AJUSTES DE CURVAS MÉTODOS LINEALES Y ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS

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1 AJUSTES DE CURVAS MÉTODOS LINEALES Y ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS Introduccón Métodos de los mínmos cuadrados Error estándar en la estmacón Coefcente de determnacón Coefcente de correlacón Regresón lneal múltple Estmacón de los coefcentes Inferencas en la regresón lneal múltple Predccón Correlacón Ing. Yaml Armando Cerquera Esp Sstemas U. Naconal de Colomba Facultad de Ingenería Unversdad Surcolombana PREAMBULO Cuando se asoca un error sustancal a los datos, la nterpolacón polnomal es napropada y puede llevar a resultados no satsfactoros cuando se usa para predecr valores ntermedos. Los datos expermentales a menudo son de ese tpo. Una estratega mas apropada en estos casos es la de obtener una funcón aproxmada que ajuste adecuadamente el comportamento o la tendenca general de los datos, sn concdr necesaramente con cada punto en partcular. Una línea recta puede usarse en la caracterzacón de la tendenca de los datos sn pasar sobre nngún punto en partcular. Una manera de determnar la línea, es nspecconar de manera vsual los datos grafcados y luego trazar la mejor línea a través de los puntos. Aunque este enfoque recurre al sentdo común y es váldo para cálculos a smple vsta es defcente ya que es arbtraro. Es decr, a menos que los puntos defnan una línea recta perfecta (en cuyo caso la nterpolacón sera apropada), cada analsta trazará rectas dferentes. La manera de qutar esta subjetvdad es consderar un crtero que cuantfque la sufcenca del ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que mnmce la dferenca entre los datos y la curva y el método para llevar a cabo este objetvo es al que se le llama regresón con mínmos cuadrados. INTRODUCCIÓN El presente trabajo forma parte de los objetvos y contendos de aprendzaje de la cátedra MÉTODOS NUMÉRICOS, que pretende desarrollar las habldades para la utlzacón de los métodos lneales y estmacón de mínmos cuadrados. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 1 de 1

2 En este trabajo báscamente se habla de cómo desarrollar la aplcacón de los métodos lneales y estmacón por mínmos cuadrados, además de nferenca, predccón y correlacón. Se desarrollaron una sere de ejemplos medante los cuales se trata de presentar la manera más senclla de usar estos métodos. S se sabe que exste una relacón entre una varable denomnada dependente y otras denomnadas ndependentes (como por ejemplo las exstentes entre: la experenca profesonal de los trabajadores y sus respectvos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la produccón agrara y la cantdad de fertlzantes utlzados, etc.), puede darse el problema de que la dependente asuma múltples valores para una combnacón de valores de las ndependentes. La dependenca a la que hace referenca es relaconal matemátca y no necesaramente de causaldad. Así, para un msmo número de undades producdas, pueden exstr nveles de costo, que varían empresa a empresa. S se da ese tpo de relacones, se suele recurrr a los estudos de regresón en los cuales se obtene una nueva relacón pero de un tpo especal denomnado funcón, en la cual la varable ndependente se asoca con un ndcador de tendenca central de la varable dependente. Cabe recordar que en térmnos generales, una funcón es un tpo de relacón en la cual para cada valor de la varable ndependente le corresponde uno y sólo un valor de la varable dependente. REGRESIÓN SIMPLE Y CORRELACIÓN La Regresón y la Correlacón son dos técncas estadístcas que se pueden utlzar para soluconar problemas comunes en los negocos. Muchos estudos se basan en la creenca de que es posble dentfcar y cuantfcar alguna Relacón Funconal entre dos o más varables, donde una varable depende de la otra varable. Se puede decr que y depende de x, en donde y y x son dos varables cualquera en un modelo de Regresón Smple. y es una funcón de x y f (x) Como y depende de x, y x Es la varable dependente, y Es la varable ndependente. En el Modelo de Regresón es muy mportante dentfcar cuál es la varable dependente y cuál es la varable ndependente. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba de 1

