa al conjunto de salida y que puede tomar distintos valores (numéricos o no). Variable dependiente: es la característica que representa al conjunto de llegada y puede tonar distintos valores (numéricos o no). Pares ordenados: Un par ordenado es una colección de dos elementos tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y segundo b es escrito usualmente como (a, b). Sistema de Coordenadas Cartesianas: Un sistema de coordenadas es la representación matemática de la posición de puntos. En las coordenadas cartesianas un punto se localiza según su posición entre dos ejes que se cortan, uno horizontal y otro vertical, que se denominan e y, se denominan respectivamente abscisa y ordenada. Para representar los conjuntos que conforman la relación se utilizan letras mayúsculas y para representar la relación se utilizan las letras minúsculas. Plano cartesiano P á g i n a

2 . Definición de función: Universidad Técnica Nacional ( UTN ) X f Y = f() Una Relación se denomina FUNCIÓN, si cumple Ámbito con = las conjunto siguientes de las condiciones: imágenes - Todos los elementos del conjunto que se ubica en el eje de las abscisas (Eje X ), deben estar relacionados. - Cada uno de esos elementos se debe relacionar una única vez. DOMINIO CODOMINIO Una función es un conjunto de pares ordenados en el que no hay dos pares ordenados que tengan el mismo primer elemento. Es una relación o correspondencia entre dos conjuntos (A y B) no vacíos, en donde a cada elemento del conjunto de salida A (Dominio), le corresponde uno y solo un elemento en el conjunto de llegada B (Codominio), con el cual se asocia o le corresponde. Si a" es un elemento de A, su elemento asociado pertenece a B. Al conjunto A le llamamos Dominio y B se le llama Codominio de la función. Para simbolizar que se ha establecido una función f de un conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación f : A B. Definamos algunos de los conceptos: Preimagen: Dada una función f : A B, se le llama preimagen de un elemento y B a aquel elemento que se asocia a y bajo la función f. A cada uno de los elementos del dominio de una función se le llama preimágenes. Imagen: Dada una función f : A B, se le llama imagen de un elemento A, al elemento y B, que se le asigna una correspondencia a bajo la función f. La imagen de un elemento se denota por f() y así f = y. P á g i n a

3 A cada uno de los valores del codominio que están relacionados con alguna preimagen se les llama imágenes. Note que no necesariamente todos los valores del codominio son imágenes pues en algunas ocasiones los valores no tienen relación con ninguna preimagen. Dominio: Sea f : A B una función. Se dice que el conjunto A es el Dominio de la función f y se define como el conjunto al cual pertenecen las preimágenes de la función f. Codominio: Sea f : A B una función. Se dice que el conjunto B es el Codominio de la función f y se define como el conjunto al cual pertenecen las imágenes de la función f. Ámbito o Rango: Sea f : A B una función. Se denomina Ámbito o rango de la función f al conjunto de las imágenes de dicha función. Evidentemente el Ámbito es un subconjunto del Codominio, porque son todos los valores de B que tienen una pareja en A; en algunas ocasiones puede ser igual al codominio (ámbito codominio) Ámbito = Conjunto de las imágenes. Criterio: Es la regla por medio de la cual puede asignarse a y un valor o más valores de, los cuales van a ser específicos para ese y. Tales reglas suelen epresarse por medio de una epresión algebraica. Una función se puede denotar de la forma f : A B, esto se lee f de A en B y hace alución a que en la función f, A es el dominio y B es el codominio. El dominio y el codominio de una función pueden ser conjuntos finitos o conjuntos infinitos como intervalos, IN, ZZ, Q//, IR. Si en una función no se aclara su dominio y su codominio suponemos que la función va de IR en IR ( f : IR IR ). La epresión f() se utiliza para hacer referencia a la imagen de, donde es una preimagen. En muchas ocasiones la relación entre las preimágenes y las imágenes está determinada por una epresión algebraica a la cual anteriormente habíamos definido como criterio de la función. Calculo de imágenes y preimagenes. Sea la función k :,,0,,, B, tal que k 4 (este es el criterio de la función). Determine todas las imágenes y el ámbito de la función. k k k 0 k k Para determinar las imágenes solo se sustituye por el valor que me dan y se encuentra el resultado. (para encontrar imágenes evaluar) P á g i n a

4 . Sea la función j : A B, tal que j 4 7 Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Determine todas las preimágenes y el dominio de la función., si el ámbito de la función j es,,7,,7 Preimagen de Preimagen de Preimagen de 7 Preimagen de Preimagen de 7 Para determinar las preimágenes se iguala el criterio al valor que me dan y se resuelve la ecuación. (para encontrar preimágenes igualar y resolver la ecuación) Ejemplo: f()= +, si f()= 9, entonces se sabe que y = 9, 9 = 9 Por lo tanto la preimagen de 9 es 7, para esta función. 7 7 I PARTE Calcule lo que se pide: ) Sea f : 8, IR, f () = ) Sea g :,,0,, Practica calcule el ámbito de f, g() = calcule el ámbito de g ) Sea f() = 4, Halle f(-), f, f(0), f() 4) Sea h() =, Halle h(-4), h(0), h(-), h ) Sea f() =, Halle f(-), f(0), f, f 4 P á g i n a

5 6) Grafique las siguientes funciones de IR en IR. a) f ( ) b) y 4 c) y 4 d) g() = e) y = f) y =, 0 b) g ( ), 0, h) y i) j) Sea f ( ) y g ( ) trácelas en un mismo plano cartesiano y encuentre la intersección de las rectas., 7 8) Sea g() = calcule g(-), g(0), g(), g, g, g(4), Dominio máimo de una función Cuando definimos una función y = f() con una fórmula y el dominio no es eplícito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores de para los cuales la fórmula da valores reales en y. Para cualquier polinomio el dominio es Ejemplo f() = y = 4 9 Para calcular el dominio máimo estudiaremos los siguientes casos. I caso f es una función racional p ( ) f( ) el dominio máimo = { tal que q() = 0 } q ( ) Ejemplos Calcule el dominio máimo de a) f( ) 6 4 b) h ( ) 0 c) y 40 d) y P á g i n a

