AJUSTES DE CURVAS Método de Regresión Exponencial Curvas de tipo

Transcripción

1 AJUSTES DE CURVAS Método de Regresón Eponencal Curvas de tpo y ae b y y e a+ b Ing. Yaml Armando Cerquera Esp Sstemas U. Naconal de Colomba Facultad de Ingenería Unversdad Surcolombana CONTENIDO Desarrollo del modelo... B Eponencal del tpo y Ae...4 Ejemplo aplcado a ngenería...6 Cnétca de una reaccón...6 a+ b Eponencal del tpo y e... Cómo proponer la curva a ajustar?... Ejemplo práctcos... Cnétca de una reaccón... Apromacón de una funcón matemátca complcada...7 Pronóstcos del número de lectores de Supermán...9 Resumen... RECURSOS BIBLIOGRAFÍCOS... Bblografía Básca:... Bblografía Complementara:... Bblografía OnLne:...3 Docente de planta. Unversdad Surcolombana. Escalafón Asocado. Programa Ingenería Electrónca Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 3

2 Preámbulo A lo largo de la profesón de un ngenero, un físco, un matemátco, frecuentemente se presentan ocasones en las que deben ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos. Las técncas desarrolladas para este fn pueden dvdrse en dos categorías generales: nterpolacón y regresón. Se consderará aquí la prmera de estas dos categorías. Más aún, como la teoría de apromacón eponencal es una de las técncas utlzadas, será la que se consdere en este trabajo. Cuando se asoca un error sustancal a los datos, la nterpolacón eponencal es napropada y puede llevar a resultados no satsfactoros cuando se usa para predecr valores ntermedos. Los datos epermentales a menudo son de ese tpo. Una estratega mas apropada en estos casos es la de obtener una funcón apromada que ajuste adecuadamente el comportamento o la tendenca general de los datos, sn concdr necesaramente con cada punto en partcular. Una curva eponencal puede usarse en la caracterzacón de la tendenca de los datos sn pasar sobre nngún punto en partcular. Una manera de determnar la curva, es nspecconar de manera vsual los datos grafcados y luego trazar la mejor curva a través de los puntos. Aunque este enfoque recurre al sentdo común y es váldo para cálculos a smple vsta es defcente ya que es arbtraro. Es decr, cada analsta trazará curvas dferentes. La manera de qutar esta subjetvdad es consderar un crtero que cuantfque la sufcenca del ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que mnmce la dferenca entre los datos y la curva y el método para llevar a cabo este objetvo es al que se le llama regresón eponencal. Introduccón El presente trabajo forma parte de los objetvos y contendos de aprendzaje de la cátedra MÉTODOS NUMÉRICOS, que pretende desarrollar las habldades para la utlzacón de los métodos lneales y estmacón de mínmos cuadrados. En este trabajo báscamente se habla de cómo desarrollar la aplcacón de los métodos lneales y estmacón por mínmos cuadrados, además de nferenca, b a+ b predccón y correlacón para ajustar datos a curvas de tpos y ae y y e. Se desarrollan una sere de ejemplos medante los cuales se trata de presentar la manera más senclla de usar estos métodos. S se sabe que este una relacón entre una varable denomnada dependente y otras denomnadas ndependentes (como por ejemplo las estentes entre: la eperenca profesonal de los trabajadores y sus respectvos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la produccón agrara y la cantdad de fertlzantes utlzados, etc.), puede Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 3

