ÓPTICA GEOMÉTRICA. Óptica Geométrica

Transcripción

1 Departamento de Fíica Química ÓPTICA GEOMÉTRICA Un itema óptico e un conjunto de ditinto medio materiale limitado por uperficie. A travé del itema óptico e mueven lo rao luminoo, que on reverible en u propagación (e propagan igual en un entido que en el opueto) e independiente entre í (u propagación no e altera al cruzare con otro rao). El objetivo de la óptica geométrica e obtener, a partir de un objeto, la caracterítica de la imagen que de dicho objeto forma el itema. Mediante u lee podemo aprovechar la caracterítica de lo itema óptico para mejorar la percepción (aumento, diminución, enfoque, corrección de defecto, etc.) El cerebro itúa el objeto que emite lo rao luminoo en la dirección en que el ojo lo recibe (e decir conidera que han recorrido una línea recta dede el objeto hata él, aunque no e aí cuando cambia el índice de refracción. Si todo lo rao que parten de un punto objeto confluen en otro tra atravear el itema óptico el itema e etigmático. El punto donde confluen e el punto imagen. Cuando no todo lo rao e cruzan en el mimo punto e produce una aberración, que impide obervar la imagen con nitidez. En lo itema óptico evitamo ete hecho coniderando la aproximación paraxial. Aproximación paraxial: Lo ángulo de lo rao con repecto al eje óptico on pequeño, e cumple para todo ello en tag Eto ignifica que el radio e grande comparado con la ditancia h con repecto al eje con la que incide el rao obre el itema. Eje óptico: recta en la que e encuentran lo centro de curvatura de lo aparato que forman el itema óptico. Vértice: punto origen O del itema. E el punto de corte del elemento (epejo, dioptrio o lente) con el eje óptico. Foco objeto: punto del eje óptico del que parten rao que al atravear el itema e propagan paralelo al eje óptico (formarían u imagen en el infinito). Foco imagen: punto del eje donde confluen lo rao que procedente del infinito propagándoe paralelo al eje óptico han atraveado el itema. Ditancia focal objeto f : la mínima ditancia que ha dede el vértice del itema al foco objeto. Ditancia focal imagen f : la mínima ditancia que ha dede el vértice del itema al foco imagen. Imagen real e imagen virtual: E real i e forma al hacer concurrir en un punto, rao que convergen procedente de un objeto. E virtual i lo rao procedente del objeto divergen e u prolongación la que concurre en un punto. Imagen derecha e imagen invertida: E derecha i etá en la mima orientación del objeto, invertida i u orientación e la contraria. CONVENIO DE SIGNOS: Tanto lo objeto como u imágene e repreentan mediante flecha. La magnitude referida a la imagen e identifican con el mimo igno que la del objeto añadiéndole el igno prima. Ej: Si el tamaño del objeto e el de la imagen e. La luz incide dede la izquierda e propaga hacia la derecha. La ditancia medida hacia la izquierda del vértice del itema óptico (de la uperficie o lente), en una dirección opueta a la propagación de la luz, e conideran NEGATIVAS. La ditancia medida hacia la derecha de ee vértice on POSITIVAS (como en un itema de eje carteiano). En la dirección vertical, la magnitude por encima del eje on POSITIVAS, la magnitude por debajo del eje on NEGATIVAS (igual que en eje carteiano). Lo ángulo medido en el entido de la aguja del reloj dede el eje óptico, o dede una uperficie normal, on poitivo. Lo ángulo medido en entido opueto on negativo. Pág.

