Introducción a la Programación. de Restricciones y Optimización. Tutorial. John Hooker. Carnegie Mellon University.

Transcripción

1 Introducción a la Programación de Restricciones y Optimización Tutorial Septiembre 005 BUP, Puebla, Méico John Hooker Carnegie Mellon University

2 genda Eaminaremos 5 problemas eemplo y los usaremos para ilustrar algunas ideas básicas de programación de restricciones y optimización. Transferencia de carga Problema del agente viaero Optimización global continua Configuración de producto signación de máquinas

3 genda Eemplo: Transferencia de carga Propagación de cotas Consistencia de cotas Cortes knapsack (mochila) Relaación lineal Búsqueda por ramificación ( branching search )

4 genda Eemplo: Problema del agente viaero Filtración por restricciones todas diferentes Relaación de la condición todas diferentes rco-consistencia

5 genda Eemplo: Optimización global continua Propagación no lineal de cotas Factorización de funciones División por intervalos Propagación lagrangeana Fiación de variable por costo reducido

6 genda Eemplo: Configuración de producto Indices variables Filtración por restricción de elemento Relaación de la restricción elemento Relaación de una disunción de sistemas lineales

7 genda Eemplo: signación de máquinas Edge finding Descomposición de Benders y nogoods

8 Eemplo: Transferencia de Carga Propagación de cotas Consistencia de cotas Cortes knapsack (mochila) Relaación Búsqueda por ramificación ( branching search )

9 Transferencia de Carga Transportar toneladas de carga usando a lo sumo 8 camiones. Los camiones son de capacidades diferentes: 7,5, y tons. Cuántos camiones de cada capacidad deben ser usados para minimizar costos? Costo del número de camiones de capacidad. camión de capacidad min {0,,,}

10 Transferencia de Carga Resolveremos el problema usando branching search. En cada nodo del árbol de búsqueda: Reducir los dominios de las variables usando propagación de cotas. Resolver una relaación lineal del problema para obtener una cota para el valor óptimo.

11 Propagación de Cotas El dominio de es el conunto de valores que puede tomar para alguna solución factible. Inicialmente el dominio de cada es {0,,,}. La propagación de cotas reduce los dominios. Dominios de menor tamaño significan un menor número de bifurcaciones.

12 Propagación de Cotas Primero, reducir el dominio de : 7 5 Ma. elemento del dominio Entonces, el dominio de se reduce de {0,,,} a {,,}. No es posible reducir los dominios de,,.

13 Propagación de Cotas En general, sea {L i,, U i } el dominio de i. Una desigualdad a b (para a 0) puede ser usada para aumentar L i a a U ma L, i b i a i Una desigualdad a b (para a 0) puede ser usada para reducir U i a min U, i b i a a i L

14 Propagación de Cotas hora, propagar el dominio reducido a las otras restricciones para quizás reducir más el dominio: 8 Min elemento del dominio No son posibles reducciones adicionales.

15 Consistencia de Cotas Nuevamente, sea {L,, U } el dominio de Un conunto de restricciones es consistente en cotas si para cada : L pertenece a alguna solución factible y U pertenece a alguna solución factible. Consistencia de cotas no asignaremos a ningún valor no factible durante la bifurcación. La propagación de cotas es consistente en cotas para el caso de una única desigualdad. 7 5 es consistente en cotas cuando los dominios son {,,} y,, {0,,,}. Pero no necesariamente para un conunto de desigualdades.

16 Consistencia de Cotas La propagación de cotas puede no alcanzar consistencia para un conunto. Consideremos el conunto de desigualdades 0 con dominios, {0,}, soluciones (, ) (,0), (,). La propagación de cotas no tiene efecto sobre los dominios. En : 0 0 U U En : 0 0 L U El conunto de restricciones no es consistente en cotas porque 0 no es una solución factible.

