Visualización - Parte 2 - Dpto. de Informática Fac. Cs. Físico-Mat. y Nat. Universidad Nacional De San Luis Argentina

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1 Visualización - Parte 2 - Dpto. de Informática Fac. Cs. Físico-Mat. y Nat. Universidad Nacional De San Luis Argentina

2 Rendering - Generación de la Imagen El rendering, es el proceso por medio del cual se obtiene una representación estática 2D de un mundo abstracto 3D. Modelado Imagen del Mundo Abstracta Virtual 3D Plasmado Muestreo 2D Modelo de Imagen 3D Frame Buffer 2D Procesamiento Una imagen abstracta se encuentra definida y existe dentro del procesador como una imagen continua. La imagen resultante, en el Frame Buffer es una imagen discreta. El conjunto de procesos que se deben llevar a cabo para poder lograr una representación discreta 2D de un mundo virtual 3D se denomina Pipeline de rendering. Dpto. de Informática - Roberto 217 2

3 El Concepto de Cámara La imagen es plasmada en un Plano de Imagen o Plano de Proyección (usualmente enfrente de la cámara). Los Proyectores son rayos que emanan desde el Centro de Proyección en el centro del lente (o agujero de la cámara oscura). La imagen de un punto P de un objeto (denominado P') se encuentra en la intersección del proyector (que pasa por P) con el plano de proyección. P P' Dpto. de Informática - Roberto 217 3

4 Características Para obtener una imagen es necesario conocer algunos datos más. Vector Vertical (Up) Vector Hacia (Look) Dirección y Orientación Posición de la cámara en el espacio 3D. Simula una cámara obscura (pinhole camera) Dpto. de Informática - Roberto 217 4

5 Qué ve la Cámara? El plano de la imagen tiene extensión finita (rectangular). Los objetos son recortados dentro de un rectángulo de recorte o ventana de recorte. Dpto. de Informática - Roberto 217 5

6 Qué ve la Cámara? Volumen de Visualización Volumen de visualización cónico: contiene todo lo que es visible desde el punto de vista o dirección. aproximación de lo que ven nuestros ojos. Es posible aproximarlo por medio de un cono rectangular o pirámide trunca Ojo Volumen de visualización cónico Volumen de visualización aproximado Cámara Dpto. de Informática - Roberto 217 6

7 Modelo conceptual del Proceso de Visualización 3D (para wireframe) Implica especificar un observador el cual ve un volumen de visualización del mundo, con una proyección en un plano de proyección (film) y una ventana gráfica. Primitivas de salida del mundo 3D 3D Proyección en el Plano de Proyección Coordenadas del dispositivo 2D Transformación en la ventana del dispositivo 2D para la muestra 2D El plano de proyección y la ventana gráfica pueden tener relaciones de aspecto diferentes Determinación del Volumen de Visualización Coordenadas del mundo recortadas Un mappeo de ventana especificará qué hacer cuando los aspectos son diferentes. Diferentes estrategias implementan el proceso de visualización. Las estrategias no son necesariamente iguales al modelo conceptual. Los resultados dependen del modelo utilizado. Dpto. de Informática - Roberto 217 7

8 La Cámara Sintética General Cada paquete tiene su propia formulación, más o menos equivalente. Muchas maneras de especificar los parámetros de la cámara PHIGS Camera, Computer Graphics: Principles and Practice, ch. 6 and 7) 1. posición de la cámara 2. dirección / orientación 3. campo de visión (relación de aspecto, ángulo de visión, ) 4. profundidad del campo (distancia plano frontal, distancia plano trasero) 5. distancia focal 6. plano de proyección (film). Si no es normal a la dirección de visualización debe generar proyecciones oblicuas. 7. proyección paralela o perspectiva? (cámara cercana a los objetos o lejana en la distancia) Programmer s Hierarchical Interactive Graphics System, an ANSI/ISO standard library/api; see also PHIGS+, GKS (2D) Dpto. de Informática - Roberto 217 8

9 Posición Determinar la Posición es análogo a la acción de un fotógrafo que decide el punto panorámico desde el cual tomar la foto. Tres grados de libertad: coordenadas x, y, z en el espacio 3D. El sistema de coordenadas x, y, z es dextrógiro (right-handed): abrir la mano derecha mirando la palma, alinear la palma y los dedos con los ejes de coordenadas de modo que el eje +x es el pulgar, +y el índice, +z el mayor Dpto. de Informática - Roberto 217 9

