Control de procesos por variables

Transcripción

1 Capítulo 4 Control de procesos por variables 1. Fundamentos de los gráficos de control 2. Gráfico de control para la media 3. Gráficos de control para la dispersión 4. Capacidad de un proceso. Índice de capacidad 5. Gráficos de observaciones individuales y rangos móviles 6. Interpretación de los gráficos de control Anexo A: Repaso de conceptos sobre inferencia Anexo B: Índices de capacidad Anexo C:Tablas para gráficos de control 1 Apuntes realzados por el Profesor Ismael Sánchez para la asignatura: Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad, de la titulación de Ingeniería de Telecomunicaciones. Universidad Carlos III de Madrid 1

2 2 Control de procesos por variables 4.1. Fundamentos de los gráficos de control Un gráfico de control es la representación de la evolución de una característica de la calidad del producto o servicio de interés. Un ejemplo de este tipo de gráficos se muestra en la Figura 4.1. Los elementos básicos son la línea central, que representa el nivel medio de los valores de dicha característica, y los límites de control: límite de control superior o LCS y límite de control inferior o LCI. La utilización del gráfico de control es bastante simple: si el proceso está bajo control (sólo actúan causas de variabilidad no asignables), la práctica totalidad de las observaciones representadas estarán dentro de dichos límites de control, mientras que si el proceso está fuera de control (está actuando alguna causa asignable que se ha de corregir) las observaciones caerán, con mucha probabilidad fuera de dichos límites. Por tanto, cuando una observación caiga fuera de los límites daremos la señal de alarma e investigaremos si rrealmente está sucediendo algo anómalo. Las observaciones suelen corresponder a mediciones realizadas sobre muestras de artículos: valores medios, desviaciones típicas, rangos, etc; aunque también existen gráficos realizados sobre observaciones individuales. Estas mediciones se realizan a lo largo del tiempo, por lo que el gráfico es una evolución temporal, o monitorización, de la calidad. Los puntos representados se unen por líneas para visualizarlo mejor. Gráfico de Control Media 17 16,6 16,2 15,8 UCL = 16,90 Línea central = LCL = 15,74 15, Muestra Figura 4.1: Ejemplo de gráfico de control A pesar de su aparente simplicidad, la interpretación del gráfico de control ha de ser hecha con cierta cautela. Como veremos más adelante, incluso si todos los puntos están dentro de los límites de control, es posible que el proceso esté fuera de control y haya que dar la señal de alarma. En este capítulo supondremos que la variable que se representa es medida en una escala numérica: tiempo, longitud, peso, etc. Al control estadístico de este tipo de variables le denominaremos control por variables Línea central y límites de control Sea τ el estadístico que se utiliza para medir la variable de interés (estadístico: función de los datos que no depende de las características de la población, como la media muestral, varianza muestral, rango muesrtal, etc). Por ejemplo, supongamos una muestra de n clientes a los que se

3 4.2 Gráfico de control para la media 3 tarda en prestar un servicio unos tiempos t 1,t 2,..., t n. La media aritmética de dichos tiempos es un estadístico que se puede usar como indicador de la calidad de dicho servicio. Tendríamos, entonces, que la magnitud que representaríamos en el gráfico sería τ = t = t t n, n para sucesivas muestras de n individuos. Dicho estadístico τ será una variable aleatoria, pues su valor depende de los n individuos concretos que analicemos. El gráfico de control será, por tanto, la representación de sucesivas realizaciones de la variable aleatoria τ. Sea μ τ el valor medio de dicho estadístico (es decir E(τ) =μ τ )yseaσ τ su deviación típica (es decir, Var(τ) =σ 2 τ ). La estructura de un gráfico de control es la siguiente Límite de control superior (LCS) = μ τ + L s σ τ Línea central = μ τ Límite de control inferior (LCI) = μ τ L i σ τ donde L s y L i son las distancias de los límites de control a la línea central en términos de la desviación típica del estadístico que se emplea. En general, se emplea la misma distancia para el límite superior e inferior, es decir, L s = L i = L. La idea es elegir L de tal manera que si el proceso esté bajo control sea muy probable que la evolución de τ se desarrolle dentro de los límites, pero que si el proceso sale de control sea muy probable que τ se coloque fuera de dichos límites y se pueda dar una señal de alarma. Si L es muy alto, será muy poco probable que, si el proceso está en estado de control, las observaciones estén fuera de los límites; es decir, una falsa alarma será muy poco probable. Sin embargo, si el proceso está fuera de control por poco margen, sería muy difícil detectarlo. Por el contrario, si L es muy bajo, será muy probable detectar que el proceso está fuera de control, pero será también muy probable dar falsas alarmas. Usualmente, se elige L =3. La principal razón para justificar el valor L =3es que, en el caso en que el estadístico τ utilizado siga una distribución normal, o razonablemente aproximada, el intervalo de μ τ ± 3σ τ corresponderá con el 99,7 % de la población, como ya se vió en el tema anterior. Por tanto, bajo normalidad y sielprocesoestábajocontrol,laprácticatotalidad de las observaciones estarán dentro de dicho límites. Existe, no obstante, una probabilidad de (0.3 %) de que se esté fuera de los límites sin estar fuera de control. En ese caso se estaría dando una falsa alarma. La utilización de L =3ha proporcionado muy buenos resultados en la vida real. La forma más general de gráfico de control es, por tanto, LCS = μ τ +3σ τ Línea central = μ τ (4.1) LCI = μ τ 3σ τ De esta forma, si las causas de variabilidad se mantienen estables, la distribución de τ no cambiará(lamediaserásiempreμ τ ylavarianzaσ 2 τ ).Losdistintosvaloresobservadosdeτ serán debidos sólo a la variabilidad muestral y, en el caso de τ normal, estarán entre los límites con probabilidad 0.997, sin embargo, si se produce un desajuste en el proceso que haga cambiar la media μ τ y/o la varianza σ 2 τ la evolución de τ será diferente, y empezará a tomar valores fuera de los límites con mucha mayor probabilidad Gráfico de control para la media El gráfico de control de la media, también llamado Gráfico X recoge la evolución de la media muestral, en muestras de tamaño n, de la característica de calidad de interés. Por ejemplo, el tiempo