17 Cortes Knapsack Las restricciones en desigualdad (restricciones knapsack ) implican planos secantes. Los planos secantes restringen la relaación lineal aun más, y su solución es una cota más restrictiva. Para la restricción, cada paquete máimo corresponde a un plano secante (corte knapsack ). 7 5 Estos términos forman un paquete máimo porque: (a) Por sí solos no pueden sumar, aun si cada toma el mayor valor en su dominio (). (b) No eiste un súper conunto de estos términos con esta propiedad.

18 Cortes Knapsack El máimo paquete: 7 5 corresponde al corte knapsack : 7 5 ma {, } Min. valor de requerido para satisfacer la desigualdad Coeficientes de,

19 Cortes Knapsack En general, J es un paquete de a b (para a 0) si J a U < b Si J es un paquete de a b, entonces lor términos restantes deben cubrir la diferencia: a b a U J J sí tenemos el corte knapsack : b a J ma{ a J J U }

20 Cortes Knapsack Los cortes knapsack válidos de 7 5 son

21 Relaación Lineal U L min 90 Tenemos ahora una relaación lineal del problema de transferencia de carga:

22 Búsqueda por Bifurcación ( Branching Search ) En cada nodo del árbol de búsqueda: Reducir el dominio por medio de propagación de cotas. Solucionar una relaación lineal para obtener una cota inferior para cualquier solución factible en el sub-árbol que empieza en ese nodo. Si la relaación es no factible, o su valor óptimo no meora la meor solución factible encontrada hasta ahora, entonces backtrack. De lo contrario, si la solución de la relaación es factible, guardarla y backtrack. De lo contrario, bifurcar dividiendo el dominio.

23 Búsqueda por bifurcación relaación no factible (,,, ) valor 50 solución factible ( valor 0 0 0,, valor 5, 0 {,} ) 0 0 (,,. 75, {,} ) ( valor 0 0 0,. 6, debido a la, 0 56 {0,,} Dominios después de la propagación de cotas "backtrack" ) 0 0 (,. 5,, 0. 5 valor 50 ) cota Solución de la relaación lineal ( valor 0 0,, 0, 50 ) solución factible

24 This image cannot currently be displayed. Búsqueda por Bifurcación Dos soluciones óptimas fueron encontradas (costo 50): (,,, ) (,,,) (,,, ) (,,0,)

25 Eemplo: gente Viaero Filtración por restricciones todas diferentes Relaación de la condición todas diferentes rco-consistencia

26 gente Viaero El agente visita cada ciudad una sola vez. La distancia de la ciudad i a la ciudad es c i. Minimizar la distancia recorrida. i i -ésima ciudad visitada. min c i i ( ),, n todas diferentes {,, n } i Distancia desde la i -ésima ciudad visitada hasta la siguiente ciudad (ciudad n ciudad ) Puede ser resuelto por bifurcación reducción de dominio relaación.

27 Filtración por Todas Diferentes Obetivo: filtrar valores no factibles en los dominios de las variables. La filtración reduce el dominio y por lo tanto reduce el número de bifurcaciones necesarias. El meor algoritmo conocido de filtración por todas diferentes está basado en el aparemiento bipartito de máima cardinalidad y el teorema de Berge.

28 Filtración por Todas Diferentes Consideremos (,,,, 5 ) todas diferentes con dominios 5 {} {,,5} {,,,5} {,5} {,,,,5,6}

29 5 5 6 Indicar el dominio con trazos. Encontrar el apareamiento bipartito de máima cardinalidad. Marcar trazos en trayectorias alternas que comienzan en vértices no cubiertos. Marcar trazos en ciclos alternos. Eliminar trazos no marcados o apareados.

30 5 5 6 Indicar el dominio con trazos. Encontrar el apareamiento bipartito de máima cardinalidad. Marcar trazos en trayectorias alternas que comienzan en vértices no cubiertos. Marcar trazos en ciclos alternos. Eliminar trazos no marcados o apareados.

