3.3. Principio de las reacciones vinculares

Transcripción

1 Capítulo 3 ESTÁTICA 3.1. Definición La Estática es la parte de la Mecánica que se ocupa del estado de equilibrio de los sistemas materiales, o dicho en otros términos, estudia las condiciones que deben satisfacer las fuerzas que actúan sobre los sistemas materiales, para que estos permanezcan en reposo Punto material vinculado Si un punto material no tiene su movimiento impedido por ninguna restricción, decimos que es un punto libre. Para definir su posición en un espacio tridimensional, se requiere el conocimiento de tres coordenadas, y además diremos que tiene tres grados de libertad, pues tiene la posibilidad de desplazarse en las tres direcciones de los ejes X, Y y Z. Si el punto material tiene alguna limitación en su movilidad, se dice que es un punto vinculado, y a la causa de esa limitación, se la denomina vínculo, enlace, o ligadura. Un punto obligado a permanecer en una línea está vinculado a la misma. Su posición puede ser definida ahora por un único parámetro, que podría ser la coordenada curvilínea que lo sitúa sobre esa línea. Ahora el punto sólo tiene un grado de libertad, esto es, únicamente tiene la posibilidad de desplazarse en la dirección tangencial de la línea. Otro ejemplo: Un punto obligado a permanecer en una superficie. Su posición se puede definir con dos parámetros (dos coordenadas curvilíneas), y tendrá dos grados de libertad Principio de las reacciones vinculares Consideremos un cierto punto material, sometido a un cierto vínculo o enlace, y sobre el que actúan una serie de fuerzas, cuya resultante es F. 1

2 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 2 Si dicho punto está vinculado, y por lo tanto tiene su movilidad impedida en algún modo, no asumirá por efecto de la fuerza F el mismo movimiento que si dicho punto estuviese libre, por lo que los vínculos que actúan sobre los puntos materiales, pueden ser equiparables a fuerzas. De este planteamiento se deriva el principio de las fuerzas vinculares, que podríamos enunciar así: En un punto material vinculado, y solicitado por fuerzas, la acción de los vínculos, puede ser sustituida por la de una fuerza que denominamos fuerza reactiva o vincular. Estas fuerzas reactivas o vinculares, tienen unas características propias que las diferencian de las fuerzas activas. Esas características son las siguientes: Las fuerzas reactivas dependen de las fuerzas activas, y su módulo podría llegar a ser ilimitado en los enlaces ideales. Si las fuerzas activas se anulan, las fuerzas reactivas también se anulan. Las fuerzas reactivas son incapaces por sí mismas de producir movimiento. Denominando F a la resultante de las fuerzas activas aplicadas sobre un punto material, y R a la fuerza reactiva generada por el vínculo o enlace al que se encuentra sometido, la ecuación fundamental de la Dinámica, podrá expresarse como: F + R = m a 3.4. Equilibrio del punto material Un punto material está en equilibrio, si las fuerzas que actúan sobre el mismo lo mantienen inmóvil, o en movimiento rectilíneo uniforme, es decir, sin variación en su velocidad. Por tanto, un punto material vinculado estará en equilibrio si se cumple que: F + R = 0 Si se trata de un punto material libre, no existen ligaduras, por tanto R = 0, y la equación de equilibrio será: F = 0 Es decir, en este caso se exige que la suma de las fuerzas activas sea cero. Si el punto material está vinculado, R 0, y en ese caso: F = R Es decir, la condición de equilibrio para un punto vinculado, es que la fuerza resultante activa que actúa sobre el mismo, debe ser opuesta a la fuerza reactiva vincular.

3 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Equilibrio del punto libre Tal y como hemos visto, la condición de equilibrio en este caso se concreta en que la resultante de las fuerzas activas debe de ser nula. F = F 1 + F F i + + F n = 0 Siendo F xi, F yi y F zi las componentes de una cualquiera de las fuerzas activas actuantes. La anterior ecuación vectorial, dará lugar a las tres siguientes ecuaciones escalares: F x = F y = F z = F xi = 0 i=1 F yi = 0 i=1 F zi = 0 i= Equilibrio de un punto vinculado a una superficie lisa El vínculo de un punto a una superficie puede ser de dos tipos: Vínculo bilateral: El punto está obligado a permanecer en todo momento en contacto con la superficie. Vínculo unilateral: El punto puede estar en contacto con la superficie, o en uno de los dos semiespacios (el permitido), en que la superficie divide al espacio. Estudiemos ambos casos: 1. Vínculo bilateral Siendo un vínculo liso, la fuerza reactiva R será un vector cuya dirección será forzosamente ortogonal a la superficie, y por tanto colineal con el vector unitario η, perpendicular a la misma. El sentido de R puede ser cualquiera de los dos posibles, al tratarse de una vinculación bilateral. R = R η En donde R puede ser positivo o negativo. En el equilibrio: F + R = 0 F + R η = 0 Lo que implica que para que el equilibrio sea posible, el vector fuerza activa F, debe ser colineal con el vector η, condición que expresaremos como: F η = 0

4 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 4 R η F η F R Un punto material vinculado bilateralmente a una superficie, con contacto liso, estará en equilibrio, si la resultante de las fuerzas activas tiene la dirección de la normal a la superficie. 2. Vínculo unilateral Descomponemos la resultante de las fuerzas activas en dos direcciones: una tangente, y otra normal a la superficie. La componente en la dirección tangencial tiende a desplazar al punto sobre la superficie, por tanto, en el equilibrio tiene que ser nula. La componente normal a la superficie debe de tender a aplicar el punto hacia el semiespacio al que el punto tiene el paso prohibido, pues caso contrario, el punto sería sacado de la superficie. Por tanto, la fuerza activa, y el vector unitario η normal a la superficie, y dirigido hacia el semiespacio para el que el movimiento del punto es libre, deben tener sentidos opuestos. Estas condiciones pueden ser expresadas en la siguiente forma: F η = 0 F η < 0 F F η η F η F τ R Al problema del punto vinculado a una superficie lisa se le puede dar el siguiente planteamiento analítico: Sea F el vector resultante de las fuerzas activas que actúan sobre el punto: F = F x i + F y j + F z k ; en donde:

5 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 5 F x = F xi ; F y = F yi ; F z = i=1 i=1 Si la ecuación de la superficie es f(x, y, z) = 0, el vector unitario η ortogonal a la misma en cualquier punto es: ( ) f x i + f y j + f z k η = γ 1 i + γ 2 j + γ 3 1 k = ( ) 2 ( f f + x y i=1 F zi ) 2 ( ) 2 f + z Siendo γ 1, γ 2 y γ 3 las componentes del vector unitario η. γ 1 = γ 2 = γ 3 = ( ( ( f x f x f x f x ) 2 ( f + y f y ) 2 ( f + y f z ) 2 ( f + y ) 2 ( ) = 2 f + z ) 2 ( ) = 2 f + z ) 2 ( ) = 2 f + z f x f y f z Como R y η deben ser colineales, y η es un vector unitario: R = R η R = R f x i + R f y j + R f z k Denominando R = λ R = λ f x i + λ f y j + λ f z k Aplicando ahora la ecuación del equilibrio F + R = 0 ( ) ( ) ( ) F x + λ f i + F y + λ f j + F z + λ f k = 0 x y z

6 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 6 Lo que da lugar a las tres ecuaciones escalares: F x + λ f x = 0 F y + λ f y = 0 F z + λ f z = 0 Que junto con la ecuación de la superficie: f(x, y, z) = 0 Constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas λ, x, y, z. La resolución de este sistema permite determinar la posición en la que el punto alcanza el equilibrio mediante las coordenadas ( x, y, z ), y el valor de la fuerza reactiva mediante λ Equilibrio de un punto vinculado a una línea lisa En un espacio tridimensional, la vinculación entre punto y línea es siempre bilateral, ya que una línea no divide el espacio en semiespacios. Para que el equilibrio sea posible, la resultante de las fuerzas activas F, debe de ser normal al vector τ tangente a la línea, pues en caso contrario, la componente de F en la dirección de la tangente, produciría el desplazamiento del punto por la línea. Esta condición de equilibrio podrá expresarse como: F τ = 0 Efectuamos ahora el siguiente planteamiento analítico: La ecuación de la línea a la que el punto se encuentra vinculado, viene dada por: f 1 ( x, y, z ) = } 0 f 2 ( x, y, z ) = 0 Siendo f 1 y f 2 las ecuaciones de dos superficies cuya intersección es la línea. Descomponemos la fuerza reactiva R según las direcciones η 1 y η 2, normales a las superficies que definen la línea:

7 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 7 R R 2 η 2 R 1 η 1 τ f 2 (x, y, z) = 0 f 1 (x, y, z) = 0 F La ecuación del equilibrio es entonces: R = R 1 + R 2 = R 1 η 1 + R 2 η 2 F + R = 0 ; F + R1 η 1 + R 2 η 2 = 0 Se trata entonces de un planteamiento que se corresponde con la vinculación simultánea a dos superficies, lo que se plasmará en: F x + λ 1 f 1 x + λ 2 F y + λ 1 f 1 y + λ 2 F z + λ 1 f 1 z + λ 2 f 1 (x, y, z) = 0 f 2 x = 0 f 2 y = 0 f 2 z = 0 f 2 (x, y, z) = 0 En donde: λ 1 = R 1 1 ; λ 2 = R 2 2 La resolución de este sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, λ 1, λ 2, x, y, z, nos permite determinar la posición de equilibrio del punto ( x, y, z ), y el valor de las componentes R 1 y R 2 de la fuerza reactiva R mediante λ 1 y λ 2.

8 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Estabilidad en el equilibrio sin rozamiento Se dice que un punto se encuentra en situación de equilibrio estable, si sometido a un cierto desplazamiento s desde la posición de equilibrio, tiende a recuperar dicha posición. Por el contrario, si el punto una vez apartado de su posición de equilibrio, tiende a alejarse de la misma, decimos que dicho punto se encuentra en equilibrio inestable. Finalmente, si apartado el punto de su posición de equilibrio, vuelve a encontrarse en equilibrio en la nueva posición, decimos que el punto está en equilibrio indiferente o lábil. Ilustramos lo dicho con el siguiente ejemplo, en el que la única fuerza activa es el peso propio, y denominamos F τ a su componente en la dirección tangencial, en la que es posible el movimiento. En la posición de equilibrio, F τ es nula. s s s F τ Fτ F F F F F F Estable Inestable Indiferente Partiendo de una posición de equilibrio, planteamos un desplazamiento, incrementando la coordenada curvilínea un valor s, y la componente tangencial de la fuerza activa adoptará un valor F τ. F τ Si el equilibrio es estable, s < 0 ; y en el límite df τ ds < 0. F τ Si el equilibrio es inestable, s > 0 ; y en el límite df τ ds > 0. Si el equilibrio es indiferente, F τ s = 0 ; y en el límite df τ ds = 0.

9 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Enlaces con rozamiento Todo lo expuesto con anterioridad se refiere a vínculos o enlaces lisos; en los cuales la reacción vincular entre un punto y una superficie se caracteriza por ser ortogonal a dicha superficie, o bien entre un punto y una línea, en cuyo caso la reacción vincular resulta encontrarse en un plano normal a la línea. Los vínculos rugosos, o enlaces con rozamiento, se caracterizan porque su reacción no es normal al contacto, sino que presenta una cierta componente tangencial R τ. Veamos un caso práctico ilustrativo: F τ Supongamos un cuerpo de peso P, que lo asimilaremos a un punto material, que se encuentra apoyado en un plano horizontal, siendo el contacto entre cuerpo y plano con rozamiento. Aplicamos al cuerpo una fuerza horizontal F τ. La experiencia nos muestra que dicho cuerpo no se moverá, es decir, permanecerá en equilibrio en tanto y en cuanto la fuerza F τ no sobrepase un cierto valor límite, mínimo necesario para que el cuerpo inicie el movimiento. Ello quiere decir que el enlace entre cuerpo y plano está generando una fuerza reactiva tangencial R τ que se opone al movimiento, y cuyo valor modular está comprendido entre 0 y R τ lim. En resumen: en la situación de equilibrio las fuerzas actuantes sobre el cuerpo asimilable a un punto material son: R α R η R τ F τ P F Fuerzas activas: El peso propio P y la fuerza externa aplicada en la dirección tangencial F τ. La resultante de ambas fuerzas activas es F. Fuerzas reactivas: La fuerza reactiva normal R η = R η η, cuya dirección es ortogonal al plano de contacto, y la fuerza reactiva tangencial R τ = R τ τ, que es la fuerza de rozamiento, su dirección es tangencial a las superficies en contacto, y su sentido es el de oposición al posible movimiento. La resultante de estas fuerzas reactivas es R, que forma con la dirección normal al contacto, un ángulo α.