4 4 Control de procesos por variables medio de atención a un cliente tomando muestras de 10 clientes, o el radio medio de un cilindro, tomando muestras de 20 cilindros. Supondremos en este capítulo que dicha media muestral x sigue una distribución normal. Si la variable x sigue una distribución normal, la media muestral x será también normal. Si la variable original no es normal, pero n es elevado, por el teorema central del límite x será aproximadamente normal. Existen, además, transformaciones que permiten convertir una variable aleatoria contínua asimétrica en una variable que se aproxime razonablemente a la normal. Por otra parte, si el proceso está en estado de control, es muy razonable esperar que la variable de interés sea normal ( por qué?). Por esta razón, la construcción de los gráficos x se realiza suponiendo que la media muestral sigue una distribución normal. Por tanto, las propiedades de nuestra media muestral serán: x N µμ, σ2 n donde μ y σ 2 son la media y varianza, respectivamente, de la variable de interés x cuando la variabilidad procede sólo de causas no asignables, es decir, cuando el proceso está bajo control,. Bajo esta hipótesis, un intervalo que comprenda al 99.7 % de la probabilidad estará comprendido en μ ± 3σ/ n. El gráfico de control tendrá las siguientes características:, LCS = μ +3 σ n Línea central = μ LCI = μ 3 σ n (4.2) Se ha de estimar, por tanto, los parámetros μ y σ. Para estimarlos se toman muestras de la producción (o prestación del servicio) durante un periodo prolongado de tiempo en el que se sepa que el proceso está bajo control. Una vez que se ha construido el gráfico,ésteseutilizará en primer lugar para comprobar que realmente el proceso estuvo bajo control mientras se recogía esta información inicial. En caso contrario se ha de prescindir de aquellas muestras en las que el proceso no estuvo bajo control y se repetirá el cálculo del gráfico. En la utilización de los gráficos de control hay que distinguir, entonces, dos etapas: 1. Contrucción de los gráficos, utilizando la información contenida en un conjunto de muestras iniciales. 2. Una vez construido el gráfico, se representa la evolución de las muestras obtenidas en tiempo real, y se controla así el proceso. El gráfico no se vuelve ya a modificar, salvo que haya transcurrido mucho tiempo y se quieran actualizar sus límites. El periodo de tiempo en el que se tomen los datos iniciales para la etapa de construcción del gráfico debe ser lo suficientemente amplio para permitir que haya cambios de turno, variabilidad en la materia prima, horas punta del servicio y horas valle, etc. La estimación de los parámetros será, además, una tarea que ha de someterse a revisión periódica. Veamos a continuación cómo ha de hacerse la estimación de μ y σ Estimación de los parámetros del gráfico X Sea x la variable que mide la calidad de los artículos producidos, o uno de los aspectos de la calidad que nos interese. Supongamos que se recogen un total de k muestras a intervalos regulares

5 4.2 Gráfico de control para la media 5 de tiempo y en cada muestra hay n elementos. Sea x ij el valor del elemento j-ésimo (j =1,..,n) de la muestra i-ésima (i =1,...,k). El conjunto total de datos será: (x 11,x 12,...,x 1j,...,x 1n ),(x {z } 21,x 22,..., x 2j,..., x 2n ),...,(x {z } i1,x i2,..., x ij,..., x 2n ),...,(x {z } k1,x k2,..., x kj,..., x kn ). {z } muestra 1 muestra 2 muestra i-ésima muestra k Si el proceso estuviese bajo control durante toda la recogida de estos nk datos, éstos constituirían una muestra aleatoria simple (de tamaño nk) de una población normal N(μ, σ 2 ).Elgráfico se construye, entonces, de la siguiente manera: 1. Se calcula la media y varianza de cada muestra. Por ejemplo, para los n datos de la primera muestra: P n j=1 x 1 = x 1j, n P n s 2 j=1 1 = (x 1j x 1 ) 2, n P n ŝ 2 j=1 1 = (x 1j x 1 ) 2. n 1 Se tendrán, por tanto, k medias y k varianzas. 2. Se calcula la media total. La media total será: P k i=1 x = x i. k Este estimador será centrado si la media μ del proceso ha sido constante durante la recogida de la información. Sin embargo, puede demostrase que los estimadores s 1 y ŝ 1 no son estimadores insesgados de σ aun estando el proceso bajo control (E(s 1 ) 6= σ; E(ŝ 1 ) 6= σ). El sesgo depende, además, del tamaño de la muestra n. No obstante, el sesgo para poblaciones normales está tabulado. La desviación típica muestral s es una variable aleatoria que verifica E(s j )=c 2 σ, (4.3) donde los valores de c 2 están tabulados para distintos tamaños muestrales. Por tanto se tiene que σ = E(s j) c 2, y, entonces, s i /c 2 sí es un estimador insesgado de σ. Podremos construir un estimador insesgado de σ promediando los estimadores insesgados s j /c 2 de las k muestras: ˆσ = s, (4.4) c 2 P k i=1 s = s i. (4.5) k Otra posible opción sería utilizar un estimador insesgado para la varianza de cada muestra. Por ejemplo, para la muestra 1: ŝ 1 = s Pn j=1 (x 1j x 1 ) 2, n 1

6 6 Control de procesos por variables Gráfico para la media 24 LCS 22 media LCI tiempo Figura 4.2: Gráfico de control para las medias. Datos de20 muestras de tamaño 5. en lugar de s 2 1. Este estimador verifica que E(ŝ j )=c 4 σ, (4.6) Var(ŝ j )=(1 c 2 4)σ 2. (4.7) Por tanto, σ = E(ŝ j), c 4 donde c 4 está tabulado en funcion de n. Un estimador insesgado de σ será ˆσ = ŝt, (4.8) c 4 ŝ T = P k i=1 ŝi k. (4.9) El análisis realizado con este procedimiento no es muy distinto al que se realice utilizando s j y el correspondiente coeficiente c 2. Si utilizamos ŝ j para medir la desviación típica de cada muestra, el gráfico de control teórico para la media será yelestimado LCS = μ +3 E(s j) c 2 n Línea central = μ LCI = μ 3 E(s j) c 2 n s LCS = x +3 c 2 n Línea central = x s LCI = x 3 c 2 n (4.10) (4.11)