3 En el Modelo de Regresón Smple se establece que y es una funcón de sólo una varable ndependente, razón por la cual se le denomna tambén Regresón Dvarada porque sólo hay dos varables, una dependente y otra ndependente y se representa así: y f (x) Y está regresando por X La varable dependente es la varable que se desea explcar, predecr. Tambén se le llama REGRESANDO ó VARIABLE DE RESPUESTA. La varable Independente x se le denomna VARIABLE EXPLICATIVA ó REGRESOR y se le utlza para EXPLICAR Y. En el estudo de la relacón funconal entre dos varables poblaconales, una varable x, llamada ndependente, explcatva o de predccón y una varable y, llamada dependente o varable respuesta, presenta la sguente notacón: y a + bx + e Donde: a : es el valor de la ordenada donde la línea de regresón se ntercepta con el eje Y. b : Es el coefcente de regresón poblaconal (pendente de la línea recta) e : Es el error SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN LINEAL 1. Los valores de la varable ndependente X son fjos, meddos sn error.. La varable Y es aleatora 3. Para cada valor de X, exste una dstrbucón normal de valores de Y (subpoblacones Y) 4. Las varancas de las subpoblacones Y son todas guales. 5. Todas las medas de las subpoblacones de Y están sobre la recta. 6. Los valores de Y están normalmente dstrbudos y son estadístcamente ndependentes. PROBLEMAS AL AJUSTAR UN MODELO DE REGRESION LINEAL SIMPLE. Al ajustar un modelo de regresón lneal smple se pueden presentar dferentes problemas ben porque no exste una relacón lneal entre las varables o porque no se verfcan las hpótess estructurales que se asumen en el ajuste del modelo. Estos problemas son los sguentes: Falta de Lnealdad, porque la relacón entre las dos varables no es lneal o porque varables explcatvas relevantes no han sdo ncludas en el modelo. Exstenca de valores atípcos e nfluyentes, exsten datos atípcos que se separan de la nube de datos muestrales e nfluyen en la estmacón del modelo. Falta de Normaldad, los resduos del modelo no se ajustan a una dstrbucón normal. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 3 de 1

4 Heterocedastcdad, La heterocedastcdad es la exstenca de una varanza no constante en las perturbacones aleatoras de un modelo econométrco. Dependenca (autocorrelacón), exste dependenca entre las observacones. En este apartado se estuda como detectar estos problemas, su nfluenca en el cálculo del modelo de regresón y las posbles solucones de los msmos. Un prmer paso para el estudo de estos problemas es la realzacón de un estudo descrptvo, analítco y gráfco, de la muestra. En partcular el gráfco de puntos de la muestra bdmensonal permte detectar algunos problemas como se deja de manfesto en las sguentes fguras (1 al 6). Fgura 1. La nube de puntos muestrales bdmensonales parece ajustarse ben a una recta. Fgura. El ajuste lneal no parece adecuado para esta muestra. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 4 de 1

5 Fgura 3. No exste relacón lneal entre las dos varables. Fgura 4. Claros ndcos de heterocedastcdad. Fgura 5. Exsten puntos atípcos que probablemente nfluyan en la estmacón de la recta ajustada. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 5 de 1

6 Fgura 6. Exste una varable regresora bnara que se debe de nclur en el modelo de regresón. Métodos de mínmos cuadrados. [Inco] El procedmento mas objetvo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un dagrama de dspersón se conoce como "el método de los mínmos cuadrados". El ejemplo mas smple de una aproxmacón por mínmos cuadrados es el ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observadas: ( x, y ), ( x, y ), ( x, y ),, ( x, y ). La recta resultante y a + bx + E, en donde a y b son coefcentes que n n representan la nterseccón con el eje de las abcsas y la pendente, E es el error o resduo entre las observacones y el modelo, E y a + bx, y presenta dos característcas mportantes: 1. Es nula la suma de las desvacones vertcales de los puntos a partr de la recta de ajuste ( Y _ Y ) 0.. Es mínma la suma de los cuadrados de dchas desvacones. Nnguna otra recta daría _ una suma menor de las desvacones elevadas al cuadrado ( Y Y ) 0 (mínma). Crtero para un mejor ajuste Una estratega que obtene la mejor línea a través de los puntos debe mnmzar la suma de los errores resduales, como en: n E n 1 1 ( y a0 a1x ) Ec 1 Otro crtero sera mnmzar la suma de los valores absolutos de las dferencas, esto es: n n E [ y a0 a1x ] 1 1 Ec Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 6 de 1

