8º Grado Matemática. Geometría en 2D Transformaciones. Slide 1 / 227. Slide 2 / 227. Slide 3 / 227. Vínculos para preguntas PARCC de muestra

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1 New Jersey enter for Teaching and Learning Iniciativa de Matemática Progresiva Este material está disponible gratuitamente en ww.njctl.org y está pensado para el uso no comercial de estudiantes y profesores. No puede ser utilizado para cualquier propósito comercial sin consentimiento el por escrito de sus propietarios. NJTL mantiene su sitio web por la convicción de profesores que desean hacer disponible su trabajo para otros profesores, participar en una comunidad de aprendizaje profesional virtual, y /o permitir a padres, estudiantes y otras personas el acceso a los materiales de los cursos. Nosotros, en la sociación de Educación de Nueva Jersey NJE) ( somos fundadores orgullosos y apoyo NJTL de y la organización independiente sin fines de lucro. NJE adopta la misión de NJTL de capacitar a profesores para dirigir el mejoramiento escolar para el beneficio de todos los estudiantes. lick para ir al sitio web: Slide 1 / 227 8º Grado Matemática Slide 2 / 227 Geometría en 2 Transformaciones Slide 3 / 227 Vínculos para preguntas PR de muestra Sin calculadora N 8 Sin calculadora N 12

2 Tabla de ontenidos Transformaciones Traslaciones Rotaciones Reflexiones ilataciones Simetría ongruencia y Semejanza Pares especiales de ángulos Ángulos exteriores remotos Glosario ommon ore Standards: 8.G.1, 8.G.2, 8.G.3, 8.G.4, 8.G.5 lick en un tema para ir a esta sección Slide 4 / 227 Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones. Slide 5 / 227 lgunas veces cuando se restas fracciones, encuentras que no puedes porque el el primer numerador es menor que el segundo! uando esto sucede, necesitas reagrupar desde los números enteros. uántos tercios es en un entero? (Haz click sobre el subrayado.) uántos quintos hay en un entero? uántos novenos hay en un entero? El subrayado está vinculado a la página en la parte del glosario que contienen el vocabulario de la tabla. 1 Vocabulario El cuadro tiene 4 partes Factor Un número entero que se puede dividir con otro número y no queda resto Un número entero que multiplica con otro número para hacer un tercer número 2 Su significado (ómo se utiliza en esta lección) Slide 6 / Ejemplos/ ontraejemplos 3 es un factor de 15 3 x 5 = 15 3 y 5 son factores de 15 5 R no es un factor de 16 Volver al tema Vínculo para volver a la página con el tema.

3 Slide 7 / 227 Transformaciones Volver a la Tabla de ontenidos Transformación Slide 8 / 227 ada vez que mueves, encoges o agrandas una figura haces una transformación. Si la figura que estás moviendo (preimagen) está marcada con las letras,, y, puedes marcar los puntos de la figura transformada (imagen) con las mismas letras y una comilla. pre-imagen ' imagen ' Notas para el profesor ' Transformación Slide 9 / 227 La imagen también se puede marcar con letras nuevas, como se muestra a continuación. El triángulo es la pre-imagen de la imagen reflejada del triángulo XYZ X Y pre-imagen imagen Z

4 Hay cuatro tipos de transformaciones en esta unidad Slide 10 / 227 Traslaciones Rotaciones Reflexiones ilataciones Las primeras tres transformaciones preservan el tamaño y la forma de la figura. En otras palabras: Si tu pre-imagen es un trapezoide, tu imagen es un trapezoide congruente. Si tu pre-imagen es un ángulo, tu imagen es un ángulo con la misma medida. Si tu pre-imagen contiene rectas paralelas, tu image contiene rectas paralelas. Slide 11 / 227 Traslaciones Volver a la Tabla de ontenidos Slide 12 / 227

5 Traslación Slide 13 / 227 Trasladar es mover una figura a otra posición (izquierda, derecha, arriba o abajo) sin cambiar su tamaño o forma y sin voltear o girar.. Puedes utilizar una flecha para mostrar la dirección y la distancia del movimiento Traslación Esto muestra una traslación de la pre-imagen a la imagen '''. ada punto en la pre-imagen se movió a la derecha 7 y hacia arriba 4. Slide 14 / 227 Traslación lick para ir a la página web Slide 15 / 227

6 Para completar una traslación, mueve cada punto de la pre-imagen y marca los nuevos puntos. Slide 16 / 227 Ejemplo: Mueve la figura 2 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba. uáles son las coordenadas de la pre-imagen e imagen? ' ' ' ' Son los segmentos en la pre-imagen y en la imagen de la misma longitud? En otras palabras, fue preservado el tamaño de la figura? mbas, la pre-imagen y la imagen son congruentes. Traslada la pre-imagen 2 a al izquierda y 6 hacia abajo. uáles son las coordenadas de la imagen y la pre-imagen? Slide 17 / 227 Son los segmentos en la pre-imagen y en la imagen de la misma longitud? En otras palabras, fue preservado el tamaño de la figura? mbas, la pre-imagen y la imagen son congruentes. Traslada la pre-imagen 4 a la derecha y 1 hacia abajo. uáles son las coordenadas de la imagen y de la pre-imagen? Slide 18 / 227 Los segmentos de la pre-imagen y de la imagen, tienen igual longitud? En otras palabras, se conservó el tamaño de la figura? mbas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.