7 4.2 Gráfico de control para la media 7 Por el contrario, si se utiliza el estimador ŝ j se tendrá el siguiente gráfico de control teórico para la media LCS = μ +3 E(ŝ j) c 4 n Línea central = μ LCI = μ 3 E(ŝ (4.12) j) c 4 n yelestimadoserá LCS = x +3 ŝt c 4 n Línea central = x LCI = x 3 ŝt c 4 n (4.13) Recordemos que estamos aún en la etapa de construcción del gráfico de control, y que para ello estamos suponiendo que los datos que se poseen son representativos del proceso en estado de control. Esta suposición hemos de corroborarla con este gráfico inicial. Si algún punto saliese de los límites de este gráfico concluiremos que el proceso estaba fuera de control y lo eliminaremos. A continuación se recalculará x y s (o ŝ T ) con las muestras restantes, dibujaremos un nuevo gráfico y repetiremos el proceso hasta que todas las muestras estén dentro de los límites. La figura 4.2 es un ejemplo de este tipo de gráficos donde se tienen 20 muestras de tamaño 5 cada una. Puede observarse que todas las medias se encuentran entre los límites de control. Otra opción para realizar este gráfico es utilizar el rango como medida de variabilidad. El rango de una muestra es la diferencia entre los valores extremos. Por ejemplo, en la muestra 1: R 1 =máx(x 11,..., x 1n ) mín(x 11,..., x 1n ). El rango será, por tanto, proporcional a la variabilidad de la variable. En muchas ocasiones se analiza la variabilidad a través del rango, en lugar de la desviación típica muestral. La razón principal es su simplicidad de cálculo. Además, en muestras pequeñas, es un estimador de la desviación típica casi tan eficaz, desde el punto de vista matemático, como la desviación típica muestral. Supongamos que x N(μ, σ 2 ) y R es el rango de una muestra de tamaño n de dicha variable aleatoria normal. El rango será también una variable aleatoria. Esta variable aleatoria depende de σ yden y fue tabulada por primera vez por Pearson en La distribución que está tabulada es la de la variable aleatoria W = R σ, para varios tamaños muestrales. Llamemos d 2 E(W ) y d 3 p Var(W ), donde d 2 y d 3 están tabulados. Entonces: Por tanto, de la expresion (4.14) se obtiene que μ R E(R) =E(W )σ = d 2 σ, (4.14) σ R p Var(R) =d 3 σ. (4.15) σ = E(R) d 2.

8 8 Control de procesos por variables Por tanto un estimador de σ será ˆσ = R, d 2 donde P k i=1 R = R i. (4.16) k Portanto, elgráfico de control teórico para la media, utilizando el rango como medida de variabilidad es, LCS = μ +3 E(R) d 2 n Línea central = μ LCI = μ 3 E(R) (4.17) d 2 n yelestimado R LCS = x +3 d 2 n Línea central = x R LCI = x 3 d 2 n (4.18) Las constantes d 2 y d 3 están tabuladas considerando que la distribución de referencia es normal. Sin embargo Burr demostró en 1967 que estas constantes varían muy poco para una amplia variedad de distribuciones, con tal que n Gráficos de control para la dispersión Estamos suponiendo que la variable x es normal. Por tanto su distribución no depende sólo de la media μ, sino de la varianza σ 2. Por consiguiente, para comprobar que el proceso esté bajo control no basta con demostrar que μ ha sido estable; es decir, que los puntos del gráfico de media están entre sus límites. Hemos de comprobar también que la varianza σ 2 de la variable de interés x permanece estable. Esto se puede llevar a cabo con un gráfico de control para las desviaciones típicas. Veamos a continuación gráficos para controlar que la dispersión de la variabilidad es estable a lo largo de la producción o la prestación del servicio. Veremos dos tipos de gráficos según la dispersión se mida a través de la desviación típica o del rango. Al igual que con el gráfico de las medias, primero habrá que construir sus límites con un conjunto de información inicial Gráfico de control de la desviación típica El gráfico de control de la desviación típica (corregida por grados de libertad) o Gráfico S se utiliza para controlar que la desviación típica es estable, y por tanto representativa de la variabilidad debida a causas no asignables. Utilizando las propiedades (4.6) y (4.7) se tiene que, un gráfico de control teórico para la desviación típica será: LCS = E(ŝ)+3 p Var(ŝ) =c 4 σ +3 p 1 c 2 4 σ = B 6σ Línea central = E(ŝ) =c 4 σ LCI = E(ŝ) 3 p Var(ŝ) =c 4 σ 3 p 1 c 2 4 σ = B 5σ

9 4.3 Gráficos de control para la dispersión 9 Gráfico para la desviación típica LCS d.t LCI tiempo Figura 4.3: Gráfico de control para la desviación típica. 20 muestras de tamaño 5 donde B 6 = c 4 +3 p 1 c 2 4,B 5 = c 4 σ 3 p 1 c 2 4σ están tabulados en función del tamaño muestral. Como σ es desconocido, se utilizará el estimador insesgado ˆσ = ŝt. c 4 Por tanto, el gráfico de control para las desviaciones típicas es ŝ T LCS = B 6 = B 4 ŝ T c 4 ŝ T Línea central = c 4 =ŝ T c 4 ŝ T LCI = B 5 = B 3 ŝ T c 4 donde B 3 y B 4 están tabulados. La estimación ŝ T es la obtenida en la sección anterior con las muestras iniciales. Si algún dato cae fuera de los límites se considerará que el proceso ha estado fuera de control en ese momento, por lo que ese datos no puede emplearse para la construcción de ningún gráfico de control. Por tanto, la muestra hay que eliminarla tanto para el cálulo del gráfico de medias como de desviaciones típicas. Hay que recalcular, por tanto, ambos gráficos. La figura 4.3 es un ejemplo de gráfico de control para la desviación típica. Los datos con los queseharealizadoestegráfico y el de la media son los mismos, por lo que puede considerarse que el proceso ha estado bajo control durante la recogida de datos Gráfico de control del rango Utulizando las propiedades del rango muestral vistas en las expresiones (4.14) y (4.15) se tiene que un gráfico de control teórico para el rango tendrá las siguientes características: LCS = μ R +3σ R = d 2 σ +3d 3 σ = D 2 σ Línea central = μ R = d 2 σ LCI = μ R 3σ R = d 2 σ 3d 3 σ = D 1 σ

