La conjetura de Poincaré y la forma del universo

Transcripción

1 La conjetura de Poincaré y la forma del universo

2 La conjetura de Poincaré y la forma del universo Presentación preparada por: Raúl Gómez Muñoz, Luis Hernández Lamoneda y Adolfo Sánchez Valenzuela C I M A T Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.

3 La conjetura de Poincaré y la forma del universo Presentación preparada por: Raúl Gómez Muñoz, Luis Hernández Lamoneda y Adolfo Sánchez Valenzuela C I M A T Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. Texto recomendado para los interesados: T h e s h a p e o f s p a c e d e l a u t o r J e f f r e y R. We e k s

4 Planilandia y Espaciolandia

5 Planilandia y Espaciolandia habitantes Planícolas y Espaciócolas

6 Planilandia y Espaciolandia habitantes Planícolas y Espaciócolas universo plano (2-D)

7 Planilandia y Espaciolandia habitantes Planícolas y Espaciócolas universo plano (2-D) universo tridim l (3-D)

8 2D vs. 3D MESA ESTUFA SILLA CAMA BURO SILLON TV DESAPARECE LA MESA MESA ESTUFA SILLA CAMA BURO MESA APARECE LA MESA SILLON TV

9 2D vs. 3D MESA ESTUFA SILLA CAMA BURO SILLON TV DESAPARECE LA MESA MESA ESTUFA SILLA CAMA BURO MESA APARECE LA MESA SILLON TV

10 2D vs. 3D MESA ESTUFA SILLA CAMA BURO SILLON TV DESAPARECE LA MESA MESA ESTUFA SILLA CAMA BURO MESA APARECE LA MESA SILLON TV

11 2D vs. 3D MESA ESTUFA SILLA CAMA BURO SILLON TV DESAPARECE LA MESA MESA ESTUFA SILLA CAMA BURO MESA APARECE LA MESA SILLON TV

12 Los planícolas suponían que su universo era un plano que se extendía infinitamente.

13 Los planícolas suponían que su universo era un plano que se extendía infinitamente.

14 Los planícolas suponían que su universo era un plano que se extendía infinitamente. Un físico llamado Albert PLANSTEIN, pensó que las figuras unidimensionales en el plano podrían ayudarle a entender mejor la forma de planilandia,...

15 Planstein estudió las rectas y las circunferencias

16 Planstein estudió las rectas y las circunferencias y escribió un libro llamado Rectilandia donde habitaban los rectícolas,...

17 Planstein estudió las rectas y las circunferencias y escribió un libro llamado Rectilandia donde habitaban los rectícolas, y se dió cuenta de que un posible universo unidimensional sin fronteras podía tener longitud finita.

18 Planstein propuso entonces una teoría sobre la estructura y naturaleza de planilandia,...

19 Planstein propuso entonces una teoría sobre la estructura y naturaleza de planilandia,... El universo planícola tiene una área finita, no tiene frontera alguna y se ve igual en todas las direcciones. Albert Planstein

20 Planstein propuso entonces una teoría sobre la estructura y naturaleza de planilandia,... El universo planícola tiene una área finita, no tiene frontera alguna y se ve igual en todas las direcciones. Albert Planstein (figura realizada por un espaciócola)

21 A los planícolas les costó mucho trabajo entender a Planstein,...

22 A los planícolas les costó mucho trabajo entender a Planstein,... Pero había un viajero, Cuadróbal Colón, que pensó:

23 A los planícolas les costó mucho trabajo entender a Planstein,... Pero había un viajero, Cuadróbal Colón, que pensó: La teoría de Planstein podría ponerse a prueba,...

24 A los planícolas les costó mucho trabajo entender a Planstein,... Pero había un viajero, Cuadrobal Colón, que pensó: La teoría de Planstein podría ponerse a prueba,... Podría ser que viajando hacia el oeste regresemos al punto de partida por el este,...

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33 Cuadróbal Colón realizó su viaje,...

34 Cuadróbal Colón realizó su viaje,... Viajó hacia el oeste y regresó por el este,...

35 Cuadróbal Colón realizó su viaje,... Viajó hacia el oeste y regresó por el este,... Pero los escépticos dijeron: Nooaahh!!... Colón viajó siguiendo una amplia circunferencia,...

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37 Pero para los optimistas seguidores de Planstein, el experimento de Cuadróbal Colón apuntaba en una dirección prometedora,...

38 Pero para los optimistas seguidores de Planstein, el experimento de Cuadróbal Colón apuntaba en una dirección prometedora,... (con una pequeña ayuda de un dibujo espoaciócola)

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40 Extendiendo infinitamente al norte y al sur la figura anterior la superficie resulta infinita,...

41 Extendiendo infinitamente al norte y al sur la figura anterior la superficie resulta infinita,... Cuadróbal Colón decidió realizar un nuevo experimento:

42 Extendiendo infinitamente al norte y al sur la figura anterior la superficie resulta infinita,... Cuadróbal Colón decidió realizar un nuevo experimento: viajar hacia el norte, esperando regresar por el sur,...