7 Traslada la pre-imagen 5a la izquierda y 3 hacia arriba. uál es la regla y cuáles son las nuevas coordenadas de la imagen. Slide 19 / 227 Los segmentos de la pre-imagen y de la imagen, tienen igual longitud? En otras palabras, se conservó el tamaño de la figura? mbas, la pre-imagen y la imagen son congruentes. Reglas de traslación Puede escribirse una regla para describir traslaciones en el plano de coordenadas. Mira las siguientes reglas y coordenadas para ver si puedes encontrar un patrón. Slide 20 / Izquierda y 5 rriba (3,-1) ' (1,4) (8,-1) ' (6,4) (7,-3) ' (5,2) (2, -4) ' (0,1) 2 Izquierda y 6 bajo (-2,7) ' (-4,1) (-3,1) ' (-5,-5) (-6,3) ' (-8,-3) 5 Izquierda y 3 rriba (3,2) ' (-2,5) (7,1) ' (2,4) (4,0) ' (-1,3) (2,-2) ' (-3,1) 4 erecha y 1 bajo (-5,4) ' (-1,3) (-1,2) ' (3,1) (-4,-2) ' (0,-3) (-6, 1) ' (-2,0) Reglas de traslación Trasladando a la izquierda o derecha cambias la coordenada de x. Slide 21 / 227 Trasladando hacia arriba o abajo cambias la coordenada de y. 2 Izq. y 5 rriba (3,-1) ' (1,4) (8,-1) ' (6,4) (7,-3) ' (5,2) (2, -4) ' (0,1) 5 Izq. y 3 bajo (3,2) ' (-2,5) (7,1) ' (2,4) (4,0) ' (-1,3) (2,-2) ' (-3,1) 2 Izq. y 6 bajo (-2,7) ' (-4,1) (-3,1) ' (-5,-5) (-6,3) ' (-8,-3) 4 er. y 1 bajo (-5,4) ' (-1,3) (-1,2) ' (3,1) (-4,-2) ' (0,-3) (-6, 1) ' (-2,0)

8 Reglas de traslación Slide 22 / 227 Trasladando izquierda/derecha cambias la coordenada de las x izquierda restas a la coordenada x erecha sumas a la coordenada x Trasladando arriba/abajo cambias la coordenada y. bajo restas a la coordenada y rriba sumas a la coordenada y Reglas de traslación Slide 23 / 227 Puede escribirse una regla para describir traslaciones en el plano de coordenadas. 2 unidades a la izquierda coordenada x - 2 coordenada y queda igual clickregla = (x - 2, y) 5 unidades derecha y tres unidades abajo coordenada x + 5 coordenada y - 3 clickregla = (x + 5, y - 3) Escribe una regla para cada traslación. 2 Izq. y 5 rriba (3,-1) ' (1,4) (8,-1) ' (6,4) (7,-3) ' (5,2) (2, -4) ' (0,1) Reglas de traslación 2 Izq. y 6 bajo (-2,7) ' (-4,1) (-3,1) ' (-5,-5) (-6,3) ' (-8,-3) click para revelar (x, y) (x-2, y+5) click para revelar (x, y) (x-2, y-6) Slide 24 / Izq. y 3 rriba (3,2) ' (-2,5) (7,1) ' (2,4) (4,0) ' (-1,3) (2,-2) ' (-3,1) 4 er. y 1 bajo (-5,4) ' (-1,3) (-1,2) ' (3,1) (-4,-2) ' (0,-3) (-6, 1) ' (-2,0) click para revelar click para revelar (x, y) (x-5, y+3) (x, y) (x+4, y-1)

9 1 Qué regla describe la traslación mostrada? Slide 25 / 227 (x,y) (x - 4, y - 6) (x,y) (x - 6, y - 4) (x,y) (x + 6, y + 4) (x,y) (x + 4, y + 6) ' E F E' G' F' G 2 Qué regla describe la traslación mostrada? Slide 26 / 227 (x,y) (x, y - 9) (x,y) (x, y - 3) (x,y) (x - 9, y) (x,y) (x - 3, y) E F ' G E' F' G' 3 Qué regla describe la traslación mostrada? Slide 27 / 227 (x,y) (x + 8, y - 5) (x,y) (x - 5, y - 1) (x,y) (x + 5, y - 8) (x,y) (x - 8, y + 5) ' E' G' F' E F G

10 4 Qué regla describe la traslación mostrada? Slide 28 / 227 (x,y) (x - 3, y + 2) (x,y) (x + 3, y - 2) (x,y) (x + 2, y - 3) (x,y) (x - 2, y + 3) E ' F E' F' G G' 5 Qué regla describe la traslación mostrada? Slide 29 / 227 (x,y) (x - 3, y + 2) (x,y) (x + 3, y - 2) (x,y) (x + 2, y - 3) (x,y) (x - 2, y + 3) ' E' G' F' E F G Slide 30 / 227 Rotaciones Volver a la Tabla de ontenidos

11 Slide 31 / 227 Rotaciones Una rotación (giro) es mover una figura alrededor de un punto. Este punto puede estar en la figura o puede ser algún otro punto exterior. Este punto se llama punto de rotación. Slide 32 / 227 P Slide 33 / 227 Rotación El dedo de la persona es el punto de rotación para cada figura

