12. Página 33 Conocidas las raíces de un radical no podemos saber a ciencia cierta las raíces de otro radical equivalente a él.
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- Lorena Saavedra Duarte
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1 . Página Índice y radicando. Índice y radicando. Índice 9 y radicando. Índice y radicando. e) Índice y radicando. f) Índice y radicando. 8. Página 8 = =± = = = ( 0) = 0 8 = = No eiste raíz real. e) = =± f) 9 = =± 9. Página Sí, siempre será la opuesta, porque para tenga dos raíces el índice debe ser par y el radicando positivo. 0. Página = 8 = 8 = e) = f) = 8 = ( ) = =. Página = 9 9 ( ) = ( ) e) = = =. Página Conocidas las raíces de un radical no podemos saber a ciencia cierta las raíces de otro radical equivalente a él. Por ejemplo: ( ) = ( ) =±
2 Potencias y radicales. Logaritmos. Página e) f) = = = = m.c.m.(, ) = y = = = m.c.m.(, ) = = = = y = = = m.c.m.(, ) = = y = = = m.c.m.(, ) = = = = y 0 0 = 0 0 = 0 = 0 m.c.m.(, ) = = = = = = = m.c.m.(, ) = y 0 y. Página = = = 0 0 = = = = = = = = =. Página El índice no es divisor del eponente del radicando; no es radical. = = = El índice es divisor del eponente del radicando; es radical. = =. Página = e) = 8 = f) = = g) = = h) =. Página = = e) 0 = = 98 = = f) 0= = 0 = = g) 0 = = 8 = = h) = =
3 8. Página = e) = = f) = 0 0 = g) = = h) = Página y z = y z y z = z y z 0 y z = y z y z y z = y z y z e) 08 y z = y z = y z z f) y z = y z = y y z 8 g) y z = y z = y z y z h) 88 y z = y z = y z y z 0. Página + = ( + ) = 0 0 = 0 = = = ( ) = e) + = + = ( + ) = f) =. Página = = = 9 = 9 = 9 = 9 : = : = ( ) : = ( ) : = = : 9= :9 = :9 = 9
4 Potencias y radicales. Logaritmos. Página ( ) ( ) = = = = = =. Página = ( 9 + ) 0 = 0 9 = ( 9 ) = = = = = : : = : : = : : = : : = = = e) ( ) f) ( ) 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = = =. Página ( ) = = ( + ) = + = = + = = = = = 0 = = = = = e) ( ) 9 9 f) g) h) ( ) :( ) = : = = = = 8 + = + = + = = = = = 0 : 80 : : 0 = : = : = = 8
5 . Página 8 0 = 8 0 = Página 8 ( ) = + + = = + +. Página = = = Página 9 = 0 = 0 = (8 ) 8 9. Página = = = + + = = = + 9 = = + + 9
6 Potencias y radicales. Logaritmos 0. Página = = = = = = = Página ( ) = = +. Página 0,8 0 km 9,08 0 km 8, 0 km 9, 0 km 0 e), 0 años luz. Página m 0 m 9, 0 m 0 g. Página 0 La masa de un protón, epresada en notación científica es, 0 g.. Página log 9 = porque = 9 e) log = 9 porque 9 = log = porque = f) log = porque = log = porque = g) log = porque = log = porque = h) log 8 = porque = 8 0
7 . Página log0 000 = lne = log 0,00000= log = ln e =. Página log 0,0 =, ya que 0,0. 8. Página log0 + lne = + = log + log = 0 + log = log+ log log0 = 0 + = 0 log 8 + log + log = log (8 ) = log = log = 0 e) log + log log = log( ) log = log = log0 = 9. Página log + log = log + log = log ( ) log + log 0 = log + log 0 = log ( 0) 9 log9 log = log9 log = log log+ log = 0 + log = log 0. Página log 0,0 log 0 =,8 log 0,99. Página log = = = = log = = = = log = = = = log = = = e) log = = = = f) log = 0 = = = = = g) log = = = = 9 9 h) log = = = =
8 Potencias y radicales. Logaritmos. Página log 8 = = 8 = = log 08 = = 08 = log = = = = log 0,0 = = 0,0 = = log = 8 = = = = e) 8 log = 9 = = = = f) 9. Página log = = = f) log = = 8 log = = = g) log8 = = 8 = ( ) = log = = h) log = = = 0 log = 0 = = i) log = = = 8 e) log = = j) log = = =. Página log + log = log 0 log( ) = log 0 = 0 = 0 log + log ( ) = log0 log( ) = log0 = 0 = = log log = log log = log = = 9 log log = log log = log = = = 8 ACTIVIDADES FINALES. Página ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = = ( ) ( ) ( ) = ( ) + = ( )