10 Dirección La dirección esta especificada por un punto en el espacio 3D hacia donde se debe mirar (look at) y un ángulo de rotación sobre esta dirección. En general la cámara se encuentra localizada en cualquier posición en el espacio y dirigida hacia un punto arbitrario (dirección) con una orientación de verticalidad arbitraria. Se considera que ella está en el origen de su propio sistema de coordenadas. v -n Up vector Look vector n Dpto. de Informática - Roberto 217 Posición de la Cámara point to look at (x, y, z ) u 1

11 Vectores de Dirección y Orientación (Look & Up) Una forma mas concreta de establecerlo Vector de Dirección (Look Vector) indica hacia donde apunta la cámara. 3 grados de libertad, puede ser cualquier vector en el espacio 3D. Vector de Orientación (Up Vector) Look. Por ejemplo: si se está establece cómo se debe girar la cámara alrededor del vector orientando la cámara en forma horizontal o vertical. Proyección del vector UP: se encuentra en el plano perpendicular al vector permite la generalización de las especificaciones. Proyección del vector Up Look. Esto Up vector Look vector Dirección y Orientación Dpto. de Informática - Roberto

12 Campo de Visión El campo de visión es la parte del mundo que es visible a través de los ojos/cámara en un posición y dirección específica en el espacio. Dpto. de Informática - Roberto

13 Campo de Visión Los objetos que se encuentran fuera del campo de visión (Field of View) al momento de tomar la foto no son registrados. Comúnmente expresado como la relación entre el ancho y alto del campo (Relación de Aspecto). También se expresa como la apertura angular del cono de visión (Ángulo de Visión). Dpto. de Informática - Roberto

14 Relación de Aspecto Similar al tamaño del film utilizado en una cámara. Determina la proporción del ancho y alto de la imagen mostrada en la pantalla. Una ventana cuadrada tiene relación de aspecto 1:1. El formato de película letterbox tiene relación de aspecto de 2:1. La televisión NTSC tiene relación de aspecto de 4:3 La televisión HDTV tiene relación de aspecto 16:9. Campo de visión Campo de visión Visión Amplia (corta distancia) Campo de visión Estándar Dpto. de Informática - Roberto 217 Visión Amplia (larga distancia) Campo de visión Visión Estrecha 14

15 Ángulo de Visión Determina la distorsión en perspectiva a reflejar en la pintura. Yendo desde (proyección paralela) a mucha (lentes de gran ángulo). En el frustum, se expresan 2 ángulos de visualización: Ancho y Alto. Usualmente se especifica el ángulo de Altura (Height angle), y se calcula el ángulo de Ancho (Width angle) a partir de la fórmula Relación de Aspecto * Ángulo de Altura (Aspect ratio * Height angle). Seleccionar un ángulo de visión es equivalente a cuando un fotógrafo selecciona el tipo de lentes a utilizar (ej,: lentes gran angulares, o telescópicos). Frustum Dpto. de Informática - Roberto

16 Ángulo de Visión Los lentes utilizados para tomas de larga distancia usualmente tienen un ángulo de visión casi paralelo y aunque recortan la profundidad generan muy poca distorsión en la perspectiva. Los lentes de gran angular causan gran distorsión de la perspectiva. Ángulo estrecho Imágenes resultantes Gran angular Dpto. de Informática - Roberto

17 Profundidad del Campo El volumen de espacio entre los planos de recorte Frontal y Trasero (Front & Back clipping planes) definen que es lo que la cámara visualiza. La posición de los planos esta definida a lo largo del vector Look. Los objetos que se encuentran fuera del volumen de visualización no son dibujados. Los objetos que interceptan el volumen de visualización son recortados. Plano de recorte trasero Plano de recorte frontal descartado Dpto. de Informática - Roberto 217 plasmado recortado descartado 17