7 Una tercera estratega en el ajuste de una línea óptma es el crtero de mínmas. En este método, la línea se escoge de tal manera que mnmce la dstanca máxma a la que se encuentra un punto de la línea recta. Esta estratega esta mal condconada para regresón ya que nfluye de manera ndebda sobre un punto externo, aslado, cuyo error es muy grande. Se debe notar que el crtero mínmas algunas veces esta ben condconado para ajustar una funcón smple a una funcón complcada. Una estratega que gnora las restrccones anterores es la de mnmzar la suma de los cuadrados de los resduos, S, de la sguente manera: r S r n E ( y a bx ) n 1 1 Este crtero tene muchas ventajas, ncluyendo el que ajusta una línea únca a un conjunto dado de datos. Antes de analzar estas propedades, se muestra un método que determna los valores de a y b que mnmzan la ecuacón Ec 3. Ec 3 La obtencón de los valores de a y b que mnmzan esta funcón es un problema que se puede resolver recurrendo a la dervacón parcal de la funcón en térmnos de a y b: llamemos G a la funcón que se va a mnmzar: G ( y a bx) Ec 4 Se toma las dervadas parcales de G respecto de a y b que son las ncógntas y se gualan a cero; de esta forma se obtenen dos ecuacones llamadas ecuacones normales del modelo, que pueden ser resueltas por cualquer método ya sea gualacón o matrces para obtener los valores de a y b. La ecuacón G ( y a bx) dg da dg da dg da, se derva parcalmente respecto de a dg ( y a bx)( 1) 0 ( y a bx) 0, donde da ( y a bx) 0, y s se tenen n térmnos entonces. y na b x 0, organzando el sstema se tendrá: y na + b x Prmera ecuacón normal Ec 5 Ahora se derva parcalmente la ecuacón G ( y a bx) respecto de b dg db ( y a bx)( x) 0 dg ( y a bx)( x) 0 db Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 7 de 1

8 dg db dg db dg ( y a bx)( x) 0 ( xy ax bx ) 0 db xy a x + b x 0, organzando el sstema se tendrá: a x + Ing. Yaml Armando Cerquera Rojas xy b x Segunda ecuacón normal Ec 6 Los valores de a y b se obtenen resolvendo el sstema de ecuacones resultante. Vea el sguente ejemplo: En un estudo económco se desea saber la relacón entre el nvel de nstruccón de las personas y el ngreso. n x ( x) n xy y b y con esta ecuacón resuelta se puede obtener a y bx x EJEMPLO 1: Ajústese una línea recta a los valores x y y de las prmeras dos columnas de la sguente tabla: x y _ ) y ( y a bx ) ( Y Se pueden calcular las sguentes cantdades: Usando las ecuacones: 7 * * 4 b 7 *140 8 n 7 x x 140 x 8 y 8 4 x 4 y 4 y n x ( x) n xy y b y a y bx, se tene: x a * Por lo tanto la ecuacón lneal con ajuste por mínmos cuadrados es: y x Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 8 de 1

