Preliminares: Número real y complejo.

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1 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0- GRADO EN INGENIERÍA DE LA SALUD CÁLCULO BOLETÍN DE PROBLEMAS CURSO 0- Preliminares: Número real y complejo.. Demostrar que si 0 < a < b, entonces a < ab < a + b < b.. Demostrar que si m, n IN entonces (m + n) m > si y sólo si (m + n) n <. 3. a) Si a es racional y b es irracional, es a + b necesariamente irracional? b) Si a y b son ambos irracionales, es a + b necesariamente irracional? Y el recíproco? 4. Demostrar que si x, y IR, entonces: a) Si a > 0, se tiene x a a x a. b) x + y x + y. c) xy = x y. d) x y x + y. e) x y x y. f) x < y x < y. 5. Justificar cuál de las dos condiciones siguientes es necesaria y suficiente para que dados a, b IR, se tenga a + b = a + b. a) a 0 y b 0. b) ab Demostrar que si x, y IR, entonces: x + y + x y a) máx{x, y} =. x + y y x b) mín{x, y} =. 7. Resolver las siguientes desigualdades: a) 5 x + 6 < 4. b) x x < 6. c) 3x x > 0. d) x x + 0. e) x 3 5x + 4x 0. f) + x + x + x x 99 0.

2 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-8. Decidir qué relación es cierta entre las que se proponen, y justificar qué habría que hacer en cada caso para obtener una equivalencia: a) x +,, x ( 3, ). b) 3x,, x 3 ó x. c) 5 x <,, x ( 6, 4 ). d) x,, x [ 3, ] [, 3]. 9. Encontrar los números x para los que se cumpla: a) x + x >. b) x + x + <. 0. Representar los siguientes números complejos: a) z = 3i b) z = 7i c) z = + i. Expresar en forma polar los siguientes números complejos: a) z = 6i b) z = 5 + i c) z = 4 d) z = 7i. Expresar en forma binómica: a) e iπ b) e +iπ c) e +iπ 4 d) e +i π 4 3. Calcular tres argumentos del número complejo + i. 4. Hallar el módulo y el argumento del siguiente complejo: z = +i i Obtener las dos raíces complejas de la ecuación x 3 3x + 9 = 0 y expresarlas en forma polar. Como son entre sí? Se puede generalizar el resultado? 6. Encontrar todos los valores posibles de z = 6 30i y z = 3 + 4i + 3 4i. 7. Resolver las siguientes ecuaciones: a) z 4 z 3 + z z + = 0 b) z 5 = ( z) 5 c) z 6 iz 3 = 0

3 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-3 d) e z = e) e z = + i 8. Calcular: a) (4 + 3i) +i b) (i i ) i c) ln ( + ) 3 i 9. Hallar la parte real de + + z siendo z = eiα. 0. Sabiendo que z = (3, 60 o ), z = (, 5 o ) y z 3 = (6, 30 o ) calcular z z z 3.

4 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-4. Análisis y aplicaciones de las funciones reales de una variable real.. Estudiar el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f(x) = ln(x 4) b) f(x) = e x x x c) f(x) = sen x d) f(x) = ln((x3 3x + )( x )) x. Estudiar los límites laterales de f(x) = en x = y x =. (x )(x ) 3. Hallar los siguientes límites de funciones reales de variable real: x n a n a) lim x a x a x m b) lim x x n c) lim x a (x n a n ) na n (x a) (x a) (x + h) 3 x 3 d) lim h 0 h e) lim x 0 (cos x) ctg x f) lim x π 4 tg x (tg x) g) lim x(ln(x + 3) ln x) x cos x cos(x) h) lim x 0 cos x sen(3x) sen(5x) i) lim x 0 (x x 3 ) 4. Sea f : (0, ) (, + ) IR definida como f(x) = x ln x x. Estudiar la continuidad de f en x = y a la derecha de x = Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x) = (x + ) b) f(x) = sen x c) f(x) = e sen x d) f(x) = e π x sen x e) f(x) = e x { x f) f(x) = ( + sen x ) si x 0 0 si x = 0

5 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Estudiar la continuidad de f, g, f g y g f si: a) f(x) = x + x x si x < 0 y g(x) = x si x 0 si x x si x b) f(x) = y g(x) = 0 si x > 0 si x > 7. Estudiar el valor de k para que sean continuas las funciones: x 9 si x 3 a) f(x) = x 3 b) f(x) = k si x = 3 x + x 3 + k si x si x = 8. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos de abcisas x =, x = 0 y x 3 =. a) y = x 3 b) y = 3 x 9. Hallar los valores de las constantes a, b y c, para los cuales las gráficas de las funciones f(x) = x +ax+b y g(x) = x 3 c se cortan en el punto (, ). Qué valores deben tomar a, b y c, para que además posean la misma tangente en el punto (, )? 30. Demostrar que la recta y = x, es tangente a la curva dada por la ecuación y = x 3 6x + 8x. Hallar los puntos de tangencia. Vuelve la curva a cortar a la tangente? 3. Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones: { x { x 0 a) y = + e /x b) y = 0 x = 0 x x 0 ln(x + ) x > 0 3. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x) en todo IR siendo f(x) = x 3 sen x si x 0 y f(0) = 0. Repetir el estudio para f (x). 33. a) Aplicar el Teorema de Lagrange en el intervalo [0, 4] a la función f(x) = x + 9, calculando de manera explícita el valor del punto intermedio. b) Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x, en el intervalo [π/4, 3π/4]. Hallar explícitamente el valor del punto intermedio. 34. Estudiar para qué valores de a, b IR son derivables, en el punto x 0, las funciones: { x x x a) f(x) = 0 x > x 0 b) g(x) = x ax + b x > x 0 a + bx x x Dada la función f(x) = + x x x 0 x =, estudiar

