Información cuán.ca, una introducción. Lección 3

Transcripción

1 Información cuán.ca, una introducción. Lección 3 Luis A. Orozco Escuela Avanzada de Verano, Julio 2012

2 Revision de los Postulados de la Mecánica Cuán.ca Un estado (puro) del sistema describiendo nuestro conocimiento del sistema esta dado por un vector en el espacio de Hilbert, ψ. Un observable físico es un operador lineal Hermítico A ˆ cuyos (reales) eigenvalores { a} determinan los resultados posibles de una medición. Dado el estado ψ, y la medición de A ˆ, la probabilidad de encontrar el eigenvalores a está dada por, p a ψ = a ψ 2 donde a es el eigenvector de A ˆ. Tras encontrar el valor a el estado colapsa, cambia ψ a En un sistema cerrado la dinámica del estado está determinada por la ecuación de Schrödinger equation ---> Mapa unitario que preserva el producto interno. a mi conocimieto

3 Dos preguntas de la lección anterior: Como es eso de repetir la medición? Volver a las condiciones iniciales del sistema para luego obtener el resultado. Cuál es el problema mas grave de la computación cuántica y por qué? El enredamiento que sabemos utilizar es muy fragil, cualquier interacción con el medio ambiente puede afectarlo. Es mucho mas frágil que la coherencia (superposición).

4 Representacion en la esfera de Bloch Estado (puro) general: ψ = α 0 + β 1 Dos parámetros son necesarios pare especificar el estado: la probabilidad relativa y una fase. α = cos(θ /2), β = e iφ sin(θ /2); 0 θ < π, 0 φ < 2π 0 α β 2 1 α 2 + β 2 = 1 El espacio de Hilbert en 2D es la superficie de una esfera ( ) φ 0 θ ψ = α 0 + β ( ) 1

5 Representacion en la esfera de Bloch Estado (puro) general: ψ = α 0 + β 1 Dos parámetros son necesarios pare especificar el estado: la probabilidad relativa y una fase. α = cos(θ /2), β = e iφ sin(θ /2); 0 θ < π, 0 φ < 2π 0 α β 2 1 α 2 + β 2 = 1 El espacio de Hilbert en 2D es la superficie de una esfera z ψ = n x y y x Esfera de Bloch z

6 Representacion en la esfera de Bloch Estado (puro) general: ψ = α 0 + β 1 Dos parámetros son necesarios pare especificar el estado: la probabilidad relativa y una fase. α = cos(θ /2), β = e iφ sin(θ /2); 0 θ < π, 0 φ < 2π 0 α β 2 1 α 2 + β 2 = 1 El espacio de Hilbert en 2D es la superficie de una esfera H ψ = ε D + R L D Esfera de Poincaré Polarización V

7 Matrices de Pauli X = σ x = , Y = σ = 0 i y i 0, Z = σ = 1 0 z 0 1 Observables que pueden medirse en un analizador Stern- Gerlach (polarizadores) respecto a los ejes x,y,or z. { } Eigenvalores, ±1. Eigenvectores, x,y,z, x,y,z Mediciones incompatibles. Commutator: [ σ i,σ ] j = 2iε ijk σ k e.g. XY YX = 2iZ Anticomutan: XY = YX, XZ = ZX, YZ = ZY Hermítica y unitarias X 2 = Y 2 = Z 2 = I

8 Observables de Pauli generalizados σ n = cosθ Z + sinθ( cosφ X + sinφ Y) n Eigenvalores: ±1. Eigenvectores Dinámica cuántica (sistema cerrado); Matriz unitaria Rotación en la esfera de Bloch (eje/ángulo) R n (Θ) = exp{ iθσ n /2} = cos(θ /2)I isin(θ /2)σ n n n Θ U(2): e iα R n (Θ)

9 Operaciones de Pauli como unitarias X = ir x (π) = iexp iπ X /2 ( ) = X 0 = 1 X 1 = 0 Flip del bit ( NOT ) Z = ir z (π) = iexp iπ Z /2 ( ) = Z 0 = 0 Z 1 = 1 Cambio de signo, Flip de la fase

10 H = ir e x +e y 2 Matriz de Hadamard ( π) = i cos π 2 I isinπ 2 X + Z 2 = X + Z 2 = Rotación alrededor de e x + e z por e z 1 2 e x + e z e x ( ) Cambio de bases X-->Z HZH = X HXH = Z H 0 = 1 ( ) = x + H 1 = 1 ( ) = x

