Matrices y transformaciones

Transcripción

1 Matrices transformaciones El teleférico de Caracas, situado en el Parque Nacional El Ávila, es un buen ejemplo de traslación. Fuente: 22

2 Matrices transformaciones en el espacio Así como se estudian transformaciones geométricas en el plano, tales como traslaciones, rotaciones simetrías aiales, que representan movimientos donde las figuras se reflejan, giran o se deslian sin cambiar de forma ni de tamaño, o como las homotecias que ajustan el tamaño de las figuras sin cambiar su forma, se pueden estudiar las transformaciones del espacio tridimensional en sí mismo. Traslación Rotación Simetría Traslación Una traslación en el espacio es un tipo de transformación que conserva las distancias. Dado un punto o un conjunto de puntos en el espacio, podemos trasladarlos según un vector v del mismo espacio. A estas transformaciones se asocian matrices cuadradas de orden 3, análogas a las de las transformaciones geométricas en el plano. v En un sistema de coordenadas cartesianas, a cada punto (,, ) asociado con la matri, se le traslada con un vec- tor fijo no nulo v = ( 0, 0, 0 ), haciendo la suma matricialmente: + = Así: = + 0 = + 0 = + 0 Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, si consideramos los puntos (,, 0) del plano, al trasladarlos con el vector v = (0, 0, ), se tiene el plano α cuos puntos son de coordenadas (,, ). Observa que la traslación no deja puntos fijos (v 0). v (0,0,) 0 (0,0,0) (,,) (,,0) Fascículo 22 Matrices transformaciones 70

3 Rotación Una rotación en el espacio hace corresponder a un punto P del mismo otro punto P, al describir un ángulo θ alrededor de un eje de rotación L. Por el punto P, se traa el plano α perpendicular al eje de rotación L. α P θ M L P En el plano α se transforma P en P, mediante la rotación de centro M ángulo θ. M es el punto de corte de L α. La Tierra rota alrededor de un eje perpendicular al plano del ecuador que pasa por el centro de la Tierra. Completa una vuelta en 23 horas 56 minutos 24 h. Debido a este movimiento se suceden los días las noches en el planeta. Observa que los puntos del eje L quedan fijos en la rotación. Consideramos ahora un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Una rotación de ángulo θ alrededor del eje, en sentido positivo, transforma cada punto de coordenadas (,, ), asociado con la matri asociado con la matri las ecuaciones = cosθ - senθ = senθ+ cosθ =, definida por de modo que su matri asociada es A=, en el punto (,, ), En el caso que se presenta a la derecha, los puntos del eje quedan fijos en la rotación, es decir, los puntos de coordenadas (0, 0, ). cosθ senθ 0 senθ cos θ El sentido de la rotación se puede determinar aplicando la regla de la mano derecha. Si se toma el eje con la mano derecha, colocando el pulgar en el sentido positivo del eje, entonces los demás dedos indican cuál es el sentido positivo de la rotación. + Fascículo 22 Matrices transformaciones 7

4 Análogamente, una rotación de ángulo θ alrededor del eje, P en sentido positivo, queda descrita por las ecuaciones = cosθ + senθ = = - senθ + cosθ de modo que su matri asociada es: cosθ 0 senθ A= 0 0 -senθ 0 cosθ θ M Ahora quedan fijos en la rotación los puntos del eje, es decir, los puntos de coordenadas (0,, 0). P Cuáles son las ecuaciones la matri asociada a una rotación alrededor del eje en sentido positivo? Cuáles son los puntos que deja fijos esta rotación? Los helicópteros usan aspas giratorias para propulsarse, sustentarse gobernarse. Fascículo 22 Matrices transformaciones 72

5 La multiplicación de matrices corresponde a la composición de transformaciones. Si A B son las matrices asociadas a las transformaciones T T 2, entonces la matri BA está asociada a la transformación T 2 T. En el plano la composición de rotaciones es conmutativa, mas en el espacio no lo es como se muestra en el ejemplo siguiente. Por ende, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Posición original del objeto Rotación de 90 alrededor del eje Rotación de 90 alrededor del eje Matri asociada A= Matri asociada B= La matri asociada a la rotación compuesta es BA= = Posición original del objeto Rotación de 90 alrededor del eje Rotación de 90 alrededor del eje Matri asociada B= Matri asociada A= La matri asociada a la rotación compuesta es AB= = Fascículo 22 Matrices transformaciones 73 Observa que las posiciones finales del objeto son diferentes también lo son los productos AB BA.

6 Simetría La simetría se encuentra en múltiples manifestaciones de la naturalea, el arte, la ciencia la arquitectura. Simetrías especulares Una simetría especular respecto a un plano α, es una transformación del espacio tridimensional en sí mismo que refleja cada punto P respecto al plano α, llamado plano de simetría. P La simetría especular S asigna al punto P el punto P α M M es el punto medio del segmento PP, perpendicular al plano α. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, una simetría especular respecto al plano transforma cada punto P, de coordenadas (,, ), al cual se le asocia la matri, en el punto P, de coordenadas (,, ), asociado a la matri, definida por las ecuaciones: La matri asociada a la transformación es A= P = = =- Fascículo 22 Matrices transformaciones 74

7 Observa que los puntos del plano, o sea, los puntos de coordenadas (,, 0), quedan fijos en la simetría, puesto que: P (,,) A = Análogamente, en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, una simetría especular respecto al plano transforma cada punto de coordenadas (,, ), con matri asociada, en el punto de coordenadas (,, ), asociado a la matri, definida por las ecuaciones la matri asociada a la transformación es: A= = =- = En este caso, los puntos que la simetría deja fijos son los del P (,-,) 0 P (,,-) P (,,) plano, o sea, los puntos de coordenadas (, 0, ). Si consideramos un cilindro, sus simetrías (dejan invariante el cilindro) son de cuatro tipos: Simetría rotacional alrededor de su eje (los puntos del eje quedan fijos). Fascículo 22 Matrices transformaciones 75 Simetría especular respecto de cualquier plano que contenga al eje ( los puntos del plano quedan fijos). Traslación paralela al eje (no tiene puntos fijos). Cilindro infinito. Simetría especular respecto de cualquier plano perpendicular al eje. Si el cilindro es finito sólo ha una de éstas, con el plano perpendicular al eje que pasa por su punto medio.