31 Filtración por Todas Diferentes 5 {} {,,5} {,,,5} {,5} {,} {5} {,,,,5,6} {,} 5 {,6}

32 Relaación de Todas Diferentes (,,, ) todas diferentes con dominios {,,,} tiene la relaación de envolvente convea: unque esta es la relaación lineal más austada ( tightest ) posible, puede ser demasiado débil (e involucrar demasiadas desigualdades) limitando su utilidad.

33 rco-consistencia El conunto de restricciones S que contiene las variables,, n con dominios D,, D n es arco-consistente si el dominio no contiene valores no factibles. O sea, para todo, y para todo v D, v, para alguna solución factible de S. De hecho, se trata de arco-consistencia generalizada (dado que puede haber mas de variables por restricción). La arco-consistencia se satisface filtrando todas las soluciones no factibles de los dominios.

34 rco-consistencia El algoritmo de apareamiento satisface arco-consistencia para todas diferentes. Con frecuencia los algoritmos de filtración en la práctica no satisfacen arco-consistencia completamente ya que alcanzarla no ustifica la inversión en tiempo. Las herramientas básicas de programación de restricciones son algoritmos de filtración que satisfacen o aproiman arco-consistencia. Los algoritmos de filtración son análogos a los algoritmos de plano secante en programación entera.

35 rco-consistencia Los dominios que son reducidos a través de un algoritmo de filtración para una restricción pueden ser propagados a otras restricciones. Similar a la propagación de cotas. Pero la propagación puede no satisfacer arco-consistencia para un conunto de restricciones, aun cuando la arcoconsistencia es satisfecha para cada restricción por separado. De nuevo, similar a la propagación de cotas.

36 rco-consistencia Por eemplo, consideremos el conunto de restricciones ( ( (,,, ) ) ) todas diferentes todas diferentes con dominios todas diferentes {, } {,} {,} No es posible reducir más el dominio. Cada restricción es arco-consistente para sus respectivos dominios. Sin embargo, no es una solución factible para el conunto de restricciones. Por lo tanto, el conunto de restricciones no es arcoconsistente.

37 rco-consistencia Por otro lado, en ocasiones el mantener arco-consistencia puede resolver un problema sin necesidad de bifurcación. Consideremos el problema de coloración de grafos. Colorear los vértices de roo, azul o verde de tal manera que todos los vértices adyacentes entre sí tengan colores diferentes. Estas son restricciones binarias (contienen solo variables). rbitrariamente colorear dos vértices adyacentes de roo y verde. Reducir los dominios para mantener arco-consistencia para cada restricción.

38 Problema de coloración de grafos que puede ser resuelto manteniendo arco-consistencia.

39 Eemplo: Optimización Global Continua Propagación no lineal de cotas Factorización de funciones División por intervalos Propagación lagrangeana Fiación de variable por costo reducido

40 Optimización Global Continua ctualmente, los solucionadores de programación de restricciones (CHIP, ILOG Solver) hacen énfasis en propagación. ctualmente, los solucionadores de programación entera (CPLEX, Xpress-MP) hacen énfasis en relaación. ctualmente, los solucionadores globales (BRON, LGO) combinan propagación y relaación. Quizás en el futuro cercano todos los solucionadores combinaran propagación y relaación.

41 Optimización Global Continua Consideremos el problema de optimización global continua: ma [0,], [0,] El conunto factible es no conveo, y eiste más de un óptimo local. Técnicas de programación no lineal tratan de encontrar un óptimo local. Técnicas de optimización global tratan de encontrar un óptimo global.

42 ma Optimización Global Continua [0,], [0,] Optimo global Optimo local Conunto factible

43 Optimización Global Continua Bifurcar dividiendo dominios de intervalos continuos. Reducir los dominios a través de: Propagación no lineal de cotas. Propagación lagrangeana (fiación de variable por costo reducido). Relaar el problema factorizando funciones.