9 Ejemplo con MatLab: x [0.1, 0.4, 0.5, 0.7, 0.7, 0.9]; y [0.61, 0.9, 0.99, 1.5, 1.47,.03]; c polyft(x,y,1) c1 x(1):0.1:x(length(x)) c polyval(c,c1) plot(c1,c);hold on plot(x,y,'x') axs([0,1,0,.1]) xlabel('x') ylabel('y') help polyft POLYFIT Ft polynomal to data. POLYFIT(X,Y,N) fnds the coeffcents of a polynomal P(X) of degree N that fts the data, P(X(I))~Y(I), n a least-squares sense. [P,S] POLYFIT(X,Y,N) returns the polynomal coeffcents P and a structure S for use wth POLYVAL to obtan error estmates on predctons. If the errors n the data, Y, are ndependent normal wth constant varance, POLYVAL wll produce error bounds whch contan at least 50% of the predctons. The structure S contans the Cholesky factor of the Vandermonde matrx (R), the degrees of freedom (df), and the norm of the resduals (normr) as felds. See also POLY, POLYVAL, ROOTS. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 9 de 1

10 EJEMPLO : Se toma una muestra aleatora de 8 cudades de una regón geográfca de 13 departamentos y se determna por los datos del censo el porcentaje de graduados en educacón superor y la medana del ngreso de cada cudad, los resultados son los sguentes: CIUDAD % de (x) Graduados Ingreso (y) Medana De las ecuacones normales: + y na b x y xy a x + b Se debe encontrar los térmnos de las ecuacones y, x, xy, x Por tanto se procede de la sguente forma: x n y x xy x Susttuyendo en las ecuacones los resultados obtendos se tene: a b Ec a b Ec Para resolver el anteror sstema, se multplca la prmera ecuacón por (-89.8) y la segunda por (8) así: a b (-89.8) a b (8) a b a b b b Este valor de b se reemplaza en cualquera de las ecuacones para obtener el valor de a: Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 10 de 1

11 Reemplazando b en la prmera ecuacón normal a (0.0477), donde a ), despejando a se tene: 5.10 a Se tene entonces que los coefcentes de regresón son: a y b Por tanto la ecuacón de regresón queda: Y x Sgnfca entonces que por cada ncremento en una undad en X el valor de en Y se aumenta Esta ecuacón permte estmar el valor de Y para cualquer valor de X, por ejemplo: Una cudad que tene un porcentaje de graduados a nvel superor del 8% la medana de ngreso para la cudad será: Y * 8 Y 8.87 Decenas de mles de $. Segunda forma de obtener los valores de a y b Partendo de las dos ecuacones normales se tene: + y na b x (Ec 1), y a x + b xy x (Ec ) S se dvde todos los térmnos de la ecuacón normal (Ec 1) entre n quedando: y na b x + n n n Se tene entonces que el prmer térmno es _ Y el segundo térmno es la ncógnta a y el tercer termno es la ncógnta b multplcada por _ X, por tanto quedaría de la forma: Y a + b X, entonces Reemplazando a en la ecuacón (Ec ) se tene: a Y b X ( Y bx ) x b + b b xy x b x xy ( Y bx ) x x xy Yx + bx x ny x nbx xy + n n x x Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 11 de 1

12 b x xy nyx + nbx b x nbx xy b ( x nx ) xy nyx Ing. Yaml Armando Cerquera Rojas nyx xy nyx (5.4375)(11.50) b b x nx (11.50) a (11.50) Se debe tener presente la dferenca entre el valor de Y obtendo con la ecuacón de regresón y el valor de Y observado. Mentras Y es una estmacón y su bondad en la estmacón depende de lo estrecha que sea la relacón entre las dos varables que se estudan; Y ー es el valor efectvo, verdadero obtendo medante la observacón del o nvestgador. En el ejemplo Y es el valor medano del ngreso que obtuvo el nvestgador Utlzando todos los ngresos observados en cada cudad y Y es el valor estmado con base en el modelo lneal utlzado para obtener la ecuacón de regresón. Los valores estmados y observados pueden no ser guales por ejemplo la prmera cudad tene un ngreso medano observado de Y o 4. al reemplazar en la ecuacón el porcentaje De graduados se obtene un Y estmado de Y (1.) 4.61 Gráfcamente lo anteror se puede mostrar así: o Claramente se observa en la gráfca que hay una dferenca entre el valor efectvo de Y y el valor estmado; esta dferenca se conoce como error en la estmacón, este error se puede medr. A contnuacón se verá el procedmento. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 1 de 1