8 Homotecia Las homotecias son un tipo de transformaciones que alteran el tamaño de las figuras, pero conducen a otras semejantes (con la misma forma original). Dado un punto fijo C un número real k > 0, k, se llama homotecia de centro C raón k, a la transformación que a todo punto P le hace corresponder el punto P, situado sobre la recta CP, tal que CP = k CP. Cámara mamut (900). Creada por George Lawrence para la toma de fotografías gigantes. C P CP = 3CP. P El oom es uno de los instrumentos más poderosos para crear efectos en una imagen, gracias a un objetivo especial que permite aumentar o disminuir la imagen modificar el ángulo de visión. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, una homotecia de centro O raón k, transforma cada punto de coordenadas (,, ), al cual se le asocia la matri en el punto de coordenadas (,, ), = k al cual se le asocia la matri, definida por las ecuaciones = k la matri asociada a la transforma- =k ción es A= k k k, puesto que k k k = k k k Si 0 < k <, entonces la transformación produce una contracción (las distancias se comprimen por un factor k); si k >, entonces se produce una dilatación (las distancias se estiran por un factor k). (,, ) (,,) (,,) O O (,, ) Fascículo 22 Matrices transformaciones 76 Homotecia de raón k> Homotecia de raón 0<k<

9 Matrices aplicaciones La presentación de las películas de la trilogía Matri, toma como imagen códigos que contienen un mensaje sólo conocido por sus autores. El resultado final de dichos códigos es el nombre de la película. The Matri (999), The Matri Reloaded (2002), The Matri Revolutions (2004). 23

10 Matrices códigos Los códigos secretos han acompañado a la humanidad desde épocas remotas. Se emplean diferentes términos, para indicar que un mensaje ha sido escrito de manera que en principio sólo el destinatario lo pueda leer. Entre las palabras utiliadas para ello están: codificación, cifrado, encriptamiento, Se define la criptografía (del griego krptos, "escondido", graphein, "escribir") como el arte de enmascarar los mensajes con signos convencionales que sólo cobran sentido a la lu de una clave secreta. Para maor precisión, señalemos que se llama cifrado (codificación o transformación criptográfica) a una transformación del teto original que lo convierte en el llamado teto cifrado o criptograma. Análogamente, se llama descifrado a la transformación que permite recuperar el teto original a partir del teto cifrado. Ya en el año 450 a.c. los espartanos de Grecia enviaban mensajes codificados. Para ello enrollaban una banda de cuero o cinturón sobre un cilindro, se escribía el mensaje al desenrollar la banda de cuero ésta parecía que sólo estaba adornada con marcas inocentes. Sin embargo, si el destinatario del mensaje arrollaba nuevamente la banda alrededor de un cilindro similar al utiliado cuando se escribió dicho mensaje, éste podía ser leído sin dificultad. Este método es un sistema de codificación por transposición. En el cifrado por sustitución, cada letra o grupo de letras es reemplaada por una letra o grupo de letras. Uno de los más antiguos cifrados es el "Cifrado de César", atribuido a Julio César, quien sustituó cada letra por la que ocupa tres puestos más allá en el alfabeto. Con ese método, a se convierte en D, b en E, c en F,..., en C. Una técnica de codificación por sustitución fue utiliada por el insigne escritor estadounidense Edgar Allan Poe ( ) en su célebre narración El escarabajo de oro. También este tipo de técnica aparece con frecuencia en diarios pasatiempos en los cuales se le propone al lector la solución de un criptograma. En el siglo XIII, Roger Bacon (24-294) describió varios métodos de codificación. De trascendental importancia, durante la II Guerra Mundial, fue el hecho de que los estadounidenses lograran descifrar el código naval japonés JN25 los ingleses hiciesen lo propio con la máquina alemana Enigma. Actualmente se utilian sofisticadas técnicas de encriptamiento de mensajes las cuales se basan en las propiedades de los números primos. Uno de los sistemas modernos para encriptar mensajes es el criptosistema de clave pública. Uno de éstos es el sistema RSA (en honor de sus creadores los matemáticos Rivest, Shamir Adler), el cual se basa en el hecho de que no eiste una forma eficiente de factoriar números que sean productos de dos números primos grandes. Fascículo 23 Matrices aplicaciones 78

11 La máquina Enigma era un dispositivo para codificar mensajes empleado por los alemanes en la II Guerra Mundial. El artefacto consistía de las siguientes partes: Un teclado con 26 letras Un tablero con 26 letras 3 ruedas con 26 letras cada una sobre un eje Luego de la obtención por parte de los aliados de algunas de estas máquinas, el equipo polaco conformado por Jer Rocki, Henrk Zgalski Marian Rejewski, dedujeron el código. A raí de esto, los alemanes complicaron el proceso mediante una doble codificación. Este nuevo proceso fue decodificado, en 94, por el equipo de Bletchle Park encabeado por el matemático Alan Turing (Inglaterra, ). En la obra de Poe El escarabajo de oro se señala: Y al llegar aquí, Legrand, habiendo calentado de nuevo el pergamino, lo sometió a mi eamen. Los caracteres siguientes aparecían de manera toscamente traada, en color rojo, entre la calavera la cabra: ))6*;4826)4.)4 );806*; ))85; (;: *8 +83(88)5*+;46(;88*96*?;8)* (;485);5*+2:* (;4956*2(5* 4)8 8*; );)6+8)4 ;( 9;4808;8:8 ;48+85;4) *8( 9;48;(88;4(?34;48)4 ;6;:88;?; Pero dije, devolviéndole la tira sigo estando tan a oscuras como antes. Si todas las joas de Golconda esperasen de mí la solución de este enigma, esto en absoluto seguro de que sería incapa de obtenerlas. Edgar Allan Poe El descifrador partió del supuesto de que el teto original estaba escrito en idioma inglés. Ahora bien, la letra que se encuentra con maor frecuencia en ese idioma, así como en el castellano, el alemán el francés, es la e. Después, la serie en inglés es la siguiente: a o i d h n r s t u c f g l m w b k p q. Del criptograma se obtiene la siguiente tabla, en la cual aparecen en la primera fila los caracteres presentes en el mensaje codificado en la segunda la frecuencia de aparición de éstos. 8 ; 4 ) * 5 6 ( : 3? _ Luego, el 8 mu probablemente debe ser la letra e. Además, el descifrado que se va logrando usando la tabla anterior conjuntamente con los conocimientos idiomáticos de la lengua inglesa, conduce en una etapa intermedia del proceso a esta otra tabla, en la cual en la fila superior están los caracteres que aparecen en el criptograma, en la inferior el símbolo que les corresponde en el mensaje original * ( ;? a d e g h i n o r t u Fascículo 23 Matrices aplicaciones 79

