CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

Transcripción

1 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES En este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la magnitud, la dirección el sentido de las cantidades físicas. Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente por un número una unidad; por ejemplo las magnitudes de superficie, volumen, masa, longitud tiempo reciben el nombre de magnitudes escalares. Por definición, una magnitud escalar es aquella que se define con sólo indicar su cantidad epresada en números la unidad de medida. Eiste otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la cantidad epresada en números el nombre de la unidad de medida, se necesita indicar claramente la dirección sentido en que actúan; estas magnitudes reciben el nombre de magnitudes vectoriales. Por ejemplo, cuando una persona visita la ciudad de Mérida, Yucatán, nos pregunta cómo llegar al puerto de Progreso, dependiendo de dónde se encuentre le diremos aproimadamente a qué distancia está qué dirección seguir. Lo mismo sucede cuando se habla de la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo, pues aparte de señalar su valor se debe especificar si la fuerza se aplicará hacia arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda, hacia el frente o hacia atrás. Una magnitud vectorial se define por su origen, magnitud, dirección sentido. Consiste en un número, una unidad una orientación angular. Estática de partícula. Concepto de vector su clasificación. Obtención de vectores resultantes por métodos gráficos analíticos. a. Instrucciones específicas para el autoaprendizaje. 1.- Enunciará el concepto de vector como se clasifica..- Resolverá ejercicios para hallar vectores resultantes por métodos gráficos (polígono paralelogramo) analíticos (Teorema de Pitágoras). b. objetivos del tema. 1.- El alumno enunciará el concepto de vector, conocerá sus características así como su clasificación..- El alumno resolverá ejercicios para obtener un vector resultante por el método gráfico del paralelogramo (para vectores a la vez) por el método gráfico del polígono (para más de vectores a la vez) por el método analítico del Teorema de Pitágoras.

2 c. desarrollo del tema. Como se señaló en el tema anterior, una cantidad vectorial es aquel que tiene una magnitud, dirección sentido, como por ejemplo un automóvil que lleva una velocidad de 80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil de 5 km a 40 al Suroeste. Una magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por medio de una flecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para simbolizar una magnitud vectorial se traza una flechita horizontal sobre la letra que la define por ejemplo: v, d, a representan cada una un vector como son la velocidad, el desplazamiento, la fuerza la aceleración, respectivamente. REPRESENTACIÓN GRAICA DE UN VECTOR Un vector tiene las siguientes características Punto de aplicación u origen Magnitud. Indica su valor representa por la longitud del vector de acuerdo con una escala convencional. Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, puede ser horizontal, vertical u oblicua. Sentido. Indica hacia donde va el vector, a sea hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda, queda señalado por la punta de la flecha. Para representar un vector se necesita una escala convencional, la cual se establece de acuerdo con la magnitud del vector el tamaño que se le desee dar. Vectores Coplanares no Coplanares Los vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el mismo plano o en dos ejes, no coplanares si están en diferente plano, es decir en tres planos. Sistema de vectores colineales Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o mas vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción. Un vector colineal cera positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba negativo si su sentido es hacia la izquierda o hacia abajo.

3 Sistema de vectores concurrentes Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción de los vectores se cruza en algún punto, el punto de cruce constitue el punto de aplicación. A estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque forman un ángulo entre ellos. Sistema de vectores paralelos. Son aquellos vectores que por más que alargan su traectoria, jamás se pueden unir. Resultante equilibrante de un sistema de vectores La resultante de un sistema de vectores es el vector que produce él solo, el mismo efecto que los demás vectores del sistema. Por ello un vector resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores. La equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es el vector encargado de equilibrar el sistema, por lo tanto tiene la misma magnitud dirección que la resultante, pero con sentido contrario. Propiedades de los vectores (principio de transmisibilidad propiedad de los vectores libres. Principio de transmisibilidad de los vectores.- Este principio se enuncia como El efecto eterno de un vector o fuerza no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es decir sobre su propia línea de acción. Por ejemplo si se desea mover un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza, el resultado seá el mismo si empujamos el cuerpo o si lo jalamos, Propiedad de los vectores libres.- Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos. Esta propiedad se utilizará al sumar vectores por los métodos gráficos del paralelogramo del polígono. SUMA DE VECTORES. Cuando necesitamos sumar o más cantidades escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente: por ejemplo kg + 5 kg = 7 kg, 3 horas + 7 horas= 10 horas, 00 km km = 500 km. Sin embargo para sumar magnitudes vectoriales, que como a se mencionó aparte de magnitud tienen dirección sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos. SUMA GRÁICA de VECTORES

