georreferenciación lección 11 correcciones geométricas Teledetección Dpto. de Ingeniería Cartográfica Carlos Pinilla Ruiz

Transcripción

1 1 georreferenciación lección 11

2 sumario 2 Introducción. Corrección polinómica. Establecimiento de los puntos de control. Funciones de transformación. Transferencia de los ND. Desplazamiento debido al relieve. Modelización matemática.

3 introducción 3 La imagen de satélite no es una cartografía. Se requiere corregir geométricamente la imagen y georreferenciarla para hacer de ella un producto cartográfico. Las son transformaciones puntuales: Se cambian de posición la celdas originales, sin alterar sus ND.

4 formas de corrección 4 La corrección geométrica de la imagen es imprescindible para: superponer cualquier información cartográfica auxiliar. realizar estudios multitemporales. Formas de corregir la imagen: deformar de la imagen original hasta hacerla coincidir con la cartografía. corregir las anomalías sistemáticas mediante modelización matemática.

5 métodos polinómicos 5 Las nuevas coordenadas de un determinado punto podrán ponerse en función de las originales: donde: (, ) (, ) (, ) (, ) u = f x y = f c l 1 2 v = g x y = g c l 1 2 u,v son las nuevas coordenadas corregidas. x,y o c,l son las coordenadas-imagen originales.

6 corrección polinómica 6 Son métodos basados en la búsqueda de una función que transforma las coordenadas de un conjunto de puntos de control en coordenadas corregidas. Posteriormente esas funciones son aplicadas al resto de las celdas de la imagen original. Etapas: Selección de los puntos de control. Cálculo de los coeficientes de los polinomios de ajuste. Transferencia de las celdas a sus nuevas posiciones. Remuestreo.

7 establecimiento de puntos de control 7 Los puntos de control son puntos de los que se conocen sus coordenadas reales y las coordenadas matriciales de sus homólogos en la imagen. Deben ser elegidos en accidentes del terreno que permanentes, como cruces de caminos. La calidad del ajuste depende de tres factores: Número de puntos. Mínimo matemáticamente necesarios: Polinomios de primer grado: 3 puntos. Polinomios de segundo grado: 6 puntos. Polinomios de tercer grado: 10 puntos. Se aconseja tomar no menos del doble matemáticamente necesarios para el ajuste. Es preferible tomar un número considerablemente mayor de puntos. Localización de los puntos. Rigor en la localización geométrica exacta. Distribución de los puntos en la imagen: Deseable una distribución uniforme. Siempre preferible la interpolación a la extrapolación.

8 funciones de transformación 8 Las funciones que transforman las coordenadas actuales (x,y) de los puntos de control en coordenadas corregidas (u,v) del mapa de referencia son polinomios, cuya forma genérica es: donde n representa el grado del polinomio. n p u = a x y p= 0 n q = 0 n p v = b x y n=1: traslación, rotación y cambios de escala. n=2: la transformación incluye correcciones residuales aleatorias. n=3: corrección más depurada. n p= 0 q = 0 pq pq Los coeficientes a pq y b pq se determinan por ajuste mínimo-cuadrático a partir de las coordenadas primitivas y corregidas de los puntos de control. p p q q

9 polinomios de primer grado 9 El caso más sencillo es el de ajuste lineal, en el que las coordenadas corregidas (u,v) se encuentran en función de las coordenadas (x,y) de los puntos de control de la imagen sin corregir: u = a0 + a1x + a2y v = b + b x + b y Al ser 3 las incógnitas para cada una de las dos variables, su resolución, al menos, requerirá un sistema de 3 ecuaciones, por lo que éste será el mínimo número de puntos a emplear en este ajuste.