12 Códigos más complejos Una técnica un poco más sofisticada consiste en el empleo del cifrado en dos pasos. Primero se le aplica al mensaje una sustitución, seguida luego de una transposición. Para el primer paso consideremos el siguiente cifrado por sustitución: Tabla Nº a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w espacio., Como vemos en la Tabla Nº, a cada letra de nuestro alfabeto así como al espacio entre letras a los signos de puntuación más usuales se les ha asignado un número. Esto matemáticamente corresponde a una función f, la cual además es biectiva, por lo cual es posible efectuar el proceso inverso: pasar de los números a las letras o signos que ellos representan. Así, por ejemplo, la palabra ORO quedaría codificada como Por su parte, es la codificación de la palabra gato. De aquí en adelante usaremos la notación matricial para representar las palabras. Lo anterior quedaría representado como se muestra a la derecha. Pasemos ahora a un segundo paso o nivel de codificación, multiplicando por la iquierda (premultiplicando) la matri M i que representa al mensaje que queremos codificar, por una matri C que llamaremos Matri de Codificación. C no puede ser cualquier matri. C debe cumplir dos condiciones:. El número de columnas de C debe ser igual al número de filas de M i. 2. Debe ser posible realiar el proceso inverso, la descodificación, para lo cual C debe poseer inversa. A la inversa C - la llamaremos Matri de Descodificación. La función f la matri C son las claves secretas que permiten codificar ( sus inversas descodificar) cualquier mensaje. Consideremos el mensaje ACA A C O R O M 2 Codificación M 3 Codificación M G A T O A Fascículo 23 Matrices aplicaciones 80

13 Usando C como matri de codificación, se tiene CM Así obtenemos que: 3 luego de codificado o cifrado por transposición produce: 20 7 En términos alfabéticos, aplicando la Tabla Nº, CM 3 es ISP. Observe que C posee 3 columnas, es igual al número de filas de M. Además se tiene que: Luego C es la inversa de C Volvamos al mensaje ORO, entonces CM Si queremos reescribir CM en términos alfabéticos, nos tropeamos con el inconveniente de que todas las entradas de la matri CM resultaron números maores que 30, en consecuencia, es inaplicable la Tabla Nº. A qué letra corresponde, por ejemplo, 86? Qué modificaciones debemos hacerle a nuestro proceso para solventar esta situación? Fascículo 23 Matrices aplicaciones 8

14 Si observamos la Tabla Nº, en lugar de mirar una disposición lineal como la allí mostrada la pensamos como un diagrama cerrado, haciendo coincidir los dos etremos, obtenemos una representación como la que se presenta a continuación: w v Empleando la Tabla Nº se tiene: Y W E u t s espacio r 9 49 q 8 48, p 7 47 a 3 o 6 46 b 2 32 ñ 5 45 c 3 33 d 4 34 e 5 35 Si seguimos la dirección de la flecha roja (sentido del movimiento de las agujas del reloj) observamos que a cada letra le corresponde ahora varios números: así a la a le corresponde, 3=30+, 6=60+, ; a la f se le asocia 6, 36=30+6, 66=60+6, Nuestro diagrama ahora es periódico de período 30. Para poder seguir empleando la Tabla Nº basta que dividamos el número dado entre 30 consideremos el resto o residuo de la división; es este último número (el cual es menor que 30) el que ubicamos en la Tabla Nº vemos a cuál letra o signo corresponde. Así, para 86 se tiene que 86=2(30)+26; es decir la letra que corresponde a 86 es aquella ubicada en la casilla 26 de la Tabla Nº, esto es. Entonces el mensaje queda transformado así: ORO YWE El receptor del mensaje recibe la palabra YWE la cual para los ojos curiosos pareciera carecer de significado alguno, no así para el receptor que conoce las claves para descodificar el mensaje. Cómo lo logra? El receptor debe poder revertir los pasos que se siguieron en el proceso de cifrado. n 4 44 m 3 43 l 2 42 f 6 36 g 7 37 k 4 h 8 38 j 0 40 i 9 39 Como queremos descodificar el mensaje recibido hemos de emplear la matri C - : O C =2(30)+9 R ? A cuál letra corresponde -44? -44=-2(30)+6, es decir que hemos realiado dos vueltas completas en el sentido opuesto a las agujas del reloj, de seguidas, hemos avanado 6 casillas en el sentido de las agujas del reloj; pero 6 corresponde a la letra O. La palabra descodificada entonces es ORO, como era de esperarse. Fascículo 23 Matrices aplicaciones 82

15 Matrices números complejos En el conjunto de los puntos P del plano, de coordenadas (,), podemos definir las operaciones de adición multiplicación como se indica a continuación: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad+bc) Estas operaciones cumplen propiedades similares a las operaciones de adición multiplicación de los números reales: asociatividad, conmutatividad eistencia de elemento neutro para ambas operaciones; eistencia de opuesto aditivo de inverso multiplicativo (si es distinto de (0,0)); distributividad de la multiplicación respecto a la adición. Este conjunto de puntos con estas dos operaciones es lo que b se conoce como el cuerpo de los números complejos. El punto (0, 0) es el elemento neutro para la adición, mientras que el punto (, 0) lo es para la multiplicación. Los números complejos los hemos representado como pares de números de la forma (a, b). Otra manera de representarlos es utiliando la forma binómica a+bi, donde i es la unidad imaginaria, solución de la ecuación 2 - (que no tiene solución real) está dada por i = (0, ). 0 a Eisten otras maneras de representar los números complejos. Una de ellas es utiliando las matrices cuadradas de orden 2. Si identificamos cada número complejo (a,b) con el vector (a,b) columna usamos las operaciones con matrices podemos escribir: Considerando la matri identidad la matri de rotación de 90 en sentido antihorario, la epresión anterior la podemos reescribir: Con esta identificación la unidad imaginaria se representa por la matri A= Si multiplicamos esta matri por sí misma, resulta: De esta manera, todo número complejo los podemos escribir como el trasformado del vector por una matri del tipo, así podemos tomar esta matri como una representación del número complejo. = = - =-I De esta manera la matri A es solución de la ecuación matricial X 2 = -I Fascículo 23 Matrices aplicaciones 83

