E. U. de Ingeniería Técnica Industrial de Zaragoza Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería (Electricidad)

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "E. U. de Ingeniería Técnica Industrial de Zaragoza Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería (Electricidad)"

María Luz Camacho Cortés
hace 7 años
Vistas:

1 0. Un cuadro de 2 metros de altura está colgado en una pared a una altura de 4 metros. A un metro del suelo y a una distancia metros de la pared se sitúa el objetivo de una cámara fotográfica. Véase la figura. a) Escribe cómo calcular el ángulo bajo el que se contempla el cuadro (desde el objetivo fotográfico) en función de (NO lo hace el ordenador), es decir, completa ang( ) = b) Pide a Mathematica que trace la gráfica de la función ang [ ] en un intervalo adecuado. c) Calcula el valor de la distancia a la que debe colocarse el objetivo para que el ángulo ang [ ] 0 sea máimo y cuál es ese ángulo Cámara ang[] Suelo máimo. d) Cómo se comporta ang [ ] cuando el objetivo se acerca a la pared ( 0 )? Y cuando se aleja? Razona tus respuestas gráfica y simbólicamente. e) A la vista de todo el estudio realizado describe la evolución del ángulo bajo el que se contempla el cuadro conforme la cámara fotográfica se aleja de la pared. 1. Una empresa estima que el coste de producción de miles de unidades de cierto producto viene determinado por C() = , en miles de euros. a) Determina la función coste por cada mil unidades fabricadas. Dibújala. b) Cuál es el coste de producción si no fabrica ninguna unidad? c) Esa empresa desea saber cuántos miles de unidades de producto debe fabricar para que sea mínimo el coste por mil unidades. Averígualo. d) Mirando la grafica de la función coste por mil unidades, estima cuántos miles de unidades, como mucho, debería fabricar si no se desea sobrepasar un coste de producción de euros. Usa el método de Newton-Raphson para calcular un valor aproimado de esos miles de unidades (hay una orden de Mathematica que ejecuta ese método).

2 2. La velocidad v de una paracaidista que cae está dada por v(t) = gm c 1 e c m t, donde g = 980 cm/seg 2. Si sabemos que la masa del paracaidista es m = gramos y que alcanza una velocidad v = 600 cm/seg en el instante t = 6 segundos, hay que calcular un valor aproimado del coeficiente de rozamiento c. Para ello, responde a las siguientes preguntas: a) Escribe la ecuación que ha de resolverse. b) Averigua gráficamente un valor aproimado de c. c) Usa el método de Newton-Raphson para calcular un valor aproimado de c (hay una orden de Mathematica que ejecuta ese método). Suponiendo que la caída del paracaidista se realiza en el vacío, c 0, determina a partir de v(t) = gm c 1 e c m t la fórmula de la velocidad de caída. En este caso, la velocidad de caída depende de la masa del paracaidista?. Una droga suministrada a un paciente produce una concentración en la sangre dada por ct () = Ate t mg./ml., t horas después de haberle inyectado A unidades. a) Dibuja la función y calcula su valor máimo. y() t te t = b) Usa el resultado del apartado a) para decidir cuál es el valor máimo de ct () Ate t = y la hora a la que se alcanza. c) Sabiendo que la máima concentración sin peligro para el paciente es 1 mg/ml., qué cantidad A debe ser inyectada para alcanzar la máima concentración de seguridad y cuando se alcanza este máimo? d) Una cantidad adicional de esta droga se tiene que administrar al paciente cuando la concentración decae a mg/ml; determinar, al minuto más próimo, cuando debe darse esta segunda inyección.