10 polinomios de segundo grado 10 Si el ajuste se realiza mediante polinomios de segundo grado, las ecuaciones a plantear serán las siguientes: u = a0 + a1x + a2y + a3xy + a4x + a5y 2 2 v = b + b x + b y + b xy + b x + b y Para la resolución de los coeficientes se necesitará un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas para cada una de las variables. Por ello, el mínimo número de puntos de control a utilizar en un ajuste de segundo grado deberá ser de

11 polinomios de tercer grado 11 Un ajuste de tercer grado exigiría plantear el siguiente sistema: u = a + a x + a y + a xy + a x + a y + a xy + a x y+ a x + a y v = b + b x + b y + b xy + b x + b y + b xy + b x y+ b x + b y Para cuya resolución se requiere un mínimo de 10 puntos

12 control de calidad 12 Las funciones polinómicas de corrección definen lo mejor posible los cambios de posición que han de sufrir los puntos de control. Estos cambios no obedecen en términos generales a transformaciones matemáticas simples, debido a la aleatoriedad de las distorsiones. Las funciones encontradas serán aquéllas que satisfagan al máximo las posiciones de todos los puntos de control, estableciendo un compromiso entre ellos, de tal modo que los cuadrados de las desviaciones sea mínimo. El indicador más utilizado para medir la calidad del ajuste es el error medio cuadrático (RMS).

13 error medio cuadrático en el ajuste 13 RMS = n i = 1 ( u X ) + ( v Y ) [ 2 2 ] i i i i n donde: (X i,y i ) son las coordenadas reales de los puntos de control. (u i,v i ) son las coordenadas estimadas para los puntos de control a partir de la aplicación de las funciones de ajuste n es el número de puntos de control utilizados.

14 desplazamiento debido al relieve 14 A pesar de la corrección geométrica persisten las distorsiones debidas al relieve. Para eliminar el desplazamiento debido al relieve habrá que someter la imagen a un proceso de rectificación diferencial punto a punto. Si el desplazamiento de cualquier celda es inferior a la resolución espacial de la imagen, puede prescindirse de esta corrección.

15 desplazamiento debido al relieve 15 Desplazamiento debido al relieve: Δr = r Δh h siendo: r Δh Δr h = distancia del punto al nadir de la imagen. = altura del punto. = fracción de esa distancia imputable a Δh. = altura del satélite.

16 desplazamiento debido al relieve 16 Δr = r Δh h

17 rectificación n diferencial 17 La rectificación de la imagen supone la sustracción del desplazamiento para cada celda de la imagen. Para cada coordenada por separado será: X Y = = x Δu y Δy Δh = x 1 h Δh = y 1 h En la práctica, se toma el valor de Δh de un modelo digital del terreno (MDT).

18 remuestreo 18 Las celdas corregidas deben estar en posiciones enteras de columna y línea. Sin embargo, tras la corrección geométrica, la posición asignada es el valor de salida del polinomio de ajuste, que serán en general un número real. El remuestreo es el proceso por el cual la imagen transformada es adaptada a la rejilla del sistema, para lo cual se recalculan los ND de cada posición en función de los de su entorno.

19 la imagen transformada 19

20 métodos de remuestreo 20 Se trata de encontrar para cada posición un ND que exprese el valor radiométrico más fiel al original. Tipos de remuestreo (resampling): Vecino más próximo. Interpolación bilineal. Convolución cúbica. Terminología: Imagen transformada: la resultante de la transformación geométrica mediante las funciones de ajuste. Imagen corregida: la resultante del remuestreo de la transformada.

21 vecino más m s próximo 21 El método del vecino más próximo consiste en asignar a cada celda el ND correspondiente al de la posición más cercana. Algebraicamente se puede expresar: f ( m, n) f f = f f ( x, y) Δx< 0,5Δy< 0,5 ( x+ 1, y) Δx 0,5Δy< 0,5 ( x, y+ 1) Δx< 0,5Δy 0,5 ( x+ 1, y+ 1) Δx 0,5Δy 0, 5 donde: f (x,y) = ND de la imagen transformada (número real). f (n,m)= ND de la celda (n,m) en la imagen corregida.

22 vecino más m s próximo 22 m = x + Δx 0 Δx 1 n = y + Δy 0 Δy 1 Este procedimiento no altera los ND de la imagen original, sino solamente los traslada. Puede introducir fracturas en el trazado de los rasgos lineales de la imagen (efecto escalera). Es el único método utilizable en la corrección de imágenes con información cualitativa, como son las imágenes clasificadas.