12 uando giras una figura, puedes describir la rotación, dando la dirección (en sentido horario o en sentido antihorario) y el ángulo de la figura gira alrededor del punto de giro. Las rotaciones son en sentido antihorario, a menos que se le indique lo contrario. Slide 34 / 227 click para revelar Esta figura se rota 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto. Esta figura se rota180 grados en sentido de las agujas del reloj alrededor del punto. Slide 35 / 227 ómo se rotó esa figura en torno al origen? En el plano de coordenadas cada cuadrante representa 90º. ' ' ' ' Para determinar el ángulo, dibuja dos semirrectas (una desde el punto de rotación hasta el punto de la preimagen y otra desde el punto de rotación hasta el punto de la imagen. Mide ese ángulo. ontrola para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes. Las siguientes descripciones describen la misma rotación. Qué notas? Puedes dar tu propio ejemplo? Slide 36 / 227

13 Slide 37 / 227 La suma de las dos rotaciones (horaria y antihoraria) es 360 grados. Si tienes una rotación, puedes calcular la otra restandola de ómo está rotada esta figura alrededor del punto? (Elige más de una respuesta.) Slide 38 / 227 E horario antihorario 90 grados 180 grados 270 grados ' ' E ', ' E' Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes. 7 ómo está rotada esta figura alrededor del punto de origen? (Elige más de una respuesta). Slide 39 / 227 horario antihorario 90 grados E 180 grados 270 grados ' ' ' ' Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

14 Rotaciones Slide 40 / 227 hora echemos un vistazo a la misma figura y ver lo que sucede con las coordenadas cuando hacemos girar una figura. Escribe las coordenadas de la pre-imagen e imagen. Qué notas? ' ' ' ' Rotaciones Slide 41 / 227 Qué sucede con las coordenadas en un medio giro? Escribe las coordenadas para la pre-imagen y la imagen. ' ' Qué notas? ' ' Rotaciones Slide 42 / 227 Podrías resumir que pasa con las coordenadas durante una rotación? 90 sentido antihorario: Medio giro: 90 sentido horario:

15 8 uáles son las nuevas coordenadas de un punto (5, -6) despues de una rotación horaria de? Slide 43 / 227 (-6, -5) (-6, 5) (-5, 6) (5, -6) 9 uáles son las nuevas coordenadas de un punto S (-8, -1) despues de una rotación anti horaria de? Slide 44 / 227 (-1, -8) (1, -8) (-1, 8) (8, 1) 10 uáles son las nuevas coordenadas de un punto H (-5, 4) despues de una rotación anti horaria de? Slide 45 / 227 (-5, -4) (5, -4) (4, -5) (-4, 5)

16 11 uáles son las nuevas coordenadas de un punto R (-4, -2) después de una rotación horaria de? Slide 46 / 227 (4, -2) (-2, 4) (2, 4) (-4, 2) 12 uáles son las nuevas coordenadas de un punto Y (9, -12) despues de una rotación de medio giro? Slide 47 / 227 (-12, 9) (-9,12) (-12, -9) (9,12) 13 El paralelogramo ' ' ' ' (no el mostrado) es la imagen del paralelogramo después de una rotación de 180 en torno al origen. Qué afirmaciones sobre el paralelogramo ''' son ciertas?. Selecciona cada afirmación correcta y Slide 48 / 227 '' es paralelo a '' '' es paralelo a '' '' es paralelo a '' '' es paralelo a '' x E '' es paralelo a '' From PR sample test

17 Slide 49 / 227 Reflexiones Volver a la Tabla de ontenidos Ejemplos Slide 50 / 227 Reflexión Slide 51 / 227 Una reflexión (vuelta) crea una imagen de espejo de una figura.

18 Un reflejo es una vuelta porque la figura se voltea sobre una línea. ada punto de la imagen está a la misma distancia de la línea como del punto original.. t ' Reflexión ' ' y ' están ambos a 6 unidades de la recta t. y ' están ambos a 6 unidades de la recta t. y ' están ambos a 3 unidades de la recta t. ada vértice en el está a la misma distancia de la recta t como los vértices en el '''. Slide 52 / 227 Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes. Reflexión Refleja la figura transversalmente al eje y. y Slide 53 / 227 x Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes. Reflexión Qué notas acerca de las coordenadas cuando reflejas transversalmente al eje y? y Slide 54 / 227 ' ' ' ' x Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

19 Reflexión uál es tu predicción sobre las coordenadas cuando se refleja sobre el eje x? y Slide 55 / 227 ' ' ' ' x Refleja la figura transversal al eje de las y, y luego al eje x. Haz click para ver cada reflexión Slide 56 / 227 y x Refleja la figura transversal al eje y. Haz click para ver la reflexión. Slide 57 / 227 y F E x

20 Refleja la figura transversal a la recta x = -2. Slide 58 / 227 lick para ver la reflexión y E x Refleja la figura transversal al eje y = x. Slide 59 / 227 y x 14 La reflexión representada debajo es una reflexión a través del: Slide 60 / 227 el eje x el eje x, luego el eje y el eje y y el eje y, luego el eje x ' ' x '

21 15 La reflexión representada debajo es una reflexión a través del: Slide 61 / 227 el eje x el eje x, luego el eje y el eje y y el eje y, luego el eje x ' ' x ' ' 16 uál de las siguientes representa una reflexión simple de la Figura 1? Slide 62 / 227 Figura Figure uál de las siguientes describe el movimiento de la figura inferior? Slide 63 / 227 reflexión rotación, 90 horario deslizamiento rotación, 180 horario Figura 2 Figura 1