2 SISTEMAS ÓPTICOS. Departamento de Fíica Química Pueden etar formado por uno o má de lo iguiente elemento o combinacione de ello: Dioptrio Plano.- E una uperficie tranparente plana que epara do medio con diferente índice de refracción. En él e cumple la le de Snell: n en î = n en rˆ iendo î el ángulo que forma el rao incidente con la normal al dioptrio rˆ el ángulo que forma el rao refractado con la normal. Cuando la luz paa de un medio rápido a uno lento (de maor índice) lo rao e acercan a la normal vicevera. En ete cao, i el ángulo de incidencia e hace maor, el rao refractado puede llegar a alejare tanto de la normal que e propague por la línea de eparación de lo medio ( rˆ ería 90º) in paar al otro medio. Al ángulo de incidencia para el que ocurre ete fenómeno e le denomina ángulo límite i e hace aún maor el ángulo de incidencia e produce el fenómeno de la reflexión total (no paan rao al otro medio). Dioptrio Eférico.- E una uperficie que epara medio homogéneo e iótropo con índice de refracción ditinto, tiene forma eférica, con centro en C radio R. Epejo plano.- Superficie lia capace de reflejar prácticamente el 00% de la luz incidente. La formación de imágene e explica con la lee de la reflexión. La imagen que e forma e virtual imétrica repecto al plano del epejo. Epejo eférico. El centro de curvatura de un epejo curvo eférico e el centro de la efera que limita el epejo. El radio de curvatura e la ditancia entre el centro la uperficie del epejo. El vértice del epejo e el punto de u uperficie donde corta al eje óptico, en él e itúa el origen de coordenada. La ditancia focal e la mitad del radio de curvatura. Lente. E un itema óptico limitado por do o má dioptrio, iendo al meno uno de ello eférico. DIOPTRIO ESFÉRICO. FÓRMULAS: Como lo índice de refracción on ditinto (n >n en el cao repreentado) lo rao e devían al atravear el dioptrio. El centro etá en C el radio e R. El rao parte del objeto en A tra refractare en P llega al punto A (imagen) En el dióptrio eférico vamo a coniderar la aproximación paraxial en la que el radio e grande comparado con la ditancia h con repecto al eje con la que incide el rao obre el dióptrio. Lo ángulo de incidencia reflexión erán pequeño, e cumple para todo ello en φ tg φ φ La ecuación que queremo obtener debe relacionar la poición del objeto con la de la imagen. Para ello tenemo en cuenta la le de Snell en el punto P n en î = n en rˆ pero egún la aproximación paraxial n î = n rˆ Normal n n P Eje óptic 90-α γ A h 90-β α β A O R C Relacionamo lo ángulo î rˆ con α, β γ. î = 80-(90-α)-(90-β)=α+β (Coniderando la recta normal en P) rˆ =80-(80-β)-γ=β-γ (Coniderando el triángulo coloreado PCA ) Pág. 2

3 Departamento de Fíica Química n î = n rˆ n (α+β)=n (β-γ) Pero en la aproximación paraxial α = h ( por etar en la parte negativa del eje);β = h R γ = h n ( h + h ) = R n ( h h R ) n n = n n n R R ( ) = n R ( R ) INVARIANTE DE ABBE Llamado aí por ecribire igual para el objeto para la imagen. Si lo reagrupamo llegamo a: n n = n n R ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL DIÓPTRIO ESFÉRICO AUMENTO LATERAL, : El aumento lateral e el cociente entre el tamaño de la imagen el del objeto: Si trazamo el rao que paa por el vértice V del dioptrio, geométricamente obtenemo (aplicando la le de Snell la aproximación paraxial): nω = n ω ; ω = ; ω = n = n ; M L = = n n FOCOS DEL DIÓPTRIO: Ditancia focal imagen: =, = f n n = n n n f = R f R n n Ditancia focal objeto: = f, = n n n n = f R f = n n n R Aí e cumple f+f =R f = n.con eto valore podemo tranformar la ecuación fundamental f n en n n = n n R n R n n nr n n = ; f + f = que e la ecuación de Gau. El aumento lateral quedaría, en función de la ditancia focale, como M L = = n = f n f CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES P M L n Para averiguar la poición de la imagen, que correponde a cada punto objeto podemo trazar infinidad de rao averiguar donde e cortan, pero diponiendo de la poición de lo foco, lo má encillo on tre: a) un rao que dicurra paralelo al eje tra incidir obre el itema paará por el foco imagen. b) un rao que e dirige al centro del itema no ufre deviación debido a que incide en dirección normal (tanto en reflexión como en refracción). c) un rao que e dirige al foco objeto tra incidir obre el itema aldrá paralelo al eje. I h V n P ESPEJOS Se puede coniderar un cao particular del dioptrio eférico con n= n (o ea, n î = n rˆ, entonce n î = -n rˆ ; î = rˆ.el rao e propaga por el mimo medio pero en entido opueto) n n n n = n r + n = 2n r + = 2 r M L = n f = = = AUMENTO LATERAL n f Pág. 3

