TEMA: VECTORES EN R² Y R³

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1 Apuntes de la Cátedra: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA TEMA: VECTORES EN R² Y R³

2 VECTORES EN R Y R 3 Contenidos: Segmentos orientados y ectores. Suma. Propiedades. Distancia entre ectores. Vector unitario. Vectores canónicos Producto por un escalar. Cosenos directores. Producto escalar. Propiedades y aplicaciones. Proyecciones ortogonales. Producto ectorial. propiedades y aplicaciones. Producto mixto. Interpretación geométrica del producto ectorial y producto mixto. Ecuación de la recta en el espacio. Formas ectorial, paramétrica y simétrica. Ecuación del plano en el espacio. Intersecciones. Vectores en el Plano Hay una concepción geométrica del significado de un ector y una concepción algebraica, ambas compatibles. Segmento dirigido PQ es el segmento de recta con origen en P y extremo en Q. Notar que PQ QP. Q P Q P Las propiedades que caracterizan de un segmento dirigido son su magnitud o módulo, su dirección y su sentido. No obstante dos segmentos que sean coincidentes en estas características son distintos si no son coincidentes en el origen Dos segmentos dirigidos son equialentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido. PQ P Q Se puede considerar que existen en el plano infinitos ectores equialentes a un segmento dirigido PQ. Denominaremos ector PQ, o ector a todo elemento de ese conjunto. Los dos segmentos representados son representantes del ector. se representa trasladando PQ al origen de coordenadas de R En estas condiciones admite una expresión como par ordenado en donde el par ordenado indica las coordenadas de su extremo = (a,b). a y b se denominan también componentes del ector. Este concepto es más utilizado desde el punto de ista algebraico. El módulo de es un número real que representa su longitud = a + b (por consecuencia directa de Pitágoras) Ejercicio: Demuestre que: = 0 = 0 La notación más usual para ectores en R² y R³ es la forma ; pero para simplificar el tipeo, serán indicados en negrita minúscula:

3 La dirección de define un ángulo θ entre y la dirección del eje horizontal x (llamado también eje de las absisas) en su sentido positio. Dos ectores tienen igual dirección si y sólo si sus ángulos respectios con dicho eje son iguales. En tal caso se dice que son paralelos. El ector nulo no tiene dirección ni sentido. Si es no nulo y = 0 θ = π Si es no nulo y 0 θ = arc tag( b/a) El sentido es comparable entre ectores paralelos: Dos ectores paralelos u = (u,u) y = (,) tienen igual sentido si con un origen común generan la misma semirrecta. O bien desde un punto de ista algebraico y en caso de componentes no nulas, si u/ >0 y u/>0. Si los cocientes son negatios, sus sentidos son opuestos. (además, al ser // resulta u/ = u/) Suma de ectores u + = (u,u) + (, ) = ((u+),(u+)) u u+ u u u u + u+ u + + t Gráficamente, se obtiene u + trasladando el origen de al extremo de u. El ector suma, cuyas componentes son (u+, u+) tiene por origen el origen de u y por extremo, el extremo de. Desde otro punto de ista, la suma u + está dada por la diagonal del paralelogramo que forman u y con sus pares paralelos, cuyo origen es el origen común. El primero de los criterios de suma gráfica puede extenderse a la suma de más de dos ectores t Resta u - - u - u Restar dos ectores es sumar al primero el opuesto del segundo: u = u + (-) Gráficamente, u - es equialente al segmento orientado cuyo origen es el extremo de y su extremo es el extremo de u Se aprecia que + (u-) = u Distancia entre dos ectores La distancia entre u y debe interpretarse como la distancia entre sus extremos, cuando están aplicados en un mismo origen. Tendremos en cuenta que podemos representar los elementos de R como ectores o como puntos del plano.

4 En el gráfico anterior se aprecia que la distancia entre los extremos de u y de es u. Esto resulta práctico para determinar distancias entre puntos del plano, y el concepto puede extenderse a R 3. Ejemplo: Sean p = ( -, 7) y p = ( -6, 4 ) Determinar la distancia entre ambos puntos. Basta considerar a los puntos como ectores: d pp = p-p = 4, 3 = 5 Producto de un ector por un escalar Sea α R y R : α = (α, α ) α = α ya que α = + (α ) + (α ) = + α ( + ) = α. La dirección de α no aría si α 0: Sean θ y θ los ángulos que definen las direcciones de y α respectiamente a) Si = 0 y 0 α = 0 y α 0 θ = θ = π/ b) = = 0 es el ector nulo y α también c) 0 tag θ = Tag θ = α = θ = θ las direcciones α son iguales El sentido se inierte si α < 0, ya que en ese caso α tiene igual sentido que y α y α son opuestos entre sí Vector unitario de igual dirección y sentido a un ector dado Sea = (,) no nulo = es el ector unitario de igual dirección y sentido que. En efecto: = ( / ) + ( / ) = + = + Además es el producto de por un escalar por lo que su dirección no cambia, y tampoco su sentido ya que el módulo nunca es negatio 3