6 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-6 a) Derivabilidad en x = 0 y en x =. b) Satisface f las hipótesis del Teorema de Rolle en [ /, /]? Y la tesis? (x + ax + b) sen 36. Sean f(x) = x si x 0 0 si x = 0 y g(x) = sen x. a) Determinar a y b para que f sea derivable en x = 0. b) Estudiar si se verifica la igualdad lim x 0 f (x) g (x) = f (0) g (0). f(x) c) Calcular lim. Se contradicen los resultados obtenidos en los apartados b y c con la regla x 0 g(x) de L Hôpital? Razonar la respuesta. 37. Estudiar el dominio y los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones: a) f(x) =ln(sen(x)) b) f(x) = ln(x) x x c) f(x) = x Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x sen(x). Hacer un esbozo de su gráfica y a partir de él, hacer otro de la gráfica de f (x). 39. Estudiar las asíntotas, intervalos de crecimiento, concavidad y convexidad de la función f(x) = 3 x Se considera la función f(x) = x e x. Se pide: a) Hallar sus asíntotas y ramas parabólicas. b) Obtener los intervalos de crecimiento, concavidad y convexidad. ( ) x Dada la función f(x) = ln determinar el dominio de definición, los intervalos de crecimiento, x 3 los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión. 4. Estudiar y representar gráficamente las siguientes funciones: a) f(x) = e x b) f(x) = 3 x 3 x ( ) x c) f(x) = ln x Obtener la fórmula de McLaurin de grado n de las funciones: a) ln( + x) b) + x c) Sh(x) d) + x

7 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-7 expresando el término complementario en la forma de Lagrange. 44. Obtener el desarrollo de Taylor de orden de la función f(x) = ln x x el resto en forma de Lagrange. en el punto x =, expresando 45. Desarrollar la función f(x) = x 4 + 4x 3 + 3x + x + 7 en potencias de x Obtener el desarrollo de McLaurin de segundo orden de la función f(x) = sen x x si x IR {0} si x = Sea la función f(x) = ln( + x) sen x. Se pide: a) Desarrollar f(x) en serie de McLaurin hasta el término de tercer grado más el resto de Lagrange. f(x) + x b) Utilizar el desarrollo anterior para calcular: lim x 0 x Calcular los polinomios de McLaurin de tercer grado de las funciones y aplicarlos para calcular lim x 0 f(x) = x sen x y g(x) = x x x sen x x x ln( + x). ln( + x) x( x 49. Usando desarrollos de Taylor, calcular: lim ) sen(ln(x + )). x 0 tg( sen x) x 50. Demostrar que el error que se comete al tomar como valor aproximado de 3.03 es inferior a 0.0 utilizando el Teorema del Valor Medio. Qué error se obtiene usando la fórmula de Taylor de segundo grado? 5. Sea f : (0, ) (, + ) IR la función definida por f(x) = x ln x x a) Definir f(0) y f() de modo que f sea continua en x = 0 y en x =. b) Estudiar la derivabilidad de la función obtenida en [0,+ ). c) Obtener, si existen, los desarrollos de Taylor, de orden, de la función f en x = 0 y en x =. 5. Usando desarrollos limitados, calcular los siguientes límites: a) lim sen ax x 0 sen bx c) lim ( x 0 x e x ) d) lim x π e) lim ln x x x + x g) lim x 0 cos(sen x) cos x x 4 ln( + x) x b) lim x 0 cos x f) lim x cos x x π sen( π x) ln x (x 3 + 5)(x ) h) lim x x x

8 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Utilizando desarrollos de McLaurin, indicar el número de términos necesarios para calcular aproximadamente, y con los errores máximos que se indican, los siguientes números: a)., con error menor que 0 5. b) e, con error menor que 0 9. c) sen, con error menor que Sea y = f(x) tal que f (x) = + x 3, x >, siendo f() = y f () =. Hallar el polinomio de Taylor de orden de f(x) en x 0 =, y obtener con dicho polinomio una aproximación de f(3/), acotando el error cometido. 55. De una función f : IR IR se sabe que: a) posee derivadas de cualquier orden en el intervalo ( 0, 0 ), b) f(0) =, f (0) = 3 y f (0) = 0, c) y que para x [ 0, 0 ] se tiene que f (x) ( 0, 00 ). Se pide: a) Aproximar f( 0 ) mediante un polinomio de grado, dando una cota del error cometido. b) Estudiar si en x = 0 puede haber un extremo relativo. Qué tipo de punto es x = 0? 56. a) Calcular lim x 0 ln( + x ) ln ( + x) ln( + x 3 ) x cos x a ln( + x) bx ln( + x) b) Determinar a y b para que lim = 0 x 0 + x ln( + x) 57. Sea f(x) = x + x x + g(x), siendo g(x) una función tal que g(0) = 0, g (0) =, g (0) = 4, g (0) = 6 y g (IV ) (0) = 0. a) Calcular el desarrollo de McLaurin de orden 4 de las funciones f(x) y g(x). b) Calcular α, β IR para que f(x) y α (g(x)) β sean infinitésimos equivalentes en x = 0. c) Indicar qué tipo de punto presenta la función f(x) en x = 0 y representarla gráficamente en un entorno de dicho punto. 58. Sea la función f(x) = { cos x e sen x, si x > 0 cos x e sen x, si x 0 a) Estudiar el dominio, la continuidad y la derivabilidad de f(x). f(x) b) Utilizar el polinomio de MacLaurin de f(x) de grado adecuado para calcular lim x 0 x. cos x e sen x c) Quiere esto decir que lim = x 0 x y lim cos x e sen x =? Dar una x 0 x explicación de por qué esta situación no contradice el apartado anterior. 59. Hallar los máximos y mínimos de las funciones: a) f(x) = x arctg(x) b) f(x) = x x

