Sesión 1: GDL y cinemática inversa de robots paralelos planos simples

Transcripción

1 Sesión 1: GDL y cinemática inversa de robots paralelos planos simples 1. Breve introducción a LABEL y a los robots paralelos LABEL 1 (que viene de LABoratory of parallel robotics, Laboratorio de robótica paralela ) comprende un conjunto de herramientas virtuales diseñadas para simular los principales aspectos cinemáticos de los robots paralelos. La herramienta ha sido creada mediante Easy Java Simulations 2 (EJS), que es una aplicación libre escrita en Java y diseñada especialmente para crear simulaciones orientadas al aprendizaje y la enseñanza. Las simulaciones se pueden desarrollar con EJS en forma de applets ejecutables (archivos con extensión.jar) o applets embebidos o incrustados en HTML, pudiéndose ejecutar directamente en cualquier navegador. Los robots manipuladores son sistemas electromecánicos formados por varios cuerpos o eslabones interconectados por medio de articulaciones y movidos mediante actuadores (por ejemplo motores eléctricos) de forma tal que posibilitan el posicionamiento de un sólido rígido (llamado efector final) en un determinado punto del espacio y con determinada orientación para llevar a cabo alguna tarea (por ejemplo soldadura o ensamblaje de piezas). Como se muestra en la Fig. 1 de forma esquemática, se pueden identificar tres partes principales en un robot manipulador típico: Dichas partes son: Fig. 1. Partes principales de la estructura de un robot manipulador típico. Base fija: es la plataforma estática sobre la que se monta toda la estructura del robot. Efector final: es un cuerpo o sólido rígido situado al final del robot y que normalmente es la parte encargada de interactuar con el entorno por medio de una herramienta. El principal objetivo de un robot manipulador es desplazar el efector final a una determinada posición para desarrollar una tarea. Un ejemplo podría ser un robot de soldadura usado en la industria de la automoción: tal robot transporta una pinza de soldadura en su efector final; para realizar la soldadura de forma correcta el robot debe desplazar el efector final a una posición deseada y siguiendo una trayectoria predefinida en el espacio. Cadenas cinemáticas: conectan la base fija con el efector final del robot. Una cadena cinemática es una secuencia de cuerpos (llamados eslabones y normalmente considerados como sólidos rígidos para simplificar) interconectados mediante articulaciones

2 Gracias a esta identificación de las diferentes partes que constituyen la estructura de un robot manipulador típico, podemos realizar una clasificación de dichos robots en dos grandes grupos: Robots serie: en estos robots manipuladores hay una única cadena cinemática conectando la base fija al efector final (p.e. el robot a la izquierda en la Fig. 1). Robots paralelos: son robots manipuladores en los que hay más de una cadena cinemática conectando la base fija al efector final (p.e. el robot de la derecha en la Fig. 1). Los robots paralelos presentan propiedades muy interesantes y ventajas sobre los robots serie que los hacen más atractivos y útiles en ciertas tareas. Dichas ventajas son: Mayor rigidez Mayor precisión en sus movimientos, o menor error de posicionamiento Capacidad de transportar cargas mayores Sin embargo, los robots paralelos también tienen inconvenientes frente a los serie: algunos problemas cinemáticos y dinámicos asociados a los robots paralelos presentan una mayor complejidad matemática, existen más configuraciones singulares en los robots paralelos que en los serie y su espacio de trabajo es más restringido (es decir, la fracción del espacio que un robot paralelo puede alcanzar es inferior que en los robots serie). El objetivo principal de esta y de las siguientes sesiones prácticas es estudiar los conceptos más básicos sobre la cinemática de algunos robots paralelos sencillos. Para ello utilizaremos la herramienta LABEL, que permite solucionar rápidamente los problemas de la cinemática directa e inversa de robots paralelos y analizar también sus configuraciones singulares y su espacio de trabajo a través de una interfaz gráfica de usuario intuitiva. En esta sesión comenzaremos estudiando los grados de libertad de los robots paralelos planos mostrados en la Fig. 2. Posteriormente solucionaremos la cinemática inversa de ambos robots, y analizaremos dichas soluciones y su multiplicidad utilizando LABEL como herramienta de apoyo. Fig. 2. Robots paralelos planos. 2

