Una pequeña parte de la gráfica diferenciada es casi una línea recta, llamada tangente.

Transcripción

1 Una pequeña parte de la gráfica diferenciada es casi una línea recta, llamada tangente. Este concepto permite o sugiere la forma de estimar el cambio en las salidas que produce una función cuando los valores en la entrada varían muy poco. El estimativo depende de la derivada e introduce el concepto de diferencial. La Diferencial: consideremos la grafica. Consideremos el punto P = (a,f(a)) sobre la grafica de una función diferenciable f (x).la recta tangente en P pasa por P (a,f(a)) y tiene pendiente f `(a). Luego la ecuación es:

2 y = f(a) + f (a) (x a) y = p(a) + f (a) (x a) Como f(a) y f (a) son valores constantes, entonces la función f(a) + f (a)(x a) es polinómica, la cual se anotara p(x)= f(a) + f (a)(x a) (la letra p solamente está usada para identificar la función como polinómica). La grafica muestra las funciones y = p(x) e y = f(x). Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x³ en el punto P (1,1) en este caso a = 1; Luego. p(x) = f(1) + f (1) (x a) p(x) = (x a)

3 Como la tangente en P(a, f(a)) permanece cerca de la grafica de y = f(x), para los puntos en cercanía de P puede usarse dicha tangente como una aproximación de la grafica. Para el entorno]1- ε, 1 + ε [los puntos de la función f(x) tienden a confundirse con los puntos de p(x).en otras palabras, los puntos de la gráfica f(x) son casi coincidentes con los puntos de la recta o sea, podemos decir que: P (1- ε, f(1- ε)) ε f(x) P ` (1- ε, f(1- ε)) ε p(x) Del mismo modo: P (1+ ε, f(1+ ε)) ε f(x) P (1+ ε, f(1+ ε)) ε p(x)

4 Ahora bien, consideremos un pequeño incremento Δx. Como entrada al número a + Δx que está cercano al número a, entonces: p(a + Δx) = f(a) [(a + Δx) a ] o bien p(a + Δx) = f(a) + f (a) Δx Por otra parte, por definición Δf = f (a + Δx) f(a) que corresponde al cambio o incremento de la función, entonces: f(a + Δx) = f(a) + Δf En la figura se muestra p(a + Δx) y f(a + Δx) Ejemplo: calcular f(a + Δx) y p(a + Δx) en el casi f(x) = x ³; a =1 y Δx = 0.1

5 p(a + Δx) = f(a) + f (a) Δx como: f (x) = 3x² f (1) = 3 p (1 + 0,1) = f(1) + 3 0,1 p (1,1) = 1 + 0,3 p (1,1) = 1,3 p(a + Δx) f(a + Δx) 1,331 Se observa que p(1,1) = 1,3 es una buena aproximación a f(1,1) = 1,331. En la expresión: p(a + Δx) = f(a) f (a)δx, que expresa la linealidad f(x), hay dos sumandos, uno de ellos es f(a), el otro f (a). Δx debe sumarse a f(a) para obtener una aproximación a f(a + Δx)

6 (ver figura anterior) ; entonces el segmento AC es una buena aproximación del segmento AB, el cual representa el cambio de la función f(x), Δf = f(a + Δx) f(a) en otras palabras. f(a)δx es un estimativo de Δf. La expresión f(a) Δx se llama DIFERENCIAL y es una aproximación de la diferencia Δf. Es decir el producto de la derivada en un punto por un incremento de ese punto, expresa el incremento de la función en ese punto. Definición: sean y = f(x) una función diferenciable (derivable) en a, con a Є Dom f (a) Δx, se llama diferencial de f en a y se denota por df o dy. Nota: 1. Cuando Δx es pequeño, la diferencial es pequeña. 2. La diferencial f (a) Δx representa el cambio vertical a lo largo de la recta tangente en la figura se muestra la comparación entre df y Δf