5 Vector unitario definido por el ángulo α formado con el eje positio de las absisas. Sea 0 α < π α En la circunferencia de radio unitario están inscriptos todos los ectores unitarios de R² (Su distancia al origen es ) Dado un α que defina dirección y sentido, el ector unitario correspondiente es: = cosα i + senα j Vectores canónicos j i Son ectores unitarios paralelos a los ejes coordenados, de sentido según el sentido positio de dichos ejes. i = (, 0) j = (0, ) Producto Escalar El producto escalar de dos ectores (producto punto) es el número Real determinado por la suma de los productos de las coordenadas homólogas de dichos ectores. = f : R x R R Sean u = (u,u ) ; = (, ) u = u + u Propiedades del Producto escalar u ( + t) = u + u t u ( + t) = (u, u) ( +t, +t) = u(( +t) + u( +t)) = = (( u+ut) + (u + ut)) = (u+ u) + ( ut+ ut) = u + u t u k = k ( u ) (Demostración a cargo del alumno) u u 0 u u = uu + uu = u 0 u u = 0 u = 0 (Demostración a cargo del alumno) 4

6 Ángulo entre dos ectores Se define como el menor ángulo positio determinado por ambos al estar aplicados en un origen común. u θ 0 θ π Demostraremos que cos θ = u cos θ a) u y No paralelos Ambos son lados de un triángulo, en el que se puede aplicar el teorema de los cosenos: A c B b a C a = b + c - bc cos bc u θ u- u- = u + - u cos θ u- = ((u ) (u )) = ( u u ) + ( ) (u ) = u + (u ) Resultando: u = u cosθ y cos θ = u u b) u y paralelos. En tal caso no definen un triángulo, y es = k.u (u ) = ( u,u k u, k u ) = k u + k u (el signo depende de k). u = u + u ku + ku = k (u + u ) (siempre > 0) Vemos que (u ) = ± u, dependiendo el signo del signo de k. (positio si tienen igual sentido; negatio si tienen sentido opuesto), lo que puede generalizarse como: (u ) = u cos θ, llegándose a idéntica conclusión que en el caso anterior. Vectores ortogonales Definición: u u = 0 5

7 Se aprecia que a partir de la definición el ector nulo es ortogonal a cualquier otro ector, lo cual es coneniente para temas posteriores. Cuando los ectores son no nulos la definición concuerda con el concepto clásico de ortogonalidad, asociado a que el ángulo comprendido entre ambos sea recto. y u θ = π u = u cosθ = 0 u = 0 u cosθ = 0 algún ector es nulo ó cosθ = 0 θ = π / Proyecciones ortogonales Las proyecciones ortogonales de = (,) sobre los ejes cartesianos son: P x = i ; P y = j Se erifica que: = P x + P y y P x P y Es posible abordar el problema en forma más general y determinar las proyecciones sobre una dirección cualquiera, no necesariamente paralela a los ejes. θ u - P u P u u P u depende de y de la dirección de u, pero no de la magnitud de u. (interesa la recta que contiene a u). Por ello es factible considerar un ector unitario u, según la dirección y sentido de u. u = u / u Por relación trigonométrica: cos θ = P u Por def de ángulo entre dos ectores: P u = ( u ) ( u = ) cos θ = ( u ) = ( u ) u P u = P u u Probar que en si en ez de considerar un u unitario se opera directamente con u, es álida la siguiente expresión: P u = ( u )u P u = ( u)u u 6

8 Ejemplo: Determinar la proyección de = (-, 6) sobre la recta que pasa por el origen cuya ecuación es y=x Un ector que pertenece a la recta es de la forma: u= (u, u) Tomando u = resulta u = (, ) u = 5 u = (,) = ( 5, 5) P u = ( u ) u = /5[ (-, 6) ( 5, 5) ] u = = 5 = 5 u = (, 4) También es posible plantear directamente: P u = ( u) u = [(-, 6) (, )] (, )= (, ) = (, 4) u 5 Vectores en R 3 Similares conceptos a los planteados en R pueden aplicarse a R3. Vector de R3 es toda terna ordenada de N os reales. = (,,3) Para su representación se utilizan tres ejes ortogonales llamados ejes cartesianos X,Y,Z Se pueden plantear dos esquemas de representación, denominados mano derecha y mano izquierda. Generalmente se usa el de la mano derecha Esquema de la mano derecha Z Esquema de la mano izquierda Z Y X X Y En el primero, el índice de la mano derecha representa al eje X, el pulgar al eje Z y el anular al eje Y (en posición de la mano propia enfrentada al obserador). El sentido de rotación X Y Z es anti-horario, como el empleado para medir ángulos En el segundo, se considera el mismo esquema, pero con la mano izquierda. El sentido de rotación X Y Z es horario, o sea contrario al utilizado para medir ángulos 7