3 2. Grados de libertad Los grados de libertad (GDL) de un sistema mecánico son el conjunto mínimo de parámetros o variables que definen completamente la configuración (posiciones y orientaciones) de todos los cuerpos de dicho sistema. Consideremos los sistemas mecánicos mostrados en la Fig. 3: Fig. 3. Algunos sistemas mecánicos sencillos. El Sistema 1 tiene un GDL. Se trata del clásico sistema de masa-muelle. Solo dispone de una masa que puede moverse en una sola dimensión, por lo tanto es suficiente con conocer el valor de su posición (variable x) para conocer la configuración de todo el sistema. El Sistema 2 tiene dos GDL. Es el típico doble-péndulo (también puede verse como un robot serie de dos eslabones conectados mediante articulación de rotación). Determinando el valor de los ángulos α y β queda totalmente especificada la posición de todos los cuerpos del sistema (las dos barras). El Sistema 3 tiene un único GDL. Es el conocido mecanismo de biela-manivela. Controlando únicamente el parámetro θ se puede controlar la configuración del mecanismo completo (de todos sus eslabones). Para sistemas sencillos como los anteriores es relativamente sencillo encontrar el número de grados de libertad, ya que en dichos sistemas únicamente hay unos pocos cuerpos involucrados en el problema. No obstante, los robots paralelos (y los robots en general) disponen de muchos más cuerpos (eslabones) en sus cadenas cinemáticas y la tarea de calcular los grados de libertad del sistema no es tan sencilla. Deberíamos abordar esos casos mediante algún procedimiento sistemático para calcular los GDL de un robot paralelo y simplificar la tarea. Un método que permite conseguir esto es la fórmula de Grübler, que permite calcular de forma muy sencilla el número de grados de libertad de un mecanismo. Dicha fórmula tiene la siguiente forma para mecanismos (robots) planos: Donde: n GDL=3(l n 1)+ d i (1) i=1 l es el número de cuerpos o eslabones en el mecanismo (incluyendo la base fija). 3

4 n es el número de articulaciones d i es el número de grados de libertad (GDL) de la articulación i. Es muy importante destacar que la ecuación (1) no siempre proporciona resultados correctos y es necesario analizar siempre si el resultado obtenido tiene sentido o no. No obstante, la fórmula funciona correctamente para la vasta mayoría de mecanismos, incluyendo muchos robots. Como ejemplo, aplicaremos el criterio de Grübler para calcular el número de GDL del conocido mecanismo de cuatro barras de la Fig. 4: Fig. 4. Mecanismo de cuatro barras. Este mecanismo tiene cuatro eslabones (eslabones l 2, l 3, l 4 y la base l 1, que no debe olvidarse en la contabilización) y cuatro articulaciones de rotación (articulaciones n 1, n 2, n 3 y n 4 ). Además, cada una de dichas articulaciones tiene un grado de libertad (ya que posibilita una rotación relativa entre los dos eslabones conectados por dicha articulación), por lo tanto d i = 1 para todo i. Aplicando la fórmula de Grübler (1) se obtiene el número de GDL del mecanismo de cuatro barras: 4 GDL=3(4 4 1)+ 1=3( 1)+ 4=1 (2) i=1 El mecanismo de cuatro barras tiene un grado de libertad, como todos sabemos. Esto significa que es suficiente controlar una variable del sistema para controlar completamente el mecanismo; esta variable podría ser la posición angular del eslabón l 2 y dicha posición angular podría controlarse con un único motor de corriente continua (DC) conectado a la articulación n 1. El número de GDL de un sistema mecánico es igual al número de actuadores que deben utilizarse para controlar completamente la configuración de dicho sistema. 4