18 Planos de recorte Frontal (near) y Trasero (far) Razones de uso de un Recorte de Plano Frontal: No es conveniente dibujar objetos cercanos a la cámara. podrían bloquear el resto del escenario. los objetos podrían distorsionarse. No se desea dibujar objetos que están detrás de la cámara. no es lógico ver objetos que se encuentran detrás en caso de utilizar proyección en perspectiva, los objetos aparecerán invertidos como consecuencia de la transformación. Razones de uso de un Recorte de Plano Trasero: No se desea dibujar objetos que se encuentran muy lejanos. los objetos muy distantes aparecerán tan pequeños que serán insignificantes visualmente e implicarán tiempo de procesamiento. descartar objetos distantes implica perder detalle, pero se ahorra tiempo de procesamiento. la escena puede estar llena de objetos insignificantes. Por claridad visual es conveniente descartarlos. Dpto. de Informática - Roberto

19 Distancia Focal Algunos modelos de cámara manejan distancia focal. La distancia focal es la medida del rango de foco ideal; se aproxima el comportamiento de los lentes de cámara real. Los objetos que se encuentran a la distancia focal de la cámara son plasmados en FOCO; los objetos cercanos o lejanos son plasmados borrosos. La distancia focal se combina con los planos de recorte. Sólo los objetos que se encuentran dentro del volumen de visualización son plasmados (borrosos o no). El resto de los objetos son descartados. Distancia Focal Cercano: borroso Dpto. de Informática - Roberto 217 Foco perfecto Lejano: borroso 19

20 Situación actual A partir de la Posición, Look vector, Up vector, Aspect ratio, Height angle, Clipping planes, y opcionalmente Focal length juntos especifican un volumen de visualización truncado. El volumen de visualización truncado (Frustum) es la especificación del espacio delimitado que la cámara puede ver. Una visualización 2D de un escenario 3D debería poder ser computado a partir de un volumen de visualización truncado y luego proyectado en un plano (film). El volumen debe poder ser proyectado en uno de dos tipos de proyecciones: paralela o perspectiva. Dpto. de Informática - Roberto 217 2

21 Dónde está el Film? Las cámaras reales tienen un rollo de film que captura las imágenes El film de una cámara sintética es un rectángulo en un plano de film infinito que contiene la imagen de la escena. Dónde se encuentra ubicado el plano de film respecto de las otras partes de la cámara. Cercano al plano frontal?, al plano trasero?.. entremedio? En general suele pensarse que el plano del film se encuentra en el punto del ojo (Posición). Básicamente, no importa donde se encuentre posicionado el plano del Film. Dpto. de Informática - Roberto

22 Visualización - Parte 3 - Dpto. de Informática Fac. Cs. Físico-Mat. y Nat. Universidad Nacional De San Luis Argentina

23 Visualización 3D Preguntas Cómo se obtiene una imagen 2D a partir de los parámetros de visualización 3D? Qué operaciones permiten realizar una proyección y cómo se realizan estas operaciones en el pipeline? Cuál es la relación entre la proyección en perspectiva y las matrices? Qué papel juegan las coordenadas homogéneas en el proceso? Cómo se conserva la profundidad de un punto desde el ojo, de modo que los objetos lejanos sean removidos? Cómo se realiza el recorte?. Dpto. de Informática - Roberto

24 Qué tenemos - Parámetros 1) Ubicación de la parte visible del mundo mediante la especificación de la posición de la cámara y su dirección/orientación: Posición (un punto) Vectores Look & Up 2) Forma del volumen de visualización de cámara por medio: Ángulos de visualización horizontal y vertical Planos de recorte frontal y trasero 3) Especificación de Proyección Perspectiva / Paralela 4) Sistemas de Coordenadas Coordenadas del mundo espacio 3D dextrógiro (x, y, z). Coordenadas de visualización sistema de coordenadas 3D dextrógiro de la cámara (u, v, n). Posición arbitraria de la Cámara Dpto. de Informática - Roberto 217 Sistema de coordenadas de la Cámara (con n saliendo hacia el observador) 24

25 Qué tenemos Volumen de Visualización Truncado para Proyecciones Paralelas Ortogonales Width Far distance Height Look vector Near distance Up vector Position Dpto. de Informática - Roberto

26 Qué tenemos Volumen de Visualización Truncado para Proyecciones en Perspectiva (frustum) Width angle = Height angle Aspect ratio Up vector Look vector Height angle Position Near distance Far distance Dpto. de Informática - Roberto