3 darse el problema de que la dependente asuma múltples valores para una combnacón de valores de las ndependentes. La dependenca a la que hace referenca es relaconal matemátca y no necesaramente de causaldad. Así, para un msmo número de undades producdas, pueden estr nveles de costo, que varían empresa a empresa. S se da ese tpo de relacones, se suele recurrr a los estudos de regresón en los cuales se obtene una nueva relacón pero de un tpo especal denomnado funcón, en la cual la varable ndependente se asoca con un ndcador de tendenca central de la varable dependente. Cabe recordar que en térmnos generales, una funcón es un tpo de relacón en la cual para cada valor de la varable ndependente le corresponde uno y sólo un valor de la varable dependente. Objetvos Entre los objetvos propuestos en este apartado se puede ctar los sguentes:. Que sea fáclmente comprensble para los alumnos con un conocmento mínmo de matemátcas;. Capactar a los alumnos para que practquen los métodos numércos en una computadora; 3. Elaborar programas smples que puedan usarse de manera senclla en aplcacones centífcas; 4. Proporconar software que resulte fácl de comprender. La mportanca de los métodos numércos ha aumentado de forma drástca en la enseñanza de la ngenería y la cenca, lo cual refleja el uso actual y sn precedentes de las computadoras. El desarrollo de un programa sempre es mportante en el aprendzaje de métodos numércos. La presentacón de resultados calculados con gráfcos utlzando algún software, por ejemplo MATLAB, motva a los alumnos para aprender métodos matemátcos y numércos que de otra forma podrían resultar tedosos. Desarrollo del modelo En el caso de que la esperanza propa de cada medcón sga un modelo de la forma n B B ( y Ae ) y Ae, la epresón a mnmzar se reduce a S( A, B), La mnmzacón σ y de S ( A, B) es un problema sn solucón analítca, por esto msmo se debe realzar a través de métodos numércos; Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 3 de 3

4 Desafortunadamente en la práctca no sempre los polnomos ajustan ben una sere de datos. Una curva que aparece frecuentemente en la práctca es la eponencal, la cual es: Eponencal del tpo B y Ae S se les aplca el método de mínmos cuadrados se obtene las dos curvas propuestas así: S Está dada por: S y Ae p B B ( y Ae ) Dervando S A A ( y Ae B ) ( y Ae B )( e B ) S B B ( y Ae B ) ( y Ae B )( Ae B ) Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 4 de 3

5 Igualando a y smplfcando S A B B B ( y Ae )( e ) Ae y B e S B B B B y Ae Ae ( )( ) Ae y B e Se puede observar que las ecuacones normales son no lneales, por lo cual son dfícles de resolver. Por esta razón en la práctca se prefere usar un cambo de varable antes de aplcar el método de mínmos cuadrados. S para el modelo eponencal se toman logartmos naturales se tene: b y ae ln( y ) ln( a) + b S z ln(y) a ln( a) y se obtene: a b z ao + a La ecuacón de una recta, la cual es trval hallarla por mínmos cuadrados. Para el error estándar cuadrado es σ y S M Es mportante regresar a las varables orgnales, después de haber hecho la regresón, ya que nteresa el ajuste de y en funcón de, no de ln(y ) en funcón de ó de ln( y ) en funcón de ln( ). En ambos casos A e a o B a Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 5 de 3

6 S Se calcula con la epresón respectva del paso. Ejemplo aplcado a ngenería A contnuacón se muestran algunas aplcacones del ajuste de curvas. Cnétca de una reaccón En la ndustra químca se elaboran productos que son de uso daro: locones, jabones, perfumes, desodorantes, dulces, etc, etc, etc. Muchos de estos productos son sntétcos y se elaboran en equpos llamados reactores. Para dseñar y posterormente construr un reactor se requere nformacón de como vara la concentracón en funcón del tempo de una reaccón químca determnada. Esta nformacón es denomnada cnétca de la reaccón. Para determnar dcha cnétca se requere medr en laboratoro datos de la concentracón de algún reactvo para varos tempos de reaccón. La trmetlamna y el bromuro de n-proplo es una reaccón que se puede estudar para dseñar reactores. La reaccón es: + N CH ) + CH CH CH br ( CH ) ( CH CH CH ) N + Br ( A contnuacón se muestra una tabla de la concentracón de la trmetlamna en funcón del tempo Tabla 4 Concentracón de trmetlamna en funcón del tempo t(mn) C(mol/lt) Para proponer el modelo apropado se recurre a la teoría. La Fscoquímca da la teoría necesara. De acuerdo a la Fscoquímca modelos posbles en este caso son Para el modelo t[ ]; c[ ]; plot(t,c,'or') as([.]) A ; kt C Ae Modelo C kt + A Modelo Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 6 de 3