5 2.1. Robot paralelo 5R La Fig. 5 muestra un robot plano simple llamado 5R: Fig. 5. Robot paralelo 5R. Este robot paralelo está formado por cuatro barras móviles (A 1 B 1, B 1 P, A 2 B 2, B 2 P) y cinco articulaciones de rotación (A 1, B 1, P, B 2, A 2 ). Cada articulación permite un movimiento relativo de rotación entre los dos eslabones que conecta. El nombre de este robot significa que tiene cinco (5) articulaciones de rotación (R). El punto P se considera como el efector final de este robot. Ejercicio 1: a) Calcular el número de GDL del robot paralelo 5R de la Fig. 5 utilizando el criterio de Grübler para mecanismos planos (Ecuación (1)). b) Qué variables de las mostradas en la Fig. 5 utilizarías como grados de libertad para controlar el robot? Realiza la elección más razonable posible. Explica cómo actuarías al robot. Donde situarías actuadores lineales o motores para controlar los grados de libertad que has seleccionado? c) Ahora comprueba tu respuesta de a) empleando LABEL. Accede a y ejecuta el applet. Intenta arrastrar el efector final P del robot en el simulador como se muestra en la Fig. 6. Puedes moverlo libremente en el plano o está restringido a moverse sobre una curva? Es esto coherente con el resultado obtenido de la aplicación de la fórmula de Grübler? Eplica por qué / por qué no. Fig. 6. Cómo arrastrar el efector final en LABEL. 5

6 2.2. Robot paralelo 3RRR La Fig. 7 muestra otro robot paralelo plano llamado 3RRR. El número tres (3) en el nombre de este robot significa que hay tres cadenas cinemáticas conectando la base fija con el efector final (que es la plataforma triangular ABC mostrada en la figura), y la secuencia RRR significa que todas las cadenas cinemáticas contienen tres articulaciones de rotación (R). Fig. 7. Robot paralelo 3RRR. Las tres cadenas cinemáticas que conectan el efector final con la base en este robot son las siguientes: O-D-A, Q-E-B y R-F-C. Las articulaciones O, Q y R están fijas a la base fija. A continuación realiza el mismo análisis que para el 5R: Ejercicio 2: a) Calcula el número de GDL del robot paralelo 3RRR de la Fig. 7 empleando el criterio de Grübler para mecanismos planos (Ecuación (1)). b) Qué conjunto de variables de las mostradas en la Fig. 7 seleccionarías como grados de libertad para controlar el robot? Realiza la elección más razonable. Explica cómo actuarías al robot para moverlo. Dónde situarías actuadores lineales y motores para controlar los grados de libertad que has seleccionado? c) Ahora verifica tu respuesta a a) empleando LABEL. Accede a y ejecuta el applet. Intenta arrastrar el centro g del efector final ABC del robot en el simulador como se muestra en la Fig. 8a. Puedes moverlo libremente en el plano, o por el contrario está restringido a moverse sobre alguna curva? Intenta rotar el efector final triangular como se muestra en la Fig. 8b. Puedes rotar la plataforma libremente, o su orientación Φ permanece constante? Es coherente lo que observas con el resultado obtenido de la fórmula de Grübler? Explica por qué / por qué no. 6

7 Fig. 8. a) Cómo modificar la posición del efector final en LABEL. b) Cómo rotar el efector final. 3. Cinemática inversa La función principal de un robot manipulador es posicionar su efector final en una posición deseada y con determinada orientación en el espacio para realizar una tarea predefinida. La posición y orientación del efector final está determinada por un conjunto de n variables, donde n es el número de grados de libertad del robot (esto no se cumple necesariamente para robots redundantes). El robot 5R tiene dos grados de libertad y por tanto su efector final P puede moverse en dos direcciones independientes en el plano (por ejemplo en los ejes horizontal y vertical). El robot 3RRR tiene tres grados de libertad: su efector final ABC puede moverse también en dos ejes independientes en el plano (por ejemplo en el eje x y en el eje y) y también puede rotarse alrededor de un eje perpendicular al plano en el que se mueve. De esta forma, su efector final tiene tres movimientos independientes. Sin embargo, cuando un robot se mueve no actuamos directamente sobre el efector final para moverlo a la posición deseada, ya que esa es la tarea del robot (por ejemplo, en el caso del robot 5R no aplicamos una fuerza directamente al efector final P para llevarlo a una determinada posición, ya que de esta forma no sería necesario ni siquiera emplear un robot). En lugar de actuar sobre el efector final directamente, actuamos en algunas de las articulaciones del mecanismo (entonces decimos que estas articulaciones son activas o actuadas), y como resultado de la geometría del robot y de la posición de dichas articulaciones activas (cuya posición es lo que controlamos directamente), el efector final se posicionará en algún lugar del espacio. La posición y la orientación del efector final están ambas relacionadas con el valor de las articulaciones activas por medio de restricciones matemáticas impuestas por la geometría del robot. En general, para robots paralelos dichas restricciones se pueden escribir de la siguiente forma: F(x, q)=0 (3) Donde F es una función vectorial no lineal de x y q, siendo x un vector que contiene las variables que definen la posición y la orientación del efector final y q un vector cuyas componentes son las posiciones de las articulaciones activas (es decir, las articulaciones directamente controladas mediante actuadores como motores eléctricos o cilindros hidráulicos o neumáticos). La Ecuación (3) es un sistema de ecuaciones no lineales que depende de los parámetros geométricos del sistema, 7