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51 Cuadróbal Colón realizó este nuevo viaje,...

52 Cuadróbal Colón realizó este nuevo viaje,... Viajó hacia el norte y regresó por el sur,...

53 Cuadróbal Colón realizó este nuevo viaje,... Viajó hacia el norte y regresó por el sur,... Pero los escépticos dijeron: Nooaahh!!... Colón viajó siguiendo otra amplia circunferencia,...

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55 Pero los optimistas seguidores de Planstein se pusieron felices,... (el universo planícola podría explicarse con la siguiente imagen espaciócola)

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57 Pero había una gran misterio,...

58 Pero había una gran misterio,... A pesar de haber marcado sus rutas de rojo y azul,

59 Pero había una gran misterio,... A pesar de haber marcado sus rutas de rojo y azul, Cuadróbal Colón nunca encontró más de un cruce rojo y azul!

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62 Planstein tuvo que reformular su teoría del universo:

63 Planstein tuvo que reformular su teoría del universo: Planilandia no es un plano, ni un cilindro, ni una esfera,...

64 Planstein tuvo que reformular su teoría del universo: Planilandia no es un plano, ni un cilindro, ni una esfera,... Planilandia es,... un torito!

65 Planstein tuvo que reformular su teoría del universo: Planilandia no es un plano, ni un cilindro, ni una esfera,... Planilandia es,... un torito! (que con ayuda de una imagen espaciócola se puede entender así:)

66 El toro

67 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas?

68 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? Clasifiquemos todas las posibles formas del universo! (Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé)

69 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? El geómetra y topologo H. Plancaré Clasifiquemos todas las posibles formas del universo! se dió a la tarea de (Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé) clasificar todas las posibles formas de planilandia Estructuras algebraicas de de las las conexas ded !! Explicar esta clasif. es el propósito de la presentación! TEOREMA R DE DE CLASIFICACION DE DE SUPERFICIES 2-D: 2-D: CUALQ

70 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? El geómetra y topologo H. Plancaré Clasifiquemos todas las posibles formas del universo! se dió a la tarea de (Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé) clasificar todas las posibles formas de planilandia Estructuras algebraicas de de las las conexas ded !! Explicar esta clasif. es el propósito de la presentación! TEOREMA R DE DE CLASIFICACION DE DE SUPERFICIES 2-D: 2-D: CUALQ

71 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? El geómetra y topologo H. Plancaré Clasifiquemos todas las posibles formas del universo! se dió a la tarea de (Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé) clasificar todas las posibles formas de planilandia Estructuras algebraicas de de las las conexas ded !! Explicar esta clasif. es el propósito de la presentación! TEOREMA R DE DE CLASIFICACION DE DE SUPERFICIES 2-D: 2-D: CUALQ

72 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? El geómetra y topologo H. Plancaré Clasifiquemos todas las posibles formas del universo! se dió a la tarea de (Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé) clasificar todas las posibles formas de planilandia Estructuras algebraicas de de las las conexas ded !! Explicar esta clasif. es el propósito de la presentación! TEOREMA R DE DE CLASIFICACION DE DE SUPERFICIES 2-D: 2-D: CUALQ

73 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? El geómetra y topologo H. Plancaré Clasifiquemos todas las posibles formas del universo! se dió a la tarea de (Matemáticos Planid Hilbert y Henri Plancairé) clasificar todas las posibles formas de planilandia Estructuras algebraicas de de las las conexas ded !! Explicar Explicar esta esta clasif. clasif. es es el propósito el propósito de de la presentación la presentación!! TEOREMA R DE DE CLASIFICACION DE DE SUPERFICIES 2-D: 2-D: CUALQ

74 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? Matemático Planid Hilbert : (Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX)

75 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? Matemático Planid Hilbert : (Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX) ``Las investigaciones en la fundamentación de la geometría sugieren el problema de tratar en la misma manera y mediante axiomas, aquellas ciencias físicas en las que la matemática juega un papel importante... '' 11/4/06 9:00 ``Si la geometría ha de servir de modelo para el tratamiento de los axiomas de la física, debemos tratar primero con un pequeño número de axiomas para incluir una clase de fenómenos tan grande como sea posible, y luego, añadiendo nuevos axiomas, llegar gradualmente a las teorías más especializadas... '' `` El matemático tendrá que dar cuenta, no solo de aquellas teorías cercanas a la realidad, sino también, como en geometría, de todas las teorías lógicamente posibles. '' ``Él debe estar siempre alerta para obtener un panorama completo de todas las conclusiones derivables del supuesto sistema de axiomas. '' ``Además, el matemático tiene la obligación de demostrar exactamente en cada instancia si los nuevos axiomas son compatibles o no con los

