AVESTRUZ AL HORNO Receta para n > 30 personas

Transcripción

1 AVESTRUZ AL HORNO Receta para n > 30 personas Carlos Vaquera Departamento de Física, DCI Universidad de Guanajuato 21 de septiembre de 2011

2 Contenido 1 Objetivo 2 Modelo 3 Pollo Rostizado 4 Guajolote horneado 5 Avestruz al horno!

3 Objetivo Obtener un modelo para determinar el tiempo óptimo de cocción en la preparación de una avestruz al horno Figura: Ejemplar de la especie Struthio camelus.

4 Esquema de trabajo Modelar el tiempo requerido para rostizar un pollo Probar la predictibilidad del modelo con otra especie de ave: guajolote Extrapolar el modelo para aplicarlo a la avestruz

5 Ingredientes 1.-Ley de Newton del enfriamiento Q Energía térmica t Tiempo S Superficie dq dt h Coeficiente de transferencia de calor T Temperatura del cuerpo T a Temperatura del medio = hs (T T a ) (1)

6 2.-Calor específico dq = mcdt (2) m Masa del cuerpo c Calor específico

7 Objetivo Modelo Pollo Rostizado Guajolote horneado 3.-Horno Figura: Horno de adobe artesanal. Avestruz al horno!

8 4.-Ave Figura: Ave. Muerta, por supuesto.

9 Preparación 1.-Mezcle (1) y (2) por partes iguales para obtener dt dt = hs mc (T T a). (3) 2.- Note que m = ρv, donde ρ es la densidad del objeto y V su volumen dt dt = hs ρcv (T T a). (4)

10 3.- Resuelva con las condiciones iniciales T 0 = T(t 0 ) t t T = hs t t 0 T T a ρcv t 0 ln T(t) T a T 0 T a = hs ρcv (t t 0) t t 0 = ρcv hs ln T(t) T a T 0 T a. (5)

11 Pollo rostizado Figura: Ejemplar de la especie Gallus gallus domesticus.

12 Hipótesis: h, ρ y c son constantes El pollo es esférico: S = 4πr 2, V = 4πr 3 /3 t t 0 = ρcr 3h ln T(t) T a T 0 T a (6) Eliminando r a favor de la masa: m = 4πρr 3 /3 t t 0 = m1/3 β ln T(t) T a T 0 T a, β = h c ( ) 1/3 36π. (7) ρ 2

13 determinación de β Datos experimentales Chicken Roasting times (stuffed) a m (lb) t (h) t 0 = 0 T 0 = 27 C = 300K T a = 190 C = 463K T(t) = 83 C = 356K (8) a

14 Con (8) definimos λ = ln T(t) T a T 0 T a = (9) de modo que (7) queda t = λ β m1/3. (10) Contamos con 4 datos experimentales (pésimos, por cierto) y a pesar de su mala calidad, podemos mejorar el modelo con ellos!

15 Nueva hipótesis El pollo no es esférico ( alguien lo había ya notado?). Introducimos una nueva variable α tal que t = λ β mα (11) y usamos los datos experimentales para ajustar α y β.

16 Para empezar, tomamos el logaritmo de (11) en ambos miembros y obtenemos [ ] λ ln t = ln β mα = α ln m + ln λ β, (12) Sí, una línea recta y = αx + b, con y = ln t, x = ln m, b = ln (λ/β) (13)

17 El Ajuste: Mínimos cuadrados Nuevos Ingredientes Una curva modelo: y(x) = αx + b N datos experimentales (x i, y i ), i = 1,..., N con sus respectivos errores (δx i, δy i ) Una función muy positiva: Ji cuadrada, por nombre con N χ 2 (y(x i ) y i ) 2 = i=1 σ 2 i (14) ( ) 2 σ i = (δy i ) 2 yi + (δx i ) 2 (15) x i

18 Nota En muchos casos σ i δy i. No en el nuestro, así que es preciso estimar y i x i. Esto se logra iterativamente, tomando en un primer ajuste σ (0) i = δy i para encontrar y i x i α (0) y calcular σ (1) i = (δy i ) 2 + (α (0) ) 2 (δx i ) 2 para hacer un mejor ajuste.