22 18 escribe la reflexión mostrada debajo: transversalmente a la recta y = x transversalmente al eje y y ' ' transversalmente a la recta y = -3 transversalmente al eje x Slide 64 / 227 E' ' ' x E Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes. 19 escribe la reflexión mostrada debajo: transversalmente a la recta y = x transversalmente al eje x y transversalmente a la recta y = -3 transversalmente a la recta x = 4 Slide 65 / 227 ' ' ' x Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes. En el plano de coordenadas se muestran tres figuras congruentes. Usa esas figuras para responder a las siguientes y dos preguntas. Slide 66 / x 2 3 From PR sample test

23 20 Parte Selecciona una transformación para cada grupo de opciones para hacer esta afirmación cierta. La figura 1 puede ser transformada en la figura 2 mediante Slide 67 / 227 una reflexión transversal al eje de las x una rotación de 180 en sentido horario en torno al origen una traslación de 2 unidades hacia la izquierda seguida por una reflexión transversal al eje de las y E una rotación de 90 en sentido horario y en torno al origen F una traslación de 3 unidades a la derecha 21 Parte La figura 3 puede ser formada transformando la figura 1 con una secuencia de dos pasos. Selecciona una transformación de cada conjunto de opciones para hacer esta afirmación cierta. La figura 1 puede ser transformada en la figura 3 a partir de una reflexión transversal al eje de las y una rotación 90 en sentido horario en torno al origen una traslación 7 unidades a la derecha Slide 68 / 227 seguida por una reflexión transversal al eje x E una rotación 180 en sentido horario en torno al orgien F una traslación 3 unidades a la izquierda Slide 69 / 227 ilataciones Volver a la Tabla de ontenidos

24 Slide 70 / 227 ilatación Slide 71 / 227 Una dilatación es una transformación en la que una figura se amplía o se reduce en torno a un punto central, utilizando un factor de escala = 0. El punto central no se altera.. ilatación Slide 72 / 227 El factor de escala es la razón de los lados: uando el factor de escala de una dilatación es mayor que 1, la dilatación es una ampliación. uando el factor de escala de una dilatación es menor que 1, la dilatación es una reducción. uando el factor de escala es 1, la dilatación es una identidad.

25 Ejemplo. ilatación Si la pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea entera, qué tipo de dilatación es esta? uál es el factor de la escala de la dilatación? y Slide 73 / 227 x Respuesta Qué pasó con las coordenadas con un factor de escala de 2? Slide 74 / 227 y ' ' ' ' x (0, 1) ' (0, 2) (3, 2) ' (6, 4) (4, 0) ' (8, 0) (1, 0) ' (2, 0) El centro para esta dilatación fue el origen (0,0). 22 uál es el factor de escala de la imagen se muestra a continuación? La pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea llena. Slide 75 / y x

26 23 uáles son las coordenadas de un punto S (3, -2) despues de una dilatación con un factor de escala de 4 alrededor del origen? Slide 76 / 227 (12, -8) (-12, -8) (-12, 8) (-3/4, 1/2) 24 uáles son las coordenadas de un punto Y (-2, 5) despues de una dilatación con un factor de escala de 2.5? Slide 77 / 227 (-0.8, 2) (-5, 12.5) (0.8, -2) (5, -12.5) 25 uáles son las coordenadas de un punto X (4,- 5) despues de una dilatación con un factor de escala de 0.5? Slide 78 / 227 (-8, 16) (8, -16) (-2, 4) (2, -4)

27 26 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación: (-6, 3) (-2, 1) Slide 79 / 227 uál es el factor de escala? 3-3 1/3-1/3 27 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación (4, -9) (16, -36) Slide 80 / 227 uál es el factor de escala? 4-4 1/4-1/4 28 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente manera durante una dilatación: (5, -2) (17.5, -7) Slide 81 / 227 uál es el factor de escala?

28 29 uál de las siguientes figuras representa una rotación? (y no se podría haber logrado sólo mediante una reflexión) Figura Figura Slide 82 / 227 Figura Figura 30 uál de las siguientes figuras representa una reflexión? Figura Figura Slide 83 / 227 Figura Figura 31 uál de las siguientes figuras representa una dilatación? Figura Figura Slide 84 / 227 Figura Figura

29 32 uál de las siguientes figuras representa una traslación? Slide 85 / 227 Figura Figura Figura Figura Slide 86 / 227 Simetría Volver a la Tabla de ontenidos Slide 87 / 227

30 Simetría Un eje de simetría divide una figura en dos partes que coinciden exactamente entre sí cuando se pliegue a lo largo una línea de puntos. ibuja los ejes de simetría de cada figura a continuación, si existen. Slide 88 / 227 Simetría uáles de estas figuras tienen simetría? ibuja los ejes de simetría. Slide 89 / 227 Simetría Slide 90 / 227 Tienen simetría estas imágenes? ónde?

31 Simetría Pensamos que nuestras caras son simétricas, pero la mayoría de las caras son asimétricas (no simétricas). quí hay algunas fotos de gente donde sus caras son simétricas. Slide 91 / 227 Will Smith con una cara simétrica. Marilyn Monroe con una cara simétrica Slide 92 / 227 lick sobre la imagen de abajo para aprender como hacer tu cara simétrica. Tina Fey Simetría Slide 93 / 227 Ocurre Simetría Rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos que un giro de 360. Rota la figura de abajo para ver la cantidad de veces que la figura rota sobre sí misma.

