Tema No. 2 Programación de Metas. Introducción

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: Dr. JUAN LUGO MARÍN Tema No. 2 Programación de Metas Introducción El concepto de la programación por metas (PM) fue introducido por A. Charnes y W. W. Cooper. La PM es un enfoque poderoso que se ha construido a partir de la programación lineal. Ambas áreas de estudio son actualmente objeto de considerable interés y desarrollo, y representan temas potencialmente importantes para los futuros gerentes, tomadores de decisiones y administradores. La programación por metas se aplica generalmente a modelos lineales; es una extensión de la PL que permite a la persona que planifica aproximarse lo más posible para satisfacer diversas metas y restricciones. Con dicha extensión la persona que toma las decisiones puede incorporar, por lo menos en un sentido heurístico, su propio sistema de preferencias al enfrentarse a múltiples metas antagónicas. Algunas veces se considera que es un intento de colocar en un contexto de programación matemática un concepto que combina las ideas de satisfacción y complacencia. Este término fue acuñado por Herbert Simon, ganador del Premio Nobel de economía, para transmitir la idea de que en algunas ocasiones las personas no buscan las soluciones óptimas, sino más bien soluciones suficientemente buenas o aproximaciones aceptables ; en otras palabras, ese término se refiere al deseo de maximizar varios objetivos en forma simultánea a niveles mínimamente satisfactorios. 1

2 Programación de Metas - Conceptualizacion En el Tema No. 1 todos los problemas formulados tenían un solo objetivo, como por ejemplo maximizar ganancias o minimizar costos. No obstante, en muchas ocasiones nos enfrentamos a situaciones que pueden tener objetivos múltiples, es decir, dos o más metas por lograr. Estos objetivos, algunas veces, entran en conflicto entre sí. Solo se puede optimizar un objetivo a expensas de los otros. Los objetivos múltiples pueden presentarse en problemas lineales, enteros e, incluso, no lineales. Todo lo anterior entra en el objetivo del presente tema de Programación de Metas o Programación Multiobjetivo. La esencia de cómo se formula un modelo de programación lineal sigue siendo la misma en programación por meta, es decir, también se tiene una función objetivo que optimizar sujeta a una o más restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarán dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta, a parte de las restricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango de prioridad entre las funciones de objetivo. Una vez que se establece un problema en el formato del modelo general de programación lineal, para obtener la solución puede aplicarse el método simplex, modificado solo para tomar en cuenta las prioridades. La programación por metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples, algunas veces en conflicto. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la programación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos múltiples. El primer paso en la formulación de un modelo de programación por metas consiste en fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Una vez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiración que corresponde a cada atributo, 2

3 es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar. Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiración, por medio de la introducción de las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Así para el atributo i-ésimo, se tiene la siguiente meta: donde, como es habitual, f(x) representa la expresión matemática del atributo i-ésimo, Ti su nivel de aspiración, ni y pi las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Las variables de desviación negativa cuantifican la falta de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración, mientras que las variables de desviación positiva cuantifican el exceso de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración. Como un nivel de aspiración no puede simultáneamente sobrepasarse y quedar por debajo de él, al menos una de las dos variables de desviación tomarán valor cero cuando la meta alcanza exactamente su nivel de aspiración. Una vez clarificado el significado de las variables de desviación, es importante introducir el concepto de variable de decisión no deseada. Una variable de decisión se dice que no es deseada cuando al centro decisor le interesa que la variable en cuestión alcance su valor más pequeño (esto es cero). Cuando la meta deriva de un atributo del tipo más del atributo mejor (objetivo a maximizar) la variable no deseada (a minimizar), será la variable de desviación negativa (cuantificación de la falta de logro). Cuando por lo contrario, la meta está relacionada con un atributo que significa o resulta mejor (objetivo a minimizar) la variable no deseada (a minimizar) será la variable de desviación positiva. Finalmente, cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiración tanto la variable de desviación negativa como la positiva son variables no deseadas y por tanto variables a minimizar. Es importante destacar que estas variables de desviación llamadas no deseados son las que vamos a considerar en la ecuación objetivo, que siempre en un problema de metas tiene como objetivo la minimización de estas variables no deseadas. 3