13 Error estándar en la estmacón [Inco] Ing. Yaml Armando Cerquera Rojas El error estándar de la estmacón desgnado por s YX mde la dspardad "promedo" entre Los valores observados y los valores estmados de Y. Se utlza la sguente formula. S YX o Y Y n Se debe entonces calcular los valores de Y para cada cudad susttuyendo en la ecuacón los valores de los porcentajes de graduados de cada cudad estudada. Y ( x) S o Y Y n YX Y o Y - o (Y Yˆ) n Y X Y (Decenas de mles de pesos) Como esta medda trata de resumr la dspardad entre lo observado y lo estmado, es decr, trata de medr la dferenca promedo entre lo observado y lo estmado ó esperado de acuerdo al modelo, puede consderarse como un ndcador del grado de precsón con que la ecuacón de regresón, descrbe la relacón entre las dos varables. Este error estándar se ve afectado por las undades y sus cambos ya que es una medda absoluta, pues, se da en la msma undad de medda que esta dada la varable Y; en el ejemplo 0.46 serán decenas de mles de pesos, razón por la cual no es posble comparar con las relacones de varables dadas en dstnta undad de medda. Es necesaro entonces calcular una medda que nterprete o mda mejor el grado de relacón entre las varables. Coefcente de determnacón. [Inco] El cambo de la varable Y generalmente depende de muchos factores, en ocasones, dfícles de dentfcar; con el modelo lneal smple, sólo tenemos presente uno. Por Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 13 de 1

14 ejemplo, en nuestro caso la medana del ngreso depende no sólo del porcentaje de graduados en el nvel superor, que es, el factor que tenemos presente, pueden entrar a jugar factores tales como, la dstrbucón de la edad en la poblacón, la dstrbucón por sexo en la poblacón, la ndustralzacón de la cudad, el numero de unversdades y muchos otros. El coefcente de determnacón mde o nterpreta la cantdad relatva de la varacón que ha sdo explcada por la recta de regresón, es decr, la proporcón de cambo en Y explcado por un cambo en la varable X ( X es el factor que se utlza para calcular la recta de ajuste o ecuacón de regresón, en el ejemplo es el porcentaje de graduados en el nvel superor en cada cudad). Para el ejemplo el Coefcente de determnacón va a medr la proporcón del cambo en el ngreso medano de cada cudad, debdo o explcado por un cambo en el porcentaje de graduados en el nvel superor. Vea algunos componentes de la varabldad en el análss de regresón: La dferenca entre cada valor de Y observado y Y meda se denomna varacón de Y. o ( Y -Y )Varacón de Y. La dferenca entre Y estmado y Y meda, es la varacón tenda en cuenta por la ecuacón de regresón, razón por la cual se denomna varacón explcada de Y. ( Y -Y ) varacón explcada de Y. La dferenca entre Y o observado y Y estmado, son varacones consderadas debdas a factores dferentes al tendo presente por la ecuacón de regresón por eso se llama: varacón no explcada de Y. o ( Y -Y )varacón no explcada de Y La sumatora de las dferencas en cada una de las formas de varacón la podemos representar así: ( Y o Y ) Varacón total ( Y o Yˆ ) Varacón no explcada ( Y ˆ Y ) Varacón explcada ( Y o Y ) ( Y o ) + ( Y ˆ Y ) Yˆ Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 14 de 1

15 Gráfcamente esta relacón se puede representar así: Se menconó anterormente, que el coefcente de determnacón es la proporcón de cambo explcado en Y, por cambo en X, es decr, la proporcón que representa la varacón explcada de la varacón total. Recuerde una proporcón es la relacón de una parte con el total, por tanto, el coefcente de determnacón será: En otras palabras el coefcente de determnacón es la relacón entre la varacón explcada y la varacón total. Su valor sempre estará 0 r 1. Para su cálculo se procede así: o Y & y& o Y -Y ( y o Y ) &&& ŷ ŷ -Y ( Yˆ Y ) o Y - ŷ ( Y o Yˆ) Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 15 de 1