9 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-9 c) f(x) = x(ln(x)) 60. Un alambre de m. de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se construye un rectángulo cuyo lado mayor mide el doble del menor, y con el otro una circunferencia. Se pide calcular las dimensiones de los objetos si la suma de las áreas que encierran ha de ser: a) Máxima. b) Mínima. 6. Un depósito cilíndrico coronado por una bóveda semiesférica debe tener un volúmen de m 3. Si el coste del m de bóveda es doble que el coste del m de muro, calcular las dimensiones más económicas del depósito. 6. Se necesita conectar mediante una línea de alta tensión una central eléctrica situada a la orilla de un caudaloso río con una isla situada 4 Km. río abajo y a Km. de la orilla. Hallar el coste mínimo para dicha línea si el precio del Km. subacuático es de euros y el del Km. subterráneo es de euros (suponer el río recto en ese tramo). 63. Obtener el punto de la curva xy = desde el que se ve bajo un ángulo máximo el segmento limitado por los puntos A(, 0) y B(, 0). 64. Se define la distancia de un punto a una recta como el valor mínimo de las distancias de dicho punto a un punto variable de la recta. Calcular, haciendo uso exclusivamente de la teoría de máximos y mínimos, la distancia del punto (, ) a la recta x + y =. 65. Se trata de hacer un embudo cónico recortando en un círculo de radio R un determinado sector circular, y uniendo luego entre sí los lados rectos de dicho sector. Cuál ha de ser el valor del ángulo central del sector para que el cono así obtenido tenga un volúmen máximo?. 66. En un rectángulo de 4 m. de perímetro se sustituyen dos de los lados opuestos por semicircunferencias exteriores. Cuál debe ser el radio de éstas para que el área de la figura resultante sea máxima (mínima)?. 67. Se considera la parábola y = 3 x y el triángulo del primer cuadrante formado por los semiejes positivos y la tangente a la parábola en un punto P (a, b) de la misma. Hallar las coordenadas de dicho punto para que el área del triángulo sea mínima, justificando el resultado. 68. Se considera un cono equilátero inscrito en una esfera de 40 cm. de radio. Trazar un plano normal al eje del cono de forma que la corona que dicho plano determina al cortar a la esfera y al cono tenga área máxima.

10 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-0. Métodos numéricos de cálculo 69. Aplicar el método de bisección a la ecuación x 3 7 = 0 a fin de determinar la raíz cúbica de 7 con un error menor que Aproximar, utilizando el método de bisección, la raíz de f(x) = e x ln(x) con un error menor que La ecuación e x 3x = 0 tiene por raíz a r = Comenzando en el intervalo [0, ], realizar seis iteraciones por el método de bisección para encontrar la raíz aproximada. Cuantos decimales significativos tiene dicha aproximación? Cuantas iteraciones son necesarias para que la raíz obtenida tenga un error menor que Sabiendo que existe una raíz de la ecuación x 3 + x = 6 entre 55 y 75, cuantas iteraciones son necesarias hasta obtener, mediante el método de bisección, un intervalo de amplitud menor o igual que 0 3 que contenga a la raíz? Calcular todas las iteraciones necesarias. 73. Queremos aproximar el valor de la raíz séptima de 7 usando que es una raíz de x 7 7 = 0. a) Demostrar que tiene una única solución real. b) Determinar un intervalo de longitud uno y extremos números enteros, que contenga la solución. c) Determinar un valor de ese intervalo que usado como valor inicial, garantice la convergencia del método de Newton-Raphson. d) Hacer tres iteraciones partiendo del x 0 obtenido en el apartado anterior. e) Acotar el error de la anterior aproximación. 74. Considérese la ecuación x e x = 0. Se pide: a) Demostrar que tiene una única solución real en el intervalo [ 3, 3]. b) Determinar un intervalo de amplitud uno y extremos números enteros que contenga a dicha solución. c) Determinar un valor de ese intervalo que, usado como valor inicial, asegure la convergencia del método de Newton-Raphson. d) Realizar dos iteraciones del método de Newton-Raphson, con el valor inicial del apartado anterior. 75. Considérese la ecuación cos(x) x + = 0. Se pide: a) Demostrar que tiene una única solución real en el intervalo [0, π]. b) Determinar un intervalo de amplitud uno y extremos números enteros que contenga a dicha solución. c) Determinar un valor de ese intervalo que, usado como valor inicial, asegure la convergencia del método de Newton-Raphson. d) Realizar dos iteraciones del método de Newton-Raphson, con el valor inicial del apartado anterior. 76. Demostrar que la ecuación xe x x + = 0 posee dos raíces reales, y separarlas en sendos intervalos de amplitud y extremos enteros. Estudiar si en esos intervalos se verifican las hipótesis de Fourier. 77. Dada la función f(x) = x sen x, se pide: 4