4 ESPEJO PLANO. FÓRMULAS: Departamento de Fíica Química Sería un cao particular de la fórmula anterior, con radio. En un epejo plano, lo rao e reflejan divergen tra incidir en u uperficie. Un obervador ituado en P oberva lo rao como procedente de P, punto donde convergen la prolongacione de lo rao divergente. Por eo lo epejo plano forman imágene VIRTUALES. + = 2 = 0 = = ; M L = = = = AUMENTO LATERAL Como no podemo dibujar el foco, por etar en, tomamo do rao cualequiera: Uno a la altura de M que e refleja obre í mimo otro que partiendo de M incide en el vértice del epejo, reflejándoe con el mimo ángulo de M M incidencia. La prolongacione de ambo coinciden en M, dando la altura del objeto virtual. Coniderando el equema geométricamente obtenemo que e forma una imagen a la mima ditancia del epejo (al otro lado) de igual tamaño. ESPEJO ESFÉRICO: P P TIPOS DE ESPEJOS ESFÉRICOS CÓNCAVO C F O a) Epejo cóncavo: lo rao de luz inciden por la cara cóncava, el radio tiene igno negativo, pueto que el centro e itúa a la izquierda del vértice. r<0. Forman imágene reale. b) Epejo convexo: lo rao de luz f inciden por la cara convexa e reflejan divergiendo, el radio tiene igno poitivo (centro ituado a la derecha del vértice). r>0. Forman imágene virtuale. O f CONVEXO F C ESPEJO ESFÉRICO. FÓRMULAS: En el cao de lo epejo eférico ambo foco coinciden e encuentran en la mitad del radio de curvatura del epejo. Ditancia focal imagen: =, S = f f + = 2 r f = r 2 Ditancia focal objeto: = f, = + f = 2 r f = r 2 Pág. 4

5 Departamento de Fíica Química CASOS DE FORMACIÓN DE LA IMAGEN EN UN ESPEJO SEGÚN LA POSICIÓN DEL OBJETO ESPEJOS CÓNCAVOS º Cao Si el objeto etá ituado entre el centro de curvatura el infinito, la imagen erá menor, real e invertida. Etará ituada entre C F. 2º Cao Si el objeto etá ituado en C la imagen también etará en C erá igual, invertida real. 3 er cao Si el objeto etá ituado entre el centro de curvatura el foco, la imagen erá maor, real e invertida. Etará ituada entre C el infinito C F 4º Cao Si el objeto etá ituado en el foco, lo rao alen paralelo entre í por lo que no e cruzan ( =- ) no e forma imagen. 5º Cao Si el objeto etá ituado entre el foco el epejo O, la imagen erá maor, derecha virtual. Etará ituada detrá del epejo. ESPEJOS CONVEXOS Cao único La imagen iempre erá menor, derecha virtual. Etará ituada entre el epejo O el foco F. Pág. 5