11 Ejemplo: Polarización de un Fotón (I) ε = cosθe H + sinθe V = cosθ H + sinθ V = cosθ sinθ ˆ Z H Z ˆ = Eigenvalores/vectores +1 H = V = 0 1 ε θ 2 V p H = H +1 θ = cos 2 θ ˆ Z θ = +1 θ p V = V +1 θ ˆ Z +1 θ 2 = sin 2 θ = cos 2 θ sin 2 θ = cos(2θ)

12 Ejemplo: Polarización de un Fotón (II) Estado: Vector complejo de polarizacion normalizado ε, ε ε = 1 Bases ortonormales: { e H,e V } { e D+,e D } e R,e Llamemos {H,V} { L } la base estandard e H = 1 0 e = 0 V 1 e D + = e = 1 D e R = i e L = i Tres observables (incompatibles): (D +,D - ) (R,L) (H,V) X = Y = 0 i i 0 Z = Matrices de Pauli con eigenvalores ±1

13 Eigenestados de un Analizador General Lineal de Polarización Definicion: σ ˆ φ cos2φ Z ˆ + sin2φ X ˆ = cos2φ sin2φ = cos2φ sin2φ sin2φ cos2φ Eigenvectores/valores ˆ σ φ ±1 φ = ±1 ±1 φ +1 φ = cosφ sinφ 1 φ = sinφ cosφ Toda polarización lineal es +1 eigenvector de algún ˆ σ φ e φ = cosφ H + sinφ V = +1 φ 0 φ < π

14 Estadís.ca de mediciones básicas (I) ε = cosθe H + sinθe Vˆ σ φ +1 φ +1 θ p +1 = +1 φ +1 θ 2 = cos 2 ( φ θ) 1 φ 2 p 1 = 1 φ +1 θ = sin 2 ( φ θ) σ ˆ φ = +1 θ θ σ ˆ φ +1 θ = cos 2 ( φ θ) sin 2 ( φ θ) = cos 2( φ θ) [ ]

15 Probabilidades conjuntas de eventos múl.ples Ejemplo: conversion paramétrica hacia abajo espontanea BBO Contador de Coincidencias Correlaciones: Probabilidades conjuntas P HH =?

16 Sistemas de multipartículas y el producto tensorial Multiples Grados de Libertad Considere un sitema físico con muchos grados de libertad (e. g. muchas partículas.) Los estados puros del i th subsistema son descritos por un vector en un espacio de Hilbert h i, ψ i h i. El estado conjunto de todo el sistema es un vector en el espacio del producto tensorial: Ψ H = h 1 h 2 h n Ejemplo: Sistema bipartita de dos fotones H = C 2 C 2 = C 2 ( ) 2 En cuatro dimensiones ψ 1 = α β, φ = γ ψ 1 φ 2 = α 2 δ β γ δ = αγ αδ βγ βδ

17 Producto Tensorial: Estructura Formal Espacio de Hilbert bipartita conjunto: H AB = h A h B Base ortonormal de ha Base ortonormal de h B { e } i A i = 1,,d A { } f j { E = e f = e i, j AB i A j B i f j = e i, f j = ij } B j = 1,,d B base producto ortonormal del espacio conjunto Vector del estado (general): Ψ AB = c ij e i f A j B ij c ij = ( e f ) i A j Ψ AB = ij Ψ AB B p(i and j) = ij Ψ AB 2 = cij 2

18 Probabilidades no correlacionadas Considere un estado producto en el espacio conjunto de Hilbert H AB Ψ AB = ψ A φ B La Probabilidad de Medir: P(A = i and B = j) = ( e f ) i A j Ψ AB = P(A = i)p(b = j) B 2 = ei ψ A 2 f j φ B 2 Estado Producto Eventos estadisticamente no correlacionados Estado separable

19 Estados Entrelazados Eventos Correlacionados cuánticamente = Superposición del proceso conjunto. Feynman: Sumar las amplitudes de probabilidad para procesos indistinguibles. Señal Alice Bomba BBO Vago (Idler) Bob Conversión Tipo II : Señal y el Vago tienen polarizaciones opuestas. Pero cuál? El proceso no las distingue --> superposición. Ψ si = 1 2 ( H V V H s i s i) ψ s φ i

20 Entrelazamiento y colapso correlacionado Supongamos que se hace una medicion de la polarizacion del fotón señal en la base H-V y se encuantra como resultado H. Cuál es el estado posterior a la medición? Ψ si H s H s Ψ si = 1 2 H H H s s V H H V s i s s H s i H V s i 1 El estado del fotón vago colapsa debido a la medición de la señal. 0 Lo que Alice sabe a cerca del fotón de Bob es afectado por su medición, pues ella sabe que los fotónes están correlacionados.