11 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0- a) Demostrar que la ecuación f(x) = 0 posee una única raíz real, determinando razonadamente un intervalo de amplitud π que contenga tal solución. 4 b) Aplicar la Regla de Fourier para encontrar un punto inicial en el que el método de Newton- Raphson asociado a f(x) tenga garantizada la convergencia. Dar una aproximación del cero de f(x) realizando dos iteraciones según dicho método, estimando el error cometido. 78. Dada la ecuación sen x x + a = 0, se pide: a) Determinar para qué valor de la constante a la ecuación posee una raíz triple en el intervalo [0, ] y calcular dicha raíz. b) Para a =, demostrar analíticamente que la ecuación tiene una única raíz, que ésta es simple y se encuentra en el intervalo [0, ]. c) Justificar que en el intervalo [0, ] no se verifican las hipótesis de la regla de Fourier. Obtener un intervalo de amplitud en el que sí se verifique y dar, razonadamente, un valor de x 0 para iniciar el método de Newton que garantize la convergencia de este. d) Sabiendo que la primera iteración del método de Newton ha proporcionado la aproximación x = (redondeando al sexto dígito), realizar una iteración más y da una cota del error para esta iteración. 79. Dada la ecuación cos(x) x = 5, x [ 0, 0], localizar un intervalo de amplitud uno que contenga a la solución de dicha ecuación. Cuántas iteraciones habrá que realizar para obtener una aproximación de la solución con error menor que 0? 80. a) Tomando z 0 = 44 como aproximación de z = (que tiene todas sus cifras decimales exactas), dar una aproximación del valor de ( ) 5 con todas sus cifras decimales exactas y estimar el error cometido. b) Determinar la precisión (mínima) con la que hay que tomar par calcular ( ) 5 con tres cifras decimales exactas. Dar dicha aproximación de ( ) 5 de tres cifras decimales y todas exactas. 8. Usando aritmética con cuatro cifras decimales y redondeo. a) Calcular una cota de los errores relativos que se cometen al aproximar (en esta aritmética) x = 3 = e y = 8 9 = b) Consideremos x y = 39 = y x + y = = Obtener unas cotas de los errores relativos al aproximar x y y x + y por sus números redondeado en dicha aritmética. Comparar con los errores anteriores. 8. De cierta función f : IR IR se conocen sus siguientes datos: f( ) =, f(0) =, f() = 3, f() = 5, f(4) = 3. Hallar el polinomio interpolador de f en el soporte S = {, 0,,, 4}. 83. Sea h(x) un polinomio de grado cuatro. El polinomio interpolador de h para el soporte S = {0,,, 3, 4} es siempre un polinomio de grado cinco. puede coincidir, en algunas ocasiones, con h(x). puede ser un polinomio de grado tres. coincidirá con h(x). 84. De cierta función f : IR IR se conocen sus siguientes datos: f( ) = 3, f(0) =, f() =, f() =, f(3) = 3. Calcular el polinomio interpolador de f en el soporte S = {, 0,,, 4}.

12 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Dada la función f(x) = sen(x) + x, hallar el polinomio interpolador de f(x) con soporte S = {0, π/, π, 3π/, π}. 86. Sea f(x) una función tal que f() = 3. Se sabe que el polinomio interpolador de f(x) para soporte S = {,, 0} es P (x) = x + x +. Si ahora consideramos un nuevo soporte S = {,, 0, }, el polinomio interpolador de f(x) en el nuevo soporte S tendrá grado tres. puede coincidir con P (x). coincidirá con P (x). ninguna de las anteriores. 87. Hallar el polinomio interpolador para el soporte S = {(, 4), (, 8), (0, 3), (, )}. 88. Se sabe que el polinomio interpolador para el soporte S = {(, 8), (, 4), (0, ), (, 4)} es P (x) = 3x 3 +x 3x+. Si ahora consideramos un nuevo soporte S = {( 3, ), (, 8), (, 4), (0, ), (, 4)}, entonces el polinomio interpolador para este nuevo soporte S tendrá grado tres. no coincidirá con P (x). coincidirá con P (x). tendrá grado cinco. 89. Obtener el polinomio interpolador P (x) de Lagrange para la función f(x) = log(x) con el soporte S = {,, 4, 6, 8}. Determinar la función del error y acotar el error cometido al usar P (x) para aproximar el valor de log(3).