6 II caso Funciones radicales. Para hallar el dominio máimo se resuelve subradical O si la raiz esta en el numerador y subradical > O si la raíz esta en el denominador Ejemplos a) y 8 c) h ( ) 4 b) g() = 9 PRACTICA ) Halle el dominio máimo de cada función a) b) f ( ) f) y 9 ( 8 4 h ) g) y 0 c) y h) h( ) d) g( ) i) f ( ) 4 e) f ( ) j) 8 g ( ) FUNCION LINEAL Si una función f está definida en un intervalo o IR y su criterio está dado por f() = m + b, donde m y b corresponden a números reales, entonces se denomina FUNCIÓN LINEAL. Son ejemplos de éstas: f() = +...( m =, b = ) 6 P á g i n a

7 f() =... ( m = f() =. ( m =, b = 0 ), b = ) Esta función se llama lineal porque su gráfica genera en el plano cartesiano una línea recta, que puede ser: estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante según sea en su criterio el valor numérico de m. Como se ilustra a continuación: m: Número positivo m: Número negativo m: Igual a cero (Función estrict. creciente) (Función estrict. decreciente) (Función constante) INTERPRETACIÓN DEL CRITERIO DE UNA FUNCION LINEAL: Como el criterio de una función lineal f está definido por f() = m + b tenemos que: El número real m recibe el nombre de pendiente y determina en el plano cartesiano la inclinación de la recta. Como m es un número real se tiene que: a) Si m > 0 ( número positivo) entonces la recta se inclinará en el plano hacia arriba y la función lineal será estrictamente creciente. b) Si m = 0 entonces la recta no tendrá ninguna inclinación y la función lineal corresponderá a una función constante. c) Si m <0 ( número negativo) entonces la recta se inclinará hacia abajo y la función será estrictamente decreciente. El número real b recibe el nombre de intersección y determina el punto donde la función lineal interseca al EJE Y. Dicho punto de intersección corresponde al par ordenado (0,b). Apliquemos tales conceptos para dar solución a la siguiente actividad: 7 P á g i n a

8 ACTIVIDAD No. : Complete el siguiente cuadro escribiendo en cada columna: un número, un par ordenado, un sí o un no según corresponda, para obtener afirmaciones correctas. Criterio Pendiente (m) Intersección (b) Punto de Intersección eje Y Estrictamente Creciente Estrictamente decreciente Constante k() = 4 + g() = w() = p() = h() = 4 Determinemos los puntos de intersección con los ejes cartesianos para cada una de las siguientes funciones y tracemos su gráfica. Consideremos como dominio IR ) f() = Punto de intersección con: GRAFICA Eje Y : (0,b) Eje X: b,0 m ) f() = 4 GRAFICA Punto de intersección con: Eje Y : (0,b) Eje X: b,0 m 8 P á g i n a

9 Calcule la pendiente y intersección de las siguientes rectas ) y = + 0 ) f() = + ) 4y 7 = 4) ( y) 8 + PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CRITERIO DE UNA FUNCION LINEAL O LA ECUACIÓN DE UNA RECTA, CONOCIENDO DOS DE SUS PARES ORDENADOS: Consideremos la función f()= m + b cuya gráfica se presenta a continuación: Con los pares ordenados (,y ) y (,y ) podemos obtener el criterio de la función lineal correspondiente a la gráfica adjunta. Para ello se sugiere aplicar el procedimiento planteado a continuación: Procedimiento: Cálculo de la pendiente, de la intersección y del criterio: Seleccione dos pares ordenados de la gráfica de la función: (, y ) y (, y ) Para determinar el valor de la pendiente aplique la fórmula: y y m. Para determinar el valor numérico de la intersección b, elija uno de los pares ordenados, como por ejemplo (, y ) y aplique la fórmula: b = y - m. 9 P á g i n a

10 Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Sustituya los valores de m y b en f()= m + b, así obtendrá el criterio de la función lineal asociada a la gráfica en estudio. Dicho criterio también se puede escribir como y = m + b, ecuación que se conoce como ECUACIÓN DE UNA RECTA. Ejemplos:. Determine el criterio de la función lineal cuya gráfica contiene los puntos: - 9 a) (-7, ) y (, 6) b) (, ) y (-, 9) c), y, Determinemos la ecuación de la recta representada en cada una de las gráficas adjuntas. a) 0 P á g i n a

11 PRACTICA Universidad Técnica Nacional ( UTN ) a) Cuál es el criterio de una función lineal con pendiente 4 y cuya gráfica contiene al punto (, )? b) Si la pendiente de una función lineal es y su gráfica contiene al punto (, ) entonces, cuál es su criterio? c) De acuerdo con los datos indicados en cada caso, determine la ecuación de la recta: Cuya pendiente es y que pasa por el punto (4, 0). Que pasa por los puntos, y,. 4 4 Que pasa por los puntos ( 0, ) y ( 4, ). d) Para resolver el siguiente ejercicio tome como referencia la información presente en el cuadro adjunto. (No copie esta información, sólo aplique lo que en ella se plantea) ) Si una función lineal f definida en [, ] posee como criterio: f() =, entonces cuál es su ámbito? ) Si una función lineal h está definida en el intervalo ], [ y su criterio está dado por h() =. Entonces para que dicha función sea biyectiva cuál debe ser su codominio? 4 ) Si una función lineal está definida en ],8 ] y posee como criterio a g() =, entonces cuál debe ser su codominio para que sea biyectiva? Cómo se clasifica dicha función: estrictamente creciente o estrictamente decreciente? 4) Si el dominio de una función lineal corresponde al intervalo [, [ y su criterio está dado por f() = 4. Entonces: - Cuál es su ámbito?. - Cómo se clasifica esta función, estrictamente creciente o estrictamente decreciente? El ámbito de una función lineal definida en un intervalo real se puede obtener sin tener que trazar su gráfica. Analice el siguiente ejemplo: Si una función lineal está definida en el intervalo [ -, [ y posee como criterio a f() = 6, entonces cuál es su ámbito? Solución: Dominio: [ -, [ Criterio: f() = 6. = f( ) = 6 =. Etremos = f( ) = 6 = 9 del ámbito AMBITO DE F: ] 9, ] Dicho intervalo se da ordenado, de menor a mayor. P á g i n a