44 Propagación No Lineal de Cotas Para propagar, epresarla como / y /. Entonces: U 8 U Esto implica dominios [0.5,], [0.5,]. Propagaciones adicionales de implican [0.5,0.875], [0.5,.75]. La iteración de las restricciones converge en el punto fio [0.6,0.85], [0.9,.707]. En la práctica, el proceso de iteración se detiene antes de alcanzar convergencia, debido a que alcanzarla puede no compensar los costos en tiempo computacional.

45 Propagación No Lineal de Cotas Propagar los intervalos [0,], [0,] a través de las restricciones, para obtener [/8,7/8], [/,7/]

46 Descomponer funciones compleas en funciones elementales con relaaciones lineales conocidas. Epresar como y donde y. Esto factoriza en la función lineal y, y la función bilineal. La relaación lineal de la función lineal y es ella misma. La función bilineal y tiene la relaación lineal: LU L U y U U U U L U U L y L L L L Factorización de Funciones

47 Tenemos ahora la relaación lineal del problema no lineal: U L LU L U y U U U U U L U L y L L L L y ma Factorización de Funciones

48 División de Intervalos Resolver la relaación lineal.

49 División de Intervalos [,.75] Resolver la relaación lineal. Dado que la solución es no factible, dividir el intervalo y bifurcar. [0.5,]

50 [0.5,] [,.75 ]

51 [,.75] [0.5, ] La solución de la relaación es factible, valor.5 Esta se convierte en la meor solución factible.

52 [,.75] [0.5, ] La solución de la relaación es factible, valor.5 Esta se convierte en la meor solución factible. La solución de la relaación no es factible, valor.85

53 U L LU L U y U U U U U L U L y L L L L y ma El multiplicador de Lagrange (variable dual) en la solución de la relaación es. Propagación Lagrangeana El valor óptimo de la relaación es.85 Cualquier reducción en el lado derecho de reduce el valor óptimo de la relaacion en.. Entonces, cualquier reducción en el lado izquierdo de la desigualdad (ahora ) tiene el mismo efecto.

54 Propagación Lagrangeana Cualquier reducción en el lado izquierdo de reduce el valor óptimo de la relaación (ahora.85) en.. El valor óptimo no debe ser reducido por debao del límite inferior.5 (valor de la meor solución factible hasta ahora). sí, debemos tener..85.5, o o.[ ( )] La desigualdad puede ser propagada para reducir los dominios. Reducir el dominio de de [,.7] a [.66,.7].

55 Fiación de Variable por Costo Reducido En general, dada la restricción g() b con multiplicador de Lagrange λ, la siguiente restricción es válida Valor óptimo de la relaacion g ( ) b v L λ Límite inferior en el valor óptimo del problema original Si g() b es una restricción de no negatividad 0 con multiplicador de Lagrange λ (i.e, el costo reducido de es λ), entonces v L λ or v L λ Si es una variable 0- y (v L)/ λ <, entonces podemos fiar en 0. Esto se conoce como fiación de variable por costo reducido.

56 Eemplo: Configuración de Producto Indices variables Filtración por la restricción elemento Relaación de la restricción elemento Relaación de una disunción de sistemas lineales

57 Configuración de Producto Queremos configurar una computadora seleccionando el tipo de fuente de energía, el tipo de disk drive y el tipo de chips de memoria. También seleccionamos el número de disk drives y de chips de memoria. Usar solamente tipo de disk drive y tipo de memoria. Restricciones: Generar energía suficiente para los componentes. El espacio de disco debe ser por lo menos 700. La memoria debe ser por lo menos 850. Minimizar peso sueto a las restricciones.

58 Memoria Memoria Memoria Configuración de Producto Computadora personal Memoria Memoria Memoria Disk drive Disk drive Fuente de energía Fuente de energía Fuente de energía Fuente de energía Disk drive Disk drive Disk drive

59 Configuración de Producto

60 Configuración de Producto Sea t i tipo del componente i instalado. q i cantidad del componente i instalado. Estas son las variables del problema. Este problema ilustrará la restricción elemento.