16 Matrices sistemas de ecuaciones lineales Un comerciante le dice a un empleado que le cambie en el banco bolívares en 50 monedas de Bs 00 Bs 20. Denotando por el número de monedas de Bs 00 requeridas por el número de monedas de Bs 20, este simple problema se traduce en resolver las 2 ecuaciones: = = 50 En general, tenemos que un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se epresa por: a +b = c a 2 +b 2 = c 2 Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas; e son las incógnitas a, a 2, b, b 2, c c 2 son conocidos. Si A= Forma matricial a b X= a 2 b 2 a b a 2 b 2 AX=C = c c 2 X = c c 2 Consideremos el circuito eléctrico mostrado en la figura, donde tenemos una fuente de 20V tres resistencias: de ohmn, 2 ohmnios de 4 omnios. De acuerdo a las lees de Kirchoff, se tienen las siguientes relaciones lineales entre las intensidades. i - i 2 - i 3 = 0 2i + 4i 2 = 20 2i + i 3 = 20 Esto da un sistema lineal con 3 incógnitas. Forma matricial B i 2 4Ω i 3 Ω i E=20 V 2Ω A A es una matri X matri de incógnitas X matri conocida a + b +c = d a + b +c = d d a 2 + b 2 +c 2 = d 2 A= a 2 + b 2 +c 2 = d 2, X=, X = d 2 a 3 + b 3 +c 3 = d 3 a 3 + b 3 +c 3 = d 3 d 3 AX = X Al escribir un sistema de ecuaciones de la forma AX=X, podemos pensar a la matri A como una transformación o función que transforma el vector X en el vector X. Si A= 0 X= entonces AX= 2 X X 0 0 Si A= X= entonces AX= 0 O X Fascículo 23 Matrices aplicaciones 84 X

17 Matrices aplicaciones La presentación de las películas de la trilogía Matri, toma como imagen códigos que contienen un mensaje sólo conocido por sus autores. El resultado final de dichos códigos es el nombre de la película. The Matri (999), The Matri Reloaded (2002), The Matri Revolutions (2004). 23

18 Matrices códigos Los códigos secretos han acompañado a la humanidad desde épocas remotas. Se emplean diferentes términos, para indicar que un mensaje ha sido escrito de manera que en principio sólo el destinatario lo pueda leer. Entre las palabras utiliadas para ello están: codificación, cifrado, encriptamiento, Se define la criptografía (del griego krptos, "escondido", graphein, "escribir") como el arte de enmascarar los mensajes con signos convencionales que sólo cobran sentido a la lu de una clave secreta. Para maor precisión, señalemos que se llama cifrado (codificación o transformación criptográfica) a una transformación del teto original que lo convierte en el llamado teto cifrado o criptograma. Análogamente, se llama descifrado a la transformación que permite recuperar el teto original a partir del teto cifrado. Ya en el año 450 a.c. los espartanos de Grecia enviaban mensajes codificados. Para ello enrollaban una banda de cuero o cinturón sobre un cilindro, se escribía el mensaje al desenrollar la banda de cuero ésta parecía que sólo estaba adornada con marcas inocentes. Sin embargo, si el destinatario del mensaje arrollaba nuevamente la banda alrededor de un cilindro similar al utiliado cuando se escribió dicho mensaje, éste podía ser leído sin dificultad. Este método es un sistema de codificación por transposición. En el cifrado por sustitución, cada letra o grupo de letras es reemplaada por una letra o grupo de letras. Uno de los más antiguos cifrados es el "Cifrado de César", atribuido a Julio César, quien sustituó cada letra por la que ocupa tres puestos más allá en el alfabeto. Con ese método, a se convierte en D, b en E, c en F,..., en C. Una técnica de codificación por sustitución fue utiliada por el insigne escritor estadounidense Edgar Allan Poe ( ) en su célebre narración El escarabajo de oro. También este tipo de técnica aparece con frecuencia en diarios pasatiempos en los cuales se le propone al lector la solución de un criptograma. En el siglo XIII, Roger Bacon (24-294) describió varios métodos de codificación. De trascendental importancia, durante la II Guerra Mundial, fue el hecho de que los estadounidenses lograran descifrar el código naval japonés JN25 los ingleses hiciesen lo propio con la máquina alemana Enigma. Actualmente se utilian sofisticadas técnicas de encriptamiento de mensajes las cuales se basan en las propiedades de los números primos. Uno de los sistemas modernos para encriptar mensajes es el criptosistema de clave pública. Uno de éstos es el sistema RSA (en honor de sus creadores los matemáticos Rivest, Shamir Adler), el cual se basa en el hecho de que no eiste una forma eficiente de factoriar números que sean productos de dos números primos grandes. Fascículo 23 Matrices aplicaciones 78