8 y para obtenerlo se debe analizar la geometría del problema e imponer las restricciones geométricas existentes en él. El sistema (3) relaciona dos grupos de variables: x (que define la configuración del efector final) y q (que define la configuración de las articulaciones activas del robot). Esto significa que si conocemos uno de dichos grupos de variables, podríamos emplear la Ecuación (3) para calcular el otro grupo. Esto permite definir dos tipos de problemas cinemáticos opuestos: Cinemática directa: conociendo el valor de las articulaciones activas (vector q), resolver la Ecuación (3) para obtener la posición y orientación del efector final (vector x). Cinemática inversa: si queremos que el efector final esté posicionado en una posición determinada y con cierta orientación (es decir, conocemos el vector x), cómo deberían situarse las articulaciones activas para llevar el efector final a tal configuración? Esto implica resolver la Ecuación (3) para el vector q de articulaciones activas. Para robots serie, resolver la cinemática directa suele ser una tarea sencilla, mientras que la cinemática inversa se plantea como un problema de mayor complejidad. Para robots paralelos sucede justo al contrario: la cinemática inversa es relativamente fácil de resolver mientras la cinemática directa es compleja y podría requerir el uso de métodos numéricos. Dado que para los robots paralelos es más sencilla la cinemática inversa que la directa, comenzaremos analizando este problema para los dos robots paralelos introducidos anteriormente. En los próximos apartados solucionaremos de forma analítica la cinemática inversa para ambos robots (5R y 3RRR). A continuación utilizaremos LABEL para simular las soluciones a dicho problema y analizar algunos de los resultados obtenidos, como por ejemplo la multiplicidad de las soluciones al problema (veremos que no hay una única forma de configurar al robot para posicionar su efector final en una determinada pose) Cinemática inversa del robot 5R La Fig. 9 muestra una representación esquemática del robot 5R: Fig. 9. Robot 5R. Este robot tiene cuatro barras móviles: A 1 B 1, B 1 P, B 2 P y A 2 B 2. Sus longitudes son, respectivamente, l 1, l 2, l 3 y l 4. Cinco articulaciones de rotación (A 1, B 1, P, B 2 y A 2 ) conectan las cuatro barras y la base fija para constituir un mecanismo de cadena cerrada (es decir, un robot paralelo). El mecanismo está 8