13 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Cálculo diferencial de funciones de varias variables 90. Determinar el dominio de definición y el recorrido de las siguientes funciones: a) f(x, y) = ln( x y) b) f(x, y) = x + y c) f(x, y) = x + y d) f(x, y) = 3xy y x e) f(x, y) = x y f) f(x, y) = ln(x + y ) g) f(x, y) = sen(x + y ) h) f(x, y) = (x + y )(4 x y ) i) f(x, y) = x + y j) f(x, y) = arcsen(x + y) k) f(x, y) = ln[(x + x )( y )] x 9. Estudiar los límites reiterados y direccionales de las funciones: a) f(x, y) = x y, en el punto (, ). b) f(x, y) = x y x 4, en el punto (0, 0). + y Obtener, en ambos casos, el límite cuando los puntos (x, y) recorren la parábola y = x Estudiar la continuidad en IR de las siguientes funciones: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y b) f(x, y) = arctg y x x y c) f(x, y) = x + y si x y 0 si x = y d) f(x, y) = cos x y x (y ) 4 e) f(x, y) = x 4 + (y ) 8 si xy 0 0 si xy = Calcular las derivadas de primer y segundo orden de las siguientes funciones: a) z = x sen y b) z = x y c) f(x, y) = x 5 + y + ln[sen(xy )]

14 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Estudiar en cada caso la diferenciabilidad en el origen de las funciones f : IR IR definidas por: { xy a) f(x, y) = x + y 3 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) xy sen b) f(x, y) = x + y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 95. Sea f : IR IR la función definida por f(x, y) = f(x, y) = xy x + y 4 si x 0 0 si x = 0 a) Demostrar que existe la derivada direccional en el origen, cualesquiera que sea la dirección v, y calcularla en función de dicha dirección. b) Probar que, a pesar de lo anterior, la función no es continua en el origen. c) Será diferenciable en (0, 0)? 96. Sea f : IR IR definida por xy x y f(x, y) = x, si (x, y) (0, 0) + y 0 si (x, y) = (0, 0) Demostrar que D f(0, 0) D f(0, 0). Este resultado contradice el teorema sobre la igualdad de las derivadas cruzadas en un punto? Razónese la respuesta. 97. Dada la función z = 9 x y, determina las ecuaciones: a) del plano tangente a la superficie en el punto P (,, 4). b) de la recta normal a la superficie en el punto P. c) de las rectas tangentes a la superficie en P y contenidas en los planos x = e y =. 98. Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie z = cos(x + y) en el punto P ( π, π 4, ). Calcular asimismo la ecuación de la recta normal a la superficie en dicho punto. 99. Probar que la función f : IR IR definida por (x + y )sen, si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x + y 0 si (x, y) = (0, 0) es diferenciable en (0, 0) y sin embargo las derivadas parciales no son continuas en dicho punto. 00. Sea la función f(x, y) = x a x, si (x, y) (0, 0) + y 0 si (x, y) = (0, 0), donde a IR, a 0. a) Valores de a para que f(x, y) sea continua en el origen. b) Es diferenciable f(x, y) en el origen para a = 3? c) Para a = 3, comprobar que D u f(0, 0) f x (0, 0)u + f y (0, 0)u, donde u es el vector de dirección dado por u = (u, u ) = ( 3, ). Justificar razonadamente por qué no se verifica la igualdad.

15 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Calcular, en cada caso, las siguientes derivadas direccionales: a) De la función z = f(x, y) = x y, en la dirección del vector v = (, ). b) De z = f(x, y) = x 3 3x y + xy +, en el punto P (, ) y dirección del vector con origen en P y extremo en Q(4, 6). c) De z = f(x, y) = y π, en el punto P (, ) y dirección dada por θ = x + y 6. d) De z = f(x, y) = sen(x y) en P (π/, 0) y dirección de la recta y = x + y sentido creciente de las x. 0. Sean a(4, 3), u = (5, ), v = (3, 4) y f : IR IR una función tal que f(a) =, es diferenciable en a, y sus derivadas direccionales en dicho punto en las direcciones de los vectores u y v valen D u f(a) = /3 y D v f(a) = /5 respectivamente. Justificando las expresiones que se usen, se pide: a) Calcular f(a). b) Probar que la función h : IR IR dada por h(t) = f(t, t + ) es derivable en t = y calcular h (). c) Calcular la derivada direccional de h f en a según la dirección del vector (, ). 03. Calcular los valores de a y b para que el valor de la derivada direccional máxima de z = axy + byx en P (, ) sea 60 y se alcance en la dirección del eje OX. 04. La superficie de una montaña viene dada por la ecuación h(x, y) = 4000 x y. Un alpinista se encuentra en un punto de coordenadas (x, y, z) = (0, 0, 300). Bajo qué ángulo debe moverse para ascender lo más rápido posible? 05. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en el punto (x, y) viene dada por f(x, y). Un montañista situado en un punto P nota que las pendientes en dirección este y norte coinciden en ser de. En qué dirección debe moverse para el más rápido descenso? Y para el más rápido ascenso? La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en (x, y) es de 3000e x +y 00. El eje OX positivo apunta hacia el este, mientras que el OY positivo lo hace al norte. Una montañista que se encuentra situada sobre (0, 0) decide moverse al norte. Ascenderá o descenderá, y con qué pendiente? 07. Partiendo del punto P (,, 0) de la superficie z = 0 xy, determinar la dirección en que se ha de mover uno para: a) subir más rápidamente. b) permanecer en el mismo nivel. c) subir con pendiente. 08. Dada la superficie z = y e x y los puntos P (0, ) y Q(, ), se pide: a) Calcular la derivada direccional en el punto P según la dirección del vector P Q. b) Dirección y valor de la derivada direccional máxima en P. c) Plano tangente a la superficie en el punto R(0, 3, 3). d) Cuánto vale la diferencial y el incremento de la función para x = 0. y y = 0. en el punto P?