9 Vectores canónicos en R³ Los ectores canónicos en R 3 son : i = (,0,0) j = (0,,0) k= (0,0,) Puede erificarse que los mismos son ortogonales entre sí, comprobando que el producto escalar es nulo para cualquier par Todo ector de R3 se puede escribir como suma de los ectores canónicos multiplicados por un escalar. Cada término es la proyección del ector sobre el eje coordenado correspondiente. Se dice que es combinación lineal de los ectores canónicos, concepto que se estudiará en detalle en la unidad siguiente. = i + j + 3 k 3k Z i + j +3 k k i j j Y X i i + j Igual que en R², los ectores en R³ quedan definidos por su módulo, su dirección y sentido. Módulo en R 3 Representa la longitud del segmento orientado en R 3, lo que puede comprobarse determinando i + j = (componente según el plano XY ) y luego aplicando Pitágoras en el triángulo que forman esta componente, 3k y (área sombreada fig. anterior). Dirección y sentido de un ector No es posible determinar la dirección en el espacio a partir del ángulo con un solo eje, ya que hay infinitos ectores que determinan el mismo ángulo θ (contenidos en el cono según la fig. ) θ 8

10 i Z 3 k k γ i α j β j Y La dirección y el sentido de quedan uníocamente determinados por los ángulos que forma con cada uno de los ejes de coordenadas. Los cosenos de cada uno de dichos ángulos se denominan cosenos directores del ector. X cos α = cos β = cos γ = 3 0 α, β, γ < π Propiedad: La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un ector es cos² α + cos² β + cos²γ = ² + ² + 3² = ² Producto escalar en R³ u = u +u+u33 Todas las propiedades expresadas en R² son extensias a R³, incluidos los conceptos de ángulos y distancia entre ectores, ortogonalidad, y proyecciones. Producto ectorial de dos ectores (o Producto Cruz) x : R³x R³ R³ Es una operación definida sólo en R³ de la cual resulta un tercer ector. u x = i j k u u u3 = (u3-u3)i + (u3-u3)j + (u-u)k 3 9

11 Propiedades Pueden justificarse a partir de las propiedades de los determinantes. I. u x = - ( x u) (Conmutación de filas) II. (α u )x = α( u x ) (Producto de una fila por un escalar) III. u x ( + ) = u x + u x (descomposición de una fila en suma de otras dos) IV. Sean u y no nulos: u // u x = 0 ( filas iguales o proporcionales) Módulo del producto ectorial Sea θ el ángulo entre u y : u x = u senθ u x ² = u ² ² - (u )² Relación a demostrar por el alumno calculando: u x ² = (u3-u3)i + (u3-u3)j + (u-u)k ² u x ² = u ² ² - (u )² = u ² ² - u ² ² cos²θ = u ² ² ( cos²θ) u x ² = u ² ² sen²θ u x = u senθ (los módulos son no negatios) Producto mixto o triple producto escalar Es factible plantear el producto escalar entre un ector u x y un tercer ector w: u x w esta operación se denomina producto mixto u x w = w(u3-u3) +w (u3-u3) + w3(u-u) Esto es el desarrollo por la tercera fila del determinante: u u u3 3 w w w3 = u x w Es fácil comprobar que : u x w = u x w (El término es el desarrollo por la ª fila del mismo determinante) Otogonalidad de u x respecto de u y de u x u y u x, lo que es equialente a escribir: u x u = u x = 0 u u u3 u x u = 3 u u u3 = 0 ( dos filas iguales) Similar situación se da en u x = 0 Concluyendo, el producto ectorial a asigna a u y a un ector u x normal a ambos, o sea al plano determinado por u y. Es ésta una de las propiedades de 0