12 RECTAS PARALELAS, PERPENDICULARES Y OBLICUAS: Como la ecuación de una recta está dado por: Y = m + b, podemos comparar el valor numérico de la pendiente de dos o más rectas y clasificarlas en paralelas, perpendiculares u oblicuas, según sea el caso. RECTAS PARALELAS: De la geometría sabemos que dos rectas en el mismo plano son paralelas si nunca se intersecan. También podemos decir que, si las ecuaciones de dos rectas poseen igual pendiente entonces dichas rectas son paralelas. Ejemplos de rectas paralelas: RECTAS PARALELAS a) y =, y = +... ( m = ) b) y =, y =...( m= ) c) y = + 4, y =...( m = ) RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas en el mismo plano son perpendiculares si forman entre sí un ángulo de 90 0 (recto). También podemos afirmar que: - Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una corresponde al opuesto del inverso multiplicativo de la pendiente de la otra. Ejemplos: RECTAS PERPENDICULARES m m = a) y ( m ), y ( m ) b) y ( m ), y ( m ) Lo anterior equivale también a decir que: - Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a. P á g i n a

13 Ejemplos: 4 4 c) y, y son perpendiculares pues: 4 4 d) y, y son perpendiculares pues: RECTAS OBLICUAS: Esta rectas NO son ni paralelas, ni perpendiculares. En general podemos indicar que, si las pendientes de dos rectas NO cumplen con ninguna de las características anteriores, entonces dichas rectas se denominan oblicuas. Ejemplos: RECTAS OBLICUAS a) y = + 4 (m = ), y = 4 (m = 4). b) y ( m ), y ( m ) c) y = ( m = ), y = (m=) Apliquemos estos conceptos en la solución de la siguiente actividad: EJEMPLOS: Determine cuales de las siguientes parejas de rectas son paralelas. Ejemplos a) y = y f() = b) f() = ( m m, m m - ) + y y + = 0 c) Calcule la ecuación de la recta que es paralela a la recta 6y = 7 y pasa por el punto (, ) P á g i n a

14 d) Determine cuales de las siguientes parejas de rectas son perpendiculares: a) y = + y f() = b) f() = + y 4y 7 = 4 c ) Calcule la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta y = 7, pasa por el punto (, 6) Practica: ) Basado en las definiciones dadas anteriormente, clasifique cada parejas de rectas en: paralelas, perpendiculares u oblicuas. a) y =, y = : b) y = 7 4, y = 7 : 4 c) y =, 4 y = 4 : d) + y =, y + 4 = 0 (Debe primero despejar Y en ambas) d) y + 6 = 0, y + = 0 ) Complete en cada caso de forma que se obtengan proposiciones verdaderas. a) Una recta paralela a Y = 4, tiene como pendiente. b) Si una recta pasa por ( 0, ) y es perpendicular a Y =. Entonces el valor de su pendiente 8 corresponde es m = y posee como ecuación Y =. 4 P á g i n a

15 c) 6 Una recta perpendicular a y tiene como pendiente a 7. d) Una recta paralela a Y = + 7, que pasa por el origen posee como ecuación Y =. ) Resuelva en su cuadernos estos otros ejercicios. Incluya todos los cálculos. - Determine la ecuación de la recta que contiene al punto: a) (, ) y paralela a la recta cuya ecuación está dada por Y = + 4. b) ( 7, 6 ) y es paralela a la recta definida como y = 0 c), y es paralela a la recta que pasa por los puntos,,, 0. 4 d) (4, ) y es perpendicular a la recta definida por y. e) (, ) y es perpendicular a la recta definida como 4y = 6. 4 f) 4 4, y es perpendicular a la recta que contiene los puntos (, ) ;,.. La recta que pasa por los puntos (, ) y, (, ). Cuáles son las ecuaciones de ambas? es perpendicular a la recta que pasa por el punto 4. Cuál es la ecuación de la recta que interseca al eje de las abscisas en y es perpendicular a la recta definida por + y + 0 = 0?. Si una recta pasa por los puntos (, 0) ; (0, 4) y otra pasa por (,0) y (0, 4). De acuerdo con sus ecuaciones, dichas rectas son paralelas, perpendiculares u oblicuas? P á g i n a