32 Simetría Para determinar los grados de cada simetría rotacional: 1. ivide 360 pro el número de veces que la figura rotó sobre su misma. Slide 94 / = Sigue sumando ese número hasta que alcances un número que sea mayor o igual que 360. Nota: el número mayor que o igual a 360 no se toma en cuenta Grados de simetría = 60, 120, 180, 240, 300 Simetría Slide 95 / 227 Ocurre simetría rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos de 360º. Rota estas figuras. Que grado de simetría rotacional tienen cada una? 33 uántos ejes de simetría tiene esta figura? Slide 96 /

33 34 uál figura muestra una línea de simetría? Slide 97 / 227 Pull 35 uál de los objetos no tiene simetría rotacional? Slide 98 / 227 Se produce Simetría rotacional cuando una figura puede ser rotada alrededor de un punto sobre sí misma a lick para pista menos de 360º. 36 etermina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo Slide 99 / Recuerda: divide 360 por el número de veces que se rota el objeto simétricamente. lick para pista

34 37 etermina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo. Escoge las opciones que apliquen. Slide 100 / E 240 F Recuerda: divide 360 por el número de veces que se lick para pista rota el objeto simétricamente. Slide 101 / 227 ongruencia y Semejanza Volver a la Tabla de ontenidos ongruencia y Semejanza Slide 102 / 227 Las figuras congruentes tienen la misma forma y tamaño. 2 figuras son congruentes si la segunda figura puede obtenerse a partir de la primera por una serie de traslaciones, reflexiones y / o rotaciones. Recuerda - traslaciones, reflexiones y rotaciones conservan el tamaño y la forma de la imagen.

35 ongruencia y Semejanza Slide 103 / 227 Las figuras semejantes tienen la misma forma, ángulos congruentes y lados proporcionales. Notas del profesor 2 figuras son semejantes si la segunda figura puede obtenerse a partir de la primera por una serie de traslaciones, reflexiones, rotaciones y / o dilataciones. Slide 104 / 227 lick para ir a la página web Semejanza Slide 105 / 227 uál sería la medida del ángulo j tiene para que las siguientes figuras sean semejantes? j = 35 j = 35

36 Slide 106 / Qué par de figuras son semejantes pero no congruentes? Slide 107 / Qué par de figuras son semejantes pero no congruentes? Slide 108 / 227

37 40 uál de los siguientes términos describe mejor al par de figuras? Slide 109 / 227 congruentes semejantes ni congruentes ni semejantes 41 uál de los siguientes términos describe mejor al par de figuras? Slide 110 / 227 congruentes semejantes ni congruentes ni semejantes 42 uál de los siguientes términos describe mejor al par de figuras? Slide 111 / 227 congruentes semejantes ni congruentes ni semejantes

38 etermina si las dos figuras son congruentes o semejantes. Slide 112 / 227 Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La preimagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena. etermina si las dos figuras son congruentes o semejantes. Slide 113 / 227 Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La preimagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena. etermina si las dos figuras son congruentes o semejantes. Slide 114 / 227 Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La preimagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena. lick en la ubicación de la figura del medio, para que aparezca, si es necesario.

39 etermina si las dos figuras son congruentes o semejantes. Slide 115 / 227 Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La preimagen está en línea punteada, la imagen está en línea llena. lick en la ubicación de la figura del medio, para que aparezca, si es necesario. Slide 116 / 227 Pares Especiales de Ángulos Volver a la Tabla de ontenidos Recuerda: Slide 117 / 227 Ángulos omplementarios son dos ángulos cuya suma da 90 grados Estos dos ángulos son complementarios porque su suma es 90. Observa que forman un ángulo recto cuando se colocan juntos. Ángulos Suplementarios son dos ángulos cuya suma da 180 grados. Estos dos ángulos son suplementarios porque su suma es 180. Observa que forman un ángulo llano cuando se colocan juntos.

40 Los ángulos verticales o ángulos opuestos por el vértice son dos ángulos que están opuestos entre sí cuando se cruzan dos rectas Slide 118 / En este ejemplo, los ángulos opuestos por el vértice son: 1 y 3 2 y 4 Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Entonces: m 1 = m 3 m 2 = m 4 Transformaciones Slide 119 / 227 Los ángulos opuestos por el vértice pueden explicarse además usando la transformación de la reflección x La recta x corta a los ángulos 1 y 3 a la mitad uando el ángulo 2 se refleja sobre la recta x, forma el ángulo 4. uando el ángulo 4 se refleja sobre la recta x, forma el ángulo Transformaciones y Slide 120 / La recta y corta a los ángulos 2 y 4 a la mitad. uando el ángulo 1 se refleja sobre la recta y, se forma el ángulo 3. uando se refleja el ángulo 3 sobre la recta y, se forma el ángulo

41 Uando lo que sabes acerca de los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice, encuentra la medida de los ángulos que faltan. Slide 121 / Por medio de los opuestos por el vértice: Por medio de los ángulos Suplementarios: lick lick 43 Los ángulos 2 y 4 están opuestos por el vértice? Slide 122 / 227 Si No Los ángulos 2 y 3 están opuestos por el vértice? Slide 123 / 227 Si No