3 4. Si se compra a plazos un producto que vale E euros y se acuerda pagarlo con k pagos fijos mensuales de M euros, entonces el interés mensual del préstamo por euro, i, cumple la siguiente ecuación: M E = 1 i 1 ( 1+ i) k. Una persona va a comprar un coche usado por euros y se acuerda pagarlo en 24 mensualidades de 250 euros cada una. a) Deduce a partir de la ecuación anterior que el interés mensual i verifica la ecuación polinómica i( i) ( i) = 0. b) Dibuja la función del primer miembro en un dominio de i adecuado (realista). c) Aplicar el método de Newton-Raphson para calcular un valor aproimado de i, comenzando en i = y efectuando iteraciones, primero, y 15 iteraciones, después (hay una orden de Mathematica que ejecuta ese método). 5. Un avión comienza su descenso desde una altura y = metros en = 100 Km. (100 Km. antes de tomar tierra) para tomar contacto con tierra en ( 0,0 ). a) Determina los valores de a, b, c y d de forma que la trayectoria de descenso 2 y = a + b + c+ d sea derivable. Ayuda: Para averiguar los valores de esas cuatro constantes necesitas plantear cuatro condiciones conocidas sobre la trayectoria. Dos de ellas se refieren a la altura e inclinación del avión en el punto = 100 y las otras dos a lo mismo sobre el punto = 0. b) Dibuja la trayectoria del avión desde que comienza la maniobra de descenso ( = 100 Km.) hasta que toma tierra ( = 0 ). c) A qué distancia (horizontal) de la toma de tierra desciende el avión a mayor velocidad? Cuál es esa velocidad máima de descenso y a qué altura está el avión?

4 6. Un campo de fútbol tiene forma rectangular de dimensiones: 90 metros de largo por 55 metros de ancho. Las porterías, que están centradas en cada uno de los lados estrechos del campo, miden 7 metros. 7m a. Determina el ángulo con el que se ve la portería desde la banda a metros del fondo. b. Dibuja la función [ ]. * 90 metros c. Calcula el ángulo bajo el que se ve la portería desde la esquina del campo de la portería contraria. 55 metros d. Averigua desde qué punto de la banda del campo se ve la portería con el máimo ángulo posible (se trata, pues, del punto desde el cual será más fácil meter gol). Cuál es ese máimo ángulo, en radianes y en grados seagesimales? 7. Un pequeño lago tiene un etremo a 256 metros de la autopista A1 y a 108 metros de la autopista A2, como indica la figura. Se quiere averiguar el camino más corto que une las dos autopistas y pasa por el borde del lago. Para ello responde a las siguientes cuestiones: a) Suponiendo que las autopistas A1 y A2 son los ejes de coordenadas, escribe la ecuación de la recta o camino que une ambas autopistas en la forma punto-pendiente. Qué coordenadas tienen los puntos pendiente m? PQ P y Q en función de la ( ) b) Escribe la función distancia de P a Q : d m. Dibújala en el dominio adecuado de m. c) Halla la mínima longitud o camino más corto que une ambas autopistas.

5 8. Una torre, como la de la figura, tiene una anchura de 1.5 metros. Como se necesita introducir una barra rígida de 2.5 metros de longitud, se ha de abrir una puerta por el lateral de la torre que tenga la mínima altura necesaria. Responde a las siguientes cuestiones: a) Averigua el valor del cos en función de la distancia y deduce el valor de tan. b) Usa la fórmula anterior de ta n para escribir la altura h de la puerta en 2.5 m. función de. Dibuja h( ). c) Calcula la máima altura h necesaria 1.5 m. h para que pase la barra. d) Cuántos centímetros deberá tener la puerta? 9. Un lazo corredizo abraza un poste de sección cuadrada de 40 cm. de lado. Se tira de la cuerda, cuya longitud es de 2.5 metros, perpendicularmente a una cara (en su punto medio). Se pretende hallar en qué punto se detiene el nudo. Para ello se debe maimizar la distancia desde el etremo de la cuerda hasta el punto medio de la cara. Responde a las siguientes preguntas con el fin de resolver el problema indicado a) Escribe la longitud del trozo de cuerda b y la distancia c (del nudo al centro del lado del cuadrado) en función del ángulo. 40 cm b) Determina la longitud del trozo de cuerda a en función del ángulo. c) Epresa la distancia en función del ángulo y representa gráficamente la función hallada ( ) en el dominio del problema de modo que se vea claramente cómo es el crecimiento o decrecimiento de la función. d) Determina matemáticamente el ángulo en el que se alcanza el máimo valor de. Cuál es ese valor máimo de? c b a nudo

Documentos relacionados

x 2-4 intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión.

x 2-4 intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión. . [ANDA] [JUN-A] De la función f: definida por f() = a 3 +b +c+d se sabe que tiene un máimo en = -, que su gráfica corta al eje O en el punto de abscisa = y tiene un punto de infleión en el punto de abscisa