10 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 10 En la situación de equilibrio se cumplirá que: R τ = F τ R η = P } R = F El fenómeno físico del rozamiento fue ampliamente estudiado por Carlos Agustín Coulomb, y fue él quien estableció las siguientes leyes para la fuerza de rozamiento R τ. 1. Depende de la naturaleza de las superficies en contacto, es decir, materiales, acabado o terminación superficial, grado de lubrificación, etc. 2. Es independiente del área de las superficies en contacto, y de la velocidad relativa que puedan tener éstas si se encuentran en movimiento; sin embargo, su valor difiere de la situación de equilibrio a la situación de movimiento. 3. En la situación en la que se está a punto de pasar del equilibrio al movimiento, situación denominada de movimiento inminente, el valor de la fuerza de rozamiento es R τ lim, cuyo módulo será proporcional al módulo de la fuerza reactiva del enalace en la dirección normal R η. R τ lim = µ e R η En donde µ e es el denominado coeficiente de rozamiento estático, estando su valor comprendido siempre entre 0 y 1. 0 < µ e < 1 µ e = R τ lim R η = tg ϕ ϕ R α R η R τ lim R τ F Como vemos en la representación gráfica, µ e representa la tangente del ángulo de semiapertura ϕ de un cono ideal denominado cono de rozamiento, cuyo eje de simetría

11 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 11 es la dirección normal al contacto. El punto material se mantendrá en equilibrio siempre que F, resultante de las fuerzas activas que actúan sobre el punto, y por tanto también R = R η + R τ, resultante de las fuerzas de enlace, se encuentren en el interior del cono de rozamiento. 4. En la situación no estática, es decir, cuando el punto se encuentra en movimiento, el módulo de la fuerza de rozamiento R τ es: R τ = µ c R η, En donde 0 < µ c < 1 El coeficiente de rozamiento cinético, µ c, es un parámetro fenomenológico, que encierra en sí mismo toda la problemática de la interacción superficial, y que al igual que el coeficiente de rozamiento estático µ e, tiene un valor para cada par de materiales concretos. En general µ e > µ c. Materiales Estático µ e Cinético µ c Acero sobre acero 0,74 0,57 Aluminio sobre acero 0,61 0,47 Cobre sobre acero 0,53 0,36 Latón sobre acero 0,51 0,44 Vidrio sobre vidrio 0,94 0,4 Cobre sobre vidrio 0,68 0,53 Teflón sobre teflón 0,04 0,04 Teflón sobre acero 0,04 0,04 Estudios posteriores sobre el rozamiento debidos principalmente a Airn y Petroff, modificaron las leyes del rozamiento de Coulomb, en particular para la situación de movimiento, estableciendo que: 1. La fuerza de rozamiento es función de la velocidad y del área de las superficies en contacto. 2. La fuerza de rozamiento es inversamente proporcional al espesor medio de la capa de lubricante. 3. La fuerza de rozamiento es proporcional a la raíz cuadrada de la presión existente entre las superficies en contacto. Representamos a continuación en un diagrama, la relación entre la fuerza de rozamiento R τ, y la componente en la dirección tangencial de la fuerza activa aplicada F τ.

12 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 12 R τ (Fuerza de Rozamiento) Ideal Real R τ lim = µ e R η µ c R η Sin movimiento F τ Con movimiento (Fuerza tangencial aplicada) Movimiento Inminente (Ruptura del enlace) Equilibrio de un punto vinculado a una superficie rugosa Sea F la resultante de las fuerzas activas que actúan sobre el punto, y R la resultante de las fuerzas vinculares o de enlace. Podemos considerar dos posibles tipos de vinculación entre punto y superficie: 1. Bilateral: ϕ R α R η R τ lim R τ F τ F η α F Las componentes de la fuerza activa F en las direcciones normal y tangencial a la superficie son: F η = F cos α ; F τ = F sen α = F η tg α Para que el equilibrio sea posible la fuerza de rozamiento no debe superar su valor límite:

13 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 13 R τ R τ lim = µ e R η = tg ϕ R η Como en el equilibrio se cumple que: R τ = F τ y R η = F η Podremos decir: F τ tg ϕ F η F η tg α F η tg ϕ tg α tg ϕ α ϕ Un punto material vinculado bilateralmente a una superficie rugosa se encuentra en equilibrio, cuando la resultante de las fuerzas activas aplicadas, forma con la dirección normal un ángulo α inferior al ángulo ϕ de rozamiento; o expresado de otra forma: Un punto material vinculado bilateralmente a una superficie rugosa, se encuentra en equilibrio cuando la resultante de las fuerzas activas se encuentra en el interior del cono de rozamiento. 2. Unilateral: Para el vínculo unilateral, el planteamiento anterior es perfectamente válido, pero además se tiene que añadir otra condición: la resultante de las fuerzas activas debe de tener un sentido tal que tienda a aplicar a la partícula desde el semiespacio permitido, hacia el semiespacio prohibido. Lo que se puede expresar como: F η < 0 En donde η es el vector unitario, normal a la superficie, y cuyo sentido es surgente en el semiespacio permitido. ϕ R α η α F

14 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Equilibrio de un punto vinculado a una línea rugosa El vínculo entre punto y línea en un espacio tridimensional no puede ser unilateral, ya que una línea no puede subdividir ese espacio en dos semiespacios; por tanto ese vínculo deberá ser siempre bilatareal. La dirección de la tangente a la línea en el punto vendrá definida por el vector unitario τ, y consideremos el plano normal que pasa por el punto y es perpendicular a τ, y por tanto a la línea. La resultante de las fuerzas activas F podrá ser descompuesta en la suma de dos vectores: F τ, con dirección tangencial, y F η, contenido en el plano normal. Igualmente, la fuerza reactiva R, puede ser descompuesta en R τ y R η. La condición de equilibrio será la misma que la del planteamiento ya visto para el vínculo entre punto y superficie rugosa, esto es, la resultante de las fuerzas activas debe estar en el interior del cono de rozamiento. Pero en el vínculo entre punto y línea, el cono de rozamiento no es único, ya que el eje de simetría del mismo, contenido siempre en el plano normal, tiene la dirección de la componente vectorial F η, que dependerá de la fuerza activa F. Consideraremos entonces un cono único, envolvente de todos los posibles conos de rozamiento, cuyo eje de simetría es la dirección tangencial, y cuyo ángulo de semiapertura será 90 o ϕ. El criterio de equilibrio será ahora que la resultante de las fuerzas activas F se encuentre en el exterior de este cono envolvente de todos los posibles conos de rozamiento. R α ϕ 90 o ϕ α τ F η F