76 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? t 11/4/06 11/4/06 9:00 9:00 Matemático Planid Hilbert : (Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX) ``Las ``Las investigaciones investigaciones en en la la fundamentación fundamentación de de la la geometría geometría sugieren sugieren el el problema problema de de tratar tratar en en la la misma misma manera manera y mediante mediante axiomas, axiomas, aquellas aquellas ciencias ciencias físicas físicas en en las las que que la la matemática matemática juega juega un un papel papel importante... importante... '' '' ``Si ``Si la la geometría geometría ha ha de de servir servir de de modelo modelo para para el el tratamiento tratamiento de de los los axiomas axiomas de de la la física, física, debemos debemos tratar tratar primero primero con con un un pequeño pequeño número número de de axiomas axiomas para para incluir incluir una una clase clase de de fenómenos fenómenos tan tan grande grande como como sea sea posible, posible, y luego, luego, añadiendo añadiendo nuevos nuevos axiomas, axiomas, llegar llegar gradualmente gradualmente a las las teorías teorías más más especializadas... especializadas... '' '' `` `` El El matemático matemático tendrá tendrá que que dar dar cuenta, cuenta, no no solo solo de de aquellas aquellas teorías teorías cercanas cercanas a la la realidad, realidad, sino sino también, también, como como en en geometría, geometría, de de todas todas las las teorías teorías lógicamente lógicamente posibles. posibles. '' '' ``Él ``Él debe debe estar estar siempre siempre alerta alerta para para obtener obtener un un panorama panorama completo completo de de todas todas las las conclusiones conclusiones derivables derivables del del supuesto supuesto sistema sistema de de axiomas. axiomas. '' '' ``Además, ``Además, el el matemático matemático tiene tiene la la obligación obligación de de demostrar demostrar exactamente exactamente en en cada cada instancia instancia si si los los nuevos nuevos axiomas axiomas son son compatibles compatibles o no no con con los los anteriores. ''

77 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? t 11/4/06 11/4/06 11/4/06 9:00 9:00 9:0 Matemático Planid Hilbert : (Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX) ``Las ``Las ``Las investigaciones investigaciones investigaciones en en en la la la fundamentación fundamentación fundamentación de de de la la la geometría geometría geometría sugieren sugieren sugieren el el el problema problema problema de de de tratar tratar tratar en en en la la la misma misma misma manera manera manera y mediante mediante mediante axiomas, axiomas, axiomas, aquellas aquellas aquellas ciencias ciencias ciencias físicas físicas físicas en en en las las las que que que la la la matemática matemática matemática juega juega juega un un un papel papel papel importante... importante... importante... '' '' '' ``Si ``Si ``Si la la la geometría geometría geometría ha ha ha de de de servir servir servir de de de modelo modelo modelo para para para el el el tratamiento tratamiento tratamiento de de de los los los axiomas axiomas axiomas de de de la la la física, física, física, debemos debemos debemos tratar tratar tratar primero primero primero con con con un un un pequeño pequeño pequeño número número número de de de axiomas axiomas axiomas para para para incluir incluir incluir una una una clase clase clase de de de fenómenos fenómenos fenómenos tan tan tan grande grande grande como como como sea sea sea posible, posible, posible, y luego, luego, luego, añadiendo añadiendo añadiendo nuevos nuevos nuevos axiomas, axiomas, axiomas, llegar llegar llegar gradualmente gradualmente gradualmente a las las las teorías teorías teorías más más más especializadas... especializadas... especializadas... '' '' '' `` `` `` El El El matemático matemático matemático tendrá tendrá tendrá que que que dar dar dar cuenta, cuenta, cuenta, no no no solo solo solo de de de aquellas aquellas aquellas teorías teorías teorías cercanas cercanas cercanas a la la la realidad, realidad, realidad, sino sino sino también, también, también, como como como en en en geometría, geometría, geometría, de de de todas todas todas las las las teorías teorías teorías lógicamente lógicamente lógicamente posibles. posibles. posibles. '' '' '' ``Él ``Él ``Él debe debe debe estar estar estar siempre siempre siempre alerta alerta alerta para para para obtener obtener obtener un un un panorama panorama panorama completo completo completo de de de todas todas todas las las las conclusiones conclusiones derivables derivables del del del supuesto supuesto supuesto sistema sistema sistema de de de axiomas. axiomas. axiomas. '' '' '' ``Además, ``Además, el el el matemático matemático tiene tiene tiene la la la obligación obligación de de de demostrar demostrar exactamente exactamente en en en cada cada cada instancia instancia si si si los los los nuevos nuevos axiomas axiomas son son son compatibles compatibles o no no no con con con los los los anteriores. '' ''