9 . Página = = = = = =. Página ( ) ( ) = ( ) = = ( ) = = + = ( ) = = + = 0 ( ) : ( ) = = + + = 8. Página : : ( ) : : : : = = = = : = ( ) : = : = + = : 0 = 0 : 0 = 0 + = ( ) ( ) : =( ) ( ) : = : = = 9. Página 9 9 : ( ) = 0 0 : ( ) = = = ( 8 ) = ( 8) = ( ) = : ( ) = = = 0. Página + : = : + : : = + + = + + : = : e) : : = + f) =
10 Potencias y radicales. Logaritmos. Página = = = 0 8 = : : = 0 : : = e) = 9 f) : : =. Página = = [( ) 8] [( ) 8] [( ) 8] ( ) [ : ( ) ] ( ) [ : ( ) ] = [ : ( ) ] = = [( 0) : ( )] 0 [( 0) : ( )] 0 [( 0) :( )] ( 0) [9 :( ) ] = ( ) = [9 : ( ) ] = 9 : ( ) ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 e) ( 0 ) 0 f) 8 = = ( ) 8 8 ( ) ( ). Página. : : : 8 8 ( ) : :. Página ( : ) 8 8 ( ): : : 9 :( : ) : ( ): ( ) :
11 . Página 9 ( ) ( ) = : = ( ) = 9 ( ) : ( ) : : = 8 ( ). Página ( ) ( 8) 9 0 ( ) Página : = + : = + = = = + = 0 : = : = = Página Falsa a b c a b c 8 8 = a b c Falsa Falsa = Verdadera = 9. Página : : 9 : : :( ) : = = 0 : ( ) : 9
12 Potencias y radicales. Logaritmos 0. Página : 9 : Página 9 8 : : = ( ) = e) 8 8 : = = 0 : = ( ) = f) 9 : 9. Página 9 9 = 9 0 : Página 8 0 a < 0 n impar Tiene una raíz negativa: = a > 0 Tiene dos raíces, una positiva y su opuesta: 8 =± n par a < 0 No tiene raíz real. n par a > 0 Tiene una raíz positiva: n impar 0 =. Página Radicando: 89 > 0 89 Tiene una raíz positiva. Índice: (impar) Radicando: > 0 Tiene dos raíces, una positiva y su opuesta. Índice: (par) Radicando: 8 < 0 8 Tiene una raíz negativa. Índice: (impar) Radicando: < 0 98 No tiene ninguna raíz real. Índice: 98 (par)
13 . Página = = 9 9 ( ) = ( ) ( ) = ( ). Página = ( ) = = ( ) = ( ). Página Respuesta abierta, por ejemplo: 8 = 8 y 9, ya que = y 9 =. 0 0 = y 0, ya que 0 = y 0 0 =. = 8 y, ya que 8 = y =. 9 9 y 8 8 = y y y y, ya que y = y y 9 y =. 8. Página = Son equivalentes. = ( ) =± ( ) = ( ) ( ) = = = = ( 0) =0 ( 00) = ( ) = ( 0) Son equivalentes. 8 =± =± No son equivalentes. 000 = 0 ( 00) =± 00 = Son equivalentes. ( ) = = = 8 8 = 8 ( ) =± No tienen soluciones enteras. 9. Página = = 0 = = = = = = 0. Página 8000 = = 00 = = 8 = = = =
14 Potencias y radicales. Logaritmos. Página a 8 b c = a b c a c a b c = a b c a b 0 0 a b c = a b c a b c a b c = a b c a b c. Página = 9 8 = = Página = = = = = = Página + = + = = + = = + + = = = + + = + + = 8 = + + = = + 9 = = =. Página 8 =± = () =
15 . Página = 9 = =. Página ( + ) = + ( + ) ( ) = ( + ) = ( + ) = + 8. Página = D 0 = B = B = D 9. Página ( + ) = + = + ( + ) = = = ( + ) 9 = = ( + ) ( ) = = Página ( + ) ( ) = = ( ) ( + ) = ( + ) ( + ) = ( 0 ) ( 0 ) = =00 8. Página ( + ) = = + 0 ( ) = + = ( 8 0 ) = = ( + ) = = Página ( + ) + ( ) = = ( ) ( + ) = + + = 9 ( 0) ( 0 + ) = =0 + ( + ) + ( ) = = + 9 9
16 Potencias y radicales. Logaritmos 8. Página 8 8 : : 0 = 8: = 8. Página = = Página = = + + = + = = = = Página ( 8) = ( 0) ( ) Página = 8 8 = 89. Página 9 0
17 90. Página + (+ ) + 0 ( ) ( + 8 ) + 8 ( ) 9 9. Página ( + ) + + = ( ) ( + ) ( + ) + 0 = + 0 ( ) ( + ) ( ) = + ( ) ( + ) = + ( ) ( + ) ( ) 9. Página + = + = = = + = + = + = = 8 = Página 0 9 = = = + = = = = + = 9. Página = = = 0 9 9
18 Potencias y radicales. Logaritmos 9. Página ( ) = + = + = + ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) = = = ( ) ( + ) = + = + 8 ( + ) ( ) = = Página =, 0 Orden de magnitud: 0 0,000000=, 0 Orden de magnitud: =,9 0 Orden de magnitud: 0 0, = 9 0 orden de magnitud: 0 9 e) =,98 0 Orden de magnitud: 9 f) 0,09 = 9, 0 Orden de magnitud: 8 g) =,9 0 Orden de magnitud: 8 h) 000 =, 0 Orden de magnitud: 9. Página Únicamente está escrito en notación científica el número del apartado e), Página 8, 0 +, 0 =,89 0 8, 0 + 9, 0 = 8, 0 + 9, 0 = 0, 0 =,0 0, 0 +,8 0 =, 0 + 0, =, , 0, 0 + +, 0 =, 0 + 0, ,000 0 =,09 0 e), 0 +,9 0 +,8 0 = 0, , ,08 0 =, Página 8 9, 0, 0 =,8 0 8, 0, 0 = 8, 0 0, 0 = 8,0 0,9 0, 0 =,9 0 0,0 0 =,88 0, 0 +, 0,9 0 =, 0 + 0,0 0 0, =, 0 e) = 0 0, ,000 0 =,99 0