19 Nueva preparación Buscamos los valores para α y b que minimicen χ 2 : χ 2 α = 2 N i=1 χ 2 b = 2 N i=1 (αx i + b y i ) x i σ 2 i (αx i + b y i ) σ 2 i = 0 = 0 (16)

20 las ecuaciones anteriores forman un sistema lineal: ( ) ( ) ( ) sxx s x α sxy = s x s 1 b s y con (17) s xx = N xi 2 i=1 σi 2 x i y i σi 2 s xy = N i=1 s x = N i=1 s y = N i=1 x i σi 2 y i σi 2 s 1 = N i=1 s yy = N i=1 1 σi 2 y 2 σi 2 (18) cuya solución es ( α b ) = 1 s xx s 1 s 2 x ( sxy s 1 s x s y s xx s y s xy s x ) (19)

21 La incertidumbre en α y β puede estimarse como δα = N ( ) 2 α N ( ) 2 α (δx i ) 2 + (δy i ) 2 (20) x i y i i=1 i=1 δb = N ( ) 2 b N ( ) 2 b (δx i ) 2 + (δy i ) 2. (21) x i y i i=1 i=1

22 Con los datos experimentales disponibles (convertidos por supuesto a unidades civilizadas [m] = kg) se obtiene α = 0.51 ± 0.38 (22) b = 0.43 ± (23) La incertidumbre es espantosa, pero el valor central puede ser útil! Ahora podemos saber si el modelo es válido para guajolotes. Nueva hipótesis β pollo = β guajolote

23 Pero antes, una mirada al ajuste t(h) m (kg) Tiempo de cocción como función de la masa del pollo.

24 Predictibilidad de modelo Cómo se comporta nuestro modelo en un régimen de masas superior? Comparémoslo con los datos experimentales disponibles para el guajolote horneado: Figura: Ejemplar inconforme de la especie Meleagris gallopavo.

25 Guajolote al Horno Datos experimentales Turkey Roasting times (stuffed) a m (lb) t (h) t 0 = 0 T 0 = 27 C = 300K T a = 190 C = 463K T(t) = 83 C = 356K (24) a

26 Nuevos datos vs extrapolación del modelo t(h) m (kg) Tiempo de cocción como función de la masa del guajolote.

27 El modelo es predictivo! Para mejorarlo podemos incorporar los datos disponibles para el guajolote y hacer un nuevo ajuste, con lo que se obtiene α = 0.49 ± 0.06 (25) b = 0.45 ± 0.09 (26) El valor central no cambió mucho, pero la incertidumbre se redujo dramáticamente.

28 Modelo mejorado vs datos pollo + guajolote t(h) m (kg) Tiempo de cocción como función de la masa del ave.

29 La hipótesis β pollo = β guajolote fue exitosa, por lo tanto postulamos β ave = β pollo = β guajolote para encontrar la ecuación general de cualquier ave en el horno: t t 0 = mα β ln T(t) T a T 0 T a (27) con α = 0.49 ± 0.06 (28) β = 0.27 ± 0.02 kg α /h (29) que podemos aplicar directamente a nuestra avestruz.

30 Avestruz al horno! Si cuenta usted con una familia numerosa -y excéntrica- puede ofrecerles una majestuosa Avestruz (rellena, vaya usted a saber de qué) al Horno. Si la avestruz de 180 kg se encuentra a temperatura ambiente T 0 = 300K y el horno está precalentado a T a = 463K, el ave alcanzará la temperatura necesaria para eliminar el riesgo de salmonelosis y quedar exquisitamente cocida (T = 356K) en solo t avestruz = 20 ± 7h. (30)

31 Buen Provecho!