9 sujeto al suelo en las articulaciones A 1 (situada a una distancia b l a la izquierda del origen O) y A 2 (situada a una distancia b r a la derecha del origen O). El robot 5R tiene 2 GDL. Esto significa que podemos modificar de manera independiente las dos coordenadas x e y que definen la posición de su efector final P con respecto al sistema de referencia OXY, y mover libremente dicho punto P hasta una posición deseada en el plano. Para lograr esto debemos actuar sobre dos de las cuatro articulaciones que aparecen en la Fig. 9: θ 1, ψ 1, θ 2 y ψ 2. Podríamos escoger cualquier par de variables entre estas 4, entonces esas 2 variables actuadas serían las articulaciones activas, que podríamos controlar conectando motores eléctricos a dichas articulaciones. Pese a que cualquier elección podría resultar válida, algunas elecciones son más apropiadas que otras. Por ejemplo, si escogiéramos ψ 1 y ψ 2 como articulaciones activas, entonces tendríamos que actuar sobre ellas situando motores eléctricos en las articulaciones B 1 y B 2. Los actuadores suelen tener un peso considerable, de forma que con tal elección para las articulaciones activas estaríamos incrementando de forma innecesaria la inercia del mecanismo ya que estaríamos situando dos masas importantes a cierta distancia de los puntos de rotación A 1 y A 2. Sin embargo, si seleccionamos θ 1 y θ 2 como articulaciones activas, entonces para actuar dichas articulaciones deberemos situar los motores eléctricos sobre los puntos A 1 y A 2. Dichos puntos se encuentran en la base fija del robot y por tanto no se mueven, luego no se añade inercia adicional al robot. Esta es otra de las ventajas de los robots paralelos frente a los serie: dado que solo es necesario actuar una articulacion en cada una de las cadenas cinemáticas, se escoger que dicha articulación actuada sea la que se encuentra en la base del robot. De esta manera el mecanismo no tendrá que mover la inercia adicional debida a la masa del actuador. Escogeremos como articulaciones activas las variables θ 1 y θ 2 por las razones expuestas arriba. Si se sigue la notación introducida en la sección 3, nuestro vector de articulaciones activas será q = [θ 1 θ 2 ] T. El vector de coordenadas del efector final será x = [x y] T. El problema de la cinemática inversa consistirá, pues, en obtener el vector q necesario para llevar el efector final P a la posición deseada x. En los robots paralelos, el problema de la cinemática inversa se puede resolver de forma desacoplada. Esto significa que se puede calcular el valor de cada articulación activa en función del vector x de forma independiente a las otras articulaciones activas. Para plantear el problema, trazaremos un camino vectorial desde el origen del sistema de referencia fijo a la base hasta el efector final del robot. Dicho camino vectorial deberá atravesar solo una de las cadenas cinemáticas que conectan la base del robot con el efector final. Este camino vectorial resulta en una ecuación vectorial que puede resolverse para obtener el valor de la única articulación activa asociada a dicha cadena cinemática. Repitiendo este procedimiento para todas las cadenas cinemáticas podremos calcular el valor del vector q de las articulaciones activas en función de x, solucionando así el problema de la cinemática inversa. Como ejemplo calcularemos el valor de la articulación activa θ 1 en función del vector x para el robot 5R. Utilizaremos la Fig. 10 como apoyo. 9

10 Fig. 10. Camino vectorial desde O hasta el efector final a través de la cadena cinemática izquierda. La Fig. 10 muestra el camino vectorial que va desde el origen del sistema de referencia OXY hasta el efector final P a través de la cadena cinemática A 1 -B 1 -P. Esta cadena cinemática contiene la articulación activa θ 1 y la articulación pasiva ψ 1 (llamamos pasivas a las articulaciones que no son activas), y no involucra a ninguna de las articulaciones pasivas o activas con subíndice 2 (esas articulaciones están asociadas a la cadena cinemática A 2 -B 2 -P). Sumando los tres vectores que definen el camino vectorial en la Fig. 10 resulta la siguiente ecuación vectorial: OP=[ b l 0 ] [ + l 1 cos(θ ) 1 l 1 sin(θ 1 )] [ + l 2 cos(θ +ψ ) 1 1 l 2 sin(θ 1 +ψ 1 )] [ = b +l cos(θ )+l 2 cos(θ +ψ ) l l 1 sin(θ 1 )+l 2 sin(θ 1 +ψ 1 ) ] (4) De esta forma obtenemos una expresión del vector OP como función de las articulaciones θ1 y ψ 1. Sabemos también que el vector OP es igual a [x y] T, ya que las variables x e y son precisamente las componentes del vector de posición del efector final P respecto al sistema de referencia OXY fijado en la base. Por tanto, podemos igualar la Ecuación (4) a [x y] T y escribir las dos ecuaciones escalares mostradas a continuación: b l +l 1 cos(θ 1 )+l 2 cos(θ 1 +ψ 1 )=x (5) l 1 sin(θ 1 )+l 2 sin(θ 1 +ψ 1 )= y (6) A continuación debemos eliminar la articulación pasiva ψ 1. Aunque podría ser útil conocer el valor de las articulaciones pasivas, y podemos calcular dicho valor tras solucionar la cinemática inversa, no será necesario para nuestro propósito ahora, ya que únicamente nos interesa la relación entre la posición del efector final (coordenadas x e y) y la articulación activa θ 1 que queremos calcular. Para eliminar la articulación pasiva, primero despejamos todos los términos conteniendo ψ 1 : l 2 cos(θ 1 +ψ 1 )= x+b l l 1 cos(θ 1 ) (7) l 2 sin(θ 1 +ψ 1 )= y l 1 sin(θ 1 ) (8) Seguidamente elevamos al cuadrado ambas ecuaciones y las sumamos: l 2 2 [(cos(θ 1 +ψ 1 )) 2 +(sin(θ 1 +ψ 1 )) 2 ]=( x+b l l 1 cos(θ 1 )) 2 +( y l 1 sin(θ 1 )) 2 (9) 10