7 Ejemplo: Calcular df y Δf pasa f(x) = Para a = 9 y Δx = 0,3 Solución: f(x) = ; f (x) = f (a) = = df = f (a) Δx df = 0,3 df = 0.05 Δf = f(a + Δx) f(a) Δf = ( 9 + 0,3) - 9 Δf = 0,04959 Observe que df esta muy cerca a Δf como se esperaba. Es frecuente usar en general df = f (x) Δx como la diferencial de f(x) en cualquier punto de la curva(continua en todo el dominio) ; entonces d(x³) = 3x² dx. Si se conoce la derivada de una función, también se conoce su diferencial. Por ejemplo: d(sen x) = cos x Δx d(7x³) = 21x² Δx d(x) = 1 Δx = Δx

8 Notese que d(x) = Δx. Por esta razón se acostumbra escribir Δx como dx la diferencial de f, entonces también se escribe : df = f (x) dx o bien dy = f (x) dx ejemplo: d(tg x) = sec² x dx d(2x³) = 6x² dx Los símbolos dy y dx adquieren así un significado individual. Tiene entonces sentido expresar el cociente entre ambos. Del ejemplo : dy = f (x) dx / : dx dy = f (x) dx Este es entonces el símbolo dy/dx para la derivada. Su uso. Se remonta a la época de LEIBNIZ al final del siglo XVII, cuando dx denotaba un número infinitamente pequeño. Como se estableció que: p(a + Δx) = f(a) Δx es una buena aproximación de f(a + Δx) cuando Δx es pequeño. Se tiene que: F(a + Δx) f(a) + f (a) Δx La salida de f en (a + Δx)(la imagen) se aproxima por la salida de f en a (f(a)) mas la diferencial f (a) Δx Ejemplo: Utilizar la formula de aproximación para estimar

9 En este caso, hacemos: f(x) = ; Luego F (x) = Entonces como sabemos el valor exacto de ³ 27 es 3 usamos a = 27 y Δx = 2 entonces: f(a + Δx) = f(a) + f (a) Δx f(³ 29) = f(27) + f (27) 2 f(³ 29) = ³ 27 + f(³ 29) = 3 + = 3 + 0,0741 = 3,0741 Método para Aplicar la diferencial en la estimación de valores de f(x) 1. se halla un numero a cercano a b para el cual f(a) y f (a) sean felices de calcular. 2. Se halla Δx = b a (Δx puede resultar positivo o negativo) 3. Se calcula f(a) + f (a) Δx ; este valor es un estimativo de f(b).en resumen : f(b) f(a) + (b a) f (a) Ejemplo: utilizar la diferencial para hallar 50 Hacemos a = 49 y Δx = 1 Luego: f(x) =

10 f (x) = f(49) = 7 f(49) = = f(50) = f(49) + 1 f (49) f(50) = 7 + El siguiente ejemplo proporciona una aplicación del calculo de un error relativo. Si se conoce un error E el estimar una cantidad Q, el error relativo E/Q el cual a menudo se expresa como porcentaje. En este caso no se tiene interés en el error E ; sino en determinar que tan grande es, comparado con la cantidad que se mide : La diferencial dv es un estimativo del error que se comete al calcular el volumen.

11 O sea es el error estimativo en cuestión Por lo tanto, el error relativo en el volumen es el triplo del error relativo en la medición del lado, aproximadamente 3%. La Aproximación Óptima Como ya sabemos p(x) = f(a) + f (a) (x-a) es la ecuación de la tangente a la gráfica de y = f (x) en el punto P(a, f(a)) Además, como la recta tangente se parece o aproxima a la gráfica y = f(x) cuando x está cerca del valor de a. De hecho las preimagenes a, las funciones p(x) y f(x) tienen casi las mismas imágenes. Es decir: P(a) = f(a) + f(a) (a-a) P(a) = f(a) + f(a) 0 P(a) = f(a) Luego si comparamos las derivadas de p(x) y f(x) en a

12 P`(x) = [f(a) + f `(a) (x-a) P (x) = 0 + f (a) 1 P (a) = f (a) Luego p(x) y f(x) tienen la misma primera derivada en a. En resumen: P(a) = f(a) y p`(a) = f (a). Las ecuaciones dan una descripción algebraica del polinomio p(x). es el único polinomio de primer grado que tiene la misma imagen que f en a a y cuya derivada produce la misma imagen que la derivada de f en a. Lo que justifica el siguiente teorema: TEOREMA: sea f diferenciable en a. Sean c y k constantes. Supóngase que el polígono q(x) = c + f (a) y q (a) = F`(a) Demostración: Se desea encontrar c y k de modo que q(a) = f(a) q`(a) = f`(a) En primer lugar q(a) = c + ka y q`(a) = k luego: c + ka = f (a) k = f `(a) Sustituyendo C + f `(a) a =f(a) C = f(a) f `(a) a Como