10 10 Control de procesos por variables Gráfico de rangos LCS Rangos LCI tiempo Figura 4.4: Gráfico de control de rangos. 20 muestras de tamaño 5 donde D 1 = d 2 3d 3 ; D 2 = d 2 +3d 3. Como σ será, en general, desconocido, se empleará el estimador ˆσ = R, d 2 yelgráfico de control será: R R LCS = d 2 +3d 3 = D 4 R d 2 d 2 R Línea central = d 2 = d R 2 R R LCI = d 2 3d 3 d d 2 = D 3 R 2 donde D 3 =(1 3d 3 /d 2 ) y D 4 =(1+3d 3 /d 2 ) están tabulados en función del tamaño muestral. La figura 4.4 es un ejemplo de este gráfico. La interpretación de este gráfico es como en los casos anteriores. Si el proceso ha estado bajo control todos los puntos estarán dentro de los límites de control. En caso contrario no podremos usar ese dato para la construcción de gráfico y habrá que eliminar dicha muestra y recalcular tanto este gráfico como el de las medias Una vez que hemos construido el gráfico para la media y para la dispersión con el conjunto de muestras iniciales, daremos por concluida la etapa de diseño de los gráficos de control y los mantendremos ya fijos. Pasaremos entonces a utilizarlos en tiempo real, analizando la estabilidad del proceso con nuevas muestras tomadas a intervalos regulares de tiempo. Si una muestra cae entonces fuera de los límites de control habrá que analizar rápidamente qué ocurrió para recuperar el control del proceso. Cada cierto tiempo es conveniente actualizar los límites de control con nuevas mediciones Tamaño de la muestra y frecuencia de muestreo Cada punto de un gráfico de control corresponde al valor observado del estadístico de interés (pr ejemplo la media muestral, rando,..) evaluado en una muestra de tamaño n en cierto instante.

11 4.5 Capacidad de un proceso. Índice de capacidad 11 Es necesario, por tanto, determinar dicho tamaño muestral así como la frecuencia con que se computará. En la determinación del tamaño muestral intervienen factores económicos y estadísticos, por lo que no se puede establecer un método universal. En general, a mayor tamaño muestral, menor será la varianza del estadístico y más fácil será detectar desviaciones del estado de control. Por ejemplo, la desviación típica de la media muestral es σ/ n, por lo que si n es alto la desviación típica es baja. Esto hará que los límites que contengan al 99.7 % de los valores en estado de control serán más estrechos. Por tanto, si el proceso sale fuera de control será más fácil que slos puntos algan de los límites y detectemos el desajuste, sin que aumente la probabilidad de falsa alarma que seguirá siendo del 0.3 %. Sin embargo, en algunos casos, las mediciones de la característica de calidad pueden tener un coste alto, por lo que no será factible tomar muestras grandes. Por otra parte, para poder tener una muestra grande será necesario esperar mucho tiempo, por lo que se tardará más en detectar fallos, con el consiguiente coste. Sea p la probabilidad de que un punto del gráfico esté fuera de los límites de control. El cálculo de esta probabilidad es sencillo y dependerá del tamaño muestral seleccionado y del estado del proceso (ver hoja de problemas). Por las propiedades de la distribución geométrica, se sabe que el número medio de sucesos hasta que un punto esté fuera de los límites (hasta que suceda el suceso de probabilidad p) es: Número medio de muestras hasta la detección= 1 p. De esta forma se puede saber el tiempo que se tardará en detectar desajustes. Esta información es de mucha utilidad para decidir tanto la frecuencia de muestreo como el tamaño muestral, aunque la decisión final puede estar influida por más factores. Al número medio de muestras hasta la detección del desajuste se le llama también ARL, que proviene de las siglas en inglés Average Run Length, (longitud media de la racha) (verproblema1.d) 4.5. Capacidad de un proceso. Índice de capacidad Se define capacidad de un proceso en el que la calidad se mide a través de una variable cuantitativa x con Var(x) =σ 2 como: Capacidad =6σ, donde σ es la desviación típica de la variable cuando el proceso está bajo control. La capacidad del proceso es una medida de la calidad del proceso muy utilizada en la práctica. La capacidad es una cualidad negativa. A mayor capacidad mayor variabilidad. Estimar la capacidad se resume en estimar σ. Esta estimación se hace a partir de los gráficoselaboradosanteriormente.lospasos para estimar la capacidad se pueden resumir de la siguiente forma: 1. Se selecionan n muestras de tamaño k recogidas durante un intervalo amplio de tiempo. 2. Se construye, con los datos obtenidos de dichas muestras, un gráfico de control para x yotro para la dispersión (el de rangos o el de desviaciones típicas). 3. Si alguna muestra está fuera de los límites, se elimina y se recalculan ambos gráficos (media y dispersión), repitiéndose este proceso hasta que todas las muestras estén entre los límites de control.

12 12 Control de procesos por variables 4. Una vez asegurado que los datos proceden de un proceso en estado de control se ha de verificar la hipótesis de normalidad de los datos mediante algún procedimiento estadístico (contraste de normalidad, gráfico en papel probabilístico-normal, etc). 5. La estimación de la capacidad será, si se utiliza la desviación típica de cada muestra sin corregir por grados de libertad: Si se utiliza la desviación típica corregida: Capacidad estimada=6ˆσ =6 s c 2. Capacidad estimada=6ˆσ =6ŝT. c 4 Si se utiliza el rango para medir la variabilidad, se tendrá la siguiente estimación de la capacidad Capacidad estimada=6ˆσ =6 R. d 2 No debe confundirse la capacidad de un proceso (o máquina o tarea concreta) con las tolerancias técnicas del producto. Las tolerancias son los requerimientos técnicos para que el producto sea admisible para su uso, mientras que la capacidad es una característica estadística del proceso que elabora dicho producto. Para comparar ambas características se define el índice de capacidad de un proceso C p de la siguiente manera: C p = Intervalo de Tolerancias Capacidad = LTS-LTI, 6σ donde LTS es el límite de tolerancia superior y LTI el inferior. Si C p > 1 se dice que el proceso es capaz, pues prácticamente todos los artículos que produzca estarán dentro de las tolerancias requeridas. Si C p < 1 se dice que el proceso no es capaz. SiC p 1 habrá que vigilar muy de cerca el proceso, pues cualquier pequeño desajuste provocará que los artículos no sean aceptables Gráficos de observaciones individuales y rangos móviles x-rm En algunos casos es necesario controlar un procesos basándose en lecturas de observaciones individuales, en lugar de grupos de ellas. Este es el caso de artículos en los que las mediciones son caras (por ejemplo en ensayos destructivos, o ensayos que requieren condiciones especiales) o cuando la producción en un momento dado es homogénea respecto a la variable de interés (por ejemplo, el PH de una disolución química). Este tipo de control es, sin embargo, menos sensible que los anteriores. Por eso, a veces resulta más adecuado un gráfico x-r convencional con un tamaño muestral pequeño que este tipo de gráfico, incluso si el intervalo necesario para conseguir las muestras es grande. Los pasos a seguir para realizar el gráfico son los siguientes: 1. Conseguir lecturas de un conjunto de k observaciones: x 1,..., x k.