16 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Calcular las derivadas parciales de primer orden de la función z = f(x, y) definida implícitamente en cada caso por la expresión: a) y ze x+y sen(xyz) = 0. Sol: z x = y ze x+y yz cos(xyz) xy cos(xyz) y e x+y, z y = xz cos(xyz) yz(y + )ex+y y e x+y xy cos(xyz) b) xy z 3 + x 3 y z = x + y + z. Sol. c) xyz = cos(x + y + z). z x = y z 3 3x y z 3z xy + x 3 y, z y = yxz3 x 3 yz 3xy z + x 3 y Sol. z x yz + sen(x + y + z) = xy + sen(x + y + z), xz + sen(x + y + z) z y = xy + sen(x + y + z) 0. Calcular las derivadas parciales de primer orden (z x, z y) y de segundo orden (z x, z z = f(x, y) definida implícitamente en cada caso por las siguientes funciones: a) x + xy + z = 0. b) x + sen(y + z) = 0. xy, z y ) de la función. Se considera la función U = h(x, y, z) = x + z, donde z = f(x, y) está definida implícitamente por la y + z relación ze z xe x ye y = 0. Hallar U x y U y.. Dada la función z = f(x, y) definida implícitamente por la relación xz + yz xy = 0, se pide: a) Hallar las derivadas parciales f x y f y. b) Calcular la derivada direccional de z en el punto P (,, ) y en la dirección definida por el sentido creciente de la recta x = y. c) Obtener la dirección y el valor de la derivada direccional máxima en P. d) Calcular dz en P, para valores de dx = 0.5, dy = 0.5. e) Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P. 3. Dada la transformación en el plano de coordenadas cartesianas a polares: matriz jacobiana y hallar el determinante jacobiano (x, y) (ρ, α). { x = ρ cos α y = ρ sen α, calcular la 4. Dadas las funciones { u = g (x, y) = y + cos x v = g (x, y) = x + e y, hallar los jacobianos: (u, v) (x, y), (x, y) (u, v). 5. Dada la función z = f(x, y) = 3x + xy y, se pide: a) Hallar z y dz en el punto P (, ) para x = dx = 0., y = dy = 0.. { x = g (u, v) = u b) Si ln(uv) z (u, v) y = g (u, v) = cos, calcular y el jacobiano (u v) v (x, y).

17 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Hallar el polinomio de Taylor de orden de la función z = f(x, y) = ln( + xy) en un entorno de los puntos (, 3) y (0, 0). 7. Obtener el desarrollo de MacLaurin de tercer orden de la función z = f(x, y) = e x 3y. 8. Aplicando la fórmula de Taylor hasta las derivadas de segundo orden, calcular aproximadamente Obtener el desarrollo de Taylor de tercer orden, en torno del punto (,-), de la función f(x, y) = y x. Utilizar dicho polinomio para obtener una aproximación de Sea la función z = f(x, y) = sen y e x. Se pide: a) Calcular el polinomio de Taylor de segundo grado de f en el punto (0, π/). b) Aproximar la función en el punto (0., 89 o ) mediante el polinomio calculado anteriormente.. Dada la función z = f(x, y) = 3 x +, se pide: sen y a) Calcular su dominio. b) Utilizando el polinomio de Taylor de grado, dar un valor aproximado de 3.0 sen 89 o c) Obtener la dirección para la cual es máxima la derivada direccional de la función f(x, y) en el punto Q(7, π/6), y el valor de dicho máximo. d) Calcular la ecuación del plano tangente a dicha superficie en Q. x sen y + y sen x. Calcular lim (x,y) (0,0) xy 3. Calcular el siguiente límite utilizando el desarrollo de Taylor de la función f(x, y) = x y : x y lim (x,y) (0,0) x + y 4. Desarrollar por Taylor hasta el orden y en un entorno del punto (, π/) la función f(x, y) = xy + sen xy. 5. Desarrollar por Taylor, hasta los términos de segundo orden, f(x, y) = ln( + x y ) en un entorno de un punto adecuado para calcular aproximadamente el valor de ln { 3xy 6. Sea f : IR IR la función definida por f(x, y) = x + xy + y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Hallar el polinomio de Taylor de orden en el punto (, 0). 7. Sea f : IR IR la función definida por f(x, y) = x y x + y si x y 0 si x = y

18 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-8 a) Estudiar la continuidad de f en IR. b) Estudiar la diferenciabilidad de f en IR. c) Hallar, cuando sea posible, los polinomios de Taylor de f de orden en los puntos (0, 0), (, ) y (, ). 8. Dada la función f(x, y) = 4x 3 x + y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) a) Estudiar su continuidad en IR. f(x, y) f(x, y) b) Obtener las funciones y. x y c) Es la función f(x, y) diferenciable en el origen? d) La ecuación f(x, y) = 0 define implícitamente a la función y = g(x) en un entorno del punto P (, ). Calcular el polinomio de Taylor de segundo orden de g(x) en el punto P (, ). 9. Sea z = f(x, y) = x p + y, con p, q IR. Se pide: q a) Discutir, según los valores de p, q, los puntos críticos de f(x, y). b) Deducir la relación que debe existir entre p y q para que sea la derivada direccional de f(x, y) en el punto P (, 3) y dirección dada por un vector que forma un ángulo de 60 o con el eje OX positivo. 30. Calcular los extremos relativos de la función z = f(x, y) = x 3 y (6 x y) para valores positivos de x, y. 3. Sea z = f(x, y) una función de dos variables tal que: f(x, y) x = x + α αy, f(x, y) y = αx αy + α + α + 7 a) Calcular el valor de α para que f tenga un mínimo relativo en el punto P (0, ). b) Para dicho valor de α, obtener la dirección y el valor de la derivada direccional máxima en el punto Q(, ), 3. Sea f : D IR 3 IR. Determinar el valor de α IR sabiendo que f(x, y, z) = ( x + y + z, x + αy α, x + αz + α + α + 54) y que el Hessiano asegura la existencia de un máximo local en a = (0,, ). 33. Calcular los extremos, tanto absolutos como relativos, de la función f(x, y) = x + 3y + x y sobre la región del plano delimitada por las rectas de ecuaciones x =, y =, y x + y =. 34. Calcular los extremos, tanto absolutos como relativos, de la función f(x, y) = xy + x + y sobre la región del plano definida por x y y Obtener los extremos condicionados de la función z = f(x, y) = xy, con x + y = 6, sustituyendo y por el método de los multiplicadores de Lagrange. 36. Determinar tres números positivos cuya suma sea S y su producto sea máximo. Utilizar para ello técnicas de extremos libres y de extremos condicionados.