12 mayor aplicación del producto ectorial, ya que dados dos ectores, permite encontrar un tercero normal al plano que ellos determinan. Gráfica del producto ectorial Analizaremos el producto ectorial entre los ectores canónicos, operando en sentido anti-horario: i x j = k j x k = i k x i = j i j k i j k i j k 0 0 = k 0 0 = i 0 0 = j Los mismos productos conmutados dan los elementos opuestos x u i x j = k i j x i = - k u j u x En i x j el giro i j es anti-horario i x j tiene sentido según k, respondiendo al esquema mano derecha. En j x i el giro es horario i resulta contrario a k. Lo mismo sucede con los demás productos intercanónicos. Extendemos esto al producto entre ectores cualesquiera: si en u x el giro de u hacia es antihorario, u x, normal al plano de u y, mantiene el esquema antihorario y se representa saliendo del plano como un tirabuzón que se desenrosca. Esto se interpreta también colocando la mano derecha abierta paralela al primer ector, con los dedos apuntando en el sentido del ector, de modo que se pueda cerrar hacia el segundo. La posición del pulgar indica el sentido del producto ectorial. En la figura, para llear hacia u se debe colocar el pulgar hacia abajo.

13 Aplicación geométrica del Producto ectorial y del producto mixto. a) El módulo del producto ectorial u x es igual al área S del paralelogramo definido por u y por u S = h h θ h = u senθ S = u senθ = u x b) El producto mixto entre tres ectores es igual al olumen del paralelepípedo que éstos determinan. u x u h w β V = S base x h V = u x x h h = w cosβ V= u x w cosβ V= u x w Vectores coplanares Tres ectores son coplanares su producto mixto es cero Los tres pertenecen al mismo plano, entonces el olumen que encierran es nulo. u u u3 3 w w w3 = 0 indica que los ectores fila están en el mismo plano. Todas las matrices de orden 3x3 pueden considerarse como conjuntos de 3 ectores fila, que son coplanares si su determinante es nulo

14 Ecuación de la recta en el espacio Una recta en el espacio queda definida por dos puntos conocidos, o bien por un punto y su dirección. Sean los puntos de R³ P = ( x,y,z) y P = (x,y,z) El ector representante del segmento orientado P P tiene como componentes = (x-x)i + (y-y)j +(z-z) k es paralelo a la recta definida por P y P. Consideramos un punto genérico de la recta P= (x, y,z) P P P P P = t P P 0P = 0P + P P 0P = 0P + t P P 0 0P = 0P + t V Ecuación ectorial de la recta en el espacio Desarrollando las componentes de la ecuación: x i + i j + z k = x i + y j + z k + t(x-x) i + t (y-y)j + t (z-z) k x = x + t (x - x) y = y + t (y - y) z = z + t (z - z) Ecuación paramétrica x x = t (x - x) y y = t (y y) z z = t (z z) x x = y y = z z a b c Ecuación simétrica a, b,c son determinados a partir de las diferencias de las coordenadas de P Y P, puntos conocidos. 3

15 Si la referencia es un solo punto (P) y la dirección de un ector paralelo a la recta, a, b y c están dados por las componentes de. La ecuación simétrica requiere que a, b y c sean no nulos. Supongamos el caso en que c=0: La paramétrica correspondiente se reduce a z= z (para cualquier t), es decir en la recta los alores de z no arían a un plano // al XY, y z es la distancia de la recta al plano XY. La ecuación simétrica tiene la forma x x = y y ; z = z a b Recta en un plano // al XY Si dos números directores son nulos (Ej. b y c) la recta no aría en y ni en z es paralela al eje restante ( X para el ejemplo). Z Recta con b=0, c=0 Y X Ecuación del Plano en el Espacio Una recta L es a un plano π todo ector del plano π es a todo ector perteneciente a la recta L. Dada una recta queda fija la inclinación de todo plano a ella. Sin embargo hay infinitos planos ortogonales. L Si además de dar una dirección normal, fijamos un punto en el espacio por donde debe pasar el plano, establecemos condición de unicidad. Generalmente se fija la dirección normal al plano mediante un ector. 4

16 P (x, y, z) π n Po (xo, yo, zo) Sea Po=(xo,yo,zo) un punto conocido perteneciente al plano y n un ector dado, normal; n= (a, b, c) Sea P=(x,y,z) un punto genérico del plano. El ector PoP π PoP n = 0 a(x-xo) + b(y-yo) + c(z-zo) = 0 ax+by+cz = axo+byo+czo d d se obtiene a partir de términos conocidos ax+by+cz = d Ecuación cartesiana del plano El término independiente es d= OPo n al plano, resultando normal a n d = 0 Si el plano pasa por el origen, OPo Ecuación del Plano que pasa por tres puntos Tres puntos definen dos ectores pertenecientes al plano. A partir de los dos ectores se puede obtener por producto ectorial el ector n. El problema se reduce al caso anterior, usando n y uno de los tres puntos conocidos. Planos paralelos a los planos coordenados ejes en R³: Sea el plano coordenado XY, un punto del plano es el origen (0,0,0) y un ector normal es k = (0, 0, ). La ecuación cartesiana resultante es: 0 (x 0) + 0 (y 0) + (z 0) = 0 z = 0 es el plano XY. De la misma forma se e que z = k es un plano // al XY, que pasa por el punto (0, 0, k) Intersecciones Intersección entre planos El problema de intersección de planos, fue estudiado en la unidad Sistemas de Ecuaciones Lineales, y como se ha isto consiste en encontrar el conjunto solución de un sistema con tres incógnitas. Intersección entre una recta en el espacio y un plano 5