6 Departamento de Fíica Química LENTES DELGADAS. FÓRMULAS: Entendemo por lente un itema óptico formado por do o má uperficie refractora, iendo al meno una de ella curva. La primera claificación ditingue entre lente gruea delgada. No ocupamo ólo de la última a que en la primera no e puede definir el centro óptico. En una lente delgada el epeor (eparación entre lo dioptrio) e depreciable (eto e, mucho menor que lo radio de curvatura). ELEMENTOS DE UNA LENTE: Centro óptico: Centro geométrico de la lente, ituado en el origen de coordenada. Todo rao que paa por él no ufre deviación Lo centro de curvatura C C, on lo centro de lo dioptrio que forman la lente; i uno de ello e plano, u centro de curvatura etá en el infinito. Foco principale F F : Punto donde e cruzan lo rao paralelo que inciden obre la lente (objeto e imagen repectivamente). Ditancia focal imagen: f : Ditancia entre el centro óptico el foco imagen F. f >0 en lente convergente f <0 en lente divergente. Ditancia focal objeto: f. Cuando ólo un medio circunda la lente, la ditancia focale coinciden la denotaremo como f. POTENCIA DE UNA LENTE: E la invera de la ditancia focal imagen. P = f e exprea en dioptría i la ditancia focal etá en metro. La lente delgada e claifican en: Convergente: La convergente, convexa, o poitiva on má gruea en la parte central que en el borde, por lo que tienden a hacer que el rao e acerque al eje tra atravear la lente. Hacen converger lo rao incidente paralelo en el FOCO imagen f (igno +). Divergente: La lente divergente, cóncava, o negativa on má delgada en el centro tienden a hacer que el rao e aleje del eje conforme paa a travé de la lente. Hacen diverger lo rao paralelo incidente, iendo u prolongacione la que convergen en el punto focal imagen f (ituado a la izda. del centro, igno -). LENTES CONVERGENTES Biconvexa Planoconvexa Menico Convergente REPRESENTACIÓN LENTES DIVERGENTES Bicóncava Planocóncava Menico Divergente REPRESENTACIÓN CASOS DE FORMACIÓN DE LA IMAGEN EN UNA LENTE SEGÚN LA POSICIÓN DEL OBJETO Pág. 6

7 Departamento de Fíica Química Para formar la imagen hallamo la interección del rao paralelo el rao radial. El rao focal comprueba dicha interección. Rao paralelo: Rao paralelo al eje óptico que e refracta en la lente para paar por F (foco imagen). Rao radial: Rao que incide obre el centro óptico no ufre deviación Rao focal: Rao que paa por el foco objeto (F) de la lente e refracta aliendo paralelo al eje óptico. En reumen tenemo lo cao iguiente: i)lente convergente con objeto ante del foco objeto. La imagen e real e invertida. (Cao,2,3). ii) lente convergente con objeto O entre el foco objeto F la lente. La imagen e virtual derecha.(5). iii) lente divergente iempre imágene virtuale derecha LENTES CONVERGENTES C F 2F 2F F º Cao Si el objeto etá ituado entre 2F el infinito (meno infinito), la imagen etará entre F' 2F' erá invertida, real má pequeña. > 2 f f < < 2 f C 2F F 2F F 2º Cao Si el objeto etá ituado en 2 f, la imagen etará en 2 f ', erá igual, invertida real. = 2 f = 2 f C 2F F 2F F C F 2F 2F F 3 er cao Si el objeto etá ituado entre 2f f, la imagen etará ituada má allá de 2 f' erá maor, invertida real. 2 f > > f ; > 2 f 4º Cao Si el objeto etá ituado en el foco F la imagen no e forma (e formaría en el infinito).lo rao alen paralelo entre í por lo que no e cruzan ( = ). = f = F C F 5º Cao Si el objeto etá ituado entre F la lente, la imagen erá virtual (la forman la prolongacione de lo rao), maor derecha. Pág. 7