19 La máquina Enigma era un dispositivo para codificar mensajes empleado por los alemanes en la II Guerra Mundial. El artefacto consistía de las siguientes partes: Un teclado con 26 letras Un tablero con 26 letras 3 ruedas con 26 letras cada una sobre un eje Luego de la obtención por parte de los aliados de algunas de estas máquinas, el equipo polaco conformado por Jer Rocki, Henrk Zgalski Marian Rejewski, dedujeron el código. A raí de esto, los alemanes complicaron el proceso mediante una doble codificación. Este nuevo proceso fue decodificado, en 94, por el equipo de Bletchle Park encabeado por el matemático Alan Turing (Inglaterra, ). En la obra de Poe El escarabajo de oro se señala: Y al llegar aquí, Legrand, habiendo calentado de nuevo el pergamino, lo sometió a mi eamen. Los caracteres siguientes aparecían de manera toscamente traada, en color rojo, entre la calavera la cabra: ))6*;4826)4.)4 );806*; ))85; (;: *8 +83(88)5*+;46(;88*96*?;8)* (;485);5*+2:* (;4956*2(5* 4)8 8*; );)6+8)4 ;( 9;4808;8:8 ;48+85;4) *8( 9;48;(88;4(?34;48)4 ;6;:88;?; Pero dije, devolviéndole la tira sigo estando tan a oscuras como antes. Si todas las joas de Golconda esperasen de mí la solución de este enigma, esto en absoluto seguro de que sería incapa de obtenerlas. Edgar Allan Poe El descifrador partió del supuesto de que el teto original estaba escrito en idioma inglés. Ahora bien, la letra que se encuentra con maor frecuencia en ese idioma, así como en el castellano, el alemán el francés, es la e. Después, la serie en inglés es la siguiente: a o i d h n r s t u c f g l m w b k p q. Del criptograma se obtiene la siguiente tabla, en la cual aparecen en la primera fila los caracteres presentes en el mensaje codificado en la segunda la frecuencia de aparición de éstos. 8 ; 4 ) * 5 6 ( : 3? _ Luego, el 8 mu probablemente debe ser la letra e. Además, el descifrado que se va logrando usando la tabla anterior conjuntamente con los conocimientos idiomáticos de la lengua inglesa, conduce en una etapa intermedia del proceso a esta otra tabla, en la cual en la fila superior están los caracteres que aparecen en el criptograma, en la inferior el símbolo que les corresponde en el mensaje original * ( ;? a d e g h i n o r t u Fascículo 23 Matrices aplicaciones 79

20 Códigos más complejos Una técnica un poco más sofisticada consiste en el empleo del cifrado en dos pasos. Primero se le aplica al mensaje una sustitución, seguida luego de una transposición. Para el primer paso consideremos el siguiente cifrado por sustitución: Tabla Nº a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w espacio., Como vemos en la Tabla Nº, a cada letra de nuestro alfabeto así como al espacio entre letras a los signos de puntuación más usuales se les ha asignado un número. Esto matemáticamente corresponde a una función f, la cual además es biectiva, por lo cual es posible efectuar el proceso inverso: pasar de los números a las letras o signos que ellos representan. Así, por ejemplo, la palabra ORO quedaría codificada como Por su parte, es la codificación de la palabra gato. De aquí en adelante usaremos la notación matricial para representar las palabras. Lo anterior quedaría representado como se muestra a la derecha. Pasemos ahora a un segundo paso o nivel de codificación, multiplicando por la iquierda (premultiplicando) la matri M i que representa al mensaje que queremos codificar, por una matri C que llamaremos Matri de Codificación. C no puede ser cualquier matri. C debe cumplir dos condiciones:. El número de columnas de C debe ser igual al número de filas de M i. 2. Debe ser posible realiar el proceso inverso, la descodificación, para lo cual C debe poseer inversa. A la inversa C - la llamaremos Matri de Descodificación. La función f la matri C son las claves secretas que permiten codificar ( sus inversas descodificar) cualquier mensaje. Consideremos el mensaje ACA A C O R O M 2 Codificación M 3 Codificación M G A T O A Fascículo 23 Matrices aplicaciones 80

21 Usando C como matri de codificación, se tiene CM Así obtenemos que: 3 luego de codificado o cifrado por transposición produce: 20 7 En términos alfabéticos, aplicando la Tabla Nº, CM 3 es ISP. Observe que C posee 3 columnas, es igual al número de filas de M. Además se tiene que: Luego C es la inversa de C Volvamos al mensaje ORO, entonces CM Si queremos reescribir CM en términos alfabéticos, nos tropeamos con el inconveniente de que todas las entradas de la matri CM resultaron números maores que 30, en consecuencia, es inaplicable la Tabla Nº. A qué letra corresponde, por ejemplo, 86? Qué modificaciones debemos hacerle a nuestro proceso para solventar esta situación? Fascículo 23 Matrices aplicaciones 8

22 Si observamos la Tabla Nº, en lugar de mirar una disposición lineal como la allí mostrada la pensamos como un diagrama cerrado, haciendo coincidir los dos etremos, obtenemos una representación como la que se presenta a continuación: w v Empleando la Tabla Nº se tiene: Y W E u t s espacio r 9 49 q 8 48, p 7 47 a 3 o 6 46 b 2 32 ñ 5 45 c 3 33 d 4 34 e 5 35 Si seguimos la dirección de la flecha roja (sentido del movimiento de las agujas del reloj) observamos que a cada letra le corresponde ahora varios números: así a la a le corresponde, 3=30+, 6=60+, ; a la f se le asocia 6, 36=30+6, 66=60+6, Nuestro diagrama ahora es periódico de período 30. Para poder seguir empleando la Tabla Nº basta que dividamos el número dado entre 30 consideremos el resto o residuo de la división; es este último número (el cual es menor que 30) el que ubicamos en la Tabla Nº vemos a cuál letra o signo corresponde. Así, para 86 se tiene que 86=2(30)+26; es decir la letra que corresponde a 86 es aquella ubicada en la casilla 26 de la Tabla Nº, esto es. Entonces el mensaje queda transformado así: ORO YWE El receptor del mensaje recibe la palabra YWE la cual para los ojos curiosos pareciera carecer de significado alguno, no así para el receptor que conoce las claves para descodificar el mensaje. Cómo lo logra? El receptor debe poder revertir los pasos que se siguieron en el proceso de cifrado. n 4 44 m 3 43 l 2 42 f 6 36 g 7 37 k 4 h 8 38 j 0 40 i 9 39 Como queremos descodificar el mensaje recibido hemos de emplear la matri C - : O C =2(30)+9 R ? A cuál letra corresponde -44? -44=-2(30)+6, es decir que hemos realiado dos vueltas completas en el sentido opuesto a las agujas del reloj, de seguidas, hemos avanado 6 casillas en el sentido de las agujas del reloj; pero 6 corresponde a la letra O. La palabra descodificada entonces es ORO, como era de esperarse. Fascículo 23 Matrices aplicaciones 82