15 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Estabilidad en el equilibrio con rozamiento Vamos a definir un parámetro objetivo, que nos pueda indicar lo cercanos o lejanos que en un enlace con rozamiento, nos encontramos de la situación de pérdida inminente del equilibrio. Como sabemos, en un enlace con rozamiento, estamos en equilibrio si: R τ R τ lim = µ e R η µ e R η R τ µ e R η R τ 0 Sabemos que en el equilibrio: R τ = F τ ; R η = F η Con lo que podremos expresar: µ e F η F τ 0 Dividimos por F η, y definimos el parámetro adimensional q : q = µ e F η F τ F η 0 Que deberá ser positivo para que nos encontremos en situación de equilibrio, y cuyos valores extremos son: q = µ Si F τ = 0 Máxima estabilidad q = 0 Si F τ = µ e F η Movimiento inminente R τ q = 0 (Movimiento Inminente) µ e R η R τ q = µ (Estabilidad) F τ F τ µ e F η

16 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Estática de los sistemas Sistemas materiales. Clasificación Definimos sistema material como un conjunto de puntos materiales, que se encuentran vinculados entre sí. Si los puntos del sistema están relacionados en tal forma que sea cual sea el valor de las fuerzas actuantes sobre ellos, sus distancias relativas no varían, diremos que es un sistema rígido. Caso contrario, el sistema es deformable. Un sistema sería continuo si entre dos puntos del mismo se pueden tantos otros como se quiera, también pertenecientes al sistema, de modo que las distancias entre esos puntos pueden llegar a ser indefinidamente pequeñas. Caso contrario, se trataría de un sistema discontinuo. Un sistema continuo sería homogéneo, si en todos los puntos del mismo, la densidad es constante. Un sistema continuo sería isótropo, si presentase propiedades iguales en cualquier dirección. Caso contrario, sería anisótropo Clasificación de los vínculos o enlaces Los vínculos o enlaces a los que puede estar sometido un sistema material pueden clasificarse en las siguientes categorías: 1. Internos: Los vínculos internos son aquellos que limitan la libre movilidad relativa entre los puntos constitutivos del sistema material. 2. Externos: Los vínculos externos son los que restringen la libre movilidad del sistema con respecto a la referencia exterior. 3. Cinemáticos Vínculos cinemáticos son aquellos que se definen con independencia de las fuerzas puestas en juego, es decir, por medio de condiciones de naturaleza geométrica o analítica. Ejemplo: una guía lisa sería un enlace cinemático. Los vínculos cinemáticos pueden a su vez subdividirse en:

17 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 17 a) De primera especie: Son vínculos cinemáticos de primera especie los que se pueden expresar analíticamente mediante una función del tiempo y de un número finito de parámetros q, en la forma: f k (q 1, q 2,..., q n, t) = 0 Si son bilaterales; o bien, en cualquiera de estas dos formas: f k (q 1, q 2,..., q n, t) 0 f k (q 1, q 2,..., q n, t) 0 Si son unilaterales. Las funciones f k deben ser finitas, uniformes, continuas y derivables. Los parámetros q 1, q 2,..., q n son las denominadas coordenadas generalizadas o lagrangeanas, cuyos valores para un instante dado, determinan la configuración del sistema. Un ejemplo de vínculo bilateral de primera especie sería el que tiene un punto obligado a moverse sobre una esfera de radio r. La ecuación x 2 + y 2 + z 2 r 2 = 0 es la que expresa ese vínculo, donde x, y, z hacen el papel de los parámetros lagrangeanos q. La posición del punto, que originalmente era determinada con tres coordenadas, con la inclusión de esta ecuación del vínculo, pasa ahora a ser determinada con dos coordenadas. Un ejemplo de vínculo unilateral de primera especie sería el de un punto obligado a moverse sobre una superficie esférica o exteriormente a ella. Este vínculo vendría expresado por la siguiente inecuación: x 2 + y 2 + z 2 r 2 Cuando el punto está sobre la esfera: x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Sus coordenadas de posición han quedado reducidas a dos. Pero mientras el punto se encuentra en el exterior de la esfera, se siguen necesitando tres coordenadas

18 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 18 para definir su posición. Cuando un enlace es de primera especie y bilateral, se le denomina holónomo. b) De segunda especie: Son aquellos vínculos cinemáticos que vienen expresados por ecuaciones diferenciales del tipo: j=n α kj dq j + β k dt = 0 j=1 En donde α kj y β k son funciones del tiempo y de los parámetros lagrangeanos q. Estas ecuaciones diferenciales deben ser no integrables, pues caso contrario, se transformarían en ecuaciones de las del tipo que definen los enlaces de primera especie. Veamos estos dos ejemplos: 1) Un disco rueda sobre un plano inclinado sin deslizamiento, manteniendose siempre en el plano del dibujo. s θ a α Su posición quedará perfectamente determinada conociendo la distancia s recorrida a lo largo del plano, y el ángulo θ girado por el disco. En este caso s y θ son los parámetros lagrangeanos. Si la rodadura es sin deslizamiento, podemos establecer: ds a dθ = 0 Esta ecuación es formalmente de las del tipo que corresponde a los vínculos de segunda especie. Sin embargo, es integrable: s a θ + C = 0 Con lo que el vínculo es en realidad de primera espacie. El número de coordenadas de posición que hay en principio (dos parámetros lagrangeanos), quedan ahora reducidos a uno, por la presencia de esta ecuación de enlace.

19 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 19 2) Un disco rueda sin deslizar (pudiendo girar alrededor de su eje vertical), sobre un plano horizontal. El disco está obligado a mantenerse siempre ortogonal al plano horizontal. ϕ x a θ y La posición del disco vendrá definida en todo momento por estos cuatro parámetros: x e y, coordenadas del centro geométrico del disco; el ángulo ϕ que determina la orientación del plano del disco respecto al eje X, y el ángulo θ que forma un radio del disco con la vertical. El sistema tiene de momento cuatro coordenadas de posición. Veamos cuales son las condiciones que impone el enlace: La componente de la velocidad del centro geométrico del disco en la dirección ortogonal a su plano, debe de ser nula: ẋ sen ϕ + ẏ cos ϕ = 0 La componente de la velocidad del centro geométrico del disco, horizontal y en su propio plano, será: ẋ cos ϕ ẏ sen ϕ = a θ No es posible integrar ahora estas relaciones, es decir, obtener una relación entre las variables x, y, ϕ y θ. Se trata por tanto de un enlace de segunda especie. En efecto, un punto cualquiera de la periferia del disco, (ángulo θ), puede ser llevado a un punto cualquiera del plano (x y), y con una orientación cualquiera (ϕ). Se podría hacer eligiendo la trayectoria de dimensiones adecuadas, y alcanzado el punto, girar a la orientación del plano del disco ϕ requerida. La posición del sistema tiene que seguir siendo definida por cuatro parámetros.