23 interpolación bilineal 23 La interpolación bilineal asigna a la celda corregida la media ponderada de los ND correspondientes a las cuatro posiciones más cercanas de la imagen transformada. El peso asociado a cada nivel digital es proporcional a la proximidad entre ellos (1-Δx, 1-Δy), medida entre centros de celdas.

24 interpolación bilineal 24 Ponderación de los ND: (, ) = (, ) + ( + 1, ) + (, + 1) + ( + 1, + 1) f m n c f x y c f x y c f x y c f x y c i son los factores de ponderación asignados a los cuatro niveles digitales de entrada: c c c c ( 1 Δ x) ( 1 Δ y) x ( 1 Δ y) ( 1 Δ x) Δy = = Δ = = ΔxΔy

25 interpolación bilineal 25 Este método produce resultados suavizados, pues las cuatro posiciones más próximas contribuyen al ND final. Es apropiado cuando se trata de corregir imágenes con información cuantitativa.

26 convolución cúbica 26 La convolución cúbica es un interpolador que emplea polinomios de tercer orden. Se involucran las dieciséis celdas más cercanas al punto considerado. Los ND se interpolan linealmente en grupos de cuatro líneas de cuatro píxeles cada una para formar cuatro interpolantes. Posteriormente se realiza otra interpolación lineal entre los cuatro valores obtenidos para asignar el resultante a la celda corregida.

27 convolución cúbica 27

28 convolución cúbica 28 Cálculo de los cuatro interpolantes: ND final: f f [ ] ( 2) [ ] f ( x+ 1) + [ ] ( x) [ ] f ( x 1 ) 3 2 ( m) = ( Δx) ( Δx) f x+ 3 2 ( Δx) ( Δx) ( Δx) ( Δx) 2( Δx) + 1 f 3 2 ( Δx) 2( Δx) + ( Δx) [ ] ( 2) [ ] f ( m+ 1) + [ ] ( m) [ ] f ( m 1 ) 3 2 ( m,n) = ( Δy) ( Δy) f m+ 3 2 ( Δy) ( Δy) ( Δy) ( Δy) 2( Δy) + 1 f 3 2 ( Δy) 2( Δy) + ( Δy)

29 modelización matemática tica 29 Cuando las distorsiones son sistemáticas pueden ser corregidas con algunas transformaciones simples: Traslación: Inclinación: Cambio de escala: u = x + a v = y + b u = x + ay v = y u = ax v = by Traslación Inclinación Cambio de escala

30 modelización matemática tica 30 Perspectiva: u v = = axy y Perspectiva Rotación: u v = cos θx + senθy = senθx + cos θy θ Rotación

31 corrección n automática tica de imágenes 31 Algunas distorsiones típicas en las imágenes espaciales pueden corregirse aplicando operadores sencillos: Oscilación de la plataforma. Se corrige mediante transformaciones polinómicas. Rotación terrestre. Desplazamiento de la línea de barrido Landsat 5: 1,579 m = -0,0526 celdas. u 1 = v 0 0, x y

32 corrección n automática tica de imágenes 32 Distorsión de aspecto. La razón entre las dimensiones de una celda MSS es 56/79 = 0,709: u 1 = v 0 Efecto panorámico. u v = 0 x 0, 709 y ( h x) arctg( x h) x y

33 corrección n automática tica de imágenes 33 Inclinación de la órbita Siendo θ el ángulo formado por la traza del satélite y el paralelo del lugar: u v = cos θ senθ senθ x cos θ y

34 corrección n automática tica de imágenes 34 Combinación de correcciones. La corrección de varias distorsiones simultáneamente se acomete mediante el producto de las matrices de transformación. Ejemplo: eliminación del desplazamiento por rotación y por la inclinación de la órbita: u 1 α cos θ senθ x = = v 0 1 senθ cos θ y cos θ + αsenθ senθ α cos θ x = senθ cos θ y