23 Matrices números complejos En el conjunto de los puntos P del plano, de coordenadas (,), podemos definir las operaciones de adición multiplicación como se indica a continuación: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad+bc) Estas operaciones cumplen propiedades similares a las operaciones de adición multiplicación de los números reales: asociatividad, conmutatividad eistencia de elemento neutro para ambas operaciones; eistencia de opuesto aditivo de inverso multiplicativo (si es distinto de (0,0)); distributividad de la multiplicación respecto a la adición. Este conjunto de puntos con estas dos operaciones es lo que b se conoce como el cuerpo de los números complejos. El punto (0, 0) es el elemento neutro para la adición, mientras que el punto (, 0) lo es para la multiplicación. Los números complejos los hemos representado como pares de números de la forma (a, b). Otra manera de representarlos es utiliando la forma binómica a+bi, donde i es la unidad imaginaria, solución de la ecuación 2 - (que no tiene solución real) está dada por i = (0, ). 0 a Eisten otras maneras de representar los números complejos. Una de ellas es utiliando las matrices cuadradas de orden 2. Si identificamos cada número complejo (a,b) con el vector (a,b) columna usamos las operaciones con matrices podemos escribir: Considerando la matri identidad la matri de rotación de 90 en sentido antihorario, la epresión anterior la podemos reescribir: Con esta identificación la unidad imaginaria se representa por la matri A= Si multiplicamos esta matri por sí misma, resulta: De esta manera, todo número complejo los podemos escribir como el trasformado del vector por una matri del tipo, así podemos tomar esta matri como una representación del número complejo. = = - =-I De esta manera la matri A es solución de la ecuación matricial X 2 = -I Fascículo 23 Matrices aplicaciones 83

24 Matrices sistemas de ecuaciones lineales Un comerciante le dice a un empleado que le cambie en el banco bolívares en 50 monedas de Bs 00 Bs 20. Denotando por el número de monedas de Bs 00 requeridas por el número de monedas de Bs 20, este simple problema se traduce en resolver las 2 ecuaciones: = = 50 En general, tenemos que un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se epresa por: a +b = c a 2 +b 2 = c 2 Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas; e son las incógnitas a, a 2, b, b 2, c c 2 son conocidos. Si A= Forma matricial a b X= a 2 b 2 a b a 2 b 2 AX=C = c c 2 X = c c 2 Consideremos el circuito eléctrico mostrado en la figura, donde tenemos una fuente de 20V tres resistencias: de ohmn, 2 ohmnios de 4 omnios. De acuerdo a las lees de Kirchoff, se tienen las siguientes relaciones lineales entre las intensidades. i - i 2 - i 3 = 0 2i + 4i 2 = 20 2i + i 3 = 20 Esto da un sistema lineal con 3 incógnitas. Forma matricial B i 2 4Ω i 3 Ω i E=20 V 2Ω A A es una matri X matri de incógnitas X matri conocida a + b +c = d a + b +c = d d a 2 + b 2 +c 2 = d 2 A= a 2 + b 2 +c 2 = d 2, X=, X = d 2 a 3 + b 3 +c 3 = d 3 a 3 + b 3 +c 3 = d 3 d 3 AX = X Al escribir un sistema de ecuaciones de la forma AX=X, podemos pensar a la matri A como una transformación o función que transforma el vector X en el vector X. Si A= 0 X= entonces AX= 2 X X 0 0 Si A= X= entonces AX= 0 O X Fascículo 23 Matrices aplicaciones 84 X

25 Matrices aplicaciones La antigua ciudad de Königsberg (ho Kaliningrado) ubicada en lo que era Prusia Oriental, se encuentra atravesada por el río Pregel (cuo nombre actual es Pregola). La ciudad es famosa por sus puentes, a que cuenta con 7 que unen ambas márgenes del río Pregel con dos de sus islas, tal como se puede ver en el plano de arriba. Se dice que los habitantes de la ciudad se entretenían tratando de encontrar una ruta para pasear con la condición de cruar cada uno de los siete puentes hacerlo sólo una ve. Como habían intentado hacerlo infructuosamente la maoría pensaba que tal paseo era imposible. Euler resolvió el problema representando la situación mediante un modelo gráfico. La solución dada en 736, mostraba la imposibilidad de cruar los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo puente. 20 Grafo que modela la situación

26 3 Matrices grafos 2 Este tipo de objeto matemático se conoce con el nombre de grafo: a los puntos se les llama vértices aristas a las líneas que los unen. Los puntos aules en el grafo (vértices) representan las dos islas las dos orillas del río; mientras que las líneas que enlaan a los puntos (aristas) representan los puentes: siete en total. El grafo a su ve puede ser representado mediante una matri conocida como matri de adacencia, la cual denotaremos por A. Cada elemento a ij de la matri indica el número de aristas que enlaan al vértice i con el vértice j. Cuando dos vértices están unidos por lo menos con una arista se dice que ellos son adacentes. Hemos etiquetado los vértices con los números del al 4, como se muestra en la figura. La matri de adacencia del grafo de la figura es: 4 Grafo que modela la situación A= Cada fila de la matri está asociada con un vértice del grafo. Lo mismo ocurre con las columnas. Así, por ejemplo, la fila 2 está asociada con el vértice que lleva la etiqueta 2; la columna cuatro con el vértice 4. En el cruce de la fila 2 con la columna 4 se encuentra justamente el elemento a 24 =2. El valor de a 24 indica que eisten dos coneiones (puentes) que unen a dichos vértices. En consecuencia, el elemento simétrico a 42 también debe ser 2, a que si ha dos puentes que enlaan a 2 con 4, esos mismos puentes comunican a 4 con 2. Si miramos la matri A, efectivamente ocurre esto (A es una matri simétrica). La matri A puede multiplicarse por sí misma, obteniéndose la matri AA la cual se denota A A 2 = Cómo interpretamos ahora las entradas de la matri? Fascículo 20 Matrices aplicaciones 54