78 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? xt t 11/4/06 11/4/06 11/4/06 9:00 9:00 9:00 Matemático Planid Hilbert : (Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX) ``Las ``Las ``Las investigaciones investigaciones investigaciones en en en la la la fundamentación fundamentación fundamentación de de de la la la geometría geometría geometría sugieren sugieren sugieren el el el problema problema problema de de de tratar tratar tratar en en en la la la misma misma misma manera manera manera y mediante mediante mediante axiomas, axiomas, axiomas, aquellas aquellas aquellas ciencias ciencias ciencias físicas físicas físicas en en en las las las que que que la la la matemática matemática matemática juega juega juega un un un papel papel papel importante... importante... importante... '' '' '' ``Si ``Si ``Si la la la geometría geometría geometría ha ha ha de de de servir servir servir de de de modelo modelo modelo para para para el el el tratamiento tratamiento tratamiento de de de los los los axiomas axiomas axiomas de de de la la la física, física, física, debemos debemos debemos tratar tratar tratar primero primero primero con con con un un un pequeño pequeño pequeño número número número de de de axiomas axiomas axiomas para para para incluir incluir incluir una una una clase clase clase de de de fenómenos fenómenos fenómenos tan tan tan grande grande grande como como como sea sea sea posible, posible, posible, y luego, luego, luego, añadiendo añadiendo añadiendo nuevos nuevos nuevos axiomas, axiomas, axiomas, llegar llegar llegar gradualmente gradualmente gradualmente a las las las teorías teorías teorías más más más especializadas... especializadas... especializadas... '' '' '' `` `` `` El El El matemático matemático matemático tendrá tendrá tendrá que que que dar dar dar cuenta, cuenta, cuenta, no no no solo solo solo de de de aquellas aquellas aquellas teorías teorías teorías cercanas cercanas cercanas a la la la realidad, realidad, realidad, sino sino sino también, también, también, como como como en en en geometría, geometría, geometría, de de de todas todas todas las las las teorías teorías teorías lógicamente lógicamente lógicamente posibles. posibles. posibles. '' '' '' ``Él ``Él ``Él debe debe debe estar estar estar siempre siempre siempre alerta alerta alerta para para para obtener obtener obtener un un un panorama panorama panorama completo completo completo de de de todas todas todas las las las conclusiones conclusiones derivables derivables del del del supuesto supuesto supuesto sistema sistema sistema de de de axiomas. axiomas. axiomas. '' '' '' ``Además, ``Además, el el el matemático matemático tiene tiene tiene la la la obligación obligación de de de demostrar demostrar exactamente exactamente en en en cada cada cada instancia instancia si si si los los los nuevos nuevos axiomas axiomas son son son compatibles compatibles o no no no con con con los los los anteriores. '' ''

79 Y qué tenían que decir los matemáticos planícolas? txt t 11/4/06 11/4/06 11/4/06 9:00 9:00 9:00 Matemático Planid Hilbert : (Congreso internacional de matemáticas, inicio S-XX) ``Las ``Las ``Las investigaciones investigaciones investigaciones en en en la la la fundamentación fundamentación fundamentación de de de de la la la la geometría geometría geometría sugieren sugieren sugieren el el el el problema problema problema de de de tratar tratar tratar en en en la la la misma misma misma manera manera manera y mediante mediante mediante axiomas, axiomas, axiomas, aquellas aquellas aquellas ciencias ciencias ciencias físicas físicas físicas en en en las las las que que que la la la matemática matemática matemática juega juega juega un un un un papel papel papel importante... importante... importante... '' '' '' '' ``Si ``Si ``Si la la la geometría geometría geometría ha ha ha de de de servir servir servir de de de modelo modelo modelo para para para el el el el tratamiento tratamiento tratamiento de de de de los los los axiomas axiomas axiomas de de de la la la física, física, física, debemos debemos debemos tratar tratar tratar primero primero primero con con con un un un un pequeño pequeño pequeño número número número de de de de axiomas axiomas axiomas para para para incluir incluir incluir una una una clase clase clase de de de fenómenos fenómenos fenómenos tan tan tan grande grande grande como como como sea sea sea posible, posible, posible, y y luego, luego, luego, añadiendo añadiendo añadiendo nuevos nuevos nuevos axiomas, axiomas, axiomas, llegar llegar llegar gradualmente gradualmente gradualmente a las las las teorías teorías teorías más más más especializadas... especializadas... especializadas... '' '' '' `` `` `` El El El matemático matemático matemático tendrá tendrá tendrá que que que dar dar dar cuenta, cuenta, cuenta, no no no solo solo solo de de de de aquellas aquellas aquellas teorías teorías teorías cercanas cercanas cercanas a la la la realidad, realidad, realidad, sino sino sino también, también, también, como como como en en en geometría, geometría, geometría, de de de de todas todas todas las las las teorías teorías teorías lógicamente lógicamente lógicamente posibles. posibles. posibles. '' '' '' ``Él ``Él ``Él debe debe debe estar estar estar siempre siempre siempre alerta alerta alerta para para para obtener obtener obtener un un un panorama panorama panorama completo completo completo de de de de todas todas todas las las las conclusiones conclusiones derivables derivables del del del supuesto supuesto supuesto sistema sistema sistema de de de de axiomas. axiomas. axiomas. '' '' '' '' ``Además, ``Además, el el el matemático matemático tiene tiene tiene la la la obligación obligación de de de de demostrar demostrar exactamente exactamente en en en en cada cada cada instancia instancia si si si los los los nuevos nuevos axiomas axiomas son son son compatibles compatibles o o no no no no con con con los los los anteriores. '' ''

80 Aprendizaje para los espaciócolas:

81 Aprendizaje para los espaciócolas: Pensar que el universo se extiende infinitamente, es solamente una posibilidad entre muchas otras,...