13 q(a) = c+kn Se concluye que: q(x) c + kx q(x) = f(a) f `(a) a + f `(a)x q(x) = f(a) + f `(a) (x-a) Luego q(x) = p(x) Como un polinomio de primer grado se llama función lineal (su gráfica es una recta); p(x) se llama linealización de f(x) en a. En resumen, p(x) puede concebirse como el polinomio lineal cuya gráfica se aproxima mejor a la gráfica del punto (a, f(a)). Solución: Ejemplo: Hallar la linealización de f(x) = 2x² +3x en x= 2 F`(x) = 4x + 3 como la linealización en es en 2, se calcula f(2) = 14 F`(2) = 11 Luego la linealización de f(x) = 2x² + 3x en x= 2 es: p(x) = (x-2) Error al usar la diferencial Sea f(x) continua con primera y segunda derivada también continua sea a E dom f cuando x está en un entorno de a se usa una aproximación lineal. Esta aproximación agrega la diferencial f`(a)(x-a) al valor de la función f(a)

14 Qué tan óptima es la aproximación en el entorno de a? Qué tan rápidamente la diferencia entre f(x) y p(x) se aproxima a 0? Para responder esto se examina el error. E(x) = f(x) p(x) E(x) = f(x) [f(a) + f `(a) (x-a) Se desea saber con que rapidez se aproxima E(x) a cero cuando x a; planteado de otra manera, se desea saber como crece E(x) cuando se incrementa x-a Examinemos el comportamiento de E(x) y de sus derivadas cerca de a, así: E(x) = f(x) f(a)-f `(a) (x-a) E`(x)=f `(x)- 0-f `(a) 1 E`(x) = f `(x)-f `(a) E``(x)= f ``(x) Luego E(a) y E`(a) son iguales a cero, se puede usar el teorema del crecimiento para concluir algo acerca del tamaño de E(x) Teorema del error en el uso de la aproximación diferencial Sea f(x) una función como primera y segunda derivada en algún entorno de a, esto es sea m el mínimo de f ``(x) en y M el máximo de f ``(x) en

15 Entonces, x ; el error está dado por: m(x-a) 2 < E(x) < m(x-a) Demostración: se sabe que E(a)= 0 y E`(a) = 0, además E``(x) = f``(x) por consiguiente el teorema está demostrado y esto implica la fórmula anterior. Obs.: cuando e 0 entonces x a Luego E``(x) varía suavemente. De modo que, en un pequeño intervalo alrededor de a, el mínimo m y el máximo M de E``(x) están cerca de E ``(a), se puede esperar entonces que el error sea aproximadamente E``(a) (x-a) 2 esto significa que el error decrece como 2 el cuadrado de (x-a) si f``(a) = 0 Finalmente en el tema de las derivadas es importante tratar dos teoremas que por su importancia en el cálculo infinitesimal no se pueden obviar. Teorema de Rolle: Sea f continua en {a,b} y diferenciable en {a,b}si f(a) = f(b) entonces al menor existe un número CE {a,b} en que f(c) = 0 informalmente, en el teorema de Rolle asegura que si la gráfica de una función diferenciable tiene una cuerda horizontal, entonces tiene una recta tangente horizontal.

16 MN: Cuerda horizontal; f(x) continua en a<c<b ; c ; f `(c) = 0 Teorema del valor medio Sea f continua en y diferenciable en ; al menos existe en un número c tal que : f`(c) = De manera informal, el teorema del valor medio asegura que para cualquier cuerda de la gráfica de una función diferenciable hay una recta tangente paralela a ella. así: La conclusión del teorema del valor medio puede escribirse f(b) = f(a) + f `(c) (b-a)

17 En la recta tangente T // MN se tiene que f `(c) = m f`(c) = O bien f(b) = f(a) + f(c)`(b-a)