4 Para realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método del paralelogramo". Para ello, trazamos en el etremo del vector A, una paralela al vector B viceversa. Ambas paralelas los dos vectores, determinan un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo, que contiene al punto origen de ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el gráfico que va a continuación: Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior, sumando primero dos a la suma, añadirle un tercero así sucesivamente. Pero también podemos hacerlo colocando en el etremo del primer vector, un vector igual en módulo, dirección sentido que el segundo. A continuación de éste, colocamos un vector equivalente al tercero así sucesivamente. inalmente, unimos el origen del primer vector con el etremo del último que colocamos, el vector resultante es el vector suma. METODO PARALELOGRAMO En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas. En la figura 1 se ilustra el método. igura 1 En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo de color azul.

5 Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal. Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno del coseno si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras. En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las siguientes: Ejemplo: Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre los vectores sumandos (el rojo el azul) es igual a 60.0º que sus módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante. Para ello empleemos la relación: su dirección sería: Método del polígono Cuando vamos a sumar más de dos vectores, podemos sumar dos de ellos por el método del triángulo. Luego el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del triángulo, así

6 sucesivamente hasta llegar a obtener la resultante final. Otra forma de hacer la suma, es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la etensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la "cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar con un "choque de cabezas"). Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígono resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección su sentido. Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, no como un método analítico. En la figura 1se ilustra la suma de cuatro vectores. igura 1 SUMA ANALITICA DE VECTORES. Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa. Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este. Hallar el resultado grafico analíticamente. N Y V = -19 km v1 = 13 km O E X S

7 DATOS VX = V1 + V V1 = +13 KM VX = 13+(-19) V = -19 KM VX = = -6.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15 km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 1 km. al oeste. Calcularle la distancia o el punto donde Norma se encuentra? 15 km. al norte V1 10 km. al sur V 1 km. al oeste V3 = V1 + V = 15 + (-16) = 5 = V3 =.1 a = b + C R= () = () R= () + () R= (5) + (-1) R= R= 169 R= 13 km. θ= Tan -1 / = tan -1 5/1= tan =.61. d. Evaluación del tema. 1.- Son los tipos de vectores que por más que prolonguen su traectoria, nunca se van a unir. Paralelos Concurrentes Colineales Perpendiculares Libres.- Son los tipos de vectores que se intersectan entre sí formando ángulos rectos (90 ). Perpendiculares Concurrentes Paralelos

8 Libres Libres. 3.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cuál es aplicable a sólo vectores a la vez. Paralelogramo Polígono Le de Senos Le de cosenos Teorema de Pitágoras 4.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cual es aplicable a más de dos vectores a la vez. Polígono Le de senos Le de cosenos Paralelogramo Teorema de Pitágoras. 5.- A los vectores concurrentes también se les denomina: Angulares Libres perpendiculares Paralelos No coplanares e. Bibliografía. ísica General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarte reimpresión de la Segunda Edición 004. a. Tema 1.3 uerzas en el espacio. Subtema Obtención de las componentes rectangulares de una fuerza en el plano. Subtema Resolución de problemas Con el cálculo de la resultante de un sistema de fuerzas coplanares en el plano en el espacio. Subtema Enunciación significado de la Primera Le de Newton. b. Instrucciones específicas. 1.- Obtenga las componentes rectangulares de una fuerza o vector en el plano..- Resuelva problemas del calculo de un vector resultante en el plano en el espacio, la dirección de dichos vectores resultantes. 3.- Definir el concepto de la primera Le de Newton e interprétala.