82 Aprendizaje para los espaciócolas: Pensar que el universo se extiende infinitamente, es solamente una posibilidad entre muchas otras,... Determinar la posible forma que tiene el universo puede ser el resultado de observaciones y experimentos

83 Aprendizaje para los espaciócolas: Pensar que el universo se extiende infinitamente, es solamente una posibilidad entre muchas otras,... Determinar la posible forma que tiene el universo puede ser el resultado de observaciones y experimentos Experimentos pensados (ejercicios):

84 Aprendizaje para los espaciócolas: Pensar que el universo se extiende infinitamente, es solamente una posibilidad entre muchas otras,... Determinar la posible forma que tiene el universo puede ser el resultado de observaciones y experimentos Experimentos pensados (ejercicios): 1. Pensar en un viaje intergaláctico en el que siguiendo una dirección fija se regrese al mismo lugar.

85 Aprendizaje para los espaciócolas: Pensar que el universo se extiende infinitamente, es solamente una posibilidad entre muchas otras,... Determinar la posible forma que tiene el universo puede ser el resultado de observaciones y experimentos Experimentos pensados (ejercicios): 1. Pensar en un viaje intergaláctico en el que siguiendo una dirección fija se regrese al mismo lugar. 2. Pensar en observar el firmamento y descubrir que nos vemos a nosotros mismos.

86 Para clasificar las posibles formas que podría tener el universo de los planícolas,

87 Para clasificar las posibles formas que podría tener el universo de los planícolas, recurrimos a la TOPOLOGÍA!

88 Topología.

89 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones.

90 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. De entre las figuras geométricas que estudia la topología, una clase importante son las variedades.

91 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. De entre las figuras geométricas que estudia la topología, una clase importante son las variedades. Las variedades son espacios ( cuerpos geométricos )

92 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. De entre las figuras geométricas que estudia la topología, una clase importante son las variedades. Las variedades son espacios ( cuerpos geométricos ) que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como:

93 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. De entre las figuras geométricas que estudia la topología, una clase importante son las variedades. Las variedades son espacios ( cuerpos geométricos ) que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como: un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno)

94 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. De entre las figuras geométricas que estudia la topología, una clase importante son las variedades. Las variedades son espacios ( cuerpos geométricos ) que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como: un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno) un subconjunto del plano (variedades de dimensión dos)

95 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. De entre las figuras geométricas que estudia la topología, una clase importante son las variedades. Las variedades son espacios ( cuerpos geométricos ) que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como: un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno) un subconjunto del plano (variedades de dimensión dos) un subconjunto del espacio (variedades de dimensión tres)

96 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. De entre las figuras geométricas que estudia la topología, una clase importante son las variedades. Las variedades son espacios ( cuerpos geométricos ) que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como: un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno) un subconjunto del plano (variedades de dimensión dos) un subconjunto del espacio (variedades de dimensión tres) etc.

97 Topología. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. De entre las figuras geométricas que estudia la topología, una clase importante son las variedades. Las variedades son espacios ( cuerpos geométricos ) que cerca de cualquiera de sus puntos se ven como: un subconjunto de la recta (variedades de dimensión uno) un subconjunto del plano (variedades de dimensión dos) un subconjunto del espacio (variedades de dimensión tres) etc. Un objetivo de la topología es clasificar las variedades según su dimensión.

98 Las variedades son interesantes porque:

99 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica, como:

100 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica, como: a) El conjunto de puntos en el espacio que se encuentran a una distancia de 5 unidades del origen.

101 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica, como: a) El conjunto de puntos en el espacio que se encuentran a una distancia de 5 unidades del origen. b) El conjunto de todas las líneas rectas del espacio que pasan por el origen.

102 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica, como: a) El conjunto de puntos en el espacio que se encuentran a una distancia de 5 unidades del origen. b) El conjunto de todas las líneas rectas del espacio que pasan por el origen. c) El conjunto de todas las posiciones posibles de un péndulo.

103 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como: B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como:

104 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como: B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como: a) El conjunto de todas las soluciones de la ecuación x 2 + y 2 z 2 = 9

105 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como: B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como: a) El conjunto de todas las soluciones de la ecuación x 2 + y 2 z 2 = 9 b) El conjunto de todas las soluciones de la ecuación d 2 f dt f = 0

106 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como: B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones. como: C. Pueden modelar aspectos de la naturaleza, como:

107 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como: B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones. como: C. Pueden modelar aspectos de la naturaleza, como: a) El ADN circular es un nudo

108 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como: B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones. como: C. Pueden modelar aspectos de la naturaleza, como: a) El ADN circular es un nudo b) El universo en el que vivimos es una variedad (?)