42 45 Si el ángulo 1 es de 60 grados, cuál es la medida del ángulo 3? ebes ser capaz de explicar por qué Slide 124 / o 60 o 120 o 15 o Slide 125 / Si el ángulo 1 es de 60 grados, cuál es la medida del ángulo 2? ebes ser capaz de explicar por qué 30 o 60 o 120 o 15 o Los ángulos adyacentes son dos ángulos que están uno junto al otro y tienen una semirrecta común entre ellos. Esto significa que están en el mismo plano y que no comparten los puntos internos Slide 126 / 227 es adyacente a ómo te das cuenta? Tienen un lado común (semirrecta ) Tienen un vértice común (punto )

43 dyacente o No dyacente? Tu ecides! Slide 127 / 227 b a a b b a click dyacente para revelar No click dyacente para revelar No click dyacente para revelar 47 Qué dos ángulos son adyacentes uno con el otro? Slide 128 / y 4 2 y Qué dos ángulos son adyacentes uno con el otro? Slide 129 / y 6 5 y

44 Una transversal es una recta que corta transversalmente dos o más (por lo general ) rectas paralelas. Slide 130 / 227 P E Q F R ctividad Interactiva -lick quí Recuerda desde el 3º grado Formas y Perímetros Slide 131 / 227 Rectas Paralelas son un conjunto de dos rectas que están en el mismo plano y que no se intersecan (tocan). Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a cada intersección. Slide 132 / 227 Transversal En este diagrama los ángulos correspondientes son:

45 49 uáles son los pares de ángulos correspondientes? Slide 133 / y 6 3 y 7 1 y uáles son pares de ángulos correspondientes? Slide 134 / y 6 3 y 1 1 y uáles son pares de ángulos correspondientes? Slide 135 / y 5 2 y 8 4 y

46 52 uáles son pares de ángulos correspondientes? Slide 136 / y 4 6 y y y Los ángulos alternos externos están en lados opuestos de la transversal y en el exterior de las rectas dadas. k En este diagrama los ángulos alternos externos son: Slide 137 / m Qué recta es la transversal? 7 4 n 6 5 Los ángulos interiores alternos están en lados opuestos de la transversal y en el interior de las rectas dadas. Slide 138 / k m En este diagrama los ángulos alternos internos son: 7 4 n 6 5

47 Los ángulos interiores del mismo lado están en el mismo lado de la transversal y en el interior de las rectas dadas k En este diagrama los ángulos interiores del mismo lado son: Slide 139 / m 7 4 n Los ángulos 2 y 7 son alternos externos? Si l Slide 140 / 227 No m n 54 Los ángulos 3 y 6 son alternos externos? Slide 141 / 227 Si l No m n

48 55 Los ángulos 7 y 4 son alternos externos? Slide 142 / 227 Si l No m n 56 Qué ángulo es correspondiente al ángulo 5? Slide 143 / 227 l m n 57 Qué par de ángulos tienen el mismo lado interior? Slide 144 / 227 l m n

49 58 Qué tipo de ángulos son y? Slide 145 / 227 Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos l Ángulos correspondientes Opuestos por el vértice m E Mismo lado interior n 59 Qué tipo de ángulos son y? Slide 146 / 227 Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos l Ángulos correspondientes Ángulos opuestos por el vértice m E Mismo lado interior n 60 Qué tipo de ángulos son y? Slide 147 / 227 Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos l Ángulos correspondientes Ángulos opuestos por el vértice m E Mismo lado interior n

50 61 Los ángulos 5 y 2 son alternos internos? Slide 148 / 227 Si l No m n 62 Los ángulos 5 y 7 son alternos internos? Slide 149 / 227 Si l No m n 63 Los ángulos 7 y 2 son alternos internos? Slide 150 / 227 Si l No 1 3 m 5 7 Pull n

51 64 Los ángulos 3 y 6 son alternos externos? Slide 151 / 227 Si l No m n asos Especiales Si rectas paralelas son cortadas por una transversal entonces: Los Ángulos orrespondientes son congruentes Los Ángulos lternos Internos son congruentes Los Ángulos lternos Externos son congruentes Los Ángulos del Mismo lado Interior son suplementarios Slide 152 / 227 Por lo tanto: n m son suplementarios son suplementarios l Estos casos especiales aún se pueden explicar mediante las transformaciones de reflexión y traslación Slide 153 / 227

52 Reflexiones. ontinuación Slide 154 / 227 c n d m l La recta c corta los ángulos 1 y 7 a la mitad. uando el ángulo 3 se refleja por encima de la recta c, forma el ángulo 5. uando el ángulo 5 se refleja por encima de la recta c, forma el ángulo 3. La recta d corta los ángulos 2 y 8 a la mitad. uando el ángulo 4 se refleja por encima de la recta d, forma el ángulo 6. uando el ángulo 6 se refleja por encima de la recta d, forma el ángulo 4. n Traslaciones Slide 155 / m La recta m es paralela a la recta l l n m l Si la recta m se traslada y unidades hacia abajo, se solapará con la recta l. Traslaciones ontinuación Slide 156 / n m l Si la recta m se traslada entonces x unidades a la izquierda, todos los ángulos formados por las rectas m y n se superponen con los ángulos formados por las rectas l y n. n m l Las traslaciones también funcionan si la recta l se traslada y unidades hacia arriba y x unidades a la derecha

53 65 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible. Qué ángulos son congruentes con el ángulo dado? Slide 157 / 227 <4, <5, <6 l <5, <7, <1 <2 <5, < m n 66 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible. uáles son las medidas de los ángulos 4, 6, 2 y 8? Slide 158 / o l 40 o 130 o m n 67 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible. Que ángulos son congruentes con el ángulo dado? Slide 159 / 227 <4 l <4, <5, <3 <2 < m n