16 FUNCION CUADRATICA. Una función f dada por a b c, con a, b, c IR; a 0 ; se denomina función cuadrática y su representación gráfica se conoce con el nombre función polinómica. Para la grafica de la función es importante considerar los siguientes puntos: a) Concavidad: Dada por a, de la siguiente forma: a> 0, cóncava hacia arriba. a< 0, cóncava hacia abajo. b) Intersección con el eje X: Dada por la solución de la ecuación a b c, donde: 0, interseca al eje X en dos puntos, y, las soluciones de la ecuación. c) Intersección con el eje Y: Dada por el punto (0, C). -b - d) Vértice: Dada por el punto, a 4a. e) Eje de simetría: Es la recta vertical dada por 0, la parábola no interseca al eje X. 0, interseca al eje X en un único punto. f) Monotonía: A) Si f es cóncava hacia arriba: b a. f es estrictamente creciente en, a g) Ámbito: -b = a, es decir la primera componente del vértice. b. f es estrictamente decreciente en, b a. B) Si f es cóncava hacia abajo: a. f es estrictamente creciente en, b a b b. f es estrictamente decreciente en, a A) Si f es cóncava hacia arriba: a. El ámbito corresponde, 4a B) Si f es cóncava hacia abajo: EJEMPLO: grafique la siguiente función cuadrática: a) y = a. El ámbito corresponde,. 4a... 6 P á g i n a

17 b) y c y ) 4 9 PRACTICA Trace el grafico de las siguientes funciones cuadráticas Calcule concavidad, cortes con los ejes, vértice, eje de simetría, intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) y = b) y = c) y = + + d) y = ( ) 6 e) y = 8 f) y = g) y = 40 6 h) y i) y = j) y ( ) 4 7 P á g i n a

18 Clasificación de funciones Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Función sobreyectiva: Una función f es sobreyectiva si el ámbito es igual al codominio, es decir todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. Función inyectiva: Una función f es inyectiva si eiste una correspondencia biunívoca entre el dominio y el ámbito. Función biyectiva: Una función f es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva. Función inversa Sea f: A B una función biyectiva. Entonces su función inversa f - : B A, está definida por f - (y) = y f ()=y para cualquier y en B. De lo anterior, una función f tiene por inversa otra función denotada por f - sí y sólo sí eiste una correspondencia uno a uno entre los elementos del dominio y del codominio; es decir, si f es biyectiva. Note que si f : A B y f - eiste, entonces f - : B A. Ejemplos Determine la función inversa de f ( ) 4 9 Determine la función inversa de f ( ) 4 Determine la función inversa de f ( ) 8 P á g i n a

19 Determine la función inversa de f( ) 0 Determine la función inversa de f( ) 4 8 Problemas de Aplicación:. f () = = y f () =. f () = = y f () =. f () = = y f - () = 4. f() = = y f () =. f() = 4 = y 4 f () = 4 6. f() = 8 =8 y f () = 8 7. f() = = y f () = 8. f() = = y f () = 9. f () = = y f () = 0. f () = = y f () =.f () = = y f () = + 9 P á g i n a

20 UNIDAD VI FUNCIÓN EXPONENCIAL Se define la función eponencial como base, con a >0 y a Universidad Técnica Nacional ( UTN ) + f : IR IR, donde f a, para la cual a es la ; por lo tanto se distinguen dos casos que recordaremos a continuación: Caso : a Para este caso tenemos f() = f() , haciendo una tabla de valores tenemos que: De la cual podemos deducir las siguientes características: ) El dominio es IR. ) El ámbito es IR. ) La gráfica no interseca al eje. 4) La gráfica interseca al eje y en (0, ). ) f es estrictamente creciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva. Caso : 0< a< Para este caso tenemos la función f para la cual f = ó, haciendo la tabla de valores: f() De la cual podemos deducir las siguientes características: ) El dominio es IR. ) El ámbito es IR. ) La gráfica no interseca al eje. 4) La gráfica interseca al eje y en (0, ). ) f es estrictamente decreciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva. 0 P á g i n a

21 Logaritmos Definición: se define los logaritmos de la forma que Loga y a y, se lee logaritmo de en base a es y FUNCIÓN LOGARITMICA Se de fine la función logarítmica como f : IR + IR, donde f = log a, para la cual a es la base, con a >0 y a ; por lo tanto se distinguen dos casos que recordaremos. Ahora es importante definir que la función logarítmica es la inversa de la función eponencial. Caso : a Para este caso tenemos f log, ahora por tener relación con la función eponencial podemos decir: f() = log y = log y = Haciendo una tabla de valores tenemos que: f() De la cual podemos deducir las siguientes características: ) El dominio es IR. ) El ámbito es IR. ) La gráfica interseca al eje en (, 0). 4) La gráfica no interseca al eje y. ) f es estrictamente creciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva. P á g i n a

22 Caso : 0< a< Para este caso tenemos la función f para la cual f( ) f() De la cual podemos deducir las siguientes características: ) El dominio es IR. ) El ámbito es IR. ) La gráfica interseca al eje en (, 0). 4) La gráfica no interseca al eje y. ) f es estrictamente decreciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva. ó, haciendo la tabla de valores: ECUACIONES EXPONENCIALES ( Una ecuación recibe el nombre de ecuación eponencial si la, o las variables aparecen en uno más eponentes. Por ejemplo: 6 ; o bien, 6 En la resolución de ecuaciones eponenciales, se distinguen dos casos según los términos a ambos miembros de la igualdad: Aquellas que son reducibles a igual base Las que no son reducibles a la misma base En este tema estudiaremos aquellas que podrán reducirse a un base común, pues las otras requieren de la teoría de logaritmos que se estudiará posteriormente. Dado que la función eponencial f ( ) b, es una función biyectiva, entonces se cumple que: f ( ) f ( ) Lo anterior significa que: b b Esta propiedad se puede aprovechar para resolver ecuaciones eponenciales, en los casos en que los términos a ambos miembros de la igualdad se pueden reducir a una base común. m m P á g i n a

23 Ejemplos: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones eponenciales. a) 7 7 d) b) 9 e) 9 c) 8 0 f) EJERCICIOS I) Resuelva las siguientes ecuaciones eponenciales. Indique el conjunto solución. 7 ) R/ S 6 ) 7 9 S 9 ) R/ ( ) 7 4 R/ S 8 4) 8 0 R/ S P á g i n a