109 Las variedades son interesantes porque: A. Pueden caracterizar una propiedad geométrica. como: B. Pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones. como: C. Pueden modelar aspectos de la naturaleza, como: a) El ADN circular es un nudo b) El universo en el que vivimos es una variedad (?)

110 Ejemplo de variedad de dimensión uno.

111 Ejemplo de variedad de dimensión uno.

112 Ejemplo de variedad de dimensión uno.

113 Ejemplo de variedad de dimensión uno.

114 Ejemplo de variedad de dimensión uno.

115 Un ejemplo que NO es una variedad de dimensión uno.

116 Un ejemplo que NO es una variedad de dimensión uno.

117 Un ejemplo que NO es una variedad de dimensión uno.

118 Un ejemplo que NO es una variedad de dimensión uno. Hay un punto cerca del cual la figura no luce como un subconjunto de la recta!

119 Ejemplo de variedad de dimensión dos.

120 Ejemplo de variedad de dimensión dos.

121 Ejemplo de variedad de dimensión dos.

122 Ejemplo de variedad de dimensión dos.

123 Ejemplo de variedad de dimensión dos.

124 Ejemplo de variedad de dimensión dos.

125 Las variedades pueden constar de varios trozos, cada uno de los cuales es una variedad.

126 Las variedades pueden constar de varios trozos, cada uno de los cuales es una variedad.

127 Las variedades pueden constar de varios trozos, cada uno de los cuales es una variedad. (ejemplo de variedad cerrada o compacta )

128 Las variedades pueden constar de varios trozos, cada uno de los cuales es una variedad. (ejemplo de variedad abierta o infinita )

129 Las variedades pueden constar de varios trozos, cada uno de los cuales es una variedad.

130 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo

131 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo Equivalentemente:

132 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo Equivalentemente: Si cualquier par de puntos se pueden unir con una trayectoria completamente contenida en la variedad

133 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo Equivalentemente: Si cualquier par de puntos se pueden unir con una trayectoria completamente contenida en la variedad

134 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo Equivalentemente: Si cualquier par de puntos se pueden unir con una trayectoria completamente contenida en la variedad

135 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo Equivalentemente: Si cualquier par de puntos se pueden unir con una trayectoria completamente contenida en la variedad

136 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo Equivalentemente: Si cualquier par de puntos se pueden unir con una trayectoria completamente contenida en la variedad

137 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo Equivalentemente: Si cualquier par de puntos se pueden unir con una trayectoria completamente contenida en la variedad

138 Una variedad es conexa si consiste de un solo trozo Equivalentemente: Si cualquier par de puntos se pueden unir con una trayectoria completamente contenida en la variedad Estos dos puntos no se pueden unir con una trayectoria contenida en la variedad!

139 Recordar lo que dijimos de la topología:

140 Recordar lo que dijimos de la topología: Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones.

141 Recordar lo que dijimos de la topología: Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. Dos figuras geométricas que se pueden deformar continuamente una en otra se llaman

142 Recordar lo que dijimos de la topología: Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. Dos figuras geométricas que se pueden deformar continuamente una en otra se llaman topológicamente equivalentes

143 Recordar lo que dijimos de la topología: Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. Dos figuras geométricas que se pueden deformar continuamente una en otra se llaman Por ejemplo, topológicamente equivalentes

144 Recordar lo que dijimos de la topología: Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de figuras geométricas que no cambian cuando se les somete a deformaciones. Dos figuras geométricas que se pueden deformar continuamente una en otra se llaman Por ejemplo, topológicamente equivalentes y

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150 También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el siguiente procedimiento:

151 También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el siguiente procedimiento: a) Cortamos una variedad sin desconectarla.

152 También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el siguiente procedimiento: a) Cortamos una variedad sin desconectarla. b) La deformamos.

153 También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el siguiente procedimiento: a) Cortamos una variedad sin desconectarla. b) La deformamos. c) La volvemos a pegar en el mismo lugar.

154 También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el siguiente procedimiento: a) Cortamos una variedad sin desconectarla. b) La deformamos. c) La volvemos a pegar en el mismo lugar. Ejemplo: las siguientes dos figuras son top. equiv.

155 También son topológicamente equivalentes dos figuras que se obtienen una de otra mediante el siguiente procedimiento: a) Cortamos una variedad sin desconectarla. b) La deformamos. c) La volvemos a pegar en el mismo lugar. Ejemplo: las siguientes dos figuras son top. equiv. y

156 Demostración. Partir de un círculo.

157 Demostración. Partir de un círculo.

158 Demostración. Escoger un punto donde cortar

159 Demostración. Cortar y estirar

160 Demostración. Cortar y estirar Estirar un poco más.

161 Demostración. Cortar y estirar Estirar un poco más. Estirar más para anudar.

162 Demostración. Cortar y estirar Estirar un poco más. Pegar nuevamente en el mismo lugar Estirar más para anudar.

163 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión,

164 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas:

165 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.

166 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.

167 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta.

168 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta. B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.

169 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta. B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.

170 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta. B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta.