20 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Dinámicos: En resumen, diríamos que los enlaces de segunda especie imponen condiciones de movimiento, pero no modifican el número de parámetros o coordenadas que definen la posición. A los enlaces que imponen que imponen condiciones de movimiento pero no modifican el número de parámetros de posición, como los de primera especie unilaterales, o los de segunda especie, se les denomina no holónomos, anholónomos o heterónomos. Son aquellos en los que en su definición intervienen fuerzas. Ejemplos: Una conexión mediante un resorte sería un enlace dinámico. También lo sería una guía con rozamiento. 5. Reónomos Los enlaces en los que en su definición aparece explícitamente la variable escalar tiempo, son los enlaces dependientes del tiempo, también denominados reónomos. 6. Esclerónomos Los enlaces en los que en su definición no aparece explícitamente la variable escalar tiempo, son los enlaces independientes del tiempo, también denominados esclerónomos. 7. Bilaterales 8. Unilaterales 9. Sin rozamiento o lisos 10. Con rozamiento o rugosos Cuando se trata de un contacto con rodadura entre dos sólidos, se pueden dar estos dos casos: a) Perfectamente rugoso El movimiento de un sólido, en contacto con otro, es de rodadura sin deslizamiento. b) Simplemente rugoso El movimiento de un sólido, en contacto con otro, es de rodadura con deslizamiento. El que un vínculo sea simple o perfectamente rugoso, depende de la magnitud de las fuerzas puestas en juego. Los enlaces con rozamiento son por lo tanto de carácter

21 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 21 dinámico. Finalmente, según los grados de libertad que los enlaces eliminan, y pensando en un espacio bidimensional, podemos hablar de: 11. Vínculos simples 12. Vínculos dobles 13. Vínculos triples Describiremos estos enlaces posteriormente, tras introducir el concepto de grado de libertad Coordenadas generalizadas y grados de libertad Denominamos grados de libertad de un sistema material, al número de posibles movimientos del mismo. Para un punto material libre en el espacio tridimensional, los posibles movimientos serían tres, correspondientes a las tres direcciones ortogonales. La presencia de enlaces, hará disminuir los grados de libertad: Así, un punto obligado a moverse en el plano, poseerá únicamente dos grados de libertad, correspondientes a dos direcciones ortogonales; y un punto vinculado a una línea, poseerá únicamente un grado de libertad. En cuanto a un sistema de N puntos materiales, su grado de libertad será evidentemente 3 N ν h ; siendo ν el número de enlaces holónomos, y h el número de enlaces no holonómos a los que encuentra sometido, tanto interiores como exteriores. Un sólido rígido indeformable, libre en el espacio tridimensional, posee seis grados de libertad que corresponden a tres traslaciones y tres giros. La presencia de enlaces sobre este sólido hará disminuir sus grados de libertad. El número de coordenadas generalizadas o lagrangeanas, es el número mínimo de parámetros necesarios para fijar biunívocamente una determinada configuración. La posición de un punto material libre se define con tres parámetros (tres coordenadas cartesianas, o cilíndricas, o esféricas, o cualesquiera otras). El número de coordenadas generalizadas es tres. La presencia de enlaces sobre ese punto hace disminuir el número de coordenadas generalizadas: Así, para un punto obligado a moverse en un plano, su posición queda definida por dos

22 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 22 parámetros (coordenadas cartesianas, polares..); y para un punto obligado a moverse sobre una línea, su posición quedará definida por un único parámetro (una coordenada curvilínea). Por lo que respecta a un sistema de N puntos materiales, el número de coordenadas necesarias para definir su configuración, será 3 N ν, siendo ν el número de enlaces holónomos a los que se encuentra el sistema sometido, tanto interiores como exteriores. Un sólido rígido indeformable, libre en el espacio tridimensional, necesita seis coordenadas generalizadas para definir su posición. En resumen: Grados de libertad de un sistema de N puntos: l = 3 N ν h Número de coordenadas generalizadas de un sistema de N puntos: µ = 3 N ν Si se trata de un punto material, o de un sistema cualquiera, pero sometido exclusivamente a enlaces holónomos, entonces h = 0, y por tanto µ = l ; es decir, coinciden el número de grados de libertad, y el número de coordenadas generalizadas.

23 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Vínculos simples, dobles y triples Vínculos simples Son aquellos que reducen en un unidad el grado de libertad de un sistema. Para el caso de geometrías planas, los vínculos simples mas frecuentes son: la columna pendular o biela, y la articulación móvil. R A O A R La columna pendular o biela, es una barra rígida que articula por un extremo en un punto fijo O, y por el otro extremo, en un punto A perteneciente al sistema. Para el sistema queda eliminada la traslación en la dirección de la biela, estando permitidos la traslación en la dirección ortogonal a la biela, y el giro alrededor del punto A. La fuerza reactiva R del enlace tiene la dirección de la biela, con lo que la única incógnita que se introduce es su valor modular R. La articulación móvil también reduce el número de grados de libertad de tres a dos. Queda eliminada la traslación en la dirección ortogonal a la guía (el vínculo se entiende como bilateral), y está permitida la traslación en la dirección de la guía, y el giro alrededor de A. La fuerza reactiva R tiene su dirección ortogonal a la guía, por lo que solo se introduce como incógnita su valor modular. Vínculos dobles Son aquellos que reducen en dos unidades el grado de libertad de un sistema. El vínculo doble más común es la denominada articulación fija. La articulación fija liga un punto de un sistema material con otro punto exterior a ese sistema, y que se encuentra fijo. Para el sistema quedan eliminadas sus dos posibles traslaciones, pero se permite el giro alrededor del punto O. La articulación fija introduce una fuerza reactiva R de la que en principio se desconoce su