24 ) 8 R/ S 6) 4 7 R/ S 7) S 4 8) 9) 0) 4 R/ 9 7 R/ S 8 R/ S R/ S S, ) ) ) R/ R/ S 4 4) 8 R/ S 8 R/ S 0, ) 4 6) 4 4 7) 7 8) 9) 0) R/ S, R/ S R/ S ) 0, 0, 006 ) 0, 8 0 ) 4) ) 6) 4 0 R/ S R/ S 9 R/ S 7 S 4 R/ 4 R/ S 9 8 R/ S R/ S R/ S R/ S 4 P á g i n a

25 7) ) 4 9) 6 Universidad Técnica Nacional ( UTN ) R/ S R/ S R/ S II) Conteste las siguientes preguntas ) Cuál es la preimagen de para la función f ( )? R/ 7 4 ) Cuál es la preimagen de 7 para la función f ( )? R/ ) Cuál es la preimagen de 6 para la función f ( )? R/ 9 4) Cuál es la preimagen de 6 para la función f ( ) 4? R/ 9 LOGARITMOS: DEFINICIÓN En general, el LOGARITMO de un número N con respecto a determinada base, es el EXPONENTE que debe usarse con la base para obtener N. El logaritmo de un número es el eponente al que hay que elevar otro número a, llamado base, para obtener. y log y a a 0, a, 0 y: se denomina logaritmo a: recibe el nombre de base del logaritmo y puede ser cualquier número real positivo, ecepto. : se llama argumento del logaritmo y no puede ser negativo ni cero. log a = y Ejemplo : ) log = pues ) log 7 49 = pues ) log = pues 9 NOTACIÓN EXPONENCIAL Y NOTACIÓN LOGARÍTMICA a FORMA EXPONENCIAL = 8 FORMA LOGARÍTMICA 4 0 = 4 = 6 P á g i n a

26 = 9 Ejemplo : a) log 9 8, pues: b) log 0. pues: c) log 8, pues: ) LOGARITMOS NATURALES Y DECIMALES LOGARITMO DECIMAL: Es la función logarítmica en base 0. Por convención la base 0 generalmente no se escribe. log 0 = log La función logaritmo en base 0 se define de la siguiente manera log = y 0 y = LOGARITMO NATURAL: Es la función logarítmica que utiliza como base el número de Euler e ( e,7 ): log e = ln La función logaritmo natural se define de la siguiente manera: ln = y e y = Ejemplo : a) log 00, pues: b) log 0,. pues: c) ln e, pues: Conociendo tan sólo dos valores de la epresión del tercero. Ejemplo : (resolver en el cuaderno) I CASO: DETERMINAR EL ARGUMENTO. A*) log a y log y, se puede calcular el valor numérico N B*) a log 6 P á g i n a

27 II CASO: DETERMINAR EL LOGARTIMO. A*) log m 8 B*) log 0, n C ) log D) log y II CASO: DETERMINAR LA BASE. A*) log C*) log b B*) log m D*) log n 4 9 E*) log b F) log n 8 4 G) log I)log m 8 H )log J ) log k b 8 4 ) CONVERSIÓN DE UN LOGARITMO DE BASE CUALQUIERA A BASE 0 Para convertir a base 0 un logaritmo de argumento N en cualquier base b, b >0, b, basta con hallar el cociente del logaritmo en base 0 de N entre el logaritmo en base 0 de la base b. Así: log N log b N log b Ejemplo 4: Calcular los siguientes logaritmos: a) log = b) log 7 = 7 P á g i n a

28 EJERCICIOS A-) Eprese en forma eponencial las siguientes epresiones logarítmicas ) log 6= 4 ) log = ) log 6 6= 4) log 6 6 = ) log = 6) log7 = 8 4 7) log 000= 8) log 0,0= 9) ln = 0 0) ln e = B-) Eprese en forma logarítmica las siguientes epresiones eponenciales ) = 9 ) 4 = 8 ) = 4) 8 = 7 64 ) 7) 8 = 4 6) 6 =6 = 9 8) = 9) 9 0) 0 =00 ) 0 = 000 ) e 0 C-) Determine el valor de la variable que hace cierta cada igualdad. ) log 4 6 = ) log N = 4) log b 6 = 4 ) log b ) log 4 N =, 6) log 7 = y 7) log 6 m = 0 8) log 7 8 P á g i n a

29 9) log n = ) log b 4 Universidad Técnica Nacional ( UTN ) 0) log b 7 ) log 0,04 = y ) log b 4 = 0, 4) log y ) 8 log 6) log 7 9 7) log a 8) log m a 8 9) 0) log log ) log ) 4 log D-) Calcule los siguientes logaritmos aplicando teorema de cambio de base. ) log = ) log = ) log 0= ) log 9 7= 4) log = 6) log = LOGARITMOS: PROPIEDADES Las propiedades de los logaritmos permiten transformar un logaritmo en una epresión equivalente. Las propiedades de los logaritmos también permiten resolver ecuaciones logarítmicas, verificar identidades logarítmicas y además ayudan en el cálculo de algunos logaritmos.. Logaritmo de en base a. Ejemplos: log =, pues 0 = log 7 =, pues 7 0 = log a = 0. Logaritmo de la base. log a a = Ejemplos: log =, pues = log =, pues = 9 P á g i n a

30 log. a a Ejemplos: 9 log 4 4 log 0 4. Logaritmo de una potencia. log a n = n log a Ejemplos: a) log 6 = b) log 8 = c) log =. Logaritmo de un producto o multiplicación. log a (. y ) = log a + log a y Ejemplos: a) log a () = b) log (yz) = c) log 6 9 m 6. Logaritmo de un cociente. log a Ejemplos: 79 a) log b) log 8 9 y = log a log a y c) log 7. Logaritmo de una epresión radical. log n a log a n log n a log n a Ejemplos: 0 P á g i n a