19 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Hallar el volúmen máximo de un sólido con forma de paralelepípedo que tiene tres caras sobre los planos coordenados, y un vértice sobre el plano x + y + z =. 38. Hallar el punto de la esfera x + y + z = 5R, (x > 0, y > 0, z > 0), en el que la función f(x, y, z) = ln x + ln y + 3 ln z es máxima, justificando el resultado. 39. Calcular, en la región plana x + y los extremos, tanto absolutos como relativos, de la función z = f(x, y) = (y + x)( + x). 40. Hallar los extremos de la familia de funciones f p : IR IR, con p IR, definidas mediante f p (x, y) = x + y + p + pxy. 4. Se trata de fabricar una nave de 60 m 3 de volúmen, de suelo, techo y paredes rectangulares. Supuesto que los precios por m son un 50% más caros para las paredes que para el techo y el suelo, calcular las dimensiones de la nave de costo mínimo, justificando los resultados obtenidos. 4. Una empresa fabrica placas para chips de PCs. La placa consta de un rectángulo de un material A inscrito en un círculo de cm. de radio. El resto del círculo (no perteneciente a la placa) es de un material B. El coste por cm es un 5% más caro para el material B que para el A. Se pide: a) Determinar las dimensiones de la placa de coste mínimo (aplicando el método de los Multiplicadores de Lagrange). b) Justificar la condición de mínimo de la solución obtenida. c) Cuánto vale cada placa, si el cm del material A cuesta 0 euros? 43. Sea f(x, y, z) = x + y + bxy + az, con a, b IR y tal que x + y + z = 3. a) Determinar la relación que deben cumplir a y b para que pueda existir extremo condicionado de f en (,, ). b) Supuesto que b = a, determinar a y b para que f posea en (,, ): (b.) Máximo relativo. (b.) Mínimo relativo. (b.3) No posea extremo. 44. Dada la superficie z = f(x, y) = ax + bxy, se pide a) Determinar a y b para que el plano tangente a dicha superficie en el punto P (,, z 0 ) sea paralelo al plano z = x y + 7. b) En caso de que a = y b = se pide: b.) Determinar en qué puntos el plano tangente a la superficie es paralelo al plano de ecuación z = 0. b.) Son dichos puntos extremos? 45. Sea la función f(x, y, z) = e x + ey + e3z 3 3. a) Calcular los máximos y los mínimos de f situados en el plano π x + y + z = 6. b) Presenta f otros extremos relativos fuera del plano π? 46. El plano x + y + z = intersecta al paraboloide z = x + y en una elipse. Encontrar los puntos en esta elipse que: a) están más cerca y más lejos del origen. b) están más altos y más bajos.

20 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Dada la función f(x, y) = x 4 + y 4 x y + 4axy + 3, siendo a IR. Se pide: a) Según los valores de a, estudiar qué tipo de punto es el origen para la función. b) Para a =, obtener los puntos críticos de la función y discutirlos. 48. Dada la función f(x, y) = xy + m x + n y, siendo m, n IR, se pide: a) Obtener m y n, sabiendo que el punto P (, ) es un punto crítico de la función f(x, y). b) Para estos valores de m y n, clasificar todos los puntos críticos de la función f(x, y). c) Utilizando un polinomio de Taylor de segundo grado apropiado, obtener una aproximación de d) Para m = y n = 4, obtener los extremos absolutos de la función f(x, y) en el dominio D, dado por el triángulo de vértices A(, ), B(, 3) y C(3, 3).

21 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-4. Integración de funciones de una y varias variables 49. Calcular, usando la definición de integral: a) b 3x dx b) a 0 e x dx c) b a (v 0 + gt) dt d) 0 x dx 50. Estudiar si puede aplicarse el Teorema del valor medio del cálculo integral a las funciones y, en caso afirmativo, obtener el valor promedio: a) f(x) = 3 x en [, ] b) g(x) = xe x en [, ]. 5. Hallar λ para que el valor medio de la función g(x) = λ + λx en [0, ] sea π. 5. Calcular la derivada de las siguientes funciones: a) F (x) = b) F (x) = ln(x +) x 3 3x x e t dt ( x Calcular lim sen t3 dt) x 0 x 4 f(t) dt, siendo f(t) una función continua en IR. 54. Calcular ( x + 3x ) dx, y 4 3 x 4 dx. 55. Hallar el valor de x tal que 56. Comprobar que lim x 0 x x 0 x ln dt et = π. arctg t dt =. 57. Sea f(x) = cos x x, si x 0. Se pide: a) Estudiar si se puede definir f en x = 0. b) Hallar el polinomio de McLaurin de orden 4 de f(x). c) Hallar el polinomio de McLaurin de orden 5 de la función F (x) = x x 0 cos t t dt. 58. Calcular: a) 3 E(x) dx b) 3 E(x ) dx 59. Calcular f( π 4 ) y f ( π 4 ), sabiendo que f es continua y que verifica la ecuación: x f(t) dt = + x + x sen x + cos x x IR. 0