54 68 Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las medidas de tantos ángulos como sea posible. uáles son las medidas de los ángulos 2, 4 y 8 respectivamente? Slide 160 / o, 35 o, o, 35 o, 35 o l 145 o, 35 o, 145 o 1 3 m n 69 Si las rectas a y b son paralelas, qué transformación justifica por qué? t Slide 161 / a Sólo Reflexión Sólo Traslación Reflexión y Traslación Los ángulos NO son ongruentes b 70 Si las rectas a y b son paralelas, qué transformación justifica por qué? Slide 162 / 227 t a Sólo Reflexión SóloTraslación Reflexión y Traslación Los ángulos NO son ongruentes b

55 71 Si las rectas a y b son paralelas, qué transformación justifica por qué? t Slide 163 / a Sólo Reflexión Sólo Traslación Reflexión y Traslación Los ángulos NO son ongruentes b Slide 164 / 227 plicando lo que hemos aprendido para probar algunos hechos interesantes de matemática Podemos usar lo que hemos aprendido para establecer alguna información interesante sobre triángulos. Slide 165 / 227 Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo = 180. Vamos a ver por qué! ado

56 través de vamos a dibujar una recta paralela a. Luego entonces tenemos dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Usa el número de ángulos y lo que sabes para probar que la suma de las medidas de los ángulos es igual a 180. Slide 166 / l 2 m n p Slide 167 / l n 2 p m 1. 1 si 2 dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos interiores alternos son congruentes. Slide 168 / l n 2 p m 2. 2 = + 1 porque si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos exteriores alternos son congruentes.

57 Slide 169 / l n 2 p m 3. es suplementario con 2 porque si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios. Slide 170 / l n 2 p m 4. e manera que, + 2 = = + + = 180. Vamos a mirarlo de esta otra manera... Slide 171 / l m p n 1. 2 porque si 2 rectas parelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.

58 Slide 172 / l m n p 2. 1 porque si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes. Slide 173 / l m p n = 180, ya que los tres ángulos forman una línea recta. Slide 174 / l m p n 4. e manera que, = + + = 180.

59 Slide 175 / 227 Ángulos exteriores remotos Volver a la Tabla de ontenidos Slide 176 / 227 Teorema del ángulo exterior - la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores remotos. ados 1 Ángulo exterior Ángulos interiores remotos Slide 177 / 227 Usaremos lo que hemos aprendido sobre ángulos especiales para ver "por qué" y "cómo" el Teorema del Ángulo Exterior Remoto funciona y luego vamos a practicar aplicando este Teorema.

60 Vamos a dibujar una recta que pase por y que sea paralela a. Tenemos dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Usa el número de ángulos y lo que sabes para probar que la medida de 1 = suma de las medidas de y. Slide 178 / l 1 m n p Slide 179 / l 1 m n p 1. 2 porque si 2 rectas paralelas están cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes. Slide 180 / l 1 m n p 2. 1 = + 2 porque si tdos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos exteriores alternos son congruentes.

61 Slide 181 / l 1 m n p 3. sí que, 1 = + 2 = +. Slide 182 / 227 Ejemplo uál es la medida del ángulo v en el diagrama de abajo? El diagrama NO está a escala. Slide 183 / = m m 2 = 136

62 uál es la medida del ángulo q en el diagrama de abajo? El diagrama NO está a escala. Slide 184 / = m m 3 = 30 alcula el valor de x. El diagrama NO está a escala. Slide 185 / 227 Slide 186 / 227

63 73 uál es la medida del ángulo 5 en el diagrama de abajo? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 187 / uál es la medida del ángulo 6 en el diagrama de abajo? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 188 / alcula el valor de x en el diagrama de abajo. El diagrama NO está hecho a escala. Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 189 / 227 (x + 5) (x - 7) (10x - 34)

64 76 uál es el valor de x en el diagrama de abajo? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 190 / 227 (3x) (2x - 3) 172 Ejemplo Slide 191 / 227 Nombra los pares de ángulos cuya suma sea igual a m p g h r 77 Elige la expresión que hace que esta afirmación sea cierta: Slide 192 / 227 m 12 = p r g h m 1 + m 6 m 5 + m 6 m 4 + m 5 m 3 + m 4

65 Slide 193 / 227 Ejemplo Qué ángulos son congruentes al ángulo 9? Slide 194 / p g h r Slide 195 / 227 Glosario Volver a la Tabla de ontenidos

66 Ángulos adyacentes Slide 196 / 227 os ángulos que están al lado uno de otro y tienen un segmento común. a b a b a b Volver al tema Ángulos exteriores alternos Slide 197 / 227 uando dos rectas se cruzan con otra recta, los pares de ángulos en los lados opuestos de la recta transversal pero del lado de afuera de las dos rectas. a b c d a b c d a d b c Volver al tema Slide 198 / 227 Ángulos interiores alternos uando dos rectas se cruzan por otra recta, son los pares de ángulos ubicados en los lados opuestos de la transversal pero dentro de las dos rectas c d a b b c a d b c a d Volver al tema

67 Slide 199 / 227 simétrico lgo que no es simétrico. Volver al tema Ángulos complementarios Slide 200 / 227 os ángulos con una suma de 90 grados o 45 o + 60o Forma de recordar: 30 o = 90 o ibujando una línea extra w, a la"", formas un 9 para 90 Volver al tema ongruente Slide 201 / 227 lgo que tiene igual forma y tamaño. os cosas que son equivalentes. formas 30 o 30 o ángulos segmentos Volver al tema