31 a) log 4 8 b) log 8 c) log 4 n y Las propiedades anteriores también se aplican a los logaritmos naturales:. ln = 0. ln e n = n En particular: ln e = ln. e 4. Logaritmo natural de un producto: ln (. y ) = ln + ln y. Logaritmo natural de un cociente: ln ln ln y y 6. Logaritmo natural de una potencia: ln n = n ln 7. Logaritmo natural de una epresión radical: ln n ln n ln ln n n Ejemplo. Aplique propiedades de los logaritmos para cambiar cada epresión en sumas y restas, tanto como sea posible. 4 a) log y m a b) y log a 4 a b c ( )( ) c) log 6 PRACTICA:PROPIEDADES DE LOGARITMOS A) Escriba en un solo logaritmo las siguientes epresiones aplicando las propiedades de logaritmos, reduciendo al máimo cada epresión. R/ -) log log log log P á g i n a

32 -) 4log log y log y log a a -) log a y log a y log a y a Universidad Técnica Nacional ( UTN ) a y R/ log a y 4 y R/ log a 0 y 4-) 4 log b 7log b y log by R/ 0 -) log a a log a log a a R/ a 6-) 6 log log 4 4log R/ log 7-) log log R/ log ) log log ) log log logyn R/ log yn n y log R/ y n 6log y log y log y R/ log log log log 0-) -) R/ 8 log -) log R/ -) ln e ln e R/ 4-) ln ln ln R/ 0 B) Escriba en términos de sumas y restas tanto como sea posible las siguientes epresiones aplicando las propiedades de logaritmos, reduciendo al máimo cada epresión. ab -) cd log R/ log a log b log c log d y -) log z R/ log log y log z z -) log R/ log z log 4log y log w 4 y w y 4-) log z R/ log y log log z P á g i n a

33 -) y 4 log R/ log log y log z 4 z 6 y 6-) log R/ log 6log y log z z 7-) log yz R/ log log y log z ) log R/ log log 4 8 C) Verifique las siguientes identidades logarítmicas. ) ln e e 7 ln e e ) 6 ) 4) ln e ln e log b b b = 6 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Una ecuación es logarítmica si la variable es parte de un número cuyo logaritmo será tomado, es decir la variable aparece en el argumento del logaritmo. Una ecuación logarítmica es una epresión como la siguiente: log + log ( ) = 0 En la resolución de estas ecuaciones siempre deben ser probadas las raíces o soluciones debido a que el dominio de la función logarítmica está restringido a IR + (el argumento es siempre positivo). Obviamente pueden obtenerse resultados que no correspondan a verdaderas soluciones de la ecuación. Para resolver ecuaciones logarítmicas se utilizan: las propiedades de los logaritmos la definición de logaritmo: log a y a y la siguiente propiedad: si log a f () = log a g() entonces f () = g() P á g i n a

34 Ejemplo : Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones logarítmicas. a*) log log log log 6 f) b*) log 6 7 log g) Z EJERCICIOS ECUACIONES LOGARÍTMICAS ) ln ln0 ln 8) log log6 log ) 4 log 9) log log log log log log ) 0) ln 4 ln 4 ln 84 4) log 6 ) log log log log 7 ) ) ln ln 6) log log ) 9 log 4 0 log log 4) log8 log8 log8 7) 4 P á g i n a

35 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ÁNGULO Porción de plano, separada por dos rayos y un vértice en común y Un ángulo colocado en un plano semejante rectangular se dice que está en la posición estándar si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo..los ángulos pueden ser positivos se dibujan contrario a las manecillas del reloj y negativos en caso contrario. Ejemplos 00 º º 60 º Los ángulos se pueden medir en grados o radianes y se puede convertir de la siguiente manera Para cambiar grados a radianes se multiplica por 80 0 º = 40 º = 60 º = = Para cambiar radianes a grados se multiplica por \DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En todo triángulo rectángulo definimos las siguientes razones opuesto hipotenusa Sen = opuesto hipotenusa csc hipotenusa opuesto adyacente Cos = adyacente hipotenusa sec hipotenusa adyacente tan = opuesto abyacente cot adyacente opuesto P á g i n a

36 Ejemplos: Si es un ángulo agudo y cos = trigonométricas de Universidad Técnica Nacional ( UTN ), encuentre el valor de todas las funciones 6 P á g i n a

37 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO. Si es un ángulo en posición estándar y P(, y ) es un punto distinto del origen y situado sobre el lado final del ángulo, entonces las seis funciones trigonométricas del ángulo se define como sigue y Sen = y r csc r y Cos = tan = y r sec r cot y r y Ejemplos Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo tiene al punto P(, ) Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo tiene al punto P( 8, ) 7 P á g i n a

38 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES CIRCULO TRIGONOMETRICO Sen = y cos = y sen Tan = cos Csc = y sen Sec = cos cos Cot = y sen Además se cumple que y sen cos De esto sen cos cos sen Usando la formula anterior podemos deducir las siguientes identidades sen cos cos cos cos sen sen cos sen sen tan sec cot csc Ejemplos Demostrar la identidad cos csc cot tan sen csc cos sec OTRAS IDENTIDADES IMPORTANTES Fórmulas del doble ángulo Sen A = sen A cos A Cos A = cos A sen A sen A = cos A cos A = cos A Fórmulas de la suma y resta de ángulos Sen ( A + B ) = sen A cos B + sen B cos A cos ( A + B ) = cos A cos B sen A sen B 8 P á g i n a