27 Por ejemplo, qué significa que a valga 3 ó que a 34 tome el valor 5? a =3 significa que ha tres caminos de longitud 2 del vértice a él mismo. Estos caminos son: -4-; Así, el camino -4- indica que salimos de, cruamos el puente que lleva a 4 nos devolvemos a por ese mismo puente; es decir, hemos hecho un recorrido de longitud 2. Similar interpretación le otorgamos a los otros dos caminos. Si queremos ir del punto 3 al 4, tenemos a disposición 5 caminos de longitud 2. Una escogencia es pasar por el vértice 2, pero tenemos dos puentes, cada uno corresponde a una opción. Una ve llegados al vértice 2, nuevamente tenemos dos puentes, es decir, dos alternativas. En consecuencia, si decidimos ir desde 3 a 4 pasando por 2, tenemos 2 2 = 4 caminos posibles. El quinto camino corresponde a salir de 3, pasar por arribar a 4. En general, cada entrada a ij de la matri A 2 representa el número de rutas o caminos de longitud 2 que eisten entre los vértices i j. Uno de los puentes de Köningsberg (ho Kaliningrado) que todavía se encuentra en la actualidad. Fuente: konigsberg 3 2 Podrías encontrar las 9 rutas posibles (de longitud 2) para, saliendo de 2, regresar al lugar de partida cruando dos puentes diferentes o dos veces el mismo puente? 4 En forma análoga podemos estudiar el significado de las entradas de las matrices AAA=A 3 AAAA=A 4. Leonhard Euler (Suia, ), matemático físico, realió numerosas contribuciones en las áreas de matemática física donde destacan la teoría utiliada en Mecánica de Fluídos (usada luego para la eplicación del vuelo de los aviones) la teoría sobre la rotación de cuerpos rígidos usada en la traectoria de satélites. El sistema postal de su país natal elaboró una estampilla de 0F en su honor. Fascículo 20 Matrices aplicaciones 55

28 Matrices cuadrados mágicos En el cuadrado de la derecha que está subdividido en 9 casillas, debes colocar los números del al 9 sin repetir ninguno, con la condición de que al sumar los números por filas, columnas o diagonales siempre resulte 5. Podrás hacerlo? Cuenta la leenda que el emperador Yu el Grande [de la dinastía Xia] vio emerger una tortuga de las aguas del río Lo, en cuo caparaón aparecía un grabado con símbolos numéricos. A este grabado se le denominó Lo shu, que significa Escrito del Río Lo. El Lo Shu puede representarse gráficamente así: A esta disposición de los números del al 9 se le llama un cuadrado mágico Representación numérica actual Un cuadrado mágico es una disposición numérica de forma cuadrada, tal que al sumar los números de una misma fila, columna o dia- gonal se produce siempre el mismo resultado. A este resultado se le denomina constante mágica. La matri M es un cuadrado mágico. Para comprobarlo basta sumar los elementos de cada fila, de cada columna de las diagonales, verificar que la suma siempre es la misma: la constante mágica es k=5. M= Las anteriores son diferentes formas de representar un cuadrado mágico. Fascículo 20 Matrices aplicaciones 56

29 Los antecedentes más lejanos que se tienen de los cuadrados mágicos se remontan a la milenaria China, hacia el 2200 a.c. El Lo Shu es el cuadrado mágico más antiguo que se conoce. Otro cuadrado mágico famoso es el que aparece en el lado superior derecho de la obra Melancolía del famoso artista del Renacimiento Alberto Durero (Alemania, ). Como dato curioso, la obra fue creada en 54. Se llama orden de un cuadrado mágico al número de filas (o de columnas) que tiene la matri que lo representa. Así, el Lo Shu es de orden 3, mientras que el cuadrado mágico que aparece en la Melancolía de Durero es de orden 4. Fascículo 20 Matrices aplicaciones 57

30 Qué ocurre si rotamos la figura del Lo Shu alrededor del centro de la cru (la cual representa al número 5) que está en el centro? Rotación de 90º en el sentido antihorario Obtenemos como resultado un cuadrado mágico! Qué ocurre si rotamos el Lo Shu (alrededor de la cru central) 80º en sentido horario? Rotación de 80º en el sentido horario Nuevamente obtenemos un cuadrado mágico! Cómo quedan plasmadas estas rotaciones en la matri? M= M = 9 5 M= M 2 = Observamos que una rotación de la figura equivale a realiar ciertas transformaciones de las filas columnas de la matri. M= Así, en el caso que mostramos, las filas primera, segunda tercera de M se convierten, respectivamen M 3 = 5 9 te, en las columnas tercera, segunda primera de M 3. Fascículo 20 Matrices aplicaciones 58

31 Tengo que pensarlo Verifique, usando las matrices, que se produce el mismo resultado si se rota el Lo Shu 80º en el sentido horario o en el sentido contrario. Puede probarse matemáticamente, que dado un cuadrado mágico de cualquier orden, las rotaciones respecto a su centro producen nuevamente un cuadrado mágico. Será la matri transpuesta (M t ) un cuadrado mágico? Habrá alguna combinación de rotaciones del Lo Shu que producan un cuadrado mágico cua representación sea M t? Debido a la estructura particular de los cuadrados mágicos, si consideramos 9 números naturales establecemos la condición de que ninguno se puede repetir, sólo eiste un único cuadrado mágico de orden 3. Con 6 números naturales sin repetición eisten 880 cuadrados mágicos de orden 4; de orden 5, pueden formarse empleando 25 números naturales distintos. Para los órdenes superiores al 5 se desconoce cuántos ha. La estructura de un cuadrado mágico de orden 3 es la que aparece al lado. Podrías deducirla a partir de la definición de cuadrado mágico? M= a+c a-b-c a+b a+b-c a a-b+c a-b a+b+c a-c Al considerar cuadrados mágicos, podemos preguntarnos qué operaciones se pueden efectuar con ellos de manera que resulte nuevamente un cuadrado mágico. Es posible probar matemáticamente que la adición la sustracción de cuadrados mágicos produce cuadrados mágicos. Asimismo, un cuadrado mágico multiplicado por un número siempre produce un cuadrado mágico. También se puede probar, matemáticamente, que cuando se multiplican entre sí un número par de cuadrados mágicos, en general no se obtiene como resultado un cuadrado mágico; mientras que si se efectúa la multiplicación de una cantidad impar de ellos, el resultado siempre es un cuadrado mágico. Fascículo 20 Matrices aplicaciones 59