7 k ; T:3:; CA.*ep(k*T); hold on plot(t,c) Se prueba ambos modelos para ver cual es más apropado. Para el modelo kt eponencal C Ae se hace un cambo de varable S se utlza la sguente nomenclatura kt C Ae ln C ln( A) + ( ) kt Se obtene la ecuacón y ln(c) a ln( A) a k t y a + a En estos térmnos las ecuacones normales son M a y y O s lo prefere M t t a t ln( C) t ln( C) M t(mn) t C(mol/lt) ln( C ) y , , , , , Calculando las sumatoras M 4 t 6 t y ln(c) Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 7 de 3

8 y t ln(c) Las ecuacones son Resolvendo a 96 4a + 6a 6a + 9a Regresando a la varable orgnal La ecuacón es A e kt S C Ae entonces; C E e C e El error estándar cuadrado es a a E e E k E E 3t t σ tc S E E 3 M 4 Para el segundo modelo (Potencal ) tambén se realza cambos de varable C kt + A kt + A C S Este modelo se desarrolla aparte como modelo de regresón potencal Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 8 de 3

9 Se obtene Las ecuacones normales son O s prefere M M t Calculando las sumatoras que faltan y C k a A a t y a + a y a t a t y y C t c c y c Las ecuacones son Resolvendo a 96 a + 6a 4 a + 96a a e Regresando a la varable orgnal A k e- Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 9 de 3

10 La ecuacón es C El error estándar cuadrado es e - t σ tc S E 4 M 4 Se puede observar que el modelo es mejor al modelo eponencal ya que su error estándar cuadrado es menor. Por esta razón se acepta que la curva ajustada es: C E - t Este modelo de acuerdo a su error estándar cuadrado da 3 decmales correctos o sea en este caso cfras sgnfcatvas. Con esto en mente se determna cual es la concentracón ncal al prncpo del epermento. Esto equvale a evaluar el modelo en t mn. C ( mn) C ( mn) mol / lt C ( mn).mol / lt Cuánto reactvo queda a la meda hora de ncado el epermento? C (3 mn) e - *(3) C ( 3 mn) mol / lt C ( 3 mn).77mol / lt Cuánto reactvo queda a las 3 horas de ncado el epermento? C (8 mn) e - *(8) C ( 8 mn) mol / lt C ( 8 mn).35mol / lt De los resultados anterores en orden de confabldad tenemos: C(3 mn), C( mn), C(8 mn). Esto es porque en 3 mnutos se esta nterpolando. En los otros valores se realzan etrapolacones y como ya menconamos anterormente es mas seguro nterpolar que etrapolar. La concentracón en mn es mas confable que la Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 3

11 concentracón en 8 mn porque esta mas cerca del ntervalo de tempos que cubre la tabla. Por ultmo las undades de las constantes del modelo son: A[]mol/lt k[]mol/lt/mn Esto es porque el modelo debe de ser dmensonalmente consstente. Eponencal del tpo y a+ b e En determnados epermentos, en su mayoría bológcos, la dependenca entre las varables X e Y es de forma eponencal, en cuyo caso nteresa ajustar a la nube de a+ b puntos una funcón del tpo: y e con una transformacón de lnealdad, tomando logartmos neperanos, se converte el problema en una cuestón de regresón lneal. Es decr: Aplcando logartmos neperanos: ln( y ) a + b Llamando y ln(y), se tene y a + b (regresón lneal) Para smplfcar, descartando multplcdades y suponendo que cada par se repte una sola vez, las ecuacones normales serán: a an + b + b ln( y ) ln( y ) Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 3

