CONCEPTO DE TRABAJO. 2. Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sistema de partículas Generalización del concepto de función de fuerzas...

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1 NEPT DE TRABAJ Índice 1. Trabajo de una fuerza sobre una partícula Definición de trabajo elemental Nomenclatura Propiedades Definición de Potencia Definición de trabajo alculo del trabajo: casos de interés aso general aso de fuerza solo función de la posición aso de fuerza potencial solo función de la posición Superficies de nivel de un campo escalar Derivada direccional álculo de la función de fuerzas ampos no estacionarios Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sistema de partículas Generalización del concepto de función de fuerzas Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sólido Propiedades Relatividad del trabajo Trabajo de las acciones de contacto 12 1

2 1. Trabajo de una fuerza sobre una partícula 2 Sea un sistema de referencia cartesiano rectangular 1 x 1 1 z 1 sea una partícula M que estando sometida a una fuerza F se mueve respecto al sistema anterior describiendo una traectoria. z Si se considera un sistema de referencia cartesiano rectangular, el vector de posición de la partícula en un instante genérico lo podemos representar por: F M r P x ı + j + z k (1) θ M 0 r d r la fuerza que actúa sobre la misma por: F P X ı + Y j + Z k (2) 1.1. Definición de trabajo elemental Se define el trabajo elemental como: dw F d r se comprueba fácilmente que resulta: dw F d r F d r cosθ P Xdx + Y d + Zdz (4) Nomenclatura Signo del trabajo Ángulo θ Tipo de trabajo + agudo motor - obtuso resistente Si el trabajo elemental es nulo se tiene: dw 0 F F 0 d r 0 d r 0 ang( F, d r) ± π Propiedades omo el producto escalar es una forma bilineal, es lineal respecto a sus dos factores: 1. Si la fuerza es la resultante de un sistema de fuerzas: x M 1 (3) F i (i 1,...,n) F n F i El trabajo realizado por la fuerza resultante es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas componentes. dw F d r ( n F i ) d r n ( F i d r) n dw i 2. Si el desplazamiento es el resultante de un sistema de desplazamientos: d r j (j 1,...,m) d r m d r j

3 El trabajo realizado en el desplazamiento resultante es igual a la suma de trabajos en los desplazamientos componentes. 3 dw F d r F m d r j m ( F d r j ) m dw i Definición de Potencia Si el desplazamiento elemental se ha realizado en un tiempo dt se define la potencia como: P dw dt F d r dt F v 1.2. Definición de trabajo Se define el trabajo de una fuerza sobre la partícula como la circulación de la fuerza sobre el arco de traectoria recorrido. W F d r M alculo del trabajo: casos de interés aso general Este caso se presenta cuando la dependencia de la fuerza es del tipo: F F( r, v, t) Para el cálculo del trabajo en este caso se necesita conocer el movimiento completo de la partícula r r(t), por derivación podemos obtener la velocidad ( v v(t)) el desplazamiento elemental (d r v(t)dt), con lo que el trabajo resulta: t1 t1 W F d r F( r(t), v(t), t) v(t) dt P(t)dt (5) M 0 t 0 }{{} t 0 P(t) aso de fuerza solo función de la posición Este caso se presenta cuando la dependencia de la fuerza es del tipo: F F( r) Para el cálculo del trabajo en este caso se necesita conocer únicamente la traectoria de la partícula r r(u), se puede obtener el desplazamiento elemental (d r d r(u) du), con lo que el du trabajo resulta: u1 d r(u) u1 W F d r F( r(u)) du Ψ(u)du (6) M 0 u 0 }{{ du } u 0 Ψ(u) aso de fuerza potencial solo función de la posición Este caso se presenta cuando la fuerza deriva de una función de fuerzas U de la siguiente forma: U( r) F( r) U( r) (el gradiente se define mediante: dφ φ d r). El operador nabla del gradiente se expresa en cartesianas como p x ı + j + z k.