22 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Calcular las integrales que aparecen (voluntariamente desordenadas) en la siguiente lista. Se incluyen algunas integrales inmediatas, otras resolubles por métodos elementales y por descomposición, y otras que requieren integración por partes (6x + 3) 3 dx. tg x dx x log x dx sen x dx x e x3 dx x 3 x 4 dx log(x 3 x) dx x arcsen x dx (6 + 3x 3 ) 3 dx 3. x + x dx cos 9 x dx x 3 x + dx x cos x dx sen 4 x dx x sen 3 x dx x dx x x dx sen 3 x cos 5 x dx x x + dx x cos x dx x ( + x ) dx arcsen x dx SOLUCIONES Tras cada integral se indica brevemente el método seguido para resolverla, a menos que sea exactamente el mismo que en la anterior. I = (6 + 3x)4 inmediata. I = 7x(8 + 3x x6 + 0 x9 ) es necesario desarrollar. I 3 = 5 5x inmediata. I 4 = log sen x I 5 = + x I 6 = arcsen(x ) I 7 = log log x inmediata. inmediata. inmediata tras formar cuadrados en el radicando. inmediata. I 8 = sen x 4 3 sen3 x sen5 x 4 7 sen7 x + 9 sen9 x usar cos 9 x = ( sen x) 4 cos x I 9 = 6 cos6 x + 8 cos8 x usar sen 3 x cos 5 x = ( cos x) cos 5 x sen x I 0 = 4 (x sen x) usar sen x = ( cos x) I = x log(x + ) se reduce a inmediata por división. I = x arctg x I 3 = 3 ex3 inmediata. I 4 = x sen x + x cos x sen x dos integraciones por partes.

23 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso 0-3 I 5 = 8 (x + x sen x + cos x) por partes tras cos x = I 6 = 6 ( x4 ) 3/ inmediata. I 7 = ( cos 3 x 3 sen 3 x + 3 cos x ) integración por partes, junto con sen x I 8 = ( + x inmediata. ) + cos x = sen x + cos x I 9 = x log x 3 x 3x log x + log x + por partes (descomponer polinomio). ( ) I 0 = x cos x + cos3 x sen x + 9 sen3 x por partes, integrando sen 3 x I = x arcsen x + x por partes. I = ((x ) arcsen x + x ) x 4 6. Obtener el área limitada por: a) la gráfica y = x 3 y el eje OX, en el intervalo [, ]. (Sol: 7/4) b) la gráfica y = sen x y el eje OX, en el intervalo [0, π]. (Sol: 4) c) la recta y = x + 3 y la parábola y = x. (Sol: 3/3) d) las gráficas de y = x e y = x. (Sol:/3) 6. Obtener el área limitada por las gráficas de y = sen x e y = cos x en el intervalo [ π 4, 5π 4 ] (Sol: ) 63. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y = x e y = x + 4. (Sol:5/6) 64. Calcular el área limitada por el eje OX y la curva f(x) = xe x. 65. Sea f : IR IR una función continua y suficientemente derivable, de la cual se sabe que: f (x) + f(x) =, y además que f(0) = f (0) = 0. Se pide: a) Determinar el polinomio de MacLaurin de orden 8 de f(x). b) Utilizando el apartado anterior, calcular el valor de a IR para que las funciones af(x) x y sen x ln( + x) sean infinitésimos equivalentes cuando x 0, esto es, para que: sen(x) ln( + x) lim x 0 af(x) x = c) Sea A g el área de la región plana que la curva g(x) = sen3 (x) cos(x) delimita en el intervalo I = [0, π ], (intervalo en donde g(x) 0). Calcular el área A f de la región plana que la curva f(x) delimita en dicho intervalo I, sabiendo que A f + 3 A g = π. Observación: Para calcular A g mediante un cambio de variable, se sugiere el cambio cos(x) = t. Para aplicar otras caminos, se recuerda que: sen (α) + cos (α) =, y sen(α) = sen(α) cos(α). (Examen Septiembre 007) 66. Calcular la integral doble de f(x, y) = y en la región D del plano OXY dada por las desigualdades y x, x y.

24 Cálculo. Graduado en Ingeniería de la Salud Curso Idem, f(x, y) = y x, para D: x y, y x, 0 x. 68. Hallar el área de la región D limitada por las curvas y =, y = x +, y = x. 69. Calcular,utilizando el cambio de variables x = v, y = u v, la integral doble e (x+y) dx dy, siendo D la región del plano OXY dada por las desigualdades x 0, y 0, x + y. 70. Calcular,utilizando el cambio de variables u = xy, v = y x, la integral doble D (x dx dy, + y) 3 siendo D la región del plano OXY dada por las desigualdades xy, x y x. D