19 0. Página 8, 0, 0 8, 0,8 0 = = 8, 0 :, 0 =, ,9 0, 0 0,8 0, = = 9, 0 :, 0 =, Página 8, 0, 0,9 0, 0 8,9 0, , 0 = 0,8 0 =,8 0 = 0, 0 =, Página 8, 0 (, 0, 0 ) =, 0 (, 0 0, 0 ) =, 0,0 0 =,8 0, 0 : (,8 0, 0 ), 0 : (0,8 0, 0 ), 0 : (,) 0 = = = =0,998 0 =9, (, 0 ) (, 0, 0 ),9 0 (, 0 0, 0 ),9 0,9 0 = = = (, 0, 0 ) : (, 0, 0 ) = (, 0 0, 0 ) : (0, 0, 0 ) = =, 0 : ( 0,9) 0 =, =,9 0 =, Página 8 Llamando l a la longitud de la arista del cubo: VCubo = l = m l = m 0. Página 8 Llamando l a la longitud de la arista del cubo: VCubo = l = 9 cm l = 9 cm A Cara = ( 9) = 8 = = m 0. Página 8 Llamando l a la longitud de la arista del cubo: VCubo = l = 0 cm l = 0 cm Como un cubo tiene un total de aristas, la suma de todas ellas es de 0 cm. 08. Página 8 Llamando l a la longitud de la arista del cubo: VCubo = l = 0 cm l = 0 cm Como un cubo tiene caras laterales, A Lateral = 0 = 8 0 cm.
20 Potencias y radicales. Logaritmos 09. Página Mb Kb bytes 0 0 Gb = 0 bytes =,88 0 bytes Gb Mb Kb 0 bits 0 bytes = 0 bits =,008 0 bits byte 0 0 Kb bytes 0 8 Mb = byte =,8 0 bytes Mb Kb 0 bits 9 byte = bits =,99 0 bits byte 0 0 Kb bytes 0,Mb =, byte =,099 0 bytes Mb Kb 0 bits, byte =, bits =,09 0 bits byte 0 0 Kb bytes Mb 0 byte,8 0 bytes = = Mb Kb 0 bits 9 0 byte = 0 bits =, 0 bits byte 0. Página 8 0 Masa del Sol = 0, 0 = 9,8 0 =,98 0 kg. 9 Masa de Plutón =,98 0, 0 =,098 0 =,098 0 kg.. Página 9 log = porque = lne = e) log log 9 = porque = 9 log = porque = porque = f) log00 0 = porque = 00 = 0. Página 9 t t t r log,0 Cf = Ci + 0= log,0= log + t log,0. Página 9 log C f t C f 8000 Cf = log = t log (,0) t= log (,0) 8,0 log 8000 t años. log (, 0) 88, log 8000 t años. log (,0) 9009,0 log 8000 t años. log(,0) 889, log 8000 t años. log (, 0)
21 . Página 9 log0, = log = log = log = 000 log0, = log = log = log = 00 log0, = log = log = 0 8 log0,008 = log = log = log = 000. Página 9 log = = = = log = = = log 00 = = 00 = 0 = 0 log = = = e) log 8= = 8 = = f) log ( + ) = = + 8= + = 9. Página 9 log 9 + log = log = log = log 08 log = log = log = log + log = log + log = log = log = ( ) log + log + log8 = log = log0 = e) log 8 + log log 8= log log = = f) log + log= + 0 = 8. Página 9 log 0, =0,9 log =0,9 log log0 =0,9 log = 0,9 log = 0, Página 9 log 8 log log8 log = log = log = log 8 log 00 = log 0 = = log log 0 log log log log = log = log = log8 log = log = = 8 log log
22 Potencias y radicales. Logaritmos DEBES SABER HACER. Página 9 ( ) = = : = :. Página 9 ( + ) = 8 0 = ( ) = = = =. Página 9 = = + (+ )( + ) = ( )( + ) 8. Página 9, 0 +, 0 0 =, =, 0 =, 0, 0 0 = = 0, 0 8, 0 8,. Página 9 log = = = log = = = log = = = = COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana 0. Página 0 Un terremoto de escala es 0 mayor que un terremoto de escala. Por tanto, si hace dos años se produjo un terremoto de escala (0 mayor a un terremoto de escala ), el de esta madrugada fue 0 : 0 = 0 veces mayor que el anterior. Tendrá réplicas hasta llegar a ser un terremoto menor, de escala, ya que = 0. El volumen de un camión es, =, m. Por otro lado, si una tonelada de TNT ocupa 0, m, entonces, 0 toneladas de TNT ocupan, 0 0, = 9 0 m. Por tanto: 9 0, 0 = 8 0 camiones son necesarios para cargar toda la dinamita.