4 Propiedades El trabajo es independiente del camino recorrido solo depende de las posiciones inicial final: dw F d r U( r) d r du ( P U U U dx + d + x z dz) W F d r U( r) d r du U 1 U 0 M 0 M 0 M 0 Si la función F (R 3, R 3 ) el trabajo es independiente del camino recorrido, entonces existe función de fuerzas. du dw U(x,, z) M M 0 F d r M derivando parcialmente con respecto a x se tiene: U x lím U(x + h,, z) U(x,, z) h 0 h lím h 0 lím h 0 lím h 0 γ [0,1] M 0 (Xdx + Y d + Zdz) ( ) Por la independencia del camino ( cte, z cte) ( ) Teorema de la media del calculo integral x (x+h,,z) (Xdx + Y d + Zdz) (x,,z) h (x+h,,z) X(x,, z)dx (x,,z) h hx(x + γh,, z) h análogamente se demostraría que: U Y (x,, z) U Z(x,, z) z con lo que resulta: ( ) ( ) X(x,, z) F X ı + Y j + Z k U U U ı + j + x x k U h z M 0 (x,, z) M 1 (x + h,, z) Teorema La condición necesaria suficiente para que exista función de fuerzas es que el rotacional del campo de fuerzas sea nulo. U(x,, z) 2 (R 3, R) F(x,, z) 1 (R 3, R 3 ) } F U F 0 Demostración de 4 F U F ı j k x z X Y Z ( Z Y ) ı + ( X z z Z x ) j + ( Y x X ) k

5 La primera componente resulta: ( ) Z Y z 2 U z 2 U z Teorema de Schwarz ( ) 0 análogamente se anulan las otras dos componentes, con lo que se demuestra la primera parte. Demostración de Elegimos una curva cerrada arbitraria contenida en la región Ω en la que se anula el rotacional del campo. Aplicando el teorema de Stokes para una superficie arbitraria Σ Ω que se apoa en la curva : F d r (Stokes) ( F) d S ( F) ndσ 0 Σ Σ 1 M 2 M 1 Si elegimos dos puntos distintos arbitrarios M 1 M 2 de la curva, la curva queda dividida en dos tramos: 1 2. De la igualdad anterior se sigue: 0 F M2 M2 M2 d r F d r + F d r F d r F d r M 1 M 2 M M 1 2 tanto como M 1 M 2 son completamente arbitrarios demostramos que el trabajo es independiente del camino, por el teorema anterior, el campo deriva de una función de fuerzas. Σ Ω Superficies de nivel de un campo escalar Se define superficie de nivel o equipotencial del campo escalar U asociada al valor constante K como: S K { r R 3 U( r) K} Derivada direccional du d u U u ( F u F u ) El valor máximo de la derivada direccional se logra para θ( u) arc cos( u U ) 0, es decir, U para u en la dirección sentido del gradiente. Ejemplos: Atracción/repulsión central, axial o planar álculo de la función de fuerzas Para este desarrollo usaremos coordenadas generalizadas, aunque luego veremos que no es obligatorio. Sea el campo de fuerzas potencial: F(x,, z) X(x,, z) ı + Y (x,, z) j + Z(x,, z) k onsiderando la independencia del camino para el calculo del trabajo usamos una línea quebrada formada por tres segmentos rectilíneos que se eligen paralelos a los ejes coordenados, para conseguir que en cada uno de ellos únicamente varíe una coorde- x z (x,, z) (a, b, c) (x, b, c) (x,, c)

6 nada: 1 : b, z c, ξ (a, x) 2 : x x, z c, η (b, ) 3 : x x,, ζ (c, z) Por ejemplo, si consideramos el trabajo desde un punto M 0 (a, b, c) el origen a un punto genérico M(x,, z) se tiene: U(x,, z) x a X(ξ, b, c)dξ + b Y (x, η, c)dη + z c Z(x,, ζ)dζ Si eligiéramos otro sistema de coordenadas generalizadas el procedimiento sería completamente análogo, usando caminos donde sólo varíe una coordenada generalizada. El punto inicial de la integración es un Punto en el que el valor de la función de fuerzas (o del potencial) es nulo, por eso se denomina origen o nivel nulo de función de fuerzas (o de potenciales). Ahora pasamos a describir cómo cambia la función de fuerzas, si se cambia el origen de potenciales: U 0 (x,, z) U 1 (x,, z) U 1 U 0 M(x,,z) M 0 M(x,,z) F d r M 1 F d r M0 F d r TE + U0 (x,, z) M(x,,z) F d r + M } 1 {{ } M 0 TE La función de fuerzas queda definida salvo una constante aditiva. El origen de potenciales puede fijarse arbitrariamente a conveniencia dentro de unas ciertas limitaciones (solo en un punto con valor finito de la función) ampos no estacionarios En algunas ocasiones se da la siguiente condición en campos no estacionarios: U, F F(x,, z, t) U(x,, z, t) En estas circunstancias se tiene: dw F d r U x U U U dx + d + dz du z x U U U dx + d + dz + z t dt