16 Y r ( yˆ y) o ( y y) Generalmente esta proporcón se expresa como porcentaje, por tanto se puede decr que r 88.76% Como conclusón se puede decr que el 88.76% de la varacón en el ngreso medano de las cudades de la muestra esta relaconada o explcada por la varacón en el porcentaje de graduados en educacón Superor en cada cudad. Coefcente de correlacón [Inco] Este Coefcente como ya se djo mde la fuerza de la relacón entre las varables. El coefcente tene el sgno que tene b y su valor estará 1 r 1 El sgno menos en el índce sgnfca una relacón negatva y un sgno más una correlacón postva. El coefcente se obtene sacando la raíz cuadrada al coefcente de determnacón y se smbolza con "r". r ( yˆ y) o ( y y), por tanto r En este caso el coefcente r tene sgno postvo ya que toma el valor de b obtendo con las ecuacones normales toma valor postvo. A contnuacón se da, a modo de orentacón, como podrían nterpretarse los valores de r (postvo o negatvo) 0.0 a 0. Correlacón muy débl, desprecable 0. a 0.4 Correlacón débl. Bajo 0.4 a 0.7 Correlacón moderada 0.7 a 0.9 Correlacón fuerte, alto, mportante 0.9 a 1.0 Correlacón muy fuerte, muy alto La correlacón entre los valores de dos varables es un hecho. El que lo consderemos satsfactoro o no, depende de la nterpretacón. Otro problema que representa la correlacón es cuando se pregunta s una varable, de algún modo causa o determna a la otra. La correlacón no mplca causaldad. S las varables X e Y están correlaconadas, esto puede ser por que X causa a Y, o porque Y causa a X o porque alguna otra varable afecta tanto a X como Y, o por una combnacón de todas estas razones; o puede ser que la relacón sea una concdenca. Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 16 de 1

17 Modelo de regresón lneal con el uso de matrces. Al ajustar un modelo de regresón lneal múltple, en partcular cuando el número de varables pasa de dos, el conocmento de la teoría matrcal puede facltar las manpulacones matemátcas de forma consderable. Suponga que el expermentador tene k varables ndependentes x 1, x,...,x k, y n observacones y 1, y,..., y n, cada una de las cuales se pueden expresar por la ecuacón: Y β + β X + β X β X + ε Este modelo en esenca representa n ecuacones que descrben cómo se generan los valores de respuesta en el proceso centífco. Con el uso de la notacón matrcal, podemos escrbr la ecuacón: y Xβ +, donde ε k k Entonces la solucón de mínmos cuadrados para la estmacón de que se lustra en la seccón Estmacón de coefcentes, "Regresón lneal múltple" mplca encontrar b para la que: SSE (y - Xb)'(y - Xb) Se mnmza. Este proceso de mnmzacón mplca resolver para b en la ecuacón ( SSE ) 0 b No se presentan los detalles relaconados con las solucones de las ecuacones anterores. El resultado se reduce a la solucón de b en: ( X `X ) b X `y Nótese la naturaleza de la matrz X. Aparte del elemento ncal, el -ésmo renglón representa los valores x que dan lugar a la respuesta y. Al escrbr Las ecuacones normales se pueden escrbr en la forma matrcal ABg S la matrz A es no sngular, podemos escrbr la solucón para el coefcente de regresón como b A -1 g (X X) -1 X y y Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 17 de 1