27 Qué tenemos -- Matemática tipos de Transformaciones Lineal Afines Proyectivas Todas las transformaciones convierten líneas en líneas (solo se necesitan los puntos que las definen). Lineales: - Preservan las líneas paralelas. - El vector [, ] es siempre transformado en [, ]. Ejemplo: Escalar y Rotar. Afines: - Preservan las líneas paralelas. - El vector [, ] no es siempre transformado en [, ]. Ejemplo: Trasladar, Escalar y Rotar (dado que también son afines). Proyectivas - No necesariamente preservan las líneas paralelas. Ejemplo: una transformación del modelo de la cámara sintética que es proyectiva. Trasladar, Escalar y Rotar son proyectivas. Dpto. de Informática - Roberto

28 Qué necesito Generalizar el procedimiento El usuario especifica una visualización arbitraria mediante los parámetros. Problema: convertir una especificación de visualización arbitraria en una imagen 2D de la escena. Es un problema complejo, tanto para el recorte como la proyección Solución: Reducir a problemas más simples y resolver. Dpto. de Informática - Roberto

29 Visualización 3D Para obtener una imagen 2D a partir de parámetros de visualización 3D arbitrarios Estrategia Generalizar (y facilitar) el método mediante una visualización canónica. A partir de la posición arbitraria especificada por el usuario definir una posición de visualización canónica con un volumen de visualización canónico.. El proceso se puede dividir en tres etapas: 1. Obtener los parámetros de especificación de la visualización. 2. Transformar la visualización especificada en una visualización canónica. 3. Usando el volumen de visualización canónico, recortar y proyectar la escena generando la imagen 2D. Dpto. de Informática - Roberto

30 Posición de Visualización Canónica Debe ser una posición genérica que se pueda aplicar a cualquier especificación. Para ello: posicionarse en el origen del sist. de coordenadas: Position = (,, ). dirección hacia las z negativas: Look vector = (,, 1). orientación vertical (y-axis): Up vector = (, 1, ). N Dpto. de Informática - Roberto 217 3

31 Volumen de Visualización Canónico El problema de Proyección Paralela Se debe normalizar el volumen de visualización a un cuboide en el origen, y dirección z negativa. Nota: es un cuboide, no un cubo (simplifica las transformaciones aritméticas y recorte) (1, 1, ) Look Plano trasero z = -1 Plano frontal z = El problema de Proyección Perspectiva Se debe normalizar a un frustum unitario en el origen de coordenadas y dirección z negativa, luego transformar en volumen paralelo (cuboide). Dpto. de Informática - Roberto

32 Pasos de Normalización Descomponer en múltiples pasos. Cada paso esta definido por una matriz de transformación. El producto entre las matrices define una única transformación general, denominada matriz de composición. El caso Paralelo Pasos: 1) mover el ojo/cámara al origen de coordenadas. 2) transformación de visualización de modo que el sistema (u, v, n) se alinie con (x, y, z). 3) ajustar las escalas del volumen de visualización para que se encuentre entre 1 y 1 para el eje x e y, el plano trasero en z = 1, y el frontal en z =. El caso en Perspectiva Los mismos pasos del caso paralelo (1, 2, 3), con un paso más: 4) distorsionar la pirámide a un cuboide para obtener la distorsión en perspectiva y alinear los planos trasero y frontal. Dpto. de Informática - Roberto

33 Pipeline de Geometría 3D Espacio del Modelo escalado, traslación, rotación,... Espacio del Mundo traslación, rotación,... Dpto. de Informática - Roberto

34 Pipeline de Geometría 3D Espacio del Ojo Posición de Visualización Canónica transformación proyectiva, escalado, y rotación Espacio de Proyección Normalizado Volumen de Visualización Canónico Dpto. de Informática - Roberto 217 proyectar, escalado, traslación 34

35 Pipeline de Geometría 3D Espacio del Dispositivo Normalizado escalado Espacio de la imagen (espacio de ventana) (espacio de pantalla) Dpto. de Informática - Roberto