32 Algunas curiosidades de los cuadrados mágicos Cuadrado mágico de orden 6 cuas filas columnas suman, número que utilia la creencia china para ahuentar los malos espíritus En éste cuadrado mágico de orden 5, en la última fila se leen los primeros decimales del número π. Es posible generaliar la noción de cuadrado mágico: en lugar de sumar las entradas de filas, columnas diagonales, se multiplican éstas para producir el mismo resultado. Se obtiene así un cuadrado mágico multiplicativo. La constante mágica del que se muestra es Históricamente los cuadrados mágicos han estado mu ligados al pensamiento místico. El gran matemático Euler relacionó los cuadrados mágicos con los cuadrados latinos, ho en día se definen sobre ellos lo que se denomina líneas mágicas, las cuales producen bellos diseños geométricos empleados en el arte. Cuadrado mágico de orden 4 que está en la catedral de la Sagrada Familia en Barcelona, España. Sus filas, columnas diagonales suman 33 (edad de la muerte de Cristo). Fascículo 20 Matrices aplicaciones 60

33 Matrices sus operaciones Matrices 4 es una obra digital realiada por Chris Nion, artista británico de 27 años de edad, el cual utilia herramientas programas de computación para realiar sus propuestas artísticas tanto visuales como en audio video. Fuente: 9

34 Matrices vida cotidiana En esta figura se indican las probables características del tiempo las temperaturas máimas mínimas previstas para la ciudad de Caracas, desde el día viernes 30 de diciembre hasta el lunes 2 de enero de En la gráfica de la iquierda, la Bolsa de Valores de Caracas presenta los resultados de las transacciones ocurridas en un determinado período, en donde se pueden percibir los cambios variaciones que se sucedieron así como realiar algunas comparaciones dentro del mismo cuadro. Este cuadro presenta algunas estadísticas sobre el béisbol en Veneuela para la temporada Resumen por título (en Bs) Símbolo Último Precio Variación Monto Efectivo MVZ.A 3.300,00 0, ,00 VNT ,00 0, ,00 Todas estas situaciones se epresan mediante cuadros de números en filas columnas denominados matrices. TEMPORADA 2005/2006 DIVISIÓN ORIENTAL JJ JG JP MAGALLANES LEONES CARIBES TIBURONES DIVISIÓN OCCIDENTAL JJ JG JP TIGRES CARDENALES PASTORA AGUILAS JJ = Juegos Jugados. JG = Juegos Ganados. JP = Juegos Perdidos Las matrices aparecen por primera ve hacia el año 850, introducidas por J. J. Slvester (Inglaterra,84-897). El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W. R. Hamilton (Irlanda, ) en 853. James Joseph Slvester Fascículo 9 Matrices sus operaciones 46 William Rowan Hamilton

35 En otras palabras, una disposición rectangular de n filas m columnas, con n m elementos de un mismo conjunto, es lo que se denomina matri de orden n por m. Cada elemento de la matri se llama entrada usualmente se denota con una letra un par de subíndices que indican la fila la columna donde está ubicado. Por ejemplo, a 23 está en el cruce de la segunda fila con la tercera columna. Dos matrices del mismo orden son iguales si sus respectivas entradas son iguales. Los elementos de una matri pueden ser, en general, objetos matemáticos de mu variados tipos. Por ejemplo, números de un conjunto o determinado tipo de funciones. Nosotros trabajaremos eclusivamente con matrices cuas entradas son números reales. Matri A de orden 23 Entrada a 23 = - Leones del Caracas: Campeones de la Temporada de Beisbol Profesional de Veneuela campeones de la serie del Caribe Denominación Descripción Ejemplo Matri fila Matri columna Matri que tiene una sola fila, siendo su orden m. Matri que tiene una sola columna, siendo su orden n. A = ( 5 -) Matri nula Matri con todas las entradas nulas. Matri opuesta La matri opuesta de una matri A, es la matri que tiene por entradas las de la matri A cambiadas de signo. Esta matri se denota por -A. Matri traspuesta La matri traspuesta de la matri A es la matri A t que se obtiene de la matri A intercambiando filas por columnas. Matri cuadrada La que tiene igual número de filas columnas: n=m. Se dice de orden n. Diagonal Principal: entradas con subíndices iguales (aii). Traa de una matri: suma de los elementos de la diagonal principal: a +a a nn. Matri identidad Es una matri cuadrada donde todos sus elementos son nulos, salvo los de la diagonal principal que son iguales a. La matri identidad de cualquier orden se denota por I. Es costumbre denotar los puntos del plano con letras maúsculas, por ejemplo P, Q, etc., mientras que para indicar sus coordenadas escribimos (, ). Con los vectores se usa la misma notación, para señalar las coordenadas para indicar el vector se usan letras, por lo general, minúsculas con una flecha, o letras minúsculas en negrilla,v. Aquí identificaremos los puntos del plano con los vectores del plano con las matrices filas o columnas. Por ejemplo: el punto P de coordenadas (,) se identifica con el vector v de coordenadas (,), con la matri fila ( ) la matri columna. Esto mismo podemos realiarlo con los puntos del espacio, del espacio n-dimensional con los vectores del espacio o del espacio n- 47 Fascículo 9 Matrices sus operaciones dimensional con las matrices filas o columnas con el correspondiente número de entradas.

36 Adición de matrices Una industria del calado tiene dos plantas P P 2. En P se confeccionan apatos para niños en P 2 apatos para adultos. Los costos de elaboración venta de cada par de apatos se muestran en el siguiente cuadro: Costos de producción de cada par de apatos (Bs) Niños Niñas Mujeres Hombres P P Mientras que las ganancias por la venta de cada par de apatos es: Ganancias por la venta de cada par de apatos (Bs) Niños Niñas Mujeres Hombres P P Con esos datos podemos considerar dos matrices: C de costos G de ganancias: C= G= Si deseamos determinar los precios de ventas (P) de cada par de apatos, podríamos considerar una matri M donde en cada una sus entradas se coloca la suma de los costos de producción las ganancias. Así resulta que: M= M= De esta manera, la matri M corresponde matemáticamente a la suma de las matrices C G. M=C+G En general podemos sumar algebráicamente matrices del mismo orden. Si A B son matrices del mismo orden, se define la matri suma A+B o A-B como una nueva matri cuo elemento c ij es la suma o resta de los elementos a ij ± b ij de las matrices A B, respectivamente. Fascículo 9 Matrices sus operaciones 48