13 4.6 Gráficos de observaciones individuales y rangos móviles x-rm Calcular la media global: P k i=1 x = x i. k Si el proceso ha estado bajo control durante la recogida de estos datos, este valor será un buen estimador de la media global y se utilizará como línea central. 3. Calcular rangos móviles entre pares de individuos. Estos rangos móviles se obtienen de la siguiente manera: el primer rango consiste en R 1 =máx(x 2,x 1 ) mín(x 2,x 1 ) x 2 x 1. En el segundo rango se añade la tercera observación, pero se prescinde de la primera: y así sucesivamente. El último rango será: R 2 =máx(x 3,x 2 ) mín(x 3,x 2 ) x 3 x 2, R k 1 =máx(x k,x k 1 ) mín(x k,x k 1 ) x k x k 1. En circunstancias excepcionales podría calcularse rangos móviles con más de dos observaciones (tres o cuatro). Por ejemplo, con cuatro observaciones se tendría: R 1 =máx(x 1,x 2,x 3,x 4 ) mín(x 1,x 2,x 3,x 4 ), R 2 =máx(x 2,x 3,x 4,x 5 ) mín(x 2,x 3,x 4,x 5 ),. R k 3 =máx(x k 3,x k 2,x k 1,x k ) mín(x k 3,x k 2,x k 1,x k ). 4. Obtener el rango móvil medio. En el caso de rango móvil de pares de observaciones se tendrá: R = P k 1 i=1 R i k Calcular los límites de control para la media a distancia de tres desviaciones típicas respecto a la línea central marcada por x: LCS = x +3 R d 2, LCI = x 3 R d 2, 6. Análogamente, para el gráfico de rangos se tiene que LCS = D 4 R, LCI = D 3 R.

14 14 Control de procesos por variables 4.7. Interpretación de los gráficos de control La interpretación de los gráficos de control se basa en la siguiente idea general: si el proceso está en estado de control, los gráficos deben mostrar un comportamiento aleatorio dentro de los límites de control; por tanto una evolución de los gráficos que tenga un patrón no aleatorio o/y fuera de los límites será indicio de existencia de causas asignables. Se suele interpretar en primer lugar los gráficos de la variabilidad (rango o desviación típica), pues un aumento de la variabilidad puede provocar un aumento de la media muestral, mientras que el fenómeno inverso no ocurre. Los aspectos a analizar son: puntos fuera de los límites, tendencias o rachas, patrones no aleatorios Puntos fuera de los límites de control Si uno o más puntos de un gráfico de control está fuera de los límites es indicio de que el proceso se ha desajustado y conviene analizar el proceso para encontrar la causa. Un punto fuera de los límites puede ser debido a alguno de los siguientes motivos: Elpuntohasidomalcalculado. Los límites han sido mal calculados o el gráfico mal dibujado. Hay variaciones en el sistema de medición del dato (nuevos calibres, distinto aparato de medida). Una variación de la media pero no en la variabilidad puede venir provocada por un desajuste en la maquinaria o desgaste de alguno de sus elementos. Un aumento de la variabilidad pero no de la media puede venir provocada por envejecimiento de alguno de los componentes del proceso o por variaciones en la calidad de la materia prima. Una disminución de la variabilidad (puntos por debajo del límite inferior) implica una mejora del sistema, por lo que debe investigarse la causa Tendencias o rachas Cuando un conjunto de puntos consecutivos presentan una tendencia creciente o decreciente durante 7 puntos ( regla del 7 ) es indicio de que algo está ocurriendo en el proceso, pues la probabilidad de que muchos puntos formen una tendencia sólo por azar el práctiamente nula. Por tanto ha de investigarse la presencia de una causa asignable incluso si dichos puntos están dentro de los límites. Por ejemplo, un desajuste paulatino de una herramienta provocará un desajuste paulatino en la media del proceso. Es necesario detectar ese desajuste y no esperar a que produzcan valores fuera de los límites de control. Un desgaste en la sujección de una herramienta de corte irá aumentando gradualmente la variabilidad en la longitud de corte. Ese desgaste puede detectarse sin necesidad de llegar a que el sistema produzca piezas defectuosas. Cuando un conjunto de 7 puntos sucesivos se encuentran consistentemente a un lado de la línea central del gráfico (racha) es indicio de anomalía incluso si se encuentran dentro de las líneas de control. De nuevo, la probabilidad de que sólo por azar más de 7 puntos se encuentren en un lado del gráfico es prácticamente nula, por lo que habrá que investigar la presencia de causas asignables.