36 Pasos de Normalización 1 Posicionar el ojo en el origen de coordenadas Definir una matriz que lleve los puntos desde (Posx, Posy, Posz) a (,, ) Solución: es la inversa de la traslación asociada a la definición de la posición de visualización (tx, ty, tz) = ( Posx, Posy, Posz) La matriz sería: [ 1 T ( Position )= 1 Pos x Pos y 1 Pos z 1 ] y debe ser multiplicada con todos los vértices de los objetos en forma explícita (y la cámara implícitamente) para preservar las relaciones entre cámara y escena. Para todos los vértices p Dpto. de Informática - Roberto 217 p ' T ( Position) p 36

37 Situación actual La posición ahora se encuentra en el origen del sistema de coordenadas y Look z x Dpto. de Informática - Roberto

38 Cálculos Previos al 2do. paso Es necesario obtener los valores de u, v, and n a partir de Look and Up Es necesario poder lograr que : el vector Look se encuentre sobre el eje -n. la proyección del vector Up sobre el eje v, perpendicular al plano del eje n. el eje u debe ser perpendicular a los ejes v, n, conformando un sistema dextrógiro. método: encontrar n desde Look, luego u desde n con Up, luego v desde n con u. Look n= Look Up n u= Up n v=n u Dpto. de Informática - Roberto

39 2- Rotar la vista y alinearlo con el sistema de coordenadas del mundo La matriz de transformación M de columnas u, v, n puede rotar los ejes x, y, z en los ejes u, v, n. Aplicando a la escena la matriz inversa (transpuesta) de M (MT), es decir, matriz con filas u, v, n rotará los ejes u, v, n en los ejes x, y, z. Cada vértice de la escena deber ser multiplicado por la matriz de composición [ ux vx u v M= y y u z vz nx ny nz 1 ] [ ux v M T= x nx uy uz vy v z n y nz 1 ] p '=M T T ( Position) p Dpto. de Informática - Roberto

40 Situación actual Con esta matriz se ha trasladado y rotado los puntos de modo que Position se encuentra en el origen y los sistemas de coordenadas (u, v, n) y (x, y, z) están alineados. Look Dpto. de Informática - Roberto 217 4

41 Antes de proseguir Mas o menos los vértices están en su lugar. Falta acomodar las proporciones del volumen de visualización para que este normalizado. Ajustar las esquinas del plano de recorte trasero de manera que los valores se encuentren en (+1, +1, 1). La operación matemática funciona para volúmenes paralelos y en perspectiva. Si se consideran vectores emanando desde el origen hacia los bordes del plano trasero. Para la proyección en perspectiva, son los bordes del volumen. Para la proyección en paralelo, se encuentran dentro del volumen. Forzar que los vectores tengan un ángulo de 45 grados con los ejes x e y, por medio de escalar en x e y. Dpto. de Informática - Roberto

42 3.1 Ajustar la escala de los ejes x e y Mirando desde arriba hacia abajo (sobre el eje y): tan tan θw 2 2,, 1 Es necesario escalar en x para lograr un ángulo de 9 grados Escalamos en x usando > De la misma manera se realiza en y Dpto. de Informática - Roberto 217 θw 1 tan θw =cot θw

43 La matriz de escalado tendrá esta forma: S xy = [ cot θw 2 cot 1 1 θh 2 ] Por consiguiente la matriz de transformación compuesta es: S xy M T T ( Position ) Dpto. de Informática - Roberto

44 3.2 Ajustar la escala plano de recorte trasero El plano trasero se encuentra en algún lugar con z 1. Es necesario estirar el plano llevándolo a z = 1. La distancia en z desde el ojo hasta el plano se mantiene, aún es far. Para mantener la proporciones se debe hacer uniformemente: [ ] 1 far S xyz 1 = far ( ) 1 far Dpto. de Informática - Roberto far Pano de recorte Trasero (Far) 1 Pano de recorte Delantero (Near) 44

45 Situación actual La transformación de normalización compuesta final para el volumen de visualización canónico en perspectiva es S xyz 1 T S xy M T Position far Plano trasero en z = 1. Plano frontal en z = k (notar k > ) Dpto. de Informática - Roberto

46 Situación actual Ejemplo de punto Un punto en particular y su proyección sobre el plano de recorte frontal (Triang. Semejantes) y ys z neg ( yv, zv ) z k plano de recorte -k plano de recorte k z xs x Dpto. de Informática - Roberto 217 ( xv, zv ) y v ys yv = ys= zv k zv / k xv xs xv = x s= zv k zv / k z s =k 46