18 De esta forma se puede obtener la ecuacón de predccón o la ecuacón de regresón al resolver un conjunto de k + 1 ecuacones con un número gual de ncógntas. Esto mplca la nversón de la matrz X'X de k + 1 por k + 1. Las técncas para nvertr esta matrz se explcan en la mayoría de los lbros de texto sobre determnantes y matrces elementales. Por supuesto, se dspone de muchos paquetes de computadora de alta velocdad para problemas de regresón múltple, paquetes que no sólo mprmen estmacones de los coefcentes de regresón, sno que tambén proporconan otra nformacón relevante para hacer nferencas respecto a la ecuacón de regresón. EJEMPLO 3: Se mdó el porcentaje de sobre vvenca de certo tpo de semen anmal, después del almacenamento, en varas combnacones de concentracones de tres materales que se utlzan para aumentar su oportundad de sobre vvenca. Los datos son los sguentes: y(% sobre vvenca) x 1 (peso %) x (peso %) x 3 (peso %) 5,5 1,74 5,30 10,80 31, 6,3 5,4 9,40 5,9 6, 8,41 7,0 38,4 10,5 4,63 8,50 18,4 1,19 11,60 9,40 6,7 1, 5,85 9,90 6,4 4,10 6,6 8 5,9 6,3 8,7 9,10 3 4,08 4,4 8,70 5, 4,15 7,60 9,0 39,7 10,15 4,83 9,40 35,7 1,7 3,1 7,60 6,5 1,70 5,30 8,0 Estme el modelo de regresón lneal múltple para los datos dados. SOLUCIÓN: Las ecuacones de estmacón de mínmos cuadrados, (X'X)b X'y, son Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 18 de 1

19 De los resultados de una computadora obtenemos los elementos de la matrz nversa Y después, con el uso de la relacón b (X X) -1 X y, los coefcentes estmados de regresón son: b , b , b , b ) La ecuacón de regresón estmada es: y x x x3 Para el caso de una sola varable ndependente, el grado del polnomo de mejor ajuste a menudo se puede determnar al grafcar un dagrama de dspersón de los datos que se obtenen de un expermento que da n pares de observacones de la forma {(x, y ); 1,,... n}. Al resolver estas r + 1 ecuacones, obtenemos las estmacones b 0, b 1,..., b r y por ello se ) y genera la ecuacón de predccón de regresón polnomal: y b + b x + b x b y x El procedmento para ajustar un modelo de regresón polnomal se puede generalzar al caso de más de una varable ndependente. De hecho, el estudante de análss de regresón debe, en esta etapa, tener la facldad para ajustar cualquer modelo lneal en, k 0 1 Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 19 de 1

20 varables ndependentes. Suponga, por ejemplo, que tene una respuesta Y con k varables ndependentes y se postula un modelo cuadrátco del tpo y β β β β β β + ε + x + x + x + x x1 x Donde y, 1,,..., n es la respuesta para la combnacón x1, x de las varables ndependentes en el expermento. En esta stuacón n debe ser al menos 6, pues hay ses parámetros a estmar medante el procedmento de mínmos cuadrados. Además, como el modelo contene térmnos cuadrátcos en ambas varables, se deben usar al menos tres nveles de cada varable. El lector debe verfcar con facldad que las ecuacones normales de mínmos cuadrados (X'X)b X'y están dadas por: EJERCICIO 4: Los sguentes datos representan el porcentaje de mpurezas que ocurren a varas temperaturas y tempos de esterlzacón durante una reaccón asocada con la fabrcacón de certa bebda. Tempo de esterlzacón, x (mn) Temperatura, x 1 ( C) Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 0 de 1

21 Estmar los coefcentes de regresón en el modelo SOLUCIÓN: µ x β + β x x y 0 + β1x1 + β x + β11x1 + β x +... b 0 56,4668 b 11 0,00081 b 1-0,3635 b 0,08171 b -,7599 b 1 0, Y la ecuacón de regresón estmada es ) y x + x x x x x La mayoría de los prncpos y procedmentos asocados con la estmacón de funcones de regresón polnomal caen en la categoría de la metodología de respuesta superfcal, un conjunto de técncas que los centífcos e ngeneros han utlzado con bastante éxto en muchos campos. Problemas como la seleccón de un dseño expermental apropado, en partcular para casos donde hay un número grande de varables en el modelo, y la eleccón de las condcones "óptmas" de operacón sobre x 1,x,...,x k a menudo se aproxman a través del uso de estos métodos. 1 Unversdad Surcolombana Neva Hula Colomba 1 de 1