9 c.- Objetivos del tema. 1.- Que el alumno aprenda a obtener las componentes rectangulares de un vector o fuerza en el plano ( ) utlizando las ecuaciones = cos θ = cos θ..- El alumno resolverá problemas del cálculo de un vector resultante en el plano de un sistema de vectores concurrente. 3.- El alumno resolverá problemas calculando un vector resultante en el espacio, conociendo sus componentes (, z). 4.- El alumno resolverá problemas calculando las componentes de un vector resultante en el espacio (, z) conociendo los cosenos directores θ, θ θz. 5.- El alumno resolverá problemas buscando los cosenos directores de una fuerza en el espacio, conociendo las fuerzas sus componentes (f, z). 6.- El alumno resolverá problemas buscando la fuerza resultante en el espacio, conociendo solamente dos de los ángulos directores una sola de las componentes, hallar además las otras dos componentes el otro ángulo director. 7.- El alumno enunciara la Primera Le de Newton podrá interpretarla. d.- Desarrollo del tema. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA UERZA O VECTOR EN EL PLANO. Componentes rectangulares de una fuerza. Todo vector se puede epresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes.

10 . Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares. En la figura se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo. Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones

11 Las primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector a. Las últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a (ángulo) con la función trigonométrica tangente. Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N dirección igual a 40º. Encuentre las componentes rectangulares represéntelas en un plano cartesiano. El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5.00 N apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo igual a 8.66 apunta en el sentido negativo del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3.

12 SUMA DE VECTORES EMPLEANDO EL METODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES. Cuando vamos a sumar vectores, podemos optar por descomponerlos en sus componentes rectangulares luego realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las resultantes en las direcciones e. Ejemplo: Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las componentes rectangulares.

13 Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura A continuación realizamos las sumas de las componentes en X de las componentes en Y: DESCOMPOSICIÓN DE UNA UERZA EN SUS COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO Considere una fuerza actuando en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z. Para definir la dirección de, se dibuja el plano vertical OBAC que contiene a (véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje vertical su orientación está definida por el ángulo Ø que este formo con el

14 plano XY. La dirección de dentro del plano está definido por el ángulo Ø que forma con el eje Y. la fuerza se puede descomponer en una componente vertical una componente horizontal h; las componentes escolares correspondiente son: cos sen h h sen sen h cos sen Ø = z h z h sen Ø z sen Ø sen Ø h se puede descomponer en dos componentes rectangulares z a lo largo de los ejes X, Y, Z, respectivamente. Esta operación se lleva acabo en el plano X, Z. Se obtiene las siguientes epresiones para los componentes escolares correspondientes a z. h h Cos Sen Sen Sen Cos Sen

15 Por lo tanto, la fuerza dada se ha descompuesto en 3 componentes vectoriales rectangulares z, que están dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados. Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB OCD se escribe: = (OA) = (OB) + (BA) = + h = (OC) = (OD) + (DC) = + z Eliminando h de estas dos ecuaciones resolviendo, se obtiene la siguiente relación entre la magnitud de sus componentes escalares rectangulares. ( h) ( ) ( h) ( z) ( ) z cos Ø= = h cos Ø sen Ø cos Ø h La relación eistente entre la fuerza sus tres componentes z se visualiza más fácilmente si, como se muestra en la figura se dibujo una caja que tenga z como aristas. Entonces, la fuerza se representa por la diagonal OA de dicha caja. La figura b muestra el triángulo rectángulo OAB empleado para derivar primera de las fórmulas = cos Ø. En las figuras,31a c, también se han dibujado otros dos triángulos rectángulos. OAD

16 OAE. Se observa que estos triángulos ocupan en la caja posiciones comparables con la del los triángulos OAB. Al enunciar Ø Øz, como los ángulos que forman con los ejes z, respectivamente, se pueden derivar dos fórmulas similares a = cos Ø entonces se escribe. Los tres ángulos,, definen la dirección de fuerza ; éstos son los z que se utilizan con maor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente

17 que los ángulos Ø introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de,, se conocen como los cosenos directores de la fuerza. z Introduciendo los vectores unitarios i, j k, dirigidos, respectivamente, a lo largo de los, = figura.3 puede epresarse de la siguiente forma. Donde los componentes escalares z están definidas por las relaciones (.19). Ejemplo 1. Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º 10º con los ejes z, respectivamente. Encuentre los componentes z de la fuerza. Sustituendo = 500 N, 60º, 60º, 45º 10º en las formulas se escribe. z cos cos z cos z