68 Slide 202 / 227 Ángulos correspondientes Ángulos que están sobre el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a cada intersección. a b c d a b c d a d c b a b d c b a c d a b c d Volver al tema ilatación Slide 203 / 227 Una transformación por la cual una figura se aumenta o reduce de tamaño alrededor de un punto central. Se utiliza una escala de un factor distinto de cero. dilatación (aumento) la forma queda igual! ada coordenada se multiplica por 2! :(0,1) :(3,2) :(3,0) ':(0,2) ':(6,4) ':(6,0) Volver al tema mpliación Slide 204 / 227 Es una dilatación donde el factor de escala es más grande que uno. S. F. = 2 > 1 > 1 la imagen es más grande que la pre-imagen { 3 6 ( 6 ) 3 = 2 Volver al tema

69 Identidad Slide 205 / 227 Una dilatación donde el factor de escala es uno. S. F. = 1 = 1 = 1 la imagen es igual a la pre-imagen { 6 ( 6 ) 6 = 1 Volver al tema Imagen Slide 206 / 227 Una figura que se arma después de una transformación de una pre-imagen. después de trasladar después de rotar después de aumentar Volver al tema Slide 207 / 227 Eje de simetría La línea imaginaria donde se podría plegar la imagen y obtener dos mitades que coinciden exactamente. puede ser más que uno! Volver al tema

70 Rectas paralelas Slide 208 / 227 Un conjunto de dos rectas que están en el mismo plano y que no se intersecan, (no se tocan). Volver al tema Slide 209 / 227 Punto de rotación Un punto sobre una figura o sobre otro punto que hace rotar a una figura a su alrededor. punto afuera de la figura punto en el lado de la figura punto en el medio de la figura Volver al tema Pre-Imagen Slide 210 / 227 La figura original antes de la transformación. antes de la traslación antes de la rotación antes de la dilatación Volver al tema

71 Reducción Slide 211 / 227 Una dilatación donde el factor de escala es menor que uno. S. F. = 1/2 < 1 < 1 la imagen es más pequeña que la pre- imagen { = 1 2 ( 3 ) Volver al tema Reflexión Slide 212 / 227 Una vuelta sobre una línea que forma una imagen espejo de la figura, donde cada punto en el imagen tiene la misma distancia desde la recta que el punto original. igual distancia a t Observa la línea de reflexión! arriba recta t tt reflexión (movimiento) 6 6 { { 3 3 { { { { 6 6 Volver al tema Rotación Slide 213 / 227 Un giro que mueve a una figura alrededor de un punto. rotación (movimiento) dirección etiquetado por: y punto de rotación La figura se rota 90 en sentido antihorario alrededor de un punto. Volver al tema

72 Slide 214 / 227 Simetría rotacional Una transformación donde una figura puede ser rotada menos de 360 alrededor de un punto o de sí misma. 90 o Volver al tema Slide 215 / 227 Ángulos interiores del mismo lado uando dos rectas son cruzadas por otra recta, los pares de ángulos sobre el mismo lado de la transversal pero adentro de las dos rectas. c d a b b c a d b c a d Volver al tema Factor de escala Slide 216 / 227 La razón de los lados de una imagen y los lados de una pre- imagen. = 0 { 3 6 Factor de escala = 2 ( 6 = 2) 3 Volver al tema

73 Semejantes Slide 217 / 227 os cosas que tienen la misma forma, ángulos congruentes y lados proporcionales. congruente no semejante! Volver al tema Slide 218 / 227 Ángulos suplementarios Son ángulos que suman 180 grados o 90o = 180 o 100 o + = 180 o 80 o Forma de recordar S ibujando la línea extra w/ a la "S", formas un 8, para 180 Volver al tema Slide 219 / 227 Transformación Movimiento, aumento o disminución de una forma mientras mantiene igual medida de sus ángulos y proporcionales las longitudes de sus segmentos. traslación (movimiento) rotación (movimiento) dilatación (aumento) Volver al tema

74 Traslación Slide 220 / 227 Una figura movida a una posición diferente (izquierda, derecha, arriba, abajo) sin cambio en su tamaño o forma y sin girarla o darla vuelta. establece la regla: traslación (movimiento) mueve a la derecha 6 unidades mueve arriba 4 unidades ( x + a, y + b ) ( x + 6, y + 4 ) Volver al tema Transversal Slide 221 / 227 Una recta que corta cruzando dos o más rectas (usualmente paralelas). Volver al tema Vértice Slide 222 / 227 Punto donde dos o más líneas rectas/caras/aristas se encuentran. Una esquina. vértice vértice vértice Un triángulo tiene 3 vértices. También se encuentra en los ángulos! Volver al tema

75 Ángulos opuestos por el vértice (ángulo vertical) Slide 223 / 227 os ángulos opuestos uno al otro cuando dos rectas se intersecan. 70 o 110 o 110 o 70 o 120 o X 60 o 120 o x = 60 o Forma de recordar Los ángulos verticales forman 2 "V" yendo en direcciones opuestas Volver al tema Slide 224 / 227 Volver al tema Slide 225 / 227 Volver al tema

76 Slide 226 / 227 Volver al tema Slide 227 / 227 Volver al tema