11 Dado que (cos(θ 1 +ψ 1 )) 2 +(sin(θ 1 +ψ 1 )) 2 =1, los términos que contienen ψ 1 desaparecen y la ecuación resultante es la siguiente: l 2 2 =(x+b l l 1 cos(θ 1 )) 2 +( y l 1 sin(θ 1 )) 2 (10) Expandiendo los cuadrados en el lado derecho de la ecuación y reordenando términos resulta en la siguiente expresión: x 2 +b l 2 +l 1 2 l y 2 +2 x b l 2 x l 1 cos(θ 1 ) 2 b l l 1 cos(θ 1 ) 2 y l 1 sin(θ 1 )=0 (11) Esta es la ecuación que buscábamos: todo en la ecuación es conocido excepto la articulación activa θ 1, así que podemos resolver dicha incógnita de la ecuación. Para solucionar esta ecuación de forma analítica hay que expresar el seno y el coseno de θ 1 en términos de una única variable t empleando las siguientes conocidas fórmulas: cos(θ 1 )= 1 t 2 1+t 2 (12) sin(θ 1 )= 2 t 1+t 2 (13) En donde t=tan(θ 1 /2). Sustituyendo las relaciones (12) y (13) en (11): x 2 +b 2 l +l 2 1 l y 2 +2 x b l +( 2 x l 1 2 b l l 1 )( 1 t 2 1+t 2 y l 2 t 1 =0 ( 1+t 2) (14) Multiplicando esta ecuación por (1+t 2 ): (1+t 2 )(x 2 +b l 2 +l 1 2 l y 2 +2 x b l )+( 2 x l 1 2 b l l 1 )(1 t 2 ) 2 y l 1 2 t=0 (15) A continuación expandimos todos los términos y los reordenamos con el fin de obtener una ecuación con la siguiente forma: Donde: t 2 (a )+t (b)+(c )=0 (16) a= x 2 +2 x(b l +l 1 )+ y 2 +b l 2 +2b l l 1 +l 1 2 l 2 2 (17) b= 4 l 1 y (18) c=x 2 +2 x(b l l 1 )+ y 2 +b l 2 2b l l 1 +l 1 2 l 2 2 (19) La solución a la ecuación (16) es directa: t= b± b2 4a c 2 a (20) 11