39 Sen ( A B ) = sen A cos B sen B cos A cos ( A B ) = cos A cos B + sen A sen B Ejemplos Si tan A = y sec B = Calcule a) sen ( A + B) = b) cos ( A B) = Gráfica de las funciones trigonométricas La función seno Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora: ángulo 0º 0º 4º 60º 90º 0º º 0º 80º º 70º º 60º seno La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abcisas aparece la medida del ángulo en radianes. Es la gráfica de una función continua y definida en R. Los valores del seno se repiten cada radianes (cada 60º). Este valor se llama periodo de la función Esta gráfica se llama sinusoide. 9 P á g i n a

40 La función coseno Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora: ángulo 0º 0º 4º 60º 90º 0º º 0º 80º º 70º º 60º coseno La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abscisas está la medida del ángulo en radianes. También su domino es todo el conjunto R y se trata de una función continua. Los valores del coseno también se repiten cada radianes (cada 60º). Esta gráfica se llama cosinusoide. La función tangente Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora: ángulo 0º 0º 4º 60º 90º 0º º 0º 80º º 70º º 60º tangente Qué ocurre con la tangente de 90º y con la de 70º? Ahora representa la función tan. Sólo para valores del intervalo ] -/, / [. (Este intervalo en grados seagesimales se corresponde de 90º hasta 90º). En el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en radianes. La gráfica de la función tangente que has obtenido será semejante a la que tienes a continuación: Esta función no está definida para cualquier valor de. Como has podido ver los ángulos 90º (/ rad) y 70º (/ rad) no tienen tangente. Tampoco eiste la tangente para los ángulos que se obtiene a partir de los anteriores sumándoles 60º. El dominio de la función tangente será: D(f) = R { / + k siendo k Z 40 P á g i n a

41 Funciones trigonométricas inversas. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) El seno, en es monótona creciente, entonces podemos definir el inverso de la función seno restringida al intervalo. Análogamente podemos considerar la función coseno en el intervalo La tangente en es una función creciente cuya inversa estará definida en todo. Así tendremos las siguientes definiciones:. Función arcoseno.,. El arcoseno se define como el único tal que.. Función arcocoseno. tal que. El arcocoseno se define como el único cos y. La imagen del arcocoseno es el intervalo.. Función arcotangente.,. La arcotangente se define como el único tal que. La imagen de la arcotangente es el intervalo. Determine a) tan ( arcsen ) 4 P á g i n a

42 b) Evaluar 4 sen ( arctan arc cos ) Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Ecuaciones trigonométricas Son aquellas en las que aparece alguna razón trigonométrica de la incognita. Para resolverlas es conveniente : º Epresar todas las razones que aparezcan en función de un mismo ángulo. º Epresar todas las razones en función de una sola razón trigonométrica. Estos dos pasos se consiguen utilizando las fórmulas trigonométricas estudiadas anteriormente. Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden epresarse en grados o en radianes. Ejemplos de ecuaciones trigonométricas: ) sen() =0 ) sen()=sen() ) cos () sen()= Soluciones: 4 P á g i n a

43 Aplicaciones a la resolución de triángulos.. Ley de senos Se usa para encontrar los lados o ángulos de un triángulo A a b c sen A sen B sen C c b B a C De acuerdo a las figuras calcule e y B 8 0 Y 8 0 y A C y TEOREMA DE LOS COSENOS En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman. A c a b abcos C c b b a c accos B B a C Ejemplos ) Los lados de un triángulo miden respectivamente, 4 y cm. Hallar la medida de los ángulos del triángulo. 4 P á g i n a

44 ) Resuelva el triangulo Universidad Técnica Nacional ( UTN ) A 6 8 B a C PRACTICA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ) Convierta los siguientes ángulos a radianes y dibújelos a) 0º e) º b) 40º f) 00º c) º g) 00º d) 080 º h) 70º ) Convierta los siguientes ángulos a grados y dibújelos a) b) e) 0 d) 6 c) e) 4 d) 4 7 f) 6 ) Calcule el resto de las funciones trigonométricas de si a) tan = d) cot = 7 b) sen = e) csc = c) cot = f) sec = 4) Calcule las razones trigonométricas de a) b) c) d) 9 m n 8 7 r 44 P á g i n a

45 e) Si tan = f) Si cos = Universidad Técnica Nacional ( UTN ) 7 g) sen h) tan 9 ) Funciones trigonométricas de 0º, 4 º y 60º De acuerdo a los triángulos.complete el siguiente cuadro. Función / ángulo 0º 4º 60º Sen Cos Tan Csc Sec Cot 6)Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo,si esta en posición estándar y satisface las condiciones dadas a) El punto P ( 6, 8) está en el lado terminal de b) El punto P (, ) está en el lado terminal de c) El punto P (, ) está en el lado terminal de d) El punto P (, 4) está en el lado terminal de 7) Calcule las siguientes epresiones a) Sen ( + ) = b) Cos ( + ) = c) Sen ( 0º) = d) Cos ( 80º) = 4 P á g i n a

46 7) Si tan A = y sec B = 4 Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Calcule c) sen ( A + B) = d) cos ( A B) = 8) Si Sen A = 8 Calcule 7 a) sen ( A) = b) cos ( A) = 9) Usando la calculadora calcule el valor de ángulo ( shifh función valor = ) 4 a) sen e) sen i) sen b) cos f) tan j) cos 0.47 c) tan = 7 g) cos k) tan 4 d) sen = h) sen l) sen 7 0) Verifique las identidades trigonométricas. cos tg = sen. sen sec = tg. sen cotg = cos 4. sen tg + cos = sec. cosec - sen = cotg cos 6. (sen + cos) + (sen - cos) = 7. (sen + cosec) = sen + cotg + sen cos 8. cosec cos sen cosec 9. cos cot g tg 0. cos 4 - sen 4 += cos. sec 4 - sec = tg 4 - tg 46 P á g i n a