15 4.7 Interpretación de los gráficos de control 15 Gráfico de control 24 LCS L. central LCI +3dt 22 +2dt +1dt 20-1dt 18-2dt -3dt 16 Zona A Zona B Zona C Zona C Zona B Zona A tiempo Figura 4.5: Patrones no aleatorios Además de tendencias o rachas, pueden aparecer otros patrones en los datos que deben llevar al análisis del sistema incluso si los datos evolucionan dentro de los límites de control. Por ejemplo: Periodicidades en forma de ciclos, con sucesiones regulares de picos y valles. Inestabilidad: grandes fluctuaciones de la media, producidos, posiblemente por sobreajustes del proceso, falta de entrenamiento de los operarios o heterogeneidad en la materia prima. Sobrestabilidad: Ocurre este fenómeno cuando la variabilidad observada es consistentemente menor que la esperada. Esto puede ser debido tanto a un cálculo erróneo de los límites como a causas asignables que afecten positivamente al proceso. Para detectar la sobreestabilidad conviene trazar dos líneas paralelas en el gráfico de la variabilidad (rangos o desviaciones típicas) a ambos lados de la línea central que dividan el gráfico en seis partes iguales. (gráfico) En condiciones normales, el 68 % de los puntos debería estar entre las dos zonas centrales, mientras que el 32 % debería estar fuera Tests de inestabilidad Los tests de inestabilidad consisten en la detección de patrones en los gráficos que sean muy poco probables si el proceso está bajo control. La mayoría de los programas informáticos los incluye. Para detectarlos se dividen las dos áreas alrededor del límite central en tres zonas iguales: A, B, C (ver gráfico). Cada línea corresponderá, entonces, a una desviación típica. Existen un total de ocho patrones. Si se detecta la presencia de alguno de ellos se ha de considerar la posibilidad de que sea debido a alguna causa asignable. Estos patrones son los siguientes: Patrón 1: Un punto fuera de las líneas de control (fuera de la zona A). Patrón 2: 2puntosde3consecutivosdentrodelazonaAoexterioresaella.

16 16 Control de procesos por variables Patrón 3: 4de5puntosconsecutivosenlazonaBoA. Patrón 4: 8 puntos consecutivos en la misma mitad del gráfico. Patrón 5: 15 puntos consecutivos en las zonas C. Patrón 6: 8 puntos seguidos sin caer en la zona C, aunque estén a ambos lados del gráfico. Patrón 7: 14 puntos seguidos alternativos (cada uno en una mitad diferente al anterior) Patrón 8: 7 puntos seguidos creciendo o decreciendo

17 4.7 Interpretación de los gráficos de control 17 ANEXO A: Repaso de algunos conceptos sobre inferencia estadística La inferencia estadística. Población y muestra Uno de los principales objetivos de la estadística es el aprendizaje a partir de la observación. En particular, la estadística proporciona el método para conocer cómo es el fenómeno real que ha generado los datos observados y que generará los futuros. En estadística, el interés final no está tanto en los datos observados, sino en cómo serán los próximos datos que se vayan a observar. Consideraremos que la variable que nos interesa es una variable aleatoria X, y que los datos que observamos son sólo una muestra (conjunto de realizaciones) procedente de dicha variable aleatoria. La variable aleatoria puede generar un número indefinido de datos. Todos los datos posibles (posiblemente infinitos) serán la población. Por eso, muchas veces nos referiremos de forma indistinta a la población o a la variable aleatoria que la genera. Supongamos, por ejemplo, que queremos saber cómo son los artículos manufacturados por un determinado proceso. Para ello nos concentraremos en algún conjunto de variables medibles que sean representativas de las características de dicho artículo. Por ejemplo, la longitud de alguna de sus dimensiones podría ser una variable que nos interese conocer. La longitud de los posibles artículos manufacturados será una variable aleatoria, pues todo proceso productivo tiene siempre variabilidad, grande o pequeña. Las longitudes de los distintos artículos serán, en general, distintas. Diremos entonces que X = longitud de un artículo genérico, es una variable aleatoria de distribución desconocida. Para poder saber cómo es esa variable aleatoria, produciremos una muestra de artículos, y a partir de ella haremos un ejercicio de induccción, para extrapolar las características de la muestra a toda la población. En estadística, al ejercicio de inducción, por el que a partir de la muestra intentamos predecir cómo será el resto de la población que no se ha observado (la variable aleatoria) se le llama inferencia estadística, o simplemente inferencia. Supondremos que para realizar este ejercicio de inferencia tenemos una conjunto de datos obtenidos al azar de entre la población de posibles datos. A una muestra de este tipo se le llamará muestra aleatoria simple. Por simplicidad, y mientras no se diga lo contrario, supondremos que las muestras que obtengamos serán muestras aleatorias simples, y por tanto nos referiremos a ellas simplemente como muestras. En una muestra aleatoria simple se tienen dos características importantes: 1. Los elementos de la muestra son independientes entre sí. Por tanto, el valor que tome uno de ellos no condicionará al de los demás. Esta independecia se puede conseguir seleccionando los elementos al azar. 2. Todos los elementos tienen las mismas características que la población. Sea X nuestra variable aleatoria de interés, y sean X 1,X 2,..., X n los elementos de una muestra de tamaño n de dicha variable aleatoria X. Entonces, antes de ver los valores concretos que tomará la muestra formada por X 1,X 2,..., X n, tendremos que la muesta X 1,X 2,..., X n será un conjunto de variables aleatorias independientes e idénticas a X. Distribución muestral de un estadístico Volvamos a nuestro ejemplo del proceso productivo, en el que estamos interesados en saber cómo es la variable aleatoria X =longitud de un artículo genérico. Estamos interesados en las