7 2. Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sistema de partículas Se define el trabajo como una magnitud aditiva: dw (1) F i d r i (2) F d r S donde la igualdad (1) se usa en el modelo de masas puntuales la (2) en el de masas distribuidas Generalización del concepto de función de fuerzas Se dice que existe función de fuerzas asociada a un sistema de partículas cuando U( r i ) U( r 1,..., r N ) dw du uando ocurre esto, se satisfacen la siguientes relaciones: F i i U (i 1,...,N) P el trabajo entre los estados A B se calcula como: B B B W F i d r i i U d r i A Ejemplos: Dos partículas (i, j) con la le de acción-reacción en su formulación fuerte: A Geometría : r ij r j r i r ij u ij Modelo de fuerzas : F ij F ij u ij X i U x i, Y i U i, Zi U z i concepto primer índice segundo índice Vector de posición origen extremo Fuerza causa efecto F ji dw F ij d r j + F ji d r i F ij (d r j d r i ) F ij d r ij F ij u ij (dr ij u ij + r ij d u ij ) F ij dr ij Si F ij F(r ij ) (fuerza función de la distancia) entonces: dw F(r ij )dr ij du U F(r ij ) dr ij + A du i x B A F ji du U B U A U z i r i u ij r j r ij j F ij Varilla homogénea de masa m longitud l en un plano sometida a una repulsión de un eje del mismo proporcional a la masa a la distancia: ξ, η, φ coords. generalizadas de la varilla en el plano s longitud de arco (para discretizar la masa) φ s G F δm δm δm λds m l ds δm η + s sin φ η ξ x

8 8 Si la repulsión es del eje x, se modeliza mediante: F δm k δm δm j du δm F δm d r k δm d δm δm U δm k 2 (δm ) 2 δm U U δm k ( δm ) 2 δm km l/2 (η + s sin φ) 2 ds km S 2 2l l/2 2 [η2 + l2 12 sin2 φ] Teorema La condición necesaria suficiente para que exista función de fuerzas para un sistema de partículas es que el trabajo elemental de las fuerzas aplicadas al sistema n du dw F i d r i G j (q 1,...,q n ) dq j sea una forma diferencial exacta en las coordenadas generalizadas q j (j 1,...,n), es decir, se cumpla la igualdad de derivadas parciales cruzadas: G j G k (j, k 1,...,n; j < k) q k q j Aplicación al ejemplo de la varilla: du δm F δm d r k δm d δm δm k(η + s sin φ)(dη + s cosφdφ) m l ds du du δm km l/2 (η + s sin φ)(dη + s cosφdφ)ds S l l/2 km[ηdη + l2 sin φ cosφdφ] 12 Existe función de fuerzas, a que: G ξ η G η ξ G ξ φ G φ ξ 0; G η φ sin φ cosφ) (kml G φ η η (kmη) φ vale U(η, φ) km 2 [η2 + l2 12 sin2 φ]

9 3. Trabajo de las fuerzas aplicadas sobre un sólido 9 Sean i j los índices asociados a dos partículas de un sólido. Las fuerzas sobre las partículas se dividen en fuerzas interiores exteriores: F i F i E + F i I Si las fuerzas interiores responden al modelo de acción-reacción en su formulación fuerte se tiene: F ij I F j i I F ij u ij además el trabajo de las fuerzas internas sobre el par de partículas i, j se calcula como: dw ij F ij dr ij La resultante de las fuerzas interiores sobre una partícula es: x N F I i ) F j i F j i δij (δ, ij 1 δ ij : complemento a uno de los deltas de Kronecker j i Y las fuerzas interiores constituen un sistema nulo de vectores: R I ( M ) I F i I N j i F j i ( ) N M i F I i ( F ij + F j i ) 0 i, i<j M i j i F j i ( ) F ji z i F i E u ij r i r j F i I r ij F i (M j F i j + M i F j i ) i, i<j (M i F ij + r ij F ij + M i F j i ) i, i<j i, i<j M i ( F ij + F j i ) 0 El trabajo total sobre un sistema se calcula por aditividad: dw ( F E i d r i + F I i d r i ) F E i d r i + F I i d r i dw E + dw I Para el trabajo de las fuerzas interiores resulta que: dw I F I i d ri ( F ji d r i ) ( ) ( F ji d r i + F ij d r j ) j i i, i<j j F ij dr ij i, i<j (*) agrupando por parejas contabilizando cada pareja una sola vez omo en los sólidos dr ij 0, se tiene que las fuerzas interiores no realizan trabajo. Para calcular el trabajo de las fuerzas exteriores empezamos por utilizar el campo de velocidades de un sólido: v i v Mi v + ω M i F ij