17 La intersección es única si la recta no es // al plano. Si es paralela hay infinitas soluciones (toda la recta) si ésta al plano y no solución si ésta es externa al plano. El problema se reduce a plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: Sea el plano: ax + by + cz = d y la recta: x x = y y = z z p q r La intersección es la solución del sistema: ax + by + cz = d x x = y y p q x x = z z p r BIBLIOGRAFÍA GROSSMAN. Álgebra Lineal con Aplicaciones. Edit. Mc Graw Hill LIPSCHUTZ. Álgebra Lineal. Edit. Mc. Graw Hill 6

18 Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Definición de espacio ectorial Un conjunto E es un espacio ectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma) y otra externa (producto por números), cumpliendo las siguientes propiedades: Suma. a b b a. ( a b) c a ( b c) 3. a 0 a 4. a ( a) 0 El ector 0 es el neutro de la suma; producto de números reales. A cualquier elemento de E se le llama ector. Producto por números 5. ( a b) a b 6. ( ) a a a 7. ( ) a ( a) 8. a a a es el opuesto de a ; es el neutro, la unidad, del El espacio ectorial R El conjunto de los puntos del plano, R, es un espacio ectorial. Sus elementos son de la forma (a, b) o (a, a ). Las operaciones suma y producto por números se definen así: Suma: ( a, a ) ( b, b ) ( a b, a b ) Producto: a, a ) ( a, ) Ejemplo: ( a (, 4) + 5(3, ) (, 3) = (, 4) + (5, 5) (, 6) = (5, 7) El espacio ectorial R 3 El conjunto de los puntos del espacio, R 3, es un espacio ectorial. Sus elementos son de la forma (a, b, c) o ( a, a, a 3) Las operaciones suma y producto por números se definen así: Suma: a, a, a ) ( b, b, b ) ( a b, a b, a ) ( b3 ( a, a, a 3) ( a, a, a 3 Producto: ) Ejemplo: (, 7, 0) + 3(,, 0) (, 4, 5) = ( 3, , ) = (3, 0, 5) El opuesto de (3,, ) es (3,, ) Obseraciones:. No es difícil demostrar que las operaciones anteriores cumplen las propiedades de espacio ectorial. En todos los casos la demostración se apoya en las propiedades de las operaciones con números reales.. Otros espacios ectoriales son: el conjunto de polinomios de grado, por ejemplo; el conjunto de matrices de dimensión 3; 3. En general, un ector es un conjunto ordenado de números ( a, a,..., an ). Los números a, a,, a n se llaman componentes o coordenadas del ector. El número de componentes es su dimensión. José María Martínez Mediano

19 Vectores Vectores fijos y ectores libres (en el plano y en el espacio) El ector que tiene por origen el punto A y por extremo el punto B, se llama ector fijo AB. Módulo del ector AB es la longitud del segmento AB. Se denota AB Dirección de AB es la de la recta que contiene a A y a B. Sentido de AB es el que indica el traslado de A a B. Dos ectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Si AB y CD son equipolentes, entonces el polígono de értices A, B, D y C (en ese orden) es un paralelogramo. B B D P A C Vectores equipolentes A Vector libre O AB. Es de interés p OP Se llama ector libre a un ector y a todos los que son equipolentes a él; esto es, todos los que se obtienen trasladándolo (paralelamente). Entre ellos tiene especial importancia el que tiene su origen en el origen de coordenadas, en el punto O. Correspondencia entre puntos y ectores Entre puntos de R (o de R 3 ) y ectores libres del plano (o del espacio) existe una bisección: A cada ector AB, equipolente a OP, se le asocia el punto P. A cada punto P se le asocia el ector p OP. Se escribe, indistintamente, P ( a, a ) o p ( a, a ) ; y A a, a, ) o a a, a, ). ( a3 ( a3 Interpretación geométrica de las operaciones con ectores libres Para obtener las coordenadas de la suma o del producto se procede como hemos hecho antes. Esto es, si: a ( a, a, a3) y b ( b, b, b3), entonces: a b ( a, a, a3 ) ( b, b, b3 ) ( a b, a b, a3b3 ) a b ( a, a, a3 ) ( b, b, b3 ) ( a b, a b, a3b3 ) Obseración: El ector BA a b ( a, a, a3 ) ( b, b, b3 ). El ector AB b a ( b, b, b3 ) ( a, a, a3 ) a a, a, ). Si > 0 tiene el mismo sentido que a ; si < 0, sentido contrario. ( a3 José María Martínez Mediano