12 Calculando los parámetros 'a' y 'b', se tene la ecuacón de la funcón eponencal: a+ b y e Cómo proponer la curva a ajustar? La curva propuesta puede determnarse de las sguentes maneras: Consderando la teoría. A veces la naturaleza físca de los datos nos dce o al menos propone la forma de la curva. Por ejemplo s se ajusta datos de voltaje contra corrente la ecuacón apropada es lneal por la ley del Ohm. Grafcando. S no tene una teoría que ndque la forma de la curva, vendo la gráfca se pude hacer una dea del mejor ajuste. Por tanteo. Probando dversas curvas, la que nos de σ y mas pequeño será la apropada. Ejemplo práctcos A contnuacón mostramos algunas aplcacones del ajuste de curvas. Cnétca de una reaccón En la ndustra químca se elaboran productos que usamos todos los días: locones, jabones, perfumes, desodorantes, dulces, etc. Muchos de estos productos son sntétcos y se elaboran en equpos llamados reactores. Para dseñar y posterormente construr un reactor se requeren nformacón de como vara la concentracón en funcón del tempo de una reaccón químca determnada. Esta nformacón es denomnada cnétca de la reaccón. Para determnar dcha cnétca se requere medr en laboratoro datos de la concentracón de algún reactvo 3 para varos tempos de reaccón. La trmetlamna y el bromuro de n-proplo es una reaccón que se puede estudar para dseñar reactores. La reaccón es: N CH ) + CH CH CH br ( CH ) ( CH CH CH ) N Br ( A contnuacón se muestra una tabla de la concentracón de la trmetlamna en funcón del tempo Tabla 4 Concentracón de trmetlamna en funcón del tempo + + Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 3

13 t (mn) C (mol/lt).3e+ 8.88E- 3.4E+ 7.43E- 5.9E+ 6.33E-.E+ 4.48E- Para proponer el modelo apropado recurramos a la teoría. La Fscoquímca nos da la teoría necesara. De acuerdo a la Fscoquímca modelos posbles en este caso son kt C Ae Modelo C kt + A Modelo Se prueba ambos modelos para ver cual es más apropado. Para el modelo kt eponencal C Ae se hace un cambo de varable S se utlza la sguente nomenclatura kt C Ae ln C ln( A) + ( ) kt y ln(c) a ln( A) a k t Se obtene la ecuacón y a + a En estos térmnos las ecuacones normales son O s lo prefere M M t a t a t y y ln( C) t ln( C) M t(mn) t C(mol/lt) ln( C ) y , , Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 3 de 3

14 , , , Calculando las sumatoras M 4 t 6 t y ln(c) y t ln(c) Las ecuacones son Resolvendo a 96 4a + 6a 6a + 9a a E 3 Regresando a la varable orgnal La ecuacón es kt A e S C Ae entonces; C E e C e El error estándar cuadrado es a e E k E E 3t t σ tc S E M 4 E Para el segundo modelo tambén se realza cambos de varable Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 4 de 3

15 C kt + A kt + A C S y C k a A a t Se obtene Las ecuacones normales son O s prefere y a + a a y M y M t Calculando las sumatoras que faltan y t a t C t c c y c Las ecuacones son Resolvendo a 96 a + 6a 4 a + 96a a e Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 5 de 3

16 Regresando a la varable orgnal A k e- La ecuacón es C El error estándar cuadrado es e - t σ tc S E 4 M 4 Se puede observar que el modelo es mejor al modelo eponencal ya que su error estándar cuadrado es menor. Por esta razón se acepta que la curva ajustada es: C E - t Este modelo de acuerdo a su error estándar cuadrado da 3 decmales correctos o sea en este caso cfras sgnfcatvas. Con esto en mente se determna cual es la concentracón ncal al prncpo del epermento. Esto equvale a evaluar el modelo en t mn. C ( mn) C ( mn) mol / lt C ( mn).mol / lt Cuánto reactvo queda a la meda hora de ncado el epermento? C (3 mn) e - *(3) C ( 3 mn) mol / lt C ( 3 mn).77mol / lt Cuánto reactvo queda a las 3 horas de ncado el epermento? C (8 mn) e - *(8) C ( 8 mn) mol / lt Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 6 de 3