10 10 por lo tanto, se tiene: dw dw E P ( ( F i E d ri F i E ( v + ω M i ) ( F E i v ) + }{{} R F i E ) v + F i E vi dt F i E ( ω M i ) ω (M i F E i ) F E) i v + ω ( M i F E) i ( R v + M ω) P R v + M ω } {{ } M 3.1. Propiedades Para un sólido se satisface que: Sistemas nulos producen trabajos potencias nulos (tendrá aplicación teórica en la relatividad del trabajo) Sistemas equivalentes producen trabajos potencias equivalentes (tendrá aplicación práctica para calcular el trabajo sobre un sólido)

11 4. Relatividad del trabajo 11 El movimiento es esencialmente relativo, por tanto, los desplazamientos dependen del referente del movimiento. omo d r i v i dt los desplazamientos se componen como las velocidades: v i X1 vi X0 + vi 01 z z 1 x i r i r i j k k1 dwx1 i F i d r i F i v X1 i dt F i ( v X0 i + vi 01 )dt 1 ı F i v X0dt i + F i v 01dt i dw 1 1 X0 i + dw01 i j 1 ı 1 El movimiento de arrastre es el movimiento de un sólido, luego el trabajo de arrastre goza de las propiedades x 1 del trabajo sobre un sólido. Por ejemplo, si el sistema de fuerzas que actúan sobre un sistema material es nulo, el trabajo de arrastre es nulo: dw 01 dw01 i 0, por lo tanto, se tiene: N dw X1 dwx1 i dwx0 i dw X0 lo que significa que el trabajo de un sistema de fuerzas nulo sobre un sistema material es independiente del sistema de referencia donde se contabilicen los desplazamientos (tendrá aplicación teórica en el trabajo de las acciones de contacto entre sólidos). X 0

12 5. Trabajo de las acciones de contacto 12 Las acciones de contacto entre sólidos, reducidas al punto de contacto M proectadas sobre el plano tangente común en M la normal, son: Acciones de S 0 sobre S 2 (azul): FR, N, M r M, M p M Acciones de S 2 sobre S 0 (rojo): F R, N, M r M, M p M Se pretende responder a dos cuestiones: 1. uanto vale el trabajo total? F R M r M M N Mp F 2. uanto vale el trabajo sobre uno de los sólidos? M 1) El sistema de fuerzas total es un sistema nulo, luego el trabajo que realiza es independiente del sistema de referencia donde se calcule. Vamos a usar el sistema S 0 para referir los vectores. En dicho sistema de referencia las acciones sobre S 0 no realizan trabajo. La potencia que desarrolla el resto es: dw ( dt F R + N) v 20 M + ( M M r + M p M ) ω 20 Teniendo en cuenta que: F M p - N M r M M F R v M 20 N, ω 20 ω r 20 + ω p 20, ω r 20 M p M, ωp 20 M r M resulta: dw dt F R v 20 M + M M r ω 20 r + M p M ωp 20 En los modelos de contacto en un punto que normalmente se usan se tiene: M r M M p M 0, FR f N vm 20 v M 20 de esto resulta: dw dt onclusiones: f N vm 20 v M 20 vm 20 f N v M 20 Trabajo/potencia total no positivo/a (nulo/a o negativo/a). Si no ha rozamiento (f 0), trabajo/potencia nulo/a Si no ha deslizamiento ( v M 20 0), trabajo/potencia nulo/a Esto es fácilmente generalizable si los momentos de contacto no son nulos: M r M δ N ωr 20 ω r 20 Mp M ǫ N ωp 20 ω p 20 con lo que resulta: dw dt N (f v 20 M + δ ωr 20 + ǫ ωp 20 ) que igualmente es una potencia no positiva. 2) No puede decirse nada con carácter general. Ha que aplicar la fórmula para cada sólido. P 21 ( F R + N) v M 21 + M M ω 21