20 Vectores 3 Ejemplos: Si A = (,, 0) y B = (3,, 4), se tendrá: a = (,, 0); b = (3,, 4); BA a b = (,, 0) (3,, 4) = (,, 4) AB b a = (3,, 4) (,, 0) = (,, 4) a = (,, 0) = (, 4, 0) Dependencia e independencia lineal de ectores Combinación lineal de ectores Un ector a es combinación lineal de un conjunto,,... n cuando se puede escribir en función de ellos; esto es, cuando a a a a n... n, donde a i son números reales. También se dice que a depende linealmente de los ectores,,... n. Los ectores a y ka son dependientes uno del otro: tienen la misma dirección; son paralelos; sus coordenadas son proporcionales. Al conjunto de ectores que dependen linealmente de los ectores,,... n se le llama ariedad lineal engendrada por ellos. Toda ariedad lineal tiene estructura de espacio lineal. Más en concreto, toda ariedad lineal es un susbespacio ectorial del espacio ectorial de referencia. Ejemplos: Si a = (,, 0) y b = (3,, 4), todos los ectores de la forma c a b son combinación lineal (o dependen linealmente) de a y b. Entre ellos: c a 4b = (,, 0) 4(3,, 4) = (0, 0, 6). El conjunto de ectores de la forma c a b es un susbespacio de R 3. Estos ectores también se pueden escribir como c (,, 0) (3,, 4) 3,, 4. Dando alores a y se obtienen los ectores de ese subespacio. El ector d = (5, 0, 0) no depende linealmente de a = (0,, ) y b = (0,, ), pues la primera coordenada, 5, no puede obtenerse a partir de dos ceros, que son la primera coordenada de cada uno de los ectores a y b. Por tanto, los ectores a, b y d son linealmente independientes. Podemos preguntarnos: qué alor debe tomar para que los ectores a = (,, ) y b = (4,, ) tengan la misma dirección? Como debe cumplirse que (,, ) = k (4,, ) k ; luego ( ). Si un ector no puede ponerse como combinación lineal de otros, se dice que es linealmente independiente de ellos. En general, un conjunto de ectores,,... n es linealmente independiente si la igualdad... 0 se cumple sólo cuando = =... = n = 0. n n Si la igualdad anterior se puede cumplir con algún i 0, los ectores son linealmente dependientes. El ector 0 de R 3 es 0 = (0, 0, 0) José María Martínez Mediano

21 Vectores 4 Ejemplos: El conjunto de ectores {(, 0, ), (0, 0, ), (0,, )} es linealmente independiente, pues la igualdad (, 0, ) + (0, 0, ) + 3 (0,, ) = (0, 0, 0) solo se cumple si = 0; = 0; 3 = 0. En efecto: (, 0, ) + (0, 0, ) + 3 (0,, ) = (0, 0, 0) (, 3, ) = (0, 0, 0) = 0; = 0; 3 = 0 Los ectores a = (, ) y b = (, 4) son linealmente dependientes, pues b = a y, por tanto: a + b = 0. El conjunto de ectores {(, 0, ), (0,, ), (,, )} es linealmente dependiente, pues la relación (, 0, ) + (0,, ) + 3 (,, ) = (0, 0, 0) se cumple sin necesidad de que = 0; = 0; 3 = 0. En efecto: (, 0, ) + (0,, ) + 3 (,, ) = (0, 0, 0) 3 0 ( + 3, 3, + 3 ) = (0, 0, 0) 3 0, que es un sistema con 3 0 infinitas soluciones; por ejemplo: = ; = ; 3 =. Puede erse también que (, 0, ) = (0,, ) + (,, ). Criterio para determinar la dependencia o independencia lineal de tres ectores del espacio. Aparte del método aplicado más arriba, el planteamiento y resolución de un sistema lineal, para comprobar si tres ectores del espacio son linealmente independientes, basta con resoler el determinante formado por los tres ectores. Si ese determinante ale cero, los ectores son linealmente dependientes; en caso contrario, serán linealmente independientes. Ejemplos: Los ectores (, 0, ), (0, 0, ) y (0,, ) son linealmente independientes, pues Los ectores (, 0, ), (0,, ) y (,, ) son linealmente dependientes, pues Obseración: Este mismo método puede aplicarse para ectores de dimensión dos, de dimensión 4, o de cualquier dimensión. Interpretación geométrica de la dependencia lineal de ectores. En el plano: dos ectores son linealmente dependientes cuando son paralelos; en caso contrario, serán linealmente independientes. (Dados tres ectores del plano, siempre habrá uno que dependa de los otros dos.) En el espacio: dos ectores son linealmente dependientes cuando son paralelos; tres ectores son linealmente dependientes cuando están en el mismo plano (si son coplanarios). Tres ectores son linealmente independientes si están en planos distintos. (Dados cuatro ectores del espacio, siempre habrá uno que dependa de los otros tres.) José María Martínez Mediano