18 Llevando los valores obtenidos para las componentes escalares de a la ecuación (.0) se tiene. = i + j + zk Como en el caso de los problemas bidimensionales, un signo positivo indica que la componente tiene el mismo sentido que el eje que le corresponde un signo negativo indica que esta tiene un sentido opuesto al del eje. El ángulo que forma una fuerza con un eje siempre debe ser medido a parir del lado positivo del eje siempre debe estar entre 0 180º. Un ángulo menos que 90º (agudo) indica que (la cual se supone que está fija a 0 está en el mismo lado del plano z que el eje positivo; entonces cos serán positivos. Un ángulo maor que 90º (obtuso) indica que está en el otro lado del plano z; entonces cos serán negativos. En el ejemplo 1. Los ángulos son agudos, mientras que es obtuso; consecuentemente son positivos mientras que z es negativo. Sustituendo las epresiones obtenidas para z en (.19) se obtiene la siguiente epresión. La cual muestra que la fuerza puede ser epresada como el producto del escalar un vector.

19 Obviamente, el vector es un vector cua magnitud es igual a 1 cua dirección es la misma que la de (figura.33). El vector se conoce como el vector unitario a lo largo de la línea de acción de. A partir de (.) se observa que las componentes del vector unitario son iguales, respectivamente, a los cosenos directores de la línea de acción de : Se debe señalar que los valores de los tres ángulos,, no son z independientes. Recordando que la suma de los cuadrados de las componentes de un vector es igual a su magnitud elevada al cuadrado se escribe.

20 En el caso del ejemplo 1, una vez que se han seleccionado los valores 60º 45º, el valor de z debe ser igual a 60º o a 10º para que se cumpla la identidad (.4) Cuando se conocen las componentes z de una fuerza, la magnitud de la fuerza se obtiene a partir de las relaciones se pueden resolver para los cosenos directores. Y se pueden encontrar los ángulos,, que caracterizan la z dirección de la fuerza. Ejemplo. Una fuerza tiene las componentes = 0Ib, =-30Ib z = 60Ib. Determine su magnitud los ángulos,, z que está forma con los ejes coordenados. A partir de la fórmula (.18) se obtiene. ( ) ( z ) ( ) z

21 Sustituendo los valores de las componentes la magnitud en las ecuaciones se escribe. cos Cos z Cos z Calculando sucesivamente cada uno de los cocientes su respectivo arco coseno se obtiene. Estos cálculos pueden llevarse a cabo fácilmente con la auda de una calculadora. Otro tipo de problemas de vectores en el espacio, es cuando se da como datos, solamente de los ángulos directores, una sola de las componentes, se pide hallar la uerza resultante, las otras dos componentes el ángulo restante. Para ilustrar como se resuelven este tipo de problemas considere lel siguiente ejemplo. Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dada por los ángulos Θ=55 Θz=45. Sabiendo que la componente de la fuerza en ()= -500 lb, determine a) las otras componentes ( z) la magnitud de la fuerza b) el valor de Θ. Lo primero que ha que hallar el el ángulo faltante es decir en este caso Θ. cos Θ+cos Θ+ cos Θz= 1 despejando cos Θ tenemos: cos Θ= 1- (cos Θ+ cos Θz). sustituendo valores: cos Θ= 1- (cos 55 + cos 45 ) cos Θ= 1- ( )= 1-(0.889)= Este resultado es el resultado del coseno cuadrado de Θ, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θ: cos Θ= = Una vez obtenido el valor del coseno de Θ (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante, utilizando la componente, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación: = cos Θ. despejando tenemos: = /cos Θ

22 Sustituendo valores: = 500/0.4136= 109 lb. Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante, a se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza z con las ecuaciones a conocidas: = cos Θ z= cos Θz. Sustituendo valores: = 109 N cos 55 = 109 N = +694 N z= 109 N cos 45 = 109 N = +855 lb. inalmente se halla el valor del ángulo Θ, mediante la siguiente ecuación: = cos Θ. Despejando cos Θ= /. Sustituendo valores tenemos: cos Θ= -500 lb/109 lb= cos Θ= Θ= cos Θ= Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso viceversa. Recapitulando: las respuestas son: a) = +694 lb, z= +855 lb, b) = 109 lb, c) Θ= 114.4