171 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta. B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta. En consecuencia, solamente hay dos tipos de variedades conexas de una dimensión:

172 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta. B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta. En consecuencia, solamente hay dos tipos de variedades conexas de una dimensión: A. La recta real (variedad abierta).

173 Teorema. Para variedades conexas de una dimensión, sucede solamente una de las siguientes dos alternativas: A. Si cortamos en un punto (el que sea), se desconecta. B. Si cortamos en un punto (el que sea), NO se desconecta. En consecuencia, solamente hay dos tipos de variedades conexas de una dimensión: A. La recta real (variedad abierta). B. El círculo (variedad cerrada).

174 Variedades de dimensión dos

175 Ejemplos compactos: Variedades de dimensión dos

176 Ejemplos compactos: Variedades de dimensión dos

177 Ejemplos compactos: Variedades de dimensión dos

178 Variedades de dimensión dos Ejemplos compactos: Ejemplos no compactos:

179 Variedades de dimensión dos Ejemplos compactos: Ejemplos no compactos:

180 Variedades de dimensión dos Además de dividirse en abiertas (o infinitas) y cerradas (o compactas) como las de dim = 1, Ejemplos compactos: Ejemplos no compactos:

181 Variedades de dimensión dos Además de dividirse en abiertas (o infinitas) y cerradas (o compactas) como las de dim = 1, las hay orientables y no orientables.

182 Variedades de dimensión dos Además de dividirse en abiertas (o infinitas) y cerradas (o compactas) como las de dim = 1, las hay orientables y no orientables. Ejemplos orientables:

183 Variedades de dimensión dos Además de dividirse en abiertas (o infinitas) y cerradas (o compactas) como las de dim = 1, las hay orientables y no orientables. Ejemplos orientables:

184 Variedades de dimensión dos Además de dividirse en abiertas (o infinitas) y cerradas (o compactas) como las de dim = 1, las hay orientables y no orientables. Ejemplos orientables:

185 Variedades de dimensión dos Además de dividirse en abiertas (o infinitas) y cerradas (o compactas) como las de dim = 1, las hay orientables y no orientables. Ejemplos orientables: Ejemplos no orientables:

186 Variedades de dimensión dos Además de dividirse en abiertas (o infinitas) y cerradas (o compactas) como las de dim = 1, las hay orientables y no orientables. Ejemplos orientables: Superficies No-Orient Ejemplo típico: La Banda de Moebius Ejemplos no orientables: Tira de papel

187 Variedades de dimensión dos Cómo deshacernos de la fr Además de dividirse en abiertas (o infinitas) y cerradas (o compactas) Pensar como circulo como las un de "cierre" dim = 1, (zipper) las hay orientables y no orientables. Ejemplos orientables: Y subir el cierre Superficies No-Orient Ejemplo típico: La Banda de Moebius El efecto Ejemplos no orientables: Tira de papel es...

188 Variedades de dimensión dos compactas y orientables

189 Variedades de dimensión dos compactas y orientables Notar que hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, desconectan la variedad:

190 Variedades de dimensión dos compactas y orientables Notar que hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, desconectan la variedad:

191 Variedades de dimensión dos compactas y orientables Notar que hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, desconectan la variedad:

192 Variedades de dimensión dos compactas y orientables Pero en algunas variedades también hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, NO desconectan a la variedad

193 Variedades de dimensión dos compactas y orientables Pero en algunas variedades también hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, NO desconectan a la variedad

194 Variedades de dimensión dos compactas y orientables Pero en algunas variedades también hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, NO desconectan a la variedad

195 Variedades de dimensión dos compactas y orientables Pero en algunas variedades también hay curvas cerradas que, si cortamos alrededor de ellas, NO desconectan a la variedad Observar que no se desconectó!

196 Esto NO sucede en la superficie de la esfera!

197 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

198 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

199 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

200 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

201 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

202 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

203 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

204 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

205 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

206 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! a lo largo de qué curva cerrada podemos cortar sin desconectar a la supericie en dos pedazos?

207 Esto NO sucede en la superficie de la esfera! La razón es que cualquier curva cerrada en la esfera, se puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada.

208 En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.

209 En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.

210 En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.

211 En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.

212 En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra.

213 En el toro hay pares de trayectorias cerradas que no se pueden deformar una en otra. Observar que si se corta a lo largo del lazo rojo, o si se corta a lo largo del lazo azul, la variedad no se desconecta!

214 Una variedad en la que cualquier curva cerrada se puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada, se dice que es simplemente conexa

215 Una variedad en la que cualquier curva cerrada se puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada, se dice que es simplemente conexa Una variedad de dimensión 2 que no es simplemente conexa tiene curvas cerradas que, cuando se corta a su alrededor la variedad no se desconecta.