24 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 24 módulo R y dirección α, o lo que es equivalente, sus dos componentes escalares R x y R y, según las relaciones: } tg α = R y R x R x = R cos α R y = R sen α R = Rx 2 + R y 2 A R α Vínculos triples Son aquellos que reducen en tres unidades los grados de libertad de un sistema. Para un sólido rígido, en una geometría plana, como su grado de libertad es tres, la presencia de un vínculo triple lo dejará inmovilizado. El vínculo triple más característico recibe el nombre de empotramiento, e impide al sólido desplazamiento y rotación. Refiriéndonos a sistemas planos, el impedimento de la rotación, genera un momento reactivo M ortogonal al plano director, y el impedimento del desplazamiento da lugar a una fuerza reactiva R con dos componentes incógnitas. Es decir, el empotramiento en el plano da lugar a tres incógnitas. R M Se pueden efectuar combinaciones con los enlaces en tal forma que por ejemplo, un vínculo simple y uno doble, generan uno triple; o tres simples generan un triple, siempre y cuando no se produzca una situación de ligadura impropia, la cual se produce cuando las fuerzas reactivas introducidas por los enlaces son concurrentes o paralelas.

25 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Clasificación de los sistemas en función de su movilidad 1. Si un sistema material es susceptible de movilidad, se le denomina sistema dinámico. Los sistemas dinámicos sometidos a vínculos cinemáticos, se clasifican en función de sus grados de libertad. Así podemos hablar de sistemas dinámicos de cuatro grados de libertad, de tres grados de libertad, etc. Los sistemas de un solo grado de libertad, sometidos exclusivamente a enlaces holónomos e independientes del tiempo, es decir, aquellos cuya configuración queda definida mediante un único parámetro lagrangeano, se denominan desmodrónicos, y son los que constituyen el grupo más importante bajo el punto de vista técnico. 2. Si un sistema material tiene cero grados de libertad, y además el número de coordenadas generalizadas necesarias para definir su posición coincide con el de condiciones impuestas por los vínculos a los que está sometido, no siendo éstos impropios, diremos que el sistema es isostático o estáticamente determinado. 3. Si el número de condiciones impuestas por los vínculos es superior al número de coordenadas generalizadas o lagrangeanas necesarias para definir su posición, se dice que el sistema es de vínculos superabundantes o hiperestático.

26 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Teorema de las fuerzas interiores En un sistema material cualquiera, y sea cual sea su situación, de reposo o de movimiento, sabemos por el principio de acción y reacción, que las fuerzas o interacciones mecánicas mutuas F 12 y F 21, entre dos puntos A 1 y A 2 de ese sistema, son vectores opuestos, es decir: F 12 = F 21 F12 + F 21 = 0 A 1 F 12 F21 A 2 r 1 O r 2 Además, si tomamos momentos de esas fuerzas con respecto a un punto O: M O = r 1 F 12 + r 2 F 21 = r 1 F 12 r 2 F 12 = = ( r 1 r 2 ) F 12 = A 2 A 1 F 12 Planteando estas ecuaciones para todos los pares posibles de puntos del sistema, y sumando, obtendremos: = 0 1. La resultante de todas las fuerzas interiores de un sistema es nula: i=i F int i = 0 2. El momento resultante de todas las fueras interiores de un sistema con respecto a un punto O es nulo: M int 0 = i=i r i F int i = 0 Para cualquier sistema material, rígido o deformable, se encuentre en reposo o movimiento, la resultante de las fuerzas interiores, y el momento resultante de las fuerzas interiores con respecto a un punto, son nulos. Este teorema es también aplicable a cualquier porción del sistema que aislemos idealmente, teniendo en cuenta que fuerzas que para el sistema total eran consideradas interiores, ahora para la porción aislada, deberán ser consideradas como exteriores.

27 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Ecuaciones universales de la Estática Supongamos un cierto sistema material sometido a un conjunto de fuerzas exteriores que actúan sobre los puntos de este sistema. Estas fuerzas en general podrán ser de dos tipos: Fuerzas activas aplicadas, y fuerzas reactivas o vinculares, que provienen de los enlaces del sistema con el exterior. A las fuerzas exteriores las denominaremos F i ext, en donde el subíndice i indica el punto del sistema sobre el que la fuerza actúa. Por otra parte, en los puntos del sistema también actúan las fuerzas interiores F i int, que provienen de las interacciones mecánicas con otros puntos que pertenecen al sistema. Si pensamos ahora que el sistema se encuentra en equilibrio, eso será porque se encuentran en equlibrio todos y cada uno de los puntos del mismo, por ejemplo el punto designado con el subíndice i, y podremos decir: F ext i + F i int = 0 o bien F ext i = F int i Lo que nos indica que las fuerzas exteriores aplicadas en un punto, constituyen un sistema igual pero de sentido opuesto al de las fuerzas interiores en dicho punto. Habiendo expresado ahora el equilibrio de todos los puntos del sistema, y teniendo en cuenta que según sabemos por el teorema de las fuerzas interiores, la resultante de las fuerzas internas es nula: i=1 F ext i + i=1 F int i = 0 F ext i = i=1 F ext i = 0 (3.1) Por otra parte, tomando momentos con respecto a un punto cualquiera O, la condición de equilibrio vendrá dada por el hecho de que ese momento sea nulo: r i i=1 F ext i + r i i=1 F int i Y teniendo en cuenta que el momento resultante de las fuerzas interiores de un sistema cualquiera con respecto a un cierto punto es siempre nulo: M ext O = r i i=1 = 0 F ext i = 0 (3.2) Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones vectoriales universales de la estática, que se deben cumplir siempre que un sistema material cualquiera se encuentre en equilibrio, y expresan que:

28 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 28 La resultante de las fuerzas exteriores debe de ser nula. El momento resultante de las fuerzas exteriores debe de ser nulo. Es interesante hacer notar que en estas ecuaciones solo intervienen las fuerzas exteriores. Estas ecuaciones son condiciones de equilibrio para los sistemas necesarias pero no suficientes, es decir, si un sistema se encuentra en equilibrio se cumplen; pero el hecho de que se cumplan no implica que el sistema se encuentre en equilibrio. No obstante, como veremos posteriormente, para el sistema sólido rígido indeformable, estas ecuaciones expresan las condiciones de equilibrio necesarias y suficientes. Las dos ecuaciones vectoriales, proyectadas sobre los ejes referencia X, Y y Z dan lugar a las siguientes ecuaciones escalares: F ext x = i=1 F ext i x = 0 ; F ext y = i=1 F ext i y = 0 ; F ext z = i=1 F ext i z = 0 M ext O x = i=1 M ext i Ox = 0 ; M ext O y = i=1 M ext i Oy = 0 ; M ext O z = i=1 M ext i Oz = 0 Estas seis ecuaciones escalares universales de la estática, se ven reducidas a tres para el caso de geometrías planas en un espacio bidimensional. F ext x = i=1 F ext i x = 0 ; F ext y = i=1 F ext i y = 0 ; M ext O z = i=1 M ext i Oz = 0 Como entre las fuerzas exteriores se encuentran las reactivas introducidas por los vínculos del sistema con el exterior, y esas fuerzas reactivas presentan elementos que son incógnitas desconocidas, se pueden dar estos casos: 1. Que el número de ecuaciones de equilibrio sea igual al de elementos incógnitas de las fuerzas reactivas. El problema es estáticamente determinado o isostático. 2. Que el número de ecuaciones de equilibrio sea inferior al de elementos incógnitas de las fuerzas reactivas. El problema es estáticamente indeterminado o hiperestático. El problema hiperestático no es resoluble dentro del campo de la mecánica del sólido rígido. La hiperestaticidad será objeto de estudio en la mecánica del sólido deformable (Resistencia de materiales).

29 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Estática del sólido rígido En cinemática, sólido rígido es aquél sistema material en el que la distancia relativa entre los puntos que lo componen permanece invariante, sea cual sea el movimiento que esté experimentando. En estática, sólido rígido es aquél que si estando en equilibrio, y sobre dos puntos cualesquiera del mismo, A y B, aplicamos dos fuerzas exteriores con la dirección de AB, iguales y de sentido opuesto; se sigue manteniendo en equilibrio, y la distancia AB permanece constante. B F F A Este concepto de sólido rígido en su aplicación a los sólidos reales debe entenderse en una forma idealizada; ya que los sólidos reales bajo la acción de las fuerzas se deforman en mayor o menor cuantía, no siendo por tanto absolutamente rígidos. Admitida la rigidez absoluta de los sólidos rígidos, para este tipo de sistemas materiales debe cumplirse que: 1. El equilibrio de un sólido rígido no se altera cuando a dos puntos cualesquiera del mismo se le aplican fuerzas iguales, opuestas y en la línea de acción que une ambos puntos. 2. El sistema de equilibrio estático equivalente al caso más elemental es el formado por dos fuerzas iguales y directamente opuestas, y podrá ser agregado o suprimido en cualquier sólido rígido sin que se altere su estado de equilibrio. 3. Consideremos un sólido rígido en el que en uno de sus puntos A 1 actúa una fuerza F. En dos puntos A 2 y A 3 alineados con A 1 en la dirección de F, introducimos dos fuerzas opuestas y de idéntico valor modular a F, con lo que no habremos alterado el estado de equilibrio del sólido. Ahora las fuerzas que actúan sobre A 1 y A 3 podrán ser suprimidas por conformar un sistema en equilibrio equivalente a cero. La única fuerza que actúa ahora es la aplicada en A 2, siendo este sistema de fuerzas equivalente al primitivo. En conclusión, las fuerzas aplicadas sobre los sólidos rígidos son vectores deslizantes, y a ellas se les puedes aplicar toda la teoría de los sistemas de vectores deslizantes vista con anterioridad. A 1 A 2 A 3 F F F

30 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Si sobre un sólido rígido actúa el sistema de fuerzas F 1, F 2,..., F n, aplicadas en los puntos A 1, A 2,..., A n ; por ser las fuerzas vectores deslizantes, siempre podrán ser substituidas por otro sistema de equivalente, es decir, que tenga la misma resultante, y el mismo momento resultante con respecto a un punto, que el sistema original. 5. Teniendo en cuenta que las fuerzas que actúan sobre los sólidos rígidos son vectores deslizantes, y teniendo en cuenta que las condiciones que tienen que tener estos sistemas para ser nulos, es tener resultante nula y momento resultante nulo, deducimos que las condiciones de equilibrio vistas para los sistemas en general (Resultante y Momento resultante nulos), para los sólidos rígidos, son condiciones de equilibrio necesarias y suficientes El problema estático del sólido rígido vinculado Los vínculos o enlaces dan lugar a la aparición de las fuerzas reactivas, que normalmante presentarán valores que son para nosotros desconocidos o incógnitas. Las fuerzas activas, junto con las reactivas, constituyen el sistema de fuerzas exteriores aplicadas. El problema estático del sólido rígido quedará concretado entonces en estos dos puntos: 1. Comprobar si las fuerzas activas aplicadas hacen posible el equilibrio del sólido. 2. Determinar los elementos incógnitas que nos permitirán hallar las fuerzas reactivas. Ambas cuestiones se resuelven aplicando en cada caso les ecuaciones universales de la estática. Teniendo en cuenta que las fuerzas exteriores F ext están formadas por las fuerzas activas F y por las fuerzas reactivas R, podremos expresar: { F + R = 0 M FO + M RO = 0 { R = F M RO = M FO Las dos últimas ecuaciones nos expresan que en el equilibrio, las fuerzas reactivas forman un sistema opuesto al sistema de las fuerzas activas. Pasamos a continuación a analizar algunos casos particulares de interés especial.

31 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Sólido rígido con un punto fijo Sea un sólido con un punto fijo O, en el que situamos el origen de nuestro sistema referencial. El vínculo impide los tres desplazamientos en las direcciones i, j y k, pero permite los tres giros alrededor de los ejes de referencia. El grado de libertad del sólido será por lo tanto, tres. Por causa de las fuerzas activas, aparecerá en el vínculo una fuerza reactiva R, aplicada en el punto O, y de la que desconocemos sus tres componentes R x, R y y R z. Z F 2 Fi F 1 R Fn k i O j Y X R = R x i + R y j + R z k Evidentemente, el momento resultante de la fuerza reactiva R en O será nulo. M R0 = 0 La resultante de las fuerzas activas F 1, F 2,... F i,... F n será: i=1 F i = F x i + F y j + F z k Y el momento resultante de las fuerzas externas activas en O: M F0 = r i F i i=1 = M x i + M y j + M z k Aplicamos ahora las ecuaciones universales de la estática: { F + R = 0 M F0 + M R0 = 0