22 Vectores 5 Base de un espacio ectorial Una base de un espacio ectorial, E, es un conjunto de ectores, B =,,... n todos de E, que cumple dos condiciones:.,,... n son linealmente independientes; esto es, ninguno de ellos puede ponerse en función de los demás.,,.... Cualquier ector de E depende linealmente del conjunto n. Bases de R Dos ectores que sean linealmente independientes (no nulos y no alineados o paralelos) forman una base de R. Pueden darse infinitas bases para R. Si B =, es una base de R, y a a a, a los números a y a se les llaman coordenadas de a respecto de. Ejemplo:, Los ectores {(, ), (, )} forman una base de R, pues ni son nulos ni paralelos. El ector = (, ) + (, ) tiene coordenadas (, ) respecto de esa base. Esta base no es operatia, no es clara, pues el ector que tiene, respecto de ella, por ejemplo las coordenadas ( 4, 5) es = 4(, ) + 5(, ) = (6, 4); pero decir que las coordenadas del ector (6, 4) son ( 4, 5) es poco comprensible. La base canónica, usual, de R es B = u,u = {(, 0), (0, )}. Esta base tiene la entaja de que las coordenadas de un ector se obtienen directamente Así, las coordenadas del ector = ( 4, 5) son 4 y 5, pues: = 4(, 0) + 5(0, ). Esto permite representar fácilmente un ector mediante el sistema cartesiano. Bases de R 3 Tres ectores que sean linealmente independientes (no nulos y no coplanarios) forman una base de R 3. Pueden darse infinitas bases. Si B =,, 3 es una base de R 3, y a a a a33, a los números a, a y a 3 se les llaman coordenadas de a respecto de,. Ejemplo:, Los ectores {(, 0, ), (0, 0, ), (0,, )}, estudiados antes, forman una base de R 3. El ector = (, 0, ) + (0, 0, ) + 3 (0,, ) tiene coordenadas (,, 3 ) respecto de esa base. Esta base no es operatia, pues el ector que tiene, respecto de ella, las coordenadas (3,, 5) es = 3(, 0, ) (0, 0, ) + 5(0,, ) = (3, 5, 6); pero decir que las coordenadas del ector (3, 5, 6) son (3,, 5) no es fácil de entender. La base canónica, usual, de R 3 es B = u, u u, 3 3 = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )}. Esta base tiene la entaja de que las coordenadas de un ector se obtienen directamente. Así, las coordenadas del ector = (3,, 5) son 3, y 5, pues: = 3(, 0, 0) (0,, 0) + 5(0, 0, ). Nota: Si no se indica lo contrario, siempre se empleará la base canónica. José María Martínez Mediano

23 Vectores 6 La referencia usual en R 3 Es O, u, u, u 3, siendo O el origen de coordenadas y u, u u los ectores de la base canónica. Así, al, 3 punto A = ( a, a, a3) se le asocia el ector a au au a3u3 ; o bien : a ( a, a, a3 ). Su representación gráfica se indica en la figura adjunta. Los ejes de coordenadas suelen denotarse con las letras x, y, z; también suele hablarse de eje OX, eje OY y eje OZ. Para el punto A dado, se tiene: x a, y a y z a3. Aplicaciones (Optatio) Ecuación ectorial de una recta Una recta queda definida dando uno de sus puntos y su ector de dirección. Si el punto es A a, a, ), que llea asociado el ector a a, a, ) ; y su ector de ( a3 ( a3 dirección es = (,, 3), cualquier otro punto X r cumple: OX OA AX. Como el ector AX, la ecuación ectorial de la recta es: x a Designado X = (x, y, z), sustituyendo y operando se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta, que son: x a r : y a, z a3 3 es un parámetro, que puede ser designado por cualquier otra letra: t, h Ecuación ectorial de la recta que para por dos puntos Si los puntos son A ( a, a, a3 ) y B ( b, b, b3 ). Uno de los puntos determina la posición. El ector b a (o a b ) determina la dirección. Su ecuación será: x a ( b a). Ejemplos: Las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A = (,, ) y sigue la dirección del ector x 3t = (3,, 4), son: r y t z 4t La recta que pasa por los puntos A = (,, 3) y B = (,, ), es la que pasa por el punto A y llea la dirección del ector AB = (,, ) (,, 3) = (, 0, ). Por tanto, sus x t ecuaciones paramétricas son: y. z 3 t José María Martínez Mediano