12 Una vez t es conocido, el valor de la articulación activa θ 1 se calcula según: θ 1 =2arctan(t) (21) De la solución obtenida se desprende una importante conclusión: dado que hay dos soluciones a la ecuación (16) (ya que es una ecuación polinómica de grado 2), podemos obtener dos valores distintos de la articulación activa θ 1 correspondientes a los dos posibles valores de t. Esto significa que hay dos valores de la articulación activa θ 1 que permiten posicionar al efector final del robot en el mismo punto del plano (x, y), como se muestra de manera esquemática en la Fig. 11: Fig. 11. Dos valores diferentes de θ 1 que posicionan el efector final en un mismo punto. Ahora responde a las siguientes preguntas: Ejercicio 3 a) Obtén el valor de la articulación activa θ 2 en función de las coordenadas Cartesianas (x, y) del efector final, siguiendo un procedimiento similar al que se ha mostrado para la coordenada θ 1. Cuántas soluciones puedes encontrar para el ángulo θ 2? Es única la solución, o sucede lo mismo que para la primera articulación activa? b) Considerando la multiplicidad de soluciones de las articulaciones activas, y teniendo en cuenta que la solución de la cinemática inversa es el vector q cuyas componentes son las articulaciones activas, Cuántas soluciones tiene el problema de la cinemática inversa para el robot 5R? (Es decir, cuántos vectores q diferentes posicionan el efector final en la misma posición x del plano Cartesiano). Justifica tu respuesta. c) Ahora accede a y ejecuta el applet para simular la cinemática inversa. Posiciona el efector final en las coordenadas x = 0.31 e y = 0.14 como se muestra en la Fig. 12 (las coordenadas se miden en metros). Anota los valores resultantes de las articulaciones activas θ 1 y θ 2 (LABEL calcula los ángulos en radianes). Haz esto para todas las soluciones de la cinemática inversa (puedes seleccionar la solución a simular por medio de los botones indicados en la Fig. 12). Observa la diferencia entre las diferentes posiciones de los eslabones del robot, para cada una de las soluciones de la cinemática inversa. 12

13 Fig. 12. Uso de LABEL para simular la cinemática inversa. d) Empleando LABEL, posiciona el efector final en las coordenadas Cartesianas x = 0.4, y = 0. Anota todas las soluciones a la cinemática inversa para esta posición del efector final. Examina visualmente las diferentes soluciones. Cuántas soluciones realmente diferentes tiene ahora el problema? e) Ahora intenta posicionar el efector final en las coordenadas x = 0.4, y = 0.2. Anota todas las soluciones q para dicha posición. Hay algún problema con la articulación activa θ 1? Intenta explicar lo que observas utilizando las ecuaciones (17), (18), (19) y (20). Necesitas conocer la geometría del robot para sustituir todos los parámetros en dichas ecuaciones. El apoyo izquierdo está posicionado en el origen del sistema de referencia, luego b l = 0. El apoyo derecho está posicionado a 0.5 metros a la derecha del origen, luego b r = 0.5. Todas las barras tienen una longitud de 0.2 metros. f) Utiliza las ecuaciones (17) a (20) para explicar que sucedió en d). Utiliza la geometría por defecto del robot para responder a todas las cuestiones. Para resetear la geometría a sus valores por defecto puedes pulsar el botón Reset geometry. 13

14 3.2. Cinemática inversa del robot 3RRR La Fig. 13 muestra una representación esquemática del robot 3RRR. Fig. 13. Robot 3RRR. El robot 3RRR dispone de seis barras móviles: OD, DA, QE, EB, RF y FC. Sus longitudes son a 1, b 1, a 2, b 2, a 3 y b 3 respectivamente. Dichas barras están distribuidas en tres cadenas cinemáticas (O- D-A, Q-E-B y R-F-C) que conectan la base del robot en los puntos O, Q y R con el efector final, que es la plataforma ABC (se trata de un triángulo equilátero de lado h). Este robot tiene tres GDL. Esto significa que podemos controlar la posición del efector final en dos ejes independientes del plano (por ejemplo en los ejes X e Y mostrados en la Fig. 13) y controlar su orientación o rotación alrededor de un eje perpendicular al plano en el cual se mueve el mecanismo. La posición del efector final está definida por las coordenadas x e y de su centro geométrico g con respecto al sistema de referencia OXY fijado en el punto O. Su orientación está definida por el ángulo Φ que forma el eje X con el lado AB del efector final. Para controlar estos tres parámetros del efector final hay que actuar sobre tres de las seis articulaciones mostradas en la Fig. 13: θ 1, ψ 1, θ 2, ψ 2, θ 3 y ψ 3. Como se discutió para el robot 5R, cualquier combinación de tres de esas variables sería suficiente para controlar el robot, pero hay ventajas evidentes cuando se seleccionan θ 1, θ 2 y θ 3 como articulaciones activas, ya que esas articulaciones están directamente conectadas a la base del robot y de esta manera el mecanismo no tendrá que vencer la inercia añadida de los actuadores, resultando en un sistema más ligero. El vector x con la información de la posición y orientación del efector final es: x = [x y Φ] T. Con la elección de las articulaciones activas realizada en el anterior párrafo, el vector de articulaciones activas es: q = [θ 1 θ 2 θ 3 ] T. Por tanto el problema de la cinemática inversa de este robot consiste en encontrar el vector q que posiciona el efector final en las coordenadas (x, y) y con la orientación Φ definidas por x. 14