4 Características de los problemas de Programación de Metas La Función Objetivo siempre busca minimizar. Por cada meta existirá una restricción meta. Las metas se satisfacen en una secuencia ordinal. Esto es, que las metas que deben clasificarse en orden de prioridad por el tomador de decisiones son satisfechas secuencialmente por el algoritmo de solución. Las metas con prioridad baja se consideran solamente después de que las metas de prioridad alta se han cumplido. La Programación de metas es un proceso de satisfacción, en el sentido de que el tomador de decisiones tratará de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor resultado posible para un solo objetivo. La noción fundamental de la Programación Meta, comprende incorporar todas las metas gerenciales en la formulación del modelo del sistema. En la programación Meta, en vez de intentar minimizar o maximizar la Función Objetivo directamente, como en la programación lineal, se minimizan las desviaciones entre las metas y los límites logrables dictados por el conjunto dado de restricciones en los recursos. Estas variables de desviación, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en programación lineal, toman un nuevo significado en la Programación Meta. Ellas se dividen en desviaciones positivas y negativas de cada una de las metas. El objetivo se convierte entonces en la minimización de estas desviaciones, dentro de la estructura prioritaria asignada a estas desviaciones. Las metas se satisfacen en el orden de prioridad establecido por el tomador de decisiones. Las metas no necesitan satisfacerse exactamente sino tan cerca como sea posible. 4

5 Formulación de un Modelo de Programación de Metas La formulación de un modelo de Programación Meta es similar al modelo de Programación Lineal (P.L). Inicialmente se deben definir las variables de decisión del modelo, después se deben de especificar, al menos teóricamente, todas las metas gerenciales en orden de prioridad. Un paso clave es la identificación y formulación de las restricciones, a los fines de este curso, recomendamos inicialmente formular las restricciones tradicionales del modelos (ya sean de recursos, demandas etc) y posteriormente las restricciones metas (recuerde que por cada meta debe existir una restricción meta). Finalmente proceda a formular la función objetivo, tenga en cuenta que la función objetivo en un problema de programación de metas siempre es de minimizar y las únicas variables que son consideradas en la misma son las variables desviacionales, tal como ya se señaló anteriormente. Formulación de Restricciones Metas En un problema de formulación de metas la formulación de las restricciones metas se considera sumamente relevante para el problema que se está analizando. Una vez que se haya establecido cada una de las metas, se pasa a determinar el nivel de aspiración que corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar. Seguidamente, se conecta cada meta con su nivel de aspiración, por medio de la introducción de las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente: n: variable de desviación negativa, cuantifica la falta de logro de una meta p: variable de desviación positiva, cuantifica el exceso de logro de una meta En general, la meta del atributo i-ésimo se escribe como: ax1 +bx2 +dni - - dpi + = Mi 5

6 Los valores de las variables de desviación son siempre positivas o cero, al menos una de las dos variables de desviación que definen la meta tendrá que ser cero. Las dos variables de desviación tomarán el valor cero cuando la meta alcance exactamente su nivel de aspiración, Mi. Una variable de desviación se dice que es no deseada cuando al centro decisor le conviene que la variable en cuestión alcance su valor más pequeño, es decir, cero. Formulación de la función objetivo La función objetivo para un problema de programación por meta siempre es minimizar alguna combinación de variables de desviación o variables desviacionales. Desde un punto de vista de toma de decisiones administrativa, esto significa que se está buscando la combinación de variables reales por ejemplo (mesas y sillas) que cumplan mejor con todos los objetivos. Esto podría llamarse optimizar un conjunto de objetivos "satisfactorios". La forma exacta de la función objetivo varía según la respuesta a estas dos preguntas: 1. Son conmensurables o proporcionales los objetivos? 2. Cuál es la importancia relativa de cada objetivo? Objetivos conmensurables de igual importancia: este es el caso más sencillo, aunque muy pocas veces se encuentra en la práctica. Aquí los objetivos se miden en una escala común conmensurables y tienen la misma importancia. Ponderación preferente de los objetivos: las ponderaciones de preferencia pueden aplicarse a cualquier grupo de objetivos conmensurables. Las ponderaciones deben reflejar la utilidad o el valor de los objetivos. Rango de prioridad de los objetivos: que pasa cuando los objetivos no son conmensurables, cuando no hay una escala común para 6