61 Configuración de Producto Cantidad del atributo producida (< 0 si es consumida): memoria, energía, peso, etc. min v L i v c q i v U it i,, para para toda toda Cantidad del componente i instalado

62 Configuración de Producto Cantidad del atributo producida (< 0 si es consumida): memoria, energía, peso, etc. min v L i v c q i v U it i,, para para Cantidad del atributo producida por el tipo t i de componente i toda toda Cantidad del componente i instalado

63 Configuración de Producto Cantidad del atributo producida (< 0 si es consumida): memoria, calor, energía, peso, etc. min v L i v c q i v U it i,, para para Cantidad del atributo producida por el tipo t i de componente i toda toda t i es un índice variable Cantidad del componente i instalado

64 Cantidad del atributo producida (< 0 si es consumida): memoria, calor, energía, peso, etc. Configuración de Producto Costo por unidad de producir el atributo min v L i v c q i v U it i,, para para Cantidad del atributo producida por el tipo t i de componente i toda toda t i es un índice variable Cantidad del componente i instalado

65 Indices Variables Los índices variables son implementados con la restricción elemento. This image cannot currently be displayed. La y en y es un índice variable. Los solucionadores de programación de restricciones implementan y remplazándola con una nueva variable z y agregando la restricción elemento(y,(,, n ),z). Esta restricción asigna z al y-ésimo elemento de la lista (,, n ). q i it i i sí, es remplazada por y la nueva restricción elemento ( t, ( q,, q ), ) i i i i in z La restricción elemento puede ser propagada y relaada. i z i i para cada i.

66 Filtración por Elemento ) ),,,,( ( z y n elemento puede ser procesada con un algoritmo de reducción de dominio que mantenga arco-consistencia. de lo contrario } { s } { { y y z y y D z z D D i D D D D D D D D D Dominio de z

67 Filtración por Elemento Eemplo... elemento (,(,,, ), z ) y Los dominios iniciales son: Los dominios reducidos son: D D D D D D z y {0,0,60,80,90} {,,} {0,50} {0,0} {0,50,80,90} {0,50,70} D D D D D D z y {80,90} {} {0,50} {0,0} {80,90} {0,50,70}

68 Relaación de Elemento elemento(y,(,, n ),z) puede ser una relaación continua. Esto implica la disunción ( z ) k k En general, a una disunción de sistemas lineales se le puede dar una relaación de envolvente convea. Esto proporciona una forma de relaar la restricción elemento.

69 Relaación de una Disunción de Sistemas Lineales Consideremos la disunción k ( k b k ) Esta describe la unión de poliedros definida por k b k. Cada punto en la envolvente convea de esta unión es una k combinación convea de los puntos en el poliedro. b b b Envolvente convea

70 sí, tenemos k k k k k k k k k k b 0 toda para α α α,, Usando el cambio de variable obtenemos la relaación de envolvente convea k k k α k k k k k k k k k k b 0 toda para α α α,, Relaación de una Disunción de Sistemas Lineales

71 Relaación de Elemento La relaación de envolvente convea de elemento(y,(,, n ), z) es la relaación de envolvente convea de la disunción, que se reduce a z i k k kk z ik k, ( k para ) toda i

72 Configuración de Producto Volviendo al problema de configuración de producto, el modelo con la restricción de elemento es min v i c z elemento i v, L v U, para toda ( t,(,, ), z ), para todas i, i i im i con dominios Tipo de fuente de energía Tipo de disco Tipo de memoria Número de fuentes de energía t v q {, B, C }, t {, B }, t {, B, C } [ L, U ], all { }, q, q {,, } Número de discos, chips de memoria

73 Configuración de Producto Podemos usar los cortes knapsack para filtrar los dominios. v [ L, U ] v z i Dado que, la restricción implica v z i L U v i i q i im q,, donde cada z i toma uno de los valores. Lo cual implica las desigualdades knapsack L q { } i ik k i ma q i min{ ik } U i k Estas desigualdades pueden ser usadas para reducir el dominio de q i.