8 LENTES DIVERGENTES Departamento de Fíica Química En la lente divergente el foco imagen tiene igno negatico (lo rao procedente de - divergen) la potencia de la lente tambien lo e. Cuando dibujemo lo rao, hemo de tener en cuenta que la poición de lo foco e opueta a la de la convergente. La imágene obtenida on iempre virtuale. ' C F F Cao único Para cualquier poición del objeto la IMAGEN etá má cerca del centro, e menor virtual. C F ' F Cao único El reultado e el mimo aunque el objeto e itúe má lejo del foco FÓRMULAS PARA LENTES DELGADAS.: Para obtener la ecuación de la lente, conideramo do medio: el que material que forma la lente, de índice de refracción n> el medio que rodea a éta, que normalmente e el mimo por todo lo lado uele er el aire, con índice de refracción. El rao que parte del punto P tiene que atravear do dioptrio: ) pao del medio al 2 (aire vidrio). n= n =n, el índice e refracción del vidrio. Dioptrio con R 2) pao del medio 2 al nuevamente (vidrio aire). n=n n =. Dioptrio 2 con R 2 El problema lo etudiamo como do cambio uceivo de dioptrio, por lo que aplicamo la ec. del dioptrio 2 vece. AIRE n= AIRE n= P C 2 S P S O MEDIO S C P R 2 R Pág. 8

9 Departamento de Fíica Química Aplicamo la ecuación del dioptrio al primero (n=; n =n): n n n n = n R = n (Ec. ) R la imagen que e obtiene del primer dioptrio (ituada en P en el equema) actúa como objeto para el egundo. Por tanto la imagen reultante del itema, que vamo a llamar e obtendrá de la aplicación al egundo dioptrio (n=n; n =): n n = n n R n = n (Ec. 2) R 2 n = n R n = n } umando = (n ) ( ) R R 2 R 2 Ecuación de DESCARTES para una lente delgada Foco: Si =-, =f f = (n ) ( R R 2 ) luego f = (n ) ( R R 2 ) FOCO IMAGEN También llamada ecuación del contructor de lente, pueto que contiene lo dato materiale para fabricar la lente. Si =, =f F = (n ) ( R R 2 ) luego f = (n ) ( R R 2 ) FOCO OBJETO E decir f = f. Si utituimo el foco imagen en la ecuación de Decarte, no queda una ecuación imple: = f que e la ecuación de Gau para lente delgada. ' f' f La potencia de la lente e la invera de la ditancia focal, e mide en dioptría i la ditancia etá en metro. P = f ; = P El aumento lateral de una lente e el cociente entre el tamaño de la imagen el del objeto: M L = = (Se puede comprobar fácilmente mediante el rao que paa por el centro óptico). Pág. 9

10 Reumen de la relacione má importante de dioptrio, epejo lente. Departamento de Fíica Química Fórmula Fundamental Foco objeto Foco imagen Fórmula General Aumento Lateral Dioptrio eférico n n = n n R f = n n n R f = n n n R f + f = R f + f = f M L = f Dioptrio plano n = n f f M L = Epejo eférico + = 2 r f = r 2 f = f f = r 2 + = f M L = Epejo plano + = 0 = f = M L = Lente = (n ) ( R R 2 ) f = (n ) ( R R 2 ) f = (n ) ( R R 2 ) = f = f M L = f = f f + f = INSTRUMENTOS ÓPTICOS * Lupa. E implemente una lente convergente de pequeña ditancia focal (entre 5 0 cm). Se emplea para ampliar la imagen de pequeño objeto colocado dentro de la ditancia focal. * Microcopio. Para aumento maore a lo que permite la lupa e recurre al microcopio. Conta de do lente convergente. Una (llamada objetivo) e itúa mu próxima al objeto (de ahí u nombre) que deeamo obervar. La imagen formada por eta lente cae dentro de la ditancia focal de otra egunda lente Pág. 0