24 Vectores 7 Ecuaciones de un plano. Un plano queda definido por tres de sus puntos (no alineados). Si las coordenadas de esos puntos son A ( a, a, a3 ), B ( b, b, b3 ) y C ( c, c, c3 ), la ecuación ectorial del plano es: : x a ( b a) ( c a), que se obtiene obserando que si X = (x, y, z), entonces: OX Sus ecuaciones paramétricas son: x a ( b a ) ( c a ) y a ( b a ) ( c a ) z a3 ( b3 a3) ( c3 a3) x a u : y a u z a3 u3 3 OA AX = OA AB AC Si se eliminan los parámetros se obtiene la ecuación general del plano. x a u y a z a 3 Ejemplo: u u : ax+ by + cz + d = 0. Sean los puntos A(,, ), B(, 3, ), C(0, 5, 3) y D(, 4, 3). a) Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. b) Halla la ecuación de dicho plano. a) Los cuatro puntos pertenecerán al mismo plano si los ectores AB, AC y AD son linealmente dependientes. Estos ectores son: AB = (, 3, ) (,, ) = (,, 0) AC = (0, 5, 3) (,, ) = (, 3, ) AD = (, 4, 3) (,, ) = (,, ) Como 3 0, los ectores, efectiamente, son linealmente dependientes. 0 b) El plano que determinan iene dado, por ejemplo, por los puntos A, B, C (por el punto A y por los ectores AB y AC). Su ecuación es: x t h x y t 3h y 3 0 x y z 0 z h z 0 Obseración: Puede erse que los cuatro puntos dados cumplen la ecuación del plano. José María Martínez Mediano

25 Vectores 8 Producto escalar de ectores Dados dos ectores ( a, b, c) y w ( a, b, c ) se define: Producto escalar ordinario w w cos(, w) Producto escalar canónico w aa bb cc Ambas definiciones son equialentes, pero la segunda es más operatia, siempre que los ectores engan dados en función de la base canónica. Coniene obserar que el producto escalar de dos ectores es un número real. Ejemplo: Si = (,, 3) y w = (4, 5, 0), su producto escalar ale: w = (,, 3) (4, 5, 0) = = 3. Algunas propiedades:. Conmutatia: w w. Distributia: u ( w) u u w 3. Para todo : 0 4. Si w 0 y w son perpendiculares. El módulo de un ector ( a, b, c), se define como: a b c Ejemplo: El módulo de los ectores = (,, 3) y w = (4, 5, 0) es: ( ) 3 4 ; w Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A y B, d(a, B), es igual al módulo del ector AB. Si las coordenadas de esos puntos fuesen A = a, b, ) y B = a, b, ), entonces AB = a a, b b, c ) ( c d(a, B ) = AB ( c a) ( b b ) ( c ) ( a c Ejemplo: Si A = (,, 0) y B = (3,, 4), la distancia, ( c d(a, B) = (3 ) ( ( )) (4 0) Obsera que coincide con el módulo del ector AB b a = (3,, 4) (,, 0) = (,, 4) 4 AB Obsera también que: d(a, B) = d(b, A) = BA = ( 3) ( ( )) (0 4). José María Martínez Mediano

26 Vectores 9 Coseno del ángulo que forman dos ectores De la primera definición del producto escalar, se deduce que: cos(, w) w w Ejemplo: El coseno del ángulo que forman los ectores = (,, 3) y w = (4, 5, 0) será: w cos(, w) = ángulo (, w) = arccos = 8,8º. w Vectores ortogonales y ectores ortonormales. Dos ectores son ortogonales, perpendiculares, si su producto escalar ale cero. Si dos ectores ortogonales tienen módulo, se llaman ortonormales. Los ectores de módulo se llaman unitarios. Para cualquier ector a, el ector a a es unitario. Ejemplos: Los ectores a = (,, 5) y b = (3,, ) son ortogonales, pues a b = (,, 5) (3,, ) = = 0 La base canónica, B = u, u, u 3 = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )}, es una base ortonormal, pues está formada por ectores unitarios, perpendiculares dos a dos. Dados los ectores a = (, 0, ) y b = (,, ), los ectores a b = (,0,) (,0, ) y (,,) (,, ) a b 3 son unitarios y ortogonales; por tanto, son ortonormales. José María Martínez Mediano