15 Responde a las siguientes preguntas relacionadas con la cinemática inversa del robot 3RRR: Ejercicio 4 a) Resuelve el problema de la cinemática inversa del robot 3RRR, es decir, encuentra las expresiones analíticas que proporcionan el valor de θ 1, θ 2 y θ 3 en función de x, y y Φ. Para ello, sigue el mismo procedimiento que en el robot 5R: traza un camino vectorial a través de cada una de las cadenas cinemáticas que conectan la base del robot con el efector final. Las ecuaciones resultantes relacionan las coordenadas del efector final con las articulaciones activas y pasivas. Manipula dichas ecuaciones para eliminar las articulaciones pasivas y resuelve las articulaciones activas de las ecuaciones resultantes. Ayuda: como se muestra en la Fig. 14, cada camino vectorial comienza en el origen del sistema de referencia OXY y termina en el punto g del efector final, pasando a través de una única cadena cinemática (por supuesto, esta no es la única forma de obtener las ecuaciones, puedes trazar otros caminos que proporcionan la misma solución para q, pero este es un método sistemático). Además debes construir los vectores Ag, Bg y Cg utilizando el ángulo Φ para completar cada camino vectorial. Fig. 14. Un camino vectorial desde O hasta g a través de una cadena cinemática. b) Cuántas soluciones puedes encontrar para cada articulación activa θ i? Combina todas las soluciones de las articulaciones activas para encontrar el número de soluciones de la cinemática inversa del robot 3RRR (es decir, calcula cuántos q diferentes posicionan el efector final en una misma configuración especificada por x). c) Accede a y ejecuta el applet para simular la cinemática inversa del robot 3RRR. Posiciona el efector final en x = metros e y = 0.2 metros, con una orientación de Φ = 0.8 radianes. Anota los valores de las articulaciones activas para la solución 15

16 actual de la cinemática inversa. Haz esto para todas las soluciones de la cinemática inversa (observa la Fig. 15 para más información). No cambies la geometría del robot, emplea los valores por defecto para todas las cuestiones (la geometría por defecto puede restablecerse pulsando el botón Reset situado en la parte inferior derecha de la aplicación). Fig. 15. Empleo de LABEL para simular la cinemática inversa del robot 3RRR. d) Ahora posiciona el efector final en x = m, y = m (ver Anotación 3 ), Φ = 0 rad. Cuántas soluciones verdaderamente diferentes tiene el problema de la cinemática inversa para tal configuración del efector final? Compruébalo gráfica y numéricamente empleando LABEL. e) Cuántos vectores q distintos posicionan al efector final en la configuración dada por: x = m, y = m, Φ = 0 rad? Emplea LABEL para responder a la pregunta. Introduce los valores con todas las cifras decimales indicadas para obtener un resultado correcto. f) Puede situarse el efector final en x = 0.21 m, y = 0.22 m con una orientación de Φ = 1.1 rad? g) Empleando LABEL, encuentra el intervalo de valores de Φ que permiten al robot posicionar el efector final en x = 0.21 m, y = 0.22 m. Dicho intervalo debe estar contenido en [-π, π] rad. h) Justifica tus respuestas a los apartados c), d), e) y f) utilizando las expresiones analíticas que obtuviste en a) tras resolver la cinemática inversa. Ayuda: justifica matemáticamente por qué el número de soluciones de la cinemática inversa es el que observas en LABEL, para cada caso. Sustituye los valores apropiados en las ecuaciones adecuadas, de forma similar a como realizaste en el apartado f) del Ejercicio 3. Los tres apoyos del robot están situados en los vértices de un triángulo equilátero de lado metros. El resto de parámetros geométricos se encuentran en la aplicación. 3 Introduce TODOS los decimales indicados para obtener un resultado correcto. 16