74 Configuración de Producto Usando los límites inferiores L, para energía, espacio de disco y memoria, obtenemos las desigualdades knapsack 0 q q q ma{70,00,50} q ma{0,0,0} ma{0,0,0} q q ma{ 0, 50} q ma{500,800} q ma{0,0} q ma{ 0, 5, 0} ma{0,0,0} ma{50,00,00} que se reducen a 0 50 q q q q 0 q Propagándolas se reduce el dominio de q de {,,} a {}.

75 Configuración de Producto La propagación de todas las restricciones reduce los dominios a q t z z z z v {} q { C } t [50,50] [0,0] [0,0] [50,50] [0,5] v z z z z {,} q {, B } t [ 75, 0] z [700,600] [0,0] [0,600] [700,600] v z z z {} { B, C } [ 90, 75] [0,0] [900,0] [75,90] [900,00] v [565,00]

76 Configuración de Producto Usando la relaación de envolvente convea de la restricción elemento obtenemos la relaación lineal del problema: min v q k D Cotas actuales de v ti L U v v v, para toda Cotas actuales de q i L U q q q, para toda i v q L i i i ik k D i i q k v i k D min{ c ti 0, ik ti, i D ik ma{ ti q para ik i q } ik para ik, q v i U todas para toda }, i,, k i para para toda toda toda q ik > 0 cuando el tipo k del componente i es seleccionado, y q ik es la cantidad instalada

77 Configuración de Producto La solución a la relaación lineal en el nodo inicial es q q q otros q 0 ( v,, v ) ( 5, 000, 900, 705 q q q C B i s Usar tipo C de fuente de energía (t C) Usar tipos de disk drives (t ) Usar tipos B de chips de memoria (t B) ) Mín. peso es 705. Ya que hay un solo q ik > 0 para cada i, no hay necesidad de bifurcar en los t i s. Esta es una solución factible y por lo tanto óptima. El problema es resuelto en el nodo inicial.

78 Eemplo: signación de Máquinas Edge finding Descomposición de Benders y nogoods

79 signación de Máquinas Queremos asignar 5 trabaos a máquinas. Cada trabao tiene tiempos de iniciación y terminación. Los tiempos y costos de procesamiento varían entre las dos máquinas. Queremos minimizar el costo total teniendo en cuenta las restricciones en tiempos. Primero estudiaremos la propagación para el problema de máquina ( edge finding ). Luego resolveremos el problema de máquinas usando la descomposición de Benders y la propagación en el problema de máquina.

80 signación de Máquinas Tiempo de procesamiento en la máquina Tiempo de procesamiento en la máquina B

81 signación de Máquinas Los trabaos deben ser realizados uno a la vez en cada máquina (asignación disunta). Para esto usamos la restricción disunctiv e( t, p ) t (t, t n ) son tiempos de iniciación (variables) p (p i, p in ) son tiempos de procesamiento (constantes) El meor algoritmo conocido para la restricción disunctive es edge finding. Edge finding no satisface complementamente arco-consistencia o consistencia de cotas.

82 signación de Máquinas El problema puede ser escrito como min t p y f y disunctive d, ( ( t y i ),( p y i ) ), para toda i para toda i Tiempo de iniciación del trabao Máquina asignada al trabao Primero miraremos el problema de asignación de máquina.