7 comparar las desviaciones de los diferentes objetivos?. Este es un caso importante, al que se enfrentan con frecuencia los administradores. Si el administrador puede ordenar o dar un rango para sus metas entonces la solución es posible. Quizás no sea una tarea fácil dar un rango a los objetivos de acuerdo con su importancia pero es algo que la mayoría de las personas entienden y pueden lograr. En la programación por objetivos se le asigna la prioridad P1al objetivo más importante, siguiendo P2 a una prioridad más baja. No existe límite en el número de niveles de prioridad pero debe asignarse una prioridad para cada variable de desviación. Se permiten empates o prioridades iguales. Los problemas de programación por meta se resuelven en orden de prioridad. Es decir, se prueba la optimización en el nivel de prioridad más alto ignorando las prioridades más bajas hasta optimizar este nivel. Aplicaciones de los Modelos de Programación de Metas La programación por metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples o inconmensurables, de acuerdo a la importancia que se le asigne a estas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la programación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos múltiples. La programación meta también es aplicable, entre otras, en las siguientes áreas: 7

8 MERCADEO: Donde las metas conflictivas podrían ser: maximizar la participación del mercado, minimizar los costos de publicidad, maximizar el margen de ganancia por artículo vendido. CONTROL DE INVENTARIOS: Donde es necesario minimizar el número de faltantes y minimizar el costo de almacenaje. PRODUCCION: Donde es necesario minimizar el costo de fabricación, minimizar el número de producto rechazados y maximizar la utilización de recursos. Ejemplos de problemas de Programación de Metas Ejercicio de Metas Con Prioridad Considera la situación de Schwim Manufacturing Company en donde la administración desea alcanzar varias metas. Ahora supondremos que la administración desea ordenar dichas metas en orden de importancia y que la meta más importante tiene prioridad absoluta sobre la siguiente meta más importante y así sucesivamente. Para lograr que las metas de baja prioridad se consideren solamente después de lograr las metas de alta prioridad, se clasifican las metas en k rangos y las variables de desviación asociadas con las metas, se les asigna un número prioritario Pj (j = 1,2,..., k). Los factores de prioridad satisfacen P1>>>P2>>>...Pj>>>Pj+1. Las relaciones de prioridad implican que la multiplicación por n, no importa que tan grande sea n, no puede hacer una meta de baja prioridad tan importante como una meta de alta prioridad (por ejemplo: Pj>nPj+1). Ahora supongamos que la división de bicicletas de Schwim, además de lograr sus $ de meta primaria de utilidad, desea utilizar completamente sus departamentos de ensamblaje y terminación durante la reorganización que se avecina. Esto es, como una meta secundaria, la división desea minimizar el tiempo ocioso. La formulación del modelo es: 8