11 Departamento de Fíica Química (llamada ocular), cerca de la que e itúa el ojo. La imagen real dada por la primera lente actúa como objeto de la egunda, obteniéndoe una imagen final mu aumentada. * Telecopio. Aunque para tarea ditinta a la anteriore, exiten telecopio tanto de lente, como de epejo; e incluo, combinación de ambo. Lo telecopio de epejo (denominado reflectore) en u modelo má imple (modelo Newtoniano) conta de un epejo cóncavo ituado en la bae de un cilindro. Lo rao paralelo que penetran por el tubo convergen tienden a converger en el foco del epejo en donde e itúa un epejo plano (epejo ecundario) que dirige lo rao hacia el lateral del tubo, (ocular) en donde ha ituado una lente (o conjunto de ella). En ete tipo de telecopio, e oberva por uno de lo laterale. En lo telecopio de lente (denominado refractore), exite una lente convergente (en u modelo má imple) de má o meno diámetro en un extremo del tubo del telecopio. En el otro extremo e itúa el ocular, coincidiendo en ditancia con la focal de la lente principal. EL OJO El comportamiento óptico del ojo e imilar al de una cámara. En la figura e muetran la parte fundamentale del ojo humano coniderado como itema óptico. El ojo e de forma eférica, con un diámetro de 2,5 cm. Etá rodeado por una membrana exterior reitente llamada eclerótica, que e hace tranparente en u parte anterior central formando la córnea, que da pao a una lente convergente, el critalino. El critalino divide el ojo en do parte: la anterior tiene un fluido, el humor acuoo; la poterior, otro má gelatinoo, el humor vítreo. La luz que llega al critalino, a travé de la pupila, forma una imagen real, menor e invertida del objeto obre la retina. A la retina llegan la prolongacione del nervio óptico, que tranmite la eñale óptica al cerebro. Pág.

12 Departamento de Fíica Química En el ojo normal, un objeto ituado en el infinito etá enfocado nítidamente cuando el múculo ciliar e encuentra relajado. Para permitir la formación de imágene nítida de objeto má cercano en la retina, aumenta la tenión del múculo ciliar que rodea el critalino, e contrae el múculo ciliar, e arquea el critalino, diminuen lo radio de curvatura de u uperficie; eto reduce la ditancia focal. Ete proceo e llama acomodación.. La maor agudeza viual e da en una región central pequeña llamada fóvea, de alrededor de 0.25 mm de diámetro. En frente del critalino etá el iri. Éte contiene una abertura de diámetro variable llamada pupila, la cual e abre cierra para adaptare a la intenidad cambiante de la luz. Un ojo normal puede enfocar con nitidez lo objeto ituado entre el infinito, punto remoto, a 25 cm del ojo, punto próximo. Para que un objeto e vea con nitidez, la imagen e debe formar exactamente donde e encuentra la retina. El ojo e ajuta a la diferente ditancia de objeto modificando, como vimo ante, la ditancia focal f de u lente (el critalino); la ditancia entre el critalino la retina, que correponde a, no cambia. El ámbito de acomodación diminue gradualmente con el aumento en la edad, porque el critalino crece a lo largo de la vida de lo ere humano (e alrededor de un 50% má grande a lo 60 año que a lo 20) lo múculo ciliare on meno capace de deformar un critalino má grande. Por tal razón, el punto cercano e aleja poco a poco a medida que uno envejece. Ete alejamiento del punto cercano recibe el nombre de prebicia. Por ejemplo, un er humano promedio de 50 año de edad no puede enfocar un objeto ituado a meno de 40 cm del ojo. Se corrige con lente convergente. TRASTORNOS DE LA VISIÓN Miopía: El ojo de una perona miope tiene exceiva convergencia enfoca la luz procedente de lo objeto lejano delante de la retina. Lo objeto lejano e ven borroo porque u punto remoto no etá ituado en el infinito. La miopía e corrige utilizando lente divergente, de forma que el foco imagen de la lente coincida con el punto remoto del ojo. De eta forma, la lente forma una imagen virtual del lo objeto lejano, ituada a una ditancia menor que u punto remoto. Hipermetropía: El ojo de una perona hipermétrope e meno convergente que lo normal. La imágene de lo objeto cercano e forman detrá de la retina u punto próximo etá má lejo que lo normal. Lo objeto lejano e ven perfectamente. Para obervar lo objeto cercano e precian lente convergente que formen una imagen virtual del objeto má allá de u punto próximo. Atigmatimo: E un defecto de la efericidad de la córnea o del critalino, lo que e traduce en que la imagen de un punto e un trazo. Se corrige con lente cilíndrica. Pág. 2