83 Edge Finding Tratemos de asignar los trabaos,, 5 a la máquina. Inicialmente, el tiempo más temprano de iniciación E y el tiempo más tardío de terminación L son las fechas de iniciación r y de terminación d : [ [ [ L L L 5,,, E E E 5 ] ] ] [0,8] [,7] [,7] marco de tiempo Trabao Trabao Trabao 5 E L

84 Edge Finding El trabao debe preceder los trabaos y 5, porque: Los trabaos,, 5 no se podrán realizar entre el tiempo más temprano de iniciación de, 5 y el tiempo más tardío de terminación de,, 5. Por lo tanto, el trabao debe terminar antes de que los trabaos, 5 empiecen Trabao Trabao Trabao 5 p p p 5 min{e,e 5 } ma{l,l,l 5 }

85 Edge Finding El trabao precede los trabaos, 5 porque: ma{ L, L, L 5 } min{ E, E 5 } < p p p esto se le llama edge finding porque encuentra un margen en el grafo de precedencia de los trabaos Trabao Trabao Trabao 5 p p p 5 min{e,e 5 } ma{l,l,l 5 }

86 Edge Finding En general, el trabao k debe preceder el conunto S de trabaos en la máquina i cuando ma { S { k } L } min{ S E } < S { k p } i Trabao Trabao Trabao 5 p p p 5 min{e,e 5 } ma{l,l,l 5 }

87 Edge Finding Dado que el trabao debe preceder al y al, los tiempos más tempranos de iniciación de los trabaos y pueden ser actualizados. Ellos no pueden empezar antes de que el trabao termine Trabao p Trabao Trabao 5 [E,L ] actualizado a [,7]

88 Edge Finding Edge finding también determina que el trabao debe preceder el trabao 5, ya que This image cannot currently be displayed. ma{, L 5 } min{ E 5 } ma{7,7} min{} 5 p p L < 5 Lo cual actualiza [E 5,L 5 ] a [5,7], y hay muy poco tiempo para realizar el trabao 5. La asignación es no factible Trabao Trabao p p p5 Trabao 5 [E 5,L 5 ] actualizado a [5,7]

89 Descomposición de Benders Resolveremos el problema de asignación de máquinas con la descomposición de Benders basada en lógica. Primero resolveremos el problema de asignación que distribuye trabaos entre las máquinas (problema maestro). Dada esta distribución, asignaremos los trabaos distribuidos a cada máquina (subproblema). Si una máquina tiene una asignación no factible: Determinar que trabaos causan la no factibilidad. Generar un nogood (corte de Benders) que ecluya la asignación de estos trabaos a esa máquina. gregar los cortes de Benders al problema maestro y solucionarlo nuevamente. Repetir hasta que el subproblema sea factible.

90 Descomposición de Benders El problema maestro (asignación de trabaos a máquinas) es: min f y Cortes de Benders Lo resolveremos como un problema de programación entera. Sea la variable binaria i cuando y i. min Cortes de Benders i i f { 0, } i i

91 Descomposición de Benders gregaremos una relaación del subproblema al problema maestro para agilizar la búsqueda de la solución min B B B B B B B B i i i p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p f Si los trabaos,,5 son asignados a la máquina, sus tiempos de procesamiento en esa máquina deben estar entre sus tiempos de iniciación más tempranos () y de terminación más tardíos (7).

92 Descomposición de Benders La solución del problema maestro es otras i s 0 5 B Distribuir los trabaos,,,5 a la máquina, y el trabao a la máquina B. El subproblema es asignar estos trabaos en las máquinas. Para la máquina B es trivial la asignación (solo trabao). Encontramos que los trabaos,, 5 no pueden ser asignados en la máquina. Entonces los trabaos,,, 5 no pueden ser asignados a la máquina.

93 Descomposición de Benders Entonces creamos un corte de Benders ( nogood ) que ecluya la asignación de los trabaos,, 5 de la máquina. Estos son los trabaos que causan la no factibilidad. El corte de Benders es: ( ) ( ) ( 5 ) gregar esta restricción al problema maestro. La solución del problema maestro ahora es: otras i s 0 5 B B

94 Descomposición de Benders Entonces asignamos los trabaos,, 5 a la máquina, y los trabaos, a la máquina B. Estas asignaciones son factibles. La solución obtenida es óptima con costo mínimo de 0.