17 C ( 8 mn).35mol / lt De los resultados anterores en orden de confabldad tenemos: C(3 mn), C( mn), C(8 mn). Esto es porque en 3 mn. estamos nterpolando. En los otros valores se realzan etrapolacones y como ya menconamos anterormente es mas seguro nterpolar que etrapolar. La concentracón en mn es mas confable que la concentracón en 8 mn porque esta mas cerca del ntervalo de tempos que cubre la tabla. Por ultmo las undades de las constantes del modelo son: A[]mol/lt k[]mol/lt/mn Esto es porque el modelo debe de ser dmensonalmente consstente. Apromacón de una funcón matemátca complcada Esten funcones matemátcas que son dfícles de evaluar. De estas funcones muchas están tabuladas en manuales de matemátcas. Es común en aplcacones, sobre todo en programas de computadora usar una ecuacón que se aprome al comportamento de alguna de estas funcones. Una forma de obtener una funcón más smple de evaluar a partr de una funcón complcada, consste en generar una tabla y posterormente hallar una curva que se ajuste a la msma. La funcón Gamma ó funcón factoral generalzada, se emplea en la solucón de algunas ecuacones dferencales ó en el calculo de certas ntegrales. Esta funcón como su nombre lo ndca generalza el concepto de factoral. Esta defnda por Como puedes ver es dfícl de evaluar. t Γ( ) ( )! t e dt Puede demostrarse que basta con tabular esta funcón en el ntervalo [,] para determnar su valor en cualquer ntervalo. La tabla sguente es un etracto de una tabla de dcha funcón Tabla 5 Funcón Factoral X.E+.E-.E- Y.E E E- Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 7 de 3

18 3.E- 4.E- 5.E- 6.E- 7.E- 8.E- 9.E-.E E E E E E E E-.E+ La tabla orgnal tene puntos. Con el fn de obtener una curva apromada smple se ajustaron los datos a polnomos. La sguente tabla muestra el error estándar cuadrado en funcón del grado n Tabla E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-87 Se puede observar que el mejor polnomo es de grado, ya que tene error estándar cuadrado mínmo. No convene el polnomo de grado, ya que el error estándar cuadrado es mayor al de. El polnomo de grado obtendo es y E E E E E E E E nc Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 8 de 3

19 E E E E 3 9 De acuerdo al error estándar cuadrado tenemos 8 cfras sgnfcatvas. Este polnomo es mas fácl de evaluar y es mas recomendable que la funcón orgnal, en un programa, ya que el tempo de maquna para su evaluacón es menor. Pronóstcos del número de lectores de Supermán Como menconamos en la undad anteror la etrapolacón es menos confable que la nterpolacón. Esto es prncpalmente por el fenómeno de osclacón. Este fenómeno es sero en los polnomos de colocacón, pero no así en los polnomos de regresón. La dferenca entre ambos es que los de colocacón pasan por ó más puntos de la tabla, y los polnomos de regresón se aproman a todos los puntos. Esto trae como consecuenca que su comportamento sea más suave. Por esto se prefere los polnomos de regresón para etrapolar. En la undad pasada en un problema se realzo la estmacón de cuantos lectores potencales tene Supermán, en base a datos del censo de USA. Los datos se dan nuevamente en la tabla 7. Tabla 7. Censo de USA Año Poblacón Después de realzar dferentes ajustes el mejor polnomo es y E E E E E con σ y e + 6 Por lo cual tenemos 3 cfras sgnfcatvas. S repetmos la nterpolacón y la etrapolacón de ese ejemplo tenemos 3 Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 9 de 3

20 Y(.938E+3) E+8 Y(.996E+3) E+8 Redondeando a las cfras sgnfcatvas que nos da el modelo tenemos Y(938).9E+8 Y(996).37E+8 Los valores obtendos con polnomos de colocacón son respectvamente Y(938).9E+8 Y(996) 3E+8 Comparando los resultados obtuvmos mas cfras sgnfcatvas con el polnomo de regresón que con el de colocacón Resumen El ajuste de curvas ó regresón consste en dada una tabla determnar una ecuacón que se aprome apropadamente a los datos. El método a utlzar se denomna mínmos cuadrados. Consste de los sguentes pasos: Proponer una curva. Formar la cantdad: S e Dervar parcalmente S respecto de cada varable. Igualar a. Resolver las ecuacones normales. Calcular S. Calcular el error estándar cuadrado. Las curvas mas usadas son los polnomos. Para hallar el mejor polnomo se propone el grado y se va calculando el error estándar cuadrado hasta que sea menor o gual a una toleranca, comence a subr de valor, ó se llegue al grado más alto posble. Otras curvas muy usadas son la eponencal y la potencal. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 3

21 Para determnarlas se hace un cambo de varable con logartmos y se aplca el método de mínmos cuadrados. La curva propuesta puede determnarse consderando: Teoría, grafcando ó por tanteo. S es necesaro se debe de ntentar de smplfcar el modelo antes de aplcar el método de mínmos cuadrados. S no es posble se aplca el método drectamente. El método de mínmos cuadrados NO mplca necesaramente ajustar a polnomos. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 3