9 Minimizar Z = P1 (d1- + d1+) + P2(d2-+d3-) S.A. 15x1+25x2 +d1 - - d1 + = 600 x1 +3x2 + d2 - - d2 + = 60 x1 +x2 +d3 - - d3 + = 40 x1, x2, di -,di + = 0 Donde: x1 = Número de bicicletas de 3 velocidades producidas por día x2 = Número de bicicletas de 10 velocidades producidas por día d1 - = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida d1 + = cantidad por encima de la utilidad perseguida d2 - = Tiempo ocioso diario en el departamento de ensamble d2 + = Tiempo extra diario en el departamento de ensamble d3 - = Tiempo ocioso diario en el departamento de terminación. d3 + = Tiempo extra diario en el departamento de terminación. Nota: Puesto que d1 - y d1 + se incluyen en la función objetivo, el modelo intentará lograr exactamente la utilidad diaria perseguida de $600, minimizando tanto las desviaciones positivas como las negativas. Con d2 + d3 + y eliminados de la función objetivo, sin embargo, el modelo no se preocupará del tiempo extra en el departamento de ensamble o terminación e intentará minimizar solamente el tiempo ocioso en estos departamentos. Debido a que la meta de utilidad perseguida es más importante que la meta de minimización del tiempo ocioso, a esta se le asigna prioridad P1. El 9

10 modelo intentará lograr esta meta hasta donde más le sea posible antes de considerar la meta secundaria de minimizar el tiempo ocioso de producción. Ejemplo 2: MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos del tiempo del procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere de 1 onza de material de soldar. El costo se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. como solo se disponen de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tienen en inventario 5500 de onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de maquina y onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel esta considerando la compra de algunos de estos tubos a por-veedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Supóngase que la compañía se ha establecido una meta de ganancia de $ y desea que los costos de importación no superen los $ Formule este modelo como un problema de metas, sabiendo que la meta de ganancia es dos veces más importante que la meta de costos de importación. Tipo Precio de Venta Demanda (pie) Tiempo de Material Costo de Costo ($/pie) Máquina (min/pie) soldar (oz/pie) producción ($/pie) compra ($/pie) de 10

11 CANTIDAD DISPONIBLE 40HR 5500 OZ Identificación de las variables. AP = número de pies de Tubo A por producir BP = número de pies de Tubo B por producir. CP = número de pies de Tubo C por producir. AJ = número de pies de Tubo A por comprar a Japón. BJ = número de pies de Tubo B por comprar a Japón. CJ = número de pies de Tubo C por comprar a Japón. Variables de decisión. P+ = cantidad de dólares en que se excede la ganancia de la meta de $5500 P- = cantidad de dólares que faltan para la ganancia meta de $55000 I+ = cantidad de dólares en que las importaciones exceden la meta de $40000 I - = cantidad de dólares que faltan para que las importaciones alcancen la meta de $ DENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO MINIMIZAR 2P - + I + IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES RESTRICCIONES DE DEMANDA AP + AJ = 2000 (DEMANDA TIPO A) BP + BJ = 4000 (DEMANDA TIPO B) CP + CJ = 5000 (DEMANDA TIPO C) RESTRICCIONES DE RECURSOS 0.5AP BP + 0.6CP 2400 (TIEMPO DE MAQUINA) AP + BP + CP 5500 (MATERIAL DE SOLDADURA) RESTRICCIONES DE METAS 7AP + 8BP + 5CP + 4AJ + 6BJ + 2CJ P + + P - = (META DE GANANCIA) 6AJ + 6BJ + 7CJ I + + I - = (META DE IMPORTACIÓN) RESTRICCIONES LÓGICAS AP, BP, CP, AJ, BJ, CJ, P +, P -, I +, I

12 Bibliografía Anderson, D.; Sweeney, D.; Williams, T. (2004). Métodos cuantitativos para los negocios. México. Editorial Thomson. Eppen, G.; Gould, F. J.; Moore, J.; Schmidt. C.; Weatherford, L. (1998). Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. México. Editorial Prentice Hall Hillier, F.; Liberman, G. (2001). Investigación de Operaciones. México. Editorial Mc. Graw Hill. Mathur, K.; Solow, D (1996). Investigación de Operaciones. El arte de la toma de decisiones. México. Prentice Hall. Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. México. Perason Prentice Hall. Wayne, W. (2005). Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. México. Editorial Thomson. 12