47 . (sec + cos) (sec - cos) = tg + sen. (+ tg ) cos = 4. sen + sen tg = tg. sec + cosec = sec cosec 6. tg + cotg = sec cosec 7. ( + cotg ) sen = 8. cos 4 - sen 4 - cos = - 9. sen cos + cos sen = sen cos sen cos 0. cos ec cos sen ) Resuelva los problemas ( Ley de senos y cosenos) 0) Desde un punto ubicado en una torre a m de altura, se observa, con un ángulo de depresión de 68º, un objeto en el plano de la base de la torre, cuál es la distancia aproimada del objeto a la base de la torre? ( ),6 m ( ) 6,06 m ( ) 7, m ( ) 40,04 m ) De acuerdo con los datos de la figura, en el rombo ABCD, cuál es la longitud aproimada de AC? B ( ),0 ( ) 6, A º C ( ) 8,48 ( )8,87 D 47 P á g i n a

48 ) De acuerdo con los datos del rectángulo ABCD, cuál es la medida aproimada de AC? ( ),47 ( ) 4,4 ( ) 6,8 ( ) 8,6 A º D ) En ABC, AB = BC, m) ACB 0 y AC = 0 cm cuál es la medida B 0 C aproimada de BD? B ( ), cm ( ),8 cm ( ) 4,0 cm A D C ( ),96 cm 4) Desde la cúspide de una torre de 4 m de alto se observa, con un ángulo de depresión de, un objeto ubicado en el mismo plano horizontal que la base de la torre. A qué distancia aproimada se encuentra el objeto de la base de la torre? ( ) 8,7 m ( ) 6, m ( ),40 m ( ) 6,4 m ) De acuerdo con los datos de la figura, si ABCD es un paralelogramo, entonces cuál es aproimadamente el perímetro de ese paralelogramo? B ( ) 48, 0 C ( ) 68,9 ( ) 6,7 A 6 D ( ),4 48 P á g i n a

49 6) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es la longitud aproimada de BC? ( ),0 B ( ), ( ),70 ( ) 4,48 A 48 D C 7) Desde la cúspide de una torre se observa, con un ángulo de depresión de, un objeto ubicado a m de la base de la torre en el mismo plano horizontal. Cuál es la altura aproimada de la torre? ( ) 6,6 m ( ) 7,0 m ( ) 0,8 m ( ) 9,0 m 8) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es la medida aproimada de BC? C ( ) 7,0 48 ( ) 8,88 D ( ),8 4 ( ) 0,77 A 48 B 49 P á g i n a

50 9) Considere la siguiente figura. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) De acuerdo con los datos de la figura, la altura aproimada del árbol es ( ),7 ( ),8 ( ) 4,0 ( ) 9, 8 0) Considere el siguiente triángulo. De acuerdo con los datos de la figura, el valor aproimado de es ( ),4 0 ( ),7 8 ( ).0 ( ),79 ) Considere la siguiente figura. De acuerdo con los datos de la figura, en el rombo ABCD, cuál es la longitud aproimada de AC? B ( ),8 ( ) 4,86 0 ( ), A 48 C ( ) 9,89 D ) Desde un punto, ubicado en una torre vertical y con un ángulo de depresión de 8, se observa un objeto en el plano de la base de la torre a 0 m de distancia de dicha base. A qué altura aproimada se encuentra el punto de observación ubicado en la torre? ( ) 6, m ( ) 8,40 m ( ) 6,00 m ( ) 8,7 m 0 P á g i n a

51 ) Considere la siguiente figura. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) Si ABCD es un rombo donde AB = 8, m) DAB, entonces cuál es la medida aproimada de AC? ( ),6 ( ) 4,0 ( ),7 ( ) 8,9 D A C B 4) En ABC, si m ) ABC = 90, BC = 7, m ) BCA =, entonces cuál es la longitud aproimada de AB? ( ) 7, ( ) 79, ( ),64 ( ), ) Si en ABC, m ) ABC = 7, m ) BCA = 40 y AB =, entonces cuál es la medida aproimada de AC? ( ) 8, ( ) 4,84 ( ) 7, ( ) 7,7 6)Considere la siguiente figura. De acuerdo con los datos de la figura, cuál es la medida aproimada de PR? P 70 ( ), ( ),7 ( ) 0, Q R ( ),9 P á g i n a

52 7) Considere el ABC. Universidad Técnica Nacional ( UTN ) De acuerdo con los datos de la figura, cuál es la medida aproimada de BC? ( ) 6,89 B ( ) 9,9 ( ), 8 0 ( ) 4,9 A C 8) Considere el RST. De acuerdo con los datos de la figura, cuál es el valor aproimado de? ( ) 47 ( ) 64 ( ) 6 ( ) 6 S R T 9) De acuerdo con los datos de la figura la medida de AB es 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) A 4º C 60º B 0) De acuerdo con los datos de la figura la longitud de AB es ( ) 4 ( ) 8 B ( ) ( ) A 4 C P á g i n a

53 Respuestas ( Ley de senos y cosenos) Universidad Técnica Nacional ( UTN ) 0 B 4 C 8 A C 6 B 0 C A B 9 A D 7 A C 6 D 0 A 4 A 8 D D 7 B A D 9 D ) Resuelva los siguientes ecuaciones ) sen 0 ) tan = tan, ) sen sen = 0, 4) csc = cot ) cos = cos 6) tan tan = 0 7) sen = sen en 8) sen cos = cos 9) (cos )(cos ) = 0 0) tan = sec ) tan = sec en 0, ) sen cos = cos ) (sec 4) (cot ) 0 4) 4 cos sec ) sen cos 6) sen = P á g i n a