47 4 Distorción de la pirámide a un cuboide Transformar los puntos en el volumen de visualización en perspectiva entre ( k, 1) en el volumen de visualización paralelo. La matriz que realiza esto con ( < k < 1) k [] [X [ ][ ] 1 X Y =D. p= Z W [ ] 1 D= Y Z k T [ W] =x x y. z 1 y z z k ] T Resta que x e y sean perspectivizados, con los puntos cercanos al plano frontal siendo escalados. ( x, y, z )= Dpto. de Informática - Roberto 217 ( )( ) X Y Z x y,, =,, k =( x s, ys, z s ) W W W z /k z /k 47

48 Situación actual antes de TP ojo y z después de TP y ( 1, 1, 1) ( 1, 1, 1) z x (k, k, k ) Dpto. de Informática - Roberto 217 x (1, 1, ) 48

49 Recorte Resta por recortar y proyectarlos en el plano del film. Volumen normalizado, se extiende desde 1 a 1 para x e y, y desde a 1 para z. (-1, 1, 1) (-1, 1, ) (1, 1, 1) (-1, -1, 1) z y (1, 1, ) (-1, -1, ) x (1, -1, 1) Ubicación del plano trasero Ubicación del plano frontal (1, -1, ) Nota: versión rotada (en z) del volumen de visualización canónico. Recorte es fácil! Evaluar las componentes x e y de los puntos contra +/-1. Evaluar la componente z contra y 1. Dpto. de Informática - Roberto

50 Recorte Los vértices que caen dentro de los valores son guardados y los otros recortados a los valores de intersección con el plano del volumen. x 1 t x t x1 t 1 y 1 t y t y1 (x1, y1, z1 ) t=1 z 1 t z t z1 t= En 2D: (x, y, z ) y (1, 1) x=1 x (x, y ) (-1, -1) Dpto. de Informática - Roberto 217 (x1, y1 ) 1 1 t x tx1 1 x tx tx1 1 x t x1 x t 1 x x1 x 5

51 Muestreo / Rasterización Se puede generar un plasmado simplemente descartando el valor z para proyectarlo sobre el plano xy. Un punto (x,y,z) donde 1 x, y 1, z 1 se convierte en el punto (x, y ) en el espacio de pantalla (asumiendo que se usa toda la pantalla) con ' por medio de - ignorar z 1 - x ' 512( x+1 ) - y' 512 ( y+1) ' x, y 124 Si la visualización se encuentra dentro de una ventana, será necesario escalar y trasladar los valores a las coordenadas de ventana. Nota: por ser proyección paralela se pude hacer la proyección sobre cualquier plano de recorte (frontal o trasero), la imagen será siempre la misma. Dpto. de Informática - Roberto

52 Resumen Transformación final: ' p =DS xyz 1 T S xy M T Position p far Basta conocer los parámetros de visualización (Position, Up vector, Look vector, Height angle, Aspect ratio, Near, y Far) Para computar y multiplicadas todas juntas, generando una única matriz que se aplica a todos los puntos de todos los objetos y transportarlos desde el espacio del mundo al volumen de visualización paralelo. D, S xyz Dpto. de Informática - Roberto T, S xy, M,T Position far 52

53 Resumen El modelo puede crear los siguiente volúmenes: perspectiva: ángulo de visión positivo. paralelo: ángulo de visión. El modelo no puede crear volumen de visualización oblicuos. Volumen de visualización oblicuo vs No-oblicuo: Volumen de Visualización No oblicuo: Vector Look perpendicular al plano del film Volumen de Visualización Oblicuo: Vector Look en ángulo con el plano del film Dpto. de Informática - Roberto

54 Resumen El problema completo se puede resumir en la multiplicación de todos los vértices con una matriz de composición, luego recorte y luego una multiplicación final para generar las coordenadas de pantalla. La matriz de composición final será la suma de todas las transformaciones de modelado, junto con las transformaciones de normalización aplicadas al sistema de coordenadas del mundo Dpto. de Informática - Roberto

55 Dpto. de Informática - Roberto