21 Correlación Clásica

22 Correlación Clásica Yo obtuve verde. Bob debe haber obtenido rojo. Yo obtuve rojo. Alice debe haber obtenido verde.

23 Correlación clásica Yo obtuve rojo. Bob debe haber obtenido verde. Yo obtuve verde. Alice debe haber obtenido rojo. Nota: Los resultados de Alice y Bob son aleatorios, pero perfectamente correlacionados.

24 Singlete : An.correlacionados en cualquier base Señall Bomba BBO Vago

25 Singlete : An.correlacionados en cualquier base Señal Bomba BBO Vago

26 Singlete : An.correlacionado en cualquier base Prueba: Estado entrelazado del sistema conjunto Ψ si = 1 2 ( H V V H s i s i) Medicion del fotón señal σ ˆ φ eigenvectores +1 φ = cosφ sinφ 1 φ = sinφ cosφ Ψ si 1 φ 1 s φ Ψ = 1 si 2 1 φ 1 s φ H V 1 s i φ cosφ 1 s φ V H s i sinφ 1 φ cosφ V s ( i sinφ H i ) = 1 φ 1 s φ i Si el fotón señal se encuantra alineado con el ángulo φ, el vago se encuentra en la polarización ortogonal.

27 Correlación Clásica

28 Correlación Clásica Yo obtuve verde. Bob debe haber obtenido rojo. Yo obtuve rojo. Alice debe haber obtenido verde.

29 Correlación Clásica I obtuve naranja. Bob debe haber obtenido azul. Yo obtuve azul. Alice debe haber obtenido naranja. (D (R,L) (H,V) +,D - ) Pero... X = Y = 0 i i 0 Z = INCOMPATIBLE. No se pueden medir simultáneamente.

30 Correlación Clásica Yo obtuve verde. Bob debe haber obtenido rojo. Yo obtuve rojo. Alice debe haber obtenido verde.

31 Correlación Clásica Yo obtuve amarillo. Bob debe haber obtenido púrpura. Yo obtuve púrpura. Alice debe haber obtenido amarillo.

32 Correlación Clásica Yo obtuve amarillo. Bob debe haber obtenido púrpura. Yo obtuve rojo. Alice debe haber obtenido verde. (resultado aleatorio) Los resultados no están correlacionados.

33 Paradoja EPR Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Puede la Descripción de la Realidad física mecanico cuántica ser considerada completa? A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935) Si, sin perturbar en modo alguno un sistema, podemos predecir con certeza (es decir, con probabilidad igual a la unidad). el valor de una cantidad física, entonces existe un elemento de realidad física correspondiente a esta cantidad física EPR sostienen que, por su definición de propiedades realistas", la mecánica cuántica está "incompleta", ya que no puede dar predicciones definitivas de los resultados de las mediciones que tienen un valor definido (variables ocultas).

34 El Argumento EPR (Versión debida a David Bohm, 1950) Considere el estado entrelazado, Ψ AB = 1 ( 2 H V V H A B A B ) Z ˆ Si Alice fuera a medir en su fotón, ella puede, sin que en modo alguno afecte a Bob, determinar si el encontrará H o V si lleva a cabo una medición. El valor de Bob Z ˆ es un elemento de la realidad. ˆ X ˆ Si Alice fuera a medir en su fotón, ella puede, sin que en modo alguno afecte a Bob, determinar si el encontrará D + o D - si lleva a cabo una medición El valor de Bob ˆ es un elemento de la realidad. ˆ X Los estados mecánico cuanticos no pueden dar un valor simultaneo definitivo tanto a ˆ y ˆ pues estos operadores no conmutan. Z X Los estados mecánico cuánticos no son una descripción completa del mundo físico y puede ser completado mediante variables ocultas Z X

35 John Bell: Variables ocultas puestas a prueba Bell tomó EPR en serio, 30 años después the la publicación original preguntó si EPR tenía algúna consecuencia medible. Sorprendentemente...SI! Desigualdad de Bell. J.S. Bell, Physics (1964).