18 18 Control de procesos por variables características de la población, es decir, en todas las longitudes posibles. Supongamos que tenemos una muestra de n = 100 artículos y hemos medido sus longitudes. Supongamos que calculamos un conjunto de medidas características de dicha muestra de 100 longitudes: la media, la varianza, etc. Son dichos valores los de la población? Está claro que no. La media de las n = 100 longitudes no tiene por qué coincidir con la media de toda la población. La media de la población será el promedio de TODOS sus infinitos datos, y sólo por casualidad será igual al promedio de los n = 100 datos que hemos seleccionado al azar. El problema es que si no tenemos todos los infinitos datos, no podremos conocer las medidas características de la población. Sólo tendremos lo que podamos obtener de la muestra. Por tanto, una primera conclusión que podemos extraer al intentar predecir (inferir) las medidas características de una población utilizando una muestra es la siguiente: Conclusión 1: Los valores de las medidas características que se obtienen de una muestra serán sólo una aproximación de los valores de las medidas características de la población. Otra segunda limitación de intentar averiguar cómo es una población a partir de la información de una muestra, es que nuestras conclusiones dependen de la muestra concreta que hayamos obtenido. Con otras muestras tendríamos otros valores en nuestras medidas características y podríamos sacar conclusiones diferentes sobre la población. Supongamos que tomamos una muestra de n = 100 artículos y medimos esas 100 longitudes obteniendo una longitud media de X =23,5 cm Quiere esto decir que cada vez que tomemos una muestra al azar de 100 de dichos artículos y los midamos, su media muestral será siempre X =23,5 cm? Pues obviamente no. Será mucha casualidad que dos muestras distintas nos den exáctamente la misma media. Como son muestras de una misma población, las medias será más o menos similares, pero no tienen por qué coincidir. Por tanto, se puede concluir los siguiente: Conclusión 2: Los valores de las medidas características que se obtienen de una muestra dependen de los elementos que la constituyen. Muestras diferentes darán por tanto valores diferentes. Como los elementos han sido seleccionados al azar, se dice que los valores de las medidas características de una muestra dependen del azar del muestreo. En lugar de hablar de medidas características de una muestra, hablaremos de forma más general de operaciones matemáticas realizadas con la muestra. Vamos a introducir entonces un nuevo concepto: llamaremos estadístico a cualquier operación realizada con una muestra. Por ejemplo, la media muestral es un estadístico, así como la varianza, el rango, o cualquier otra medida característica. El estadístico es la operación matemática, no el resultado obtenido. El estadístico tomará, de acuerdo a la conclusión 2 anterior, un valor diferente en cada muestra. Un estadístico será, por tanto, una variable aleatoria pues el valor concreto que obtengamos dependerá del azar del muestreo. El resultado obtenido con una muestra concreta será una realización de dicha variable aleatoria. Cada vez que realicemos el experimento de computar el valor de un estadístico en una muestra diferente, obtendremos una realización diferente del estadístico. En la práctica, tendremos una sola muestra, y por tanto una sola realización del estadístico. Si queremos dar alguna interpretación al valor de la realización de un estadístico en una muestra concreta, necesitamos conocer cómo varía el valor que puede tomar el estadístico de unas muestras a otras (ese será uno de los objetivos de este tema). Por ejemplo, supongamos el caso de las longitudes de los artículos antes mencionados. Supongamos también que sabemos por información histórica que si el proceso productivo funciona adecuadamente, la longitud media (μ) de los artículos que

19 4.7 Interpretación de los gráficos de control 19 produce debe ser de μ =25 cm. Cómo podemos entonces interpretar que en una muestra de tamaño n = 100 se haya obtenido que X =23,5 cm? Es esa diferencia ( ) evidencia de que la media se ha reducido y por eso la muestra tiene una media menor? O la media no ha cambiado y esa discrepancia ( ) puede atribuirse a la variabilidad debida al muestreo? Si no conocemos la función de densidad de X no podremos valorar si 23.5 es un número muy alejado de 25, y por tanto sospechoso de que algo ha ocurrido en el proceso; o por el contrario que sea muy frecuente que muestras de una población de media μ =25den alejamientos tan grandes como Supongamos ahora que extraemos una segunda muestra de tamaño n = 100 tras haber realizado algunos ajustes a la máquina y que obtenemos que la nueva media muestral es X (2) =24. Quiere decir que los ajustes han provocado un aumento en la media (de 23.5 a 24)? o ese cambio ( ) puede explicarse simplente por ser muestras diferentes de una misma población de media 25?. El tipo de preguntas que se plantean en el párrafo anterior son muy importantes en la práctica, y serán las que querramos resolver con la estadística. Para responder a este tipo de preguntas, es necesario conocer las características del estadístico que nos interese (en el caso del ejemplo, la media muestral). A la distribución de un estadístico debido a la variabilidad de la muestra se le denomina, distribución del estadístico en el muestreo. Esta distribución dependerá de cada caso concreto. Es importante darse cuenta de que estamos manejando dos niveles de variables aleatorias. En un primer nivel, más superficial, estaría nuestra variable aleatoria de interés X. En nuestro ejemplo sería X = longitud de un artículo genérico de nuestro proceso productivo. Para conocer las propiedades de dicha variable aleatoria extraemos una muestra aleatoria simple de tamaño n. Las longitudes de esos n elementos serán X 1,X 2,..., X n. Como hemos dicho anteriormente, antes de extraer la muestra, no sabremos qué valores tomarán X 1,X 2,...,X n. Y al tratarse de una muestra aleatoria simple, estos n elementos pueden interpretarse como un conjunto de n variables aleatorias independientes, e idénticas a nuestra variable de interés X. Nuestro objetivo es utilizar la muestra para saber cómo es X. Para ello, computamos el valor de un conjunto de estadísticos de interés con los datos de la muestra: X,S 2 x, etc. Esos estadísticos constituirán, debido a la variabilidad del muestreo, un segundo nivel de variables aleatorias con características diferentes a X. Para fijar mejor estos conceptos, en la sección siguiente veremos el caso de la media muestral. La distribución de la media muestral Supongamos que tenemos una muestra de tamaño n de una variable aleatoria X. Los elementos de dicha mestra serán serán X 1,X 2,...,X n. La media muestral de esas n observaciones es el siguiente estadístico: X = X 1 + X X n. (4.19) n Como cada X i es una variable aleatoria (idéntica a X) tendremosque X es también una variable aleatoria. De esta manera, su valor será, en general, diferente en cada muestra. El objetivo de esta sección es analizar cómo es la distribución de X en el muestreo. En primer lugar calcularemos la esperanza matemática de X. Si llamamos E(X) =μ tendremos que E(X i )=μ, i =1, 2,..., n. Entonces µ E( X) X1 + X X n =E n = E(X 1)+E(X 2 )+ + E(X n ) n = nμ n = μ. (4.20) Por tanto, aunque X pueda variar de unas muestras a otras, por término medio proporciona el valor de la media poblacional, que es al fin y al cabo nuestro objetivo. Este resultado es muy

20 20 Control de procesos por variables importante, pues nos dice que de los posibles valores que podamos obtener al cambiar la muestra, el centro de gravedad de ellos es la media poblacional. Para ver la dispersión de los distintos valores de medias muestrales alrededor de μ, calcularemos la varianza de X. Llamaremos Var(X) =σ 2. Por tanto Var(X i )=σ 2,i=1, 2,..., n. Entonces, µ Var( X) X1 + X X n =Var n = Var (X 1 + X X n ) n 2. Al ser una muestra aleatoria simple, los X i serán variables aleatorias independientes, y por tanto tendremos que Var( X) = Var(X 1)+Var(X 2 )+ + Var(X n ) n 2 = nσ2 n = σ2 n. (4.21) De este resultado se pueden sacar dos conclusiones que son también importantes: 1. La varianza disminuye con el tamaño muestral. Por tanto cuantos más datos se tengan será más probable que la media muestral sea un valor próximoa μ. 2. La dispersión de X alrededor de μ depende de la dispersión de la variable original X. Así, si σ 2 es muy grande hará falta un tamaño muestral grande si queremos asegurarnos que la media muestral esté cerca de la poblacional. Finalmente, vemos que la media muestral puede escribirse como suma de variables aleatorias. Reescribiendo (4.19) tenemos que X = X 1 n + X 2 n + + X n n, y por tanto, por el Teorema Central del Límite (ver tema anterior) tenemos que, independientemente de cómo sea X, si el tamaño muestral n es suficientemente grande X será aproximadamente una distribución normal. Setieneportantoquesi n es grande (en la práctica, con más de 30 datos) X N µμ, σ2. (4.22) n Por tanto, la media muestral realizada con un número suficiente de datos es una variable aleatoria simétrica y muy concentrada alrededor de la media poblacional, independientemente de cómo sealanaturalezadex. De esta forma, la media muestral con un tamaño muestral suficientemente grande proporciona una forma bastante precisa de aproximar la media poblacional μ. No olvidemos que en la práctica tendremos una sola muestra, y por tanto una sola realización de X. Por esta razón, es muy útil disponer de resultados teóricos tan interesantes como (4.22), que nos ayuden a valorar la fiabilidad de la media muestral. Nótese que el resultado (4.22) es independiente de la distribución que siga X si n es grande. En los próximos temas obtendremos más conclusiones y construiremos procedimientos estadísticos basados en este resultado.

21 4.7 Interpretación de los gráficos de control 21 ANEXO B: Índices de capacidad Los índices de capacidad comparan la capacidad del proceso con las especificaciones técnicas requeridas. La capacidad del proceso (6σ) es una medida de la dispersión natural de la variable que mide la calidad del producto o servicio, pero no dice nada sobre si dicha calidad se ajusta o no a las especificaciones. Existen algunos analistas que desrecomiendan la utilización de estos índices. Su principal argumento es que resultan un resumen demasiado simplista de la evolución del proceso. Una segunda crítica a los índices es que son difíciles de interpretar si la variable de interés no sigue una distribución normal. Bajo normalidad, el intervalo μ ± 3σ (longitud 6σ) recoge al 99,7 % de la población, por lo que bajo normalidad la capacidad del proceso sí es una medida representativa de cuál es el intervalo en el que estamos produciendo casi toda nuestra producción. Si no existe normalidad, es muy probable que el intervalo 6σ contenga una cantidad muy inferior al 99.7 %. La acotación de Tchevyshev permite saber que, independientemente de la distribución, en el intervalo μ ± 3σ estará, como mínimo, el 89 % de la población. Por tanto, si asumimos normalidad y ésta no se cumple, podemos estar cometiendo un error de apreciación de casi un 10 %. Por lo tanto, los índices de capacidad son un buen indicador de la calidad de un proceso, pero han de ser utilizados conjuntamente con el resto de la herramientas estadísticas. A continuación se muestran los índices de capacidad más habituales. En este apéndice se utilizará la siguiente notación: LTS= límite de tolerancia superior LTI=límite de tolerancia inferior Asímismo, para la interpretación de los índices, se supondrá que la variable de interés se distribuye normalmente. Índice de capacidad C p Este índice se define como C p = LTS-LTI, 6σ por tanto si C p < 1, el proceso no será capaz de cumplir las especificaciones. Tradicionalmente se dice también que si C p 1 el proceso es capaz. Actualmente, sin embargo, un índice de capacidad cercano a uno se considera insuficiente. Es frecuente utilizar el valor C p =4/3 1,33 como límite inferior de la calidad que debe tenerse en la práctica. Esto implica que LTS-LTI = 4 LTS-LTI =8σ 6σ 3 por tanto serían defectuosos aquellos artículos que estén a más de 4σ de la media; esto es, aproximadamente, 64 piezas por millón (bajo normalidad). Por esta razón se dice que Si C p < 1 el proceso no es capaz Si C p > 1,33 el proceso es capaz Si 1 C p 1,33 el proceso es capaz pero requiere un seguimiento muy estricto

22 22 Control de procesos por variables Índices de capacidad unilaterales C pl yc pu Estos índices se utilizan cuando los límites de tolerancia son unilaterales. Por ejemplo, el nivel de vibración de un motor, la tensión de rotura de un material, temperatura máxima que admite un componente electrónico hasta que falle, etc. En estos casos, la tolerancia se mide desde el valor nominal central hasta el valor extremo indicado por las especificaciones. Esta cantidad se compara con 3σ. El índice C pl (o C pi )seutilizacuandoexisteunaespecificación mínima, pero no una máxima; mientras que el índice C pu (o C ps ) se usa cuando se debe cumplir con una especificación máxima. Estos índices se definen de la siguiente manera: x LTI C pl =, 3σ C pu = LTS- x 3σ. Cuando cualquiera de estos dos índices es menor que 1, el proceso no cumplirá las especificaciones. Por tanto, son también útiles cuando existen ambas especificaciones, mínima y máxima. Por ejemplo, el proceso podría estar descentrado (la media x no coincidir con el centro del intervalo de especificaciones (LTS+LTI)/2). Es fácil comprobar que C p = LTS-LTI 6σ = 1 (LTS x)+( x LTI) 2 3σ = C pl + C pu. 2 Por tanto uno de los coeficientes podría ser menor que uno y compensarse con el otro y dar un coeficiente C p > 1, produciendo la falsa impresión de que el proceso es capaz. Por esta razón es siempre útil calcular estos dos índices. Existen procesos en los que se conoce el valor nominal que debe cumplir la característica de calidad. Por ejemplo, la resistencia nominal de un componente eléctrico, o el radio de un cilindro, etc. En esos casos, en lugar de la media muestral x habrá que usar dicho valor nominal μ N. En ese caso, la definición de los índices sería: C pl = μ N LTI, 3σ C pu = LTS-μ N. 3σ Índice de capacidad unilateral mínimo C pk Este índice es el mínimo de los dos índices unilaterales, es decir: C pk =mín(c pl,c pu ), y su interpretación es similar a los anteriores índices. Índice de capacidad recíproco C r Este índice es el inverso de C p, es decir, C r =1/C p. Su interpretación es la siguiente: Si C r > 1, el proceso no es capaz