23 FORMAS DE PENSAR. Razonamiento matemático. Página = 0, = 9, 0 0 = 0, =, =,89 0 =,0 0. Página 0 a< a, cuando a >. a> a, cuando 0< a <.. Página 0 a+ a a+ a a+ a = + a ( + ( a+ a ) a+ a + a a + a + a + a+ a + a+ a + a+ a = a ( ( + a+ a ) + a+ a a a a a. Página 0 n n n n ( a+ ( a+ a b ( a ( a+ a b n n n n n n n n Volvemos a racionalizar n veces, hasta que eliminemos totalmente todas las raíces del denominador: ( a+ ( a+ n ) ( b a+ ( a+ n ) ( b a+... ( a+ n n n n n n = a b a b a b n n n n n n ab. Página 0 e) 9 8 0,8 = 0, = = = = 0 0 0, 0, = = = = 0, = 0,0 = = = = 0 0 0,0 = = = ( ) = = = 8000 f) = = = 8
24 Potencias y radicales. Logaritmos. Página 0 Por el teorema de Pitágoras: AC AB BC 9 = + = + = = = cm BM = BG = AB = 8 MG = BG + BM = = = 8 cm DE = AC = = 8 cm HD = HE + DE = + 8 = cm HE = DE = cm GH = HE = cm FH = EH + EF = ( ) + ( ) = = cm CE ED 8 8 Triángulo CED A = cm DE EA 8 8 Triángulo DEA A = cm CI IG Triángulo CIG A = cm HE EF Triángulo HEF A = cm GB BM 88 Triángulo GBM A = cm Cuadrado HEIG A = EH HG = = cm BG Romboide HFAM A = AM = 8 = cm e) Todas las figuras tienen lados epresados por radicales. f) No hay ninguna figura cuya área venga epresada por un radical de índice. PRUEBAS PISA 0,09, C C0, = = 0, C0 0,09 t C= C0 =, log =0,09 t log, t=, años. 0,09 t C= C0 =, log =0,09 t log, t= 9,0808 años. 8
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. Página 7 PRACTICA Aproximación y errores Expresa con un número adecuado de cifras significativas: a) Audiencia de un programa de televisión: 07 9 espectadores. b) Tamaño de un virus: 0,007 mm. c)
a) 12 = b) 45 = c) 54 a) 2 = 2 c) 9 c) 9 = 9 Tema 2 - Hoja 2: Raíz de un número
Tema - Hoja : Raíz de un número Expresa como producto de un número entero y un radical los siguientes radicales: a) a) = = = = = = Expresa en forma de raíz las siguientes potencias de exponente fraccionario:
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1.- Dos triángulos ABC y A C son semejantes y la razón de semejanza entre el primero y el segundo es,4. Calcula las longitudes de los lados que faltan sabiendo que AB = 0 cm, BC = 15 cm y A C = 10 cm.
a) 25 b) 81 c) d) 8 e) 16 f) 8 g) 16 Solución: Calcula: a) 33 2 b) 2,5 2 c) 0,7 3 d) 1,2 3 Solución: Solución:
Potencias y raíces. Potencias de exponente entero Calcula mentalmente las siguientes potencias: a) 5 2 b) 4 c) 0 6 d) ( 2) e) ( 2) 4 f) 2 g) 2 4 a) 25 b) 8 c) 000 000 d) 8 e) 6 f) 8 g) 6 P I E N S A Y
Matemática 3 Colegio N 11 B. Juárez
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