32 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 32 Que se traducen en las siguientes seis ecuaciones escalares: R x + F x = 0 ; R y + F y = 0 ; R z + F z = 0 M x = 0 ; M y = 0 ; M z = 0 Las tres primeras ecuaciones nos proporcionan el valor de la fuerza reactiva R a través de sus componentes R x, R y y R z ; las otras tres ecuaciones nos muestran las condiciones que deben cumplir las fuerzas externas aplicadas para que el equilibrio sea posible, esto es, que el momento resultante de esas fuerzas con respecto a O sea nulo Sólido rígido con un eje fijo Se trata de un sólido que presenta dos puntos fijos, lo que implica que también estarán fijos todos los puntos de la línea que los une. El sólido tendrá impedidos los desplazamientos en las tres direcciones de referencia, una de las cuales, la del eje Z, la hemos hecho coincidir con el eje. Dos de los giros, estarán impedidos, en tanto que el tercero, el correspondiente al eje, estará permitido. El sólido tiene por tanto un único grado de libertad. Planteamos el problema en la siguiente forma: Z O R Fi F 2 h F 1 R Fn k i O j Y X En los puntos O y O aparecen las reacciones R y R generadas por el sistema de las fuerzas exteriores activas F 1, F 2,... F i,... F n. Aplicamos las ecuaciones de la estática a este caso: { R + R + F = 0 M R0 + M R 0 + M F0 = 0

33 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 33 El momento en O de la fuerza reactiva R es evidentemente nulo. M R0 = 0 El momento en O de la fuerza reactiva R será: M R 0 = 00 R i j k = 0 0 h R x R y R z = h R y i + h R x j Las ecuaciones vectoriales de la estática se traducen entonces en estas seis ecuaciones escalares: R x + R x + F x = 0 ; R y + R y + F y = 0 ; R z + R z + F z = 0 h R y + M x = 0 ; h R x + M y = 0 ; M z = 0 La última ecuación expresa la condición de equilibrio; es decir, un sólido con un eje fijo está en equilibrio si el momento de las fuerzas activas con respecto de dicho eje es nulo. Las otras cinco ecuaciones servirían para determinar las reacciones; pero como tenemos seis incógnitas, nos encontramos en presencia de un problema hiperestático. En la práctica el problema quedaría resuelto aplicando alguna de estas consideraciones: 1. Si la resultante de las fuerzas activas es perpendicular al eje, entonces F z = 0, y haciendo R z = R z = 0, el problema pasa a ser resoluble. 2. Si las fuerzas activas presentan una resultante que da componente en la dirección del eje Z, entonces F z 0, pero podemos hacer uno de estos supuestos: R z = 0 y R z 0, o bien R z 0 y R z = 0. Con cualquiera de estos dos planteamientos, el problema pasa ser isostático y resoluble.

34 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA Sólido rígido que se apoya en un plano Suponemos que en los tres casos que vamos a analizar se trata de contacto liso, es decir sin rozamiento, con lo que la fuerza reactiva introducida en el enlace tiene necesariamente su dirección ortogonal al plano. Sabemos además que caso de tratarse de enlace unilateral (que será lo más frecuente en un contacto sólido-plano), a las condiciones de equilibrio obtenidas, deberá añadirse que el sentido de la resultante de la fuerza activa trate de aplicar al sólido desde el semiespacio permitido hacia el semiespacio prohibido. 1. Sólido que se apoya en un plano en un punto Z F 2 Fi F 1 R Fn k i O j Y X En el punto de contacto, que suponemos en el origen de la referencia, aparecerá la fuerza reactiva R, ortogonal al plano, y por tanto en la dirección del eje Z. R = R z k Evidentemente, el momento resultante de la fuerza reactiva R en O será nulo. M R0 = 0 La resultante de las fuerzas activas F 1, F 2,... F i,... F n será: i=1 F i = F x i + F y j + F z k Y el momento resultante de las fuerzas externas activas en O: M F0 = r i F i i=1 = M x i + M y j + M z k

35 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 35 Aplicamos ahora las ecuaciones universales de la estática: { F + R = 0 M F0 + M R0 = 0 { F + R = 0 M F0 = 0 Que se traducen en las siguientes seis ecuaciones escalares: F x = 0 ; F y = 0 ; R z + F z = 0 M x = 0 ; M y = 0 ; M z = 0 Las dos primeras ecuaciones, y las tres últimas, esto es, aquellas en las que no aparecen explícitamente incógnitas, nos indican las condiciones que deben cumplir las fuerzas externas activas para que el equilibrio sea posible: La resultante de las fuerzas activas debe ser ortogonal al plano (F x y F y deben ser nulas), y el momento resultante de las fuerzas externas activas en el punto de contacto debe de ser nulo. Cumplidas las condiciones de equilibrio, la tercera ecuación me permite determinar la fuerza reactiva en el contacto. 2. Sólido que se apoya en un plano en varios puntos alineados Z F i F2 Fn F 1 R1 k R 2 i O j Y X Supongamos que la alineación de los puntos del sólido que contactan con el plano horizontal, tiene lugar sobre el eje X. Supongamos también que el número de puntos que contactan con el plano es dos. La resultante de las fuerzas reactivas será ortogonal al plano y paralela al eje Z, ya que es la suma de las reacciones R 1 y R 2 que tienen esa dirección.

36 CAPÍTULO 3. ESTÁTICA 36 R = R 1 + R 2 = R z k El momento resultante de las fuerzas reactivas en O, será un vector alineado con el eje Y. M R0 = M Ry j De la aplicación de las ecuaciones vectoriales universales de la estática: { R + F = 0 M R0 + M F0 = 0 Se obtienen estas seis ecuaciones escalares: F x = 0 ; F y = 0 ; R z + F z = 0 M x = 0 ; M Ry + M y = 0 ; M z = 0 Las ecuaciones F x = 0, F y = 0, M x = 0 y M z = 0 nos expresan las condiciones que deben cumplir las fuerzas exteriores para que el equilibrio sea posible: la resultante debe ser ortogonal al plano, y el momento resultante no debe tener componentes en los ejes X y Z. Las otras dos ecuaciones nos permiten determinar las fuerzas reactivas, siempre que el número de apoyos no sea superior a dos. Caso de existir más apoyos, el problema sería hiperestático. 3. Sólido que se apoya en un plano en varios puntos no alineados Z F i F 1 F 2 O F n Y X R 1 R 2 R 3 Supongamos que el número de puntos que contactan con el plano es tres. La resultante de las fuerzas reactivas será ortogonal al plano y paralela al eje Z, ya