22 RECURSOS BIBLIOGRAFÍCOS Bblografía Básca: MATHEUS. John H. Fnk Kurts D. Métodos Numércos con MATLAB. Edtoral Prentce Hall Bblografía Complementara: ALTZ, Franz L. Electronc. Dgtal. computers: Ther use n scence and Engneerng. 958 Academc Press nc. New York. BURDEN Rchard L., J. Douglas Fares; Análss numérco. tr. Efrén Alatorre Mguel; Revsón Técnca. Ildefonso. 998 (Bbloteca USCO. Nro Topográfco: 55 / B949a.) CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P, Numercal Methods for engneers. McGraw Hll, Inc p. ISBN CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P. Métodos numércos para ngeneros: con aplcacones en computadoras personales. 988 (Bbloteca USCO Nro Topográfco: 59.5 / C467m) CONDE S. D, Carl de Boor. Análss numérco elemental: Un enfoque algorítmco. Mc. Graw-Hll 97, (Bbloteca USCO Nro Topográfco: 5.8 / C76 Bbloteca). CORMICK MC., John M. and SALVADOR M.C. Numercal Methods n FORTRAN Prentce-Hall Inc Englewood Clffs N:J. CURTIS, F. Gerald, WHEATLEY, O. Patrck. Análss numérco con aplcacones. Tr. Hugo Vllagomez Vasquez. 6 Ed. Pearson Educacón., 698p. ISBN FADDEEVA, V.N. Computaconal methods of lnear algebra, Dover Publcatons. 969, New York. GASTINEL Noél; Análss numérco lneal. tr. Javer Ruz Fernández de Pnedo (Bbloteca USCO Nro Topográfco: 5.7 / G55). GREENSPAN, D. Theory and solutons of Ordnary Dfferencal Equatons. 96 The. Mc Mllan Co. New York. KINCAID Davd y Ward Cheney; Análss numérco: Las matemátcas del cálculo centífco. tr. Rafael. 994 (Bbloteca USCO Nro Topográfco: 55 / K5a). LUTHE. Rodolfo, OLIVERA Antono, SCHUTZ Fernando, Métodos numércos. 986 (Bbloteca USCO Nro Topográfco: 5.7 / L973m). McCRACKEN, Danel D., Métodos numércos y programacón fortran: con aplcacones en ngenería y cencas Edtoral Lmusa. Méco. (Bbloteca USCO Nro. Topográfco:.644 / M7). NAKAMURA Shochro; Métodos numércos aplcados con software. tr. Oscar Alfredo Palmas Velasco. Prentce Hall Hspanoamercana S.A p. (Bbloteca USCO. Nro. Topográfco: 5.8 / N63m) ISBN NAKAMURA Shochro; Análss numérco y vsualzacón gráfca con MatLab. tr. Roberto Escalona Garca. Prentce Hall Hspanoamercana S.A (Bbloteca USCO N ro Topográfco: 55. / N63a). 465p. ISBN NIETO RAMIREZ José A., Métodos numércos en computadoras dgtales. Edtoral Lmusa 98. (Bbloteca USCO Nro Topográfco:.644 / N677). Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 3

23 RALSTON Anthony; Introduccón al análss numérco. tr. Carlos E. Cervantes de Gortar. Edtoral Lmusa. Meco p. (Bbloteca USCO Nro Topográfco: 5.7 / R64.) SCARBOROUGH, J.B Numercal mathematcs analyss SIERRA ROMERO, Alberto. Manual de Métodos Numércos. Unversdad Tecnológca de Perera. SMITH, W. Allen; Análss numérco. tr. Francsco Javer Sánchez Bernabe; Rev. Téc. José Lus Turrza Pnto. Prentce Hall Hspanoamercana S.A p. (Bbloteca USCO Nro Topográfco: 55 / S664a) ISBN STANTON, Ralp G. Numercal Methods for Scence and Engneerng Prentce- Hall Inc. Englewood Clffs N.J Bblografía OnLne: (Bografías) Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 3 de 3