216 Una variedad en la que cualquier curva cerrada se puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada, se dice que es simplemente conexa Una variedad de dimensión 2 que no es simplemente conexa tiene curvas cerradas que, cuando se corta a su alrededor la variedad no se desconecta. Cuando este es el caso, se puede practicar una cirugía

217 Una variedad en la que cualquier curva cerrada se puede deformar en cualquier otra curva cerrada dada, se dice que es simplemente conexa Una variedad de dimensión 2 que no es simplemente conexa tiene curvas cerradas que, cuando se corta a su alrededor la variedad no se desconecta. Cuando este es el caso, se puede practicar una cirugía y después de una serie de cirugías llegar a una variedad de dimensión 2 simplemente conexa.

218 Ejemplo: Practicar una cirugía = Liposucción!

219 Ejemplo: Practicar una cirugía = Liposucción!

220 Ejemplo: Practicar una cirugía = Liposucción!

221 Primer paso: cortamos a lo largo de una trayectoria cerrada que no desconecte a la variedad

222 Observar que no se desconectó!

223 Segundo paso: permitimos la deformación ( = remoción de grasa excedente y desinflamación )

224 Tercer paso: cerramos las heridas

225 Cuarto paso: permitimos la deformación ( = desinflamación de las heridas )

226 Quinto paso: cicatrización

227 Cirugía = Liposucción! Resultado: una llanta menos!

228 Y si practicamos una cirugía mas?

229 Primer paso: cortamos a lo largo de una trayectoria cerrada que no desconecte a la variedad

230 observar que no se desconectó!

231 Segundo paso: permitimos la deformación ( = remoción de grasa excedente y desinflamación )

232 Tercer paso: cerramos las heridas

233 Cuarto paso: permitimos la deformación ( = desinflamación de las heridas )

234 Cuarto paso: permitimos la deformación ( = desinflamación de las heridas ) y Quinto paso: cicatrización

235 Y si practicamos una cirugía mas?

236 No hay donde cortar sin desconectar!

237 Proceso inverso = anticirugía = pegar una asa

238 Proceso inverso = anticirugía = pegar una asa

239 Proceso inverso = anticirugía = pegar una asa Primer paso: determinar los sitios donde se pegará el asa

240 Proceso inverso = anticirugía = pegar una asa Primer paso: determinar los sitios donde se pegará el asa

241 Proceso inverso = anticirugía = pegar una asa Segundo paso: remover las tapas (discos) donde se pegará el asa

242 Proceso inverso = anticirugía = pegar una asa Tercer paso: pegar el asa y permitir deformación ( desinflamar )

243 Proceso inverso = anticirugía = pegar una asa Lipoinyección = una llanta más!

244 PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las llantas o asas, terminaremos con una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazos a lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar.

245 PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las llantas o asas, terminaremos con una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazos a lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar.

246 PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las llantas o asas, terminaremos con una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazos a lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar. El producto final es entonces: una variedad simplementeconexa de dimensión 2!

247 PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las llantas o asas, terminaremos con una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazos a lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar. El producto final es entonces: una variedad simplementeconexa de dimensión 2!

248 PROBLEMA: Al practicar la serie de cirugías para quitar todas las llantas o asas, terminaremos con una variedad de dimensión 2 que ya no tiene lazos a lo largo de los cuales se pueda cortar sin desconectar. El producto final es entonces: una variedad simplementeconexa de dimensión 2! PREGUNTA: Se podrá deformar en una esfera?

249 Pequeña conjetura de Poincaré :

250 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera.

251 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. Es decir,

252 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. Es decir,

253 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. Es decir, y

254 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. Es decir, y

255 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. Es decir, y deben ser topológicamente equivalentes!

256 Pequeña conjetura de Poincaré :

257 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera.

258 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. TEOREMA. Esta conjetura es cierta!

259 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. TEOREMA. Esta conjetura es cierta! Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas.

260 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. TEOREMA. Esta conjetura es cierta! Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas. Demostración: La conjetura de Poincaré dice que,

261 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. TEOREMA. Esta conjetura es cierta! Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas. Demostración: La conjetura de Poincaré dice que,

262 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. TEOREMA. Esta conjetura es cierta! Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas. Demostración: La conjetura de Poincaré dice que, toda cadena de liposucciones termina en la esfera.

263 Pequeña conjetura de Poincaré : Toda variedad compacta y simplemente conexa de dim 2, es una deformación continua de la esfera. TEOREMA. Esta conjetura es cierta! Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas. Demostración: La conjetura de Poincaré dice que, toda cadena de liposucciones termina en la esfera. Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.

264 = Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas. Demostración: La conjetura de Poincaré dice que, toda cadena de liposucciones termina en la esfera. Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.

265 = Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas. Demostración: La conjetura de Poincaré dice que, toda cadena de liposucciones termina en la esfera. Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.

266 = = Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas. Demostración: La conjetura de Poincaré dice que, toda cadena de liposucciones termina en la esfera. Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.

267 = = Consecuencia importante. Toda superficie cerrada y orientable se obtiene a partir de la esfera pegando asas. Demostración: La conjetura de Poincaré dice que, toda cadena de liposucciones termina en la esfera. Por tanto, podemos regresar deshaciendo cada cirugía.

268 Se puede